中考數(shù)學命題研究 第三編 綜合專題闖關篇 專題四 線段和的最小值問題試題

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專題四 線段和的最小值問題 縱觀貴陽5年中考，2014年和2015年兩年連續(xù)考查了利用對稱求線段和最小值的幾何問題．設置在第24題、25題，以解答題的形式出現(xiàn)，分值為12分，難度較大． 預計2017貴陽中考還會設計利用圖形變換考查此類問題的幾何綜合題，復習時要加大訓練力度． ,中考重難點突破) 線段的最小值 【經典導例】 【例】(六盤水中考)(1)觀察發(fā)現(xiàn) 如圖①，若點A，B在直線m同側，在直線m上找一點P，使AP＋BP的值最小，做法如下：作點B關于直線m的對稱點B′，連接AB′，與直線m的交點就是所求作的點P，線段AB′的長度即為AP＋BP的最小值． 如圖②，在等邊三角形ABC中，AB＝2，點E是AB的中點，AD是高，在AD上找一點P，使BP＋PE的值最小，做法如下： 作點B關于AD的對稱點，恰好與點C重合，連接CE交AD于一點，則這點就是所求作的點P，故BP＋PE的最小值為________． (2)實踐運用 如圖③，已知⊙O的直徑CD為2，的度數(shù)為60，點B是的中點，在直徑CD上作出點P，使BP＋AP的值最小，則BP＋AP的最小值為________． (3)拓展延伸 如圖④，點P是四邊形ABCD內一點，分別在邊AB，BC上作出點M，點N，使PM＋PN的值最小，保留作圖痕跡，不寫作法． 【解析】(1)利用作法得到CE的長為BP＋PE的最小值；由AB＝2，點E是AB的中點，根據(jù)等邊三角形的性質得到CE⊥AB，∠BCE＝∠BCA＝30，BE＝1，再根據(jù)含30的直角三角形三邊的關系得到CE的長度．CE的長為BP＋PE的最小值．∵在等邊三角形ABC中，AB＝2，點E是AB的中點，∴CE⊥AB，∠BCE＝∠BCA＝30，BE＝1，∴CE＝BE＝.故答案為；(2)過B點作弦BE⊥CD ，連接AE交CD于P點，連接OB，OE，OA，PB，根據(jù)垂徑定得到CD平分BE，即點E與點B關于CD對稱，則AE的長就是BP＋AP的最小值． 【學生解答】解：(1)；(2)實踐運用 如解圖①，過B作弦BE⊥CD，連接AE交CD于P點，連接OB，OE，OA，PB.∵BE⊥CD，∴CD平分BE，即點E與點B關于CD對稱．∵的度數(shù)為60，點B是的中點，∴∠BOC＝30，∠AOC＝60，∴∠EOC＝30，∴∠AOE＝60＋30＝90，∵OA＝OE＝1，∴AE＝OA＝，∵AE的長就是BP＋AP的最小值．故答案為； (3)分別作出點P關于AB和BC的對稱點E和F，然后連接EF，EF交AB于點M，交BC于點N.拓展延伸如解圖②. 1．(2015綏化中考)如圖，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝5.若點M，N分別是線段AC，AB上的兩個動點，則BM＋MN的最小值是( B ) A．10 B．8 C．5 D．6 ,(第1題圖)) ,(第2題圖)) 2．(2016貴陽模擬)如圖，正方形ABCD的邊長為4，點M在邊DC上，且DM＝1，N為對角線AC上任意一點，則DN＋MN的最小值為( B ) A．3 B．5 C．6 D．無法確定 3．(2016原創(chuàng))如圖，點P是邊長為1的菱形ABCD對角線AC上一個動點，點M，N分別是AB，BC邊上的中點，PM＋PN的最小值是( B ) A．2 B．1 C. D. 4．(2016原創(chuàng))幾何模型： 條件：如下左圖，A，B是直線l同旁的兩個定點． 問題：在直線l上確定一點P，使PA＋PB的值最小． 方法：作點A關于直線l的對稱點A′，連接A′B交l于點P，則PA＋PB＝A′B的值最小(不必證明)． 模型應用： (1)如圖①，正方形ABCD的邊長為2，E為AB中點，P是AC上一動點．連接BD，由正方形對稱性可知，B與D關于直線AC對稱．連接PE，PB，則PB＋PE的最小值是________； (2)如圖②，⊙O的半徑為2，點A，B，C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC＝60，P是OB上一動點，求PA＋PC的最小值； (3)如圖③，∠AOB＝30，P是∠AOB內一點，PO＝8，Q，R分別是OA，OB上的動點，求△PQR周長的最小值． 解：(1)；(2)如圖②，延長AO交⊙O于點A′，則點A，A′關于直線OB對稱，連接A′C與OB相交于點P，連接AC.∵OA＝OC＝2，∠AOC＝60，∴△AOC是等邊三角形，∴AC＝2.∵AA′＝4，∠ACA′＝90，∴PA＋PC＝PA′＋PC＝A′C＝2，即PA＋PC的最小值是2； (3)如圖③，分別作P點關于OB，OA的對稱點P1，P2，連接P1P2交OA于點Q，交OB于點R，∴OP＝OP1＝OP2，∠P1OB＝∠POB，∠P2OA＝∠POA，∴∠P1OP2＝2∠AOB＝60，∴△P1OP2是等邊三角形，P1P2＝OP＝8，∴三角形PQR的周長＝PR＋PQ＋RQ＝P1R＋P2Q＋RQ＝P1P2＝8，即△PQR的周長的最小值為8. 5．(2014貴陽中考)如圖，將一副直角三角形拼放在一起得到四邊形ABCD，其中∠BAC＝45，∠ACD＝30，點E為CD邊上的中點，連接AE，將△ADE沿AE所在直線翻折得到△AD′E，D′E交AC于F點．若AB＝6 cm. (1)AE的長為__4__cm； (2)試在線段AC上確定一點P，使得DP＋EP的值最小，并求出這個最小值； (3)求點D′到BC的距離． 解：(1)4；(2)∵Rt△ADC中，∠ACD＝30， ∴∠ADC＝60. ∵E為CD邊上的中點， ∴DE＝AE, ∴△ADE為等邊三角形．∵將△ADE沿AE所在直線翻折得△AD′E, ∴△AD′E為等邊三角形， ∠AED′＝60， ∵∠EAC＝∠EAD－∠DAC＝30， ∴∠EFA＝90， 即AC所在的直線垂直平分線段ED′， ∴點E，D′關于直線AC對稱， 連接DD′交AC于點P, ∴此時DP＋EP值為最小，且DP＋EP＝DD′， ∵△ADE是等邊三角形，AD＝AE＝4， ∴DD′＝2AD＝26＝12, 即DP＋EP最小值為12 cm；(3)連接CD′，BD′，過點D′作D′G⊥BC于點G, ∵AC垂直平分線ED′， ∴AE＝AD′，CE＝CD′， ∵AE＝EC，∴AD′＝CD′＝4， 在△ABD′和△CBD′中，∴△ABD′≌△CBD′(SSS), ∴∠D′BG＝45， ∴D′G＝GB, 設D′G長為x cm，則CG長為(6－x)cm，在Rt△GD′C中，x2 ＋(6－x)2 ＝(4)2 , 解得x1＝3－，x2＝3＋(不合題意舍去), ∴點D′到BC邊的距離為(3－)cm. 6．(2016貴陽中考)如圖，在矩形紙片ABCD中，AB＝4，AD＝12，將矩形紙片折疊，使點C落在AD邊上的點M處，折痕為PE，此時PD＝3. (1)求MP的值； (2)在AB邊上有一個動點F，且不與點A，B重合，當AF等于多少時，△MEF的周長最?。? (3)若點G，Q是AB邊上的兩個動點，且不與點A，B重合，GQ＝2，當四邊形MEQG的周長最小時，求最小周長值．(計算結果保留根號) 解：(1)MP＝＝5；(2)如圖1，作點M關于AB的對稱點M′，連接M′E交AB于點F，則點F即為所求， 過點E作EN⊥AD，垂足為N.∵AM＝AD－MP－PD＝15－5－3＝4，∴AM＝AM′＝4.∵矩形ABCD折疊，使點C落在AD邊上的點M處，折痕為PE，∴∠CEP＝∠MEP，而∠CEP＝∠MPE，∴∠MEP＝∠MPE，∴ME＝MP＝5，在Rt△ENM中，MN＝＝＝3，∴NM′＝11.∵AF∥NE，∴△AFM′∽△NEM′，∴＝，即＝，解得AF＝，即AF＝時，△MEF的周長最??；(3)如圖2，由(2)知點M′是點M關于AB的對稱點，連接MG，在EN上截取ER＝2，連接M′R交AB于點G，再過點E作EQ∥RG，交AB于點Q， ∵EQ∥RG，ER∥GQ，∴四邊形ERGQ是平行四邊形，∴QE＝GR.∵GM＝GM′，∴MG＋QE＝GM′＋GR＝M′R，此時MG＋EQ最小，四邊形MEQG的周長最小，在Rt△M′RN中，NR＝4－2＝2，M′R＝＝5，∵ME＝5，GQ＝2，∴四邊形MEQG的最小周長值是7＋5.