九年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試卷（含解析） 新人教版6 (6)

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2016-2017學(xué)年山東省泰安市新泰市青云中學(xué)九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷 一、選擇題 1．如圖，在矩形、銳角三角形、正五邊形、直角三角形的外邊加一個(gè)寬度一樣的外框，保證外框的邊與原圖形的對(duì)應(yīng)邊平行，則外框與原圖一定相似的有（　?。? A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè) 2．△ABC中，a、b、c分別是∠A、∠B、∠C的對(duì)邊，如果a2+b2=c2，那么下列結(jié)論正確的是（　?。? A．bcosB=c B．csinA=a C．a(chǎn)tanA=b D． 3．利用反證法證明“直角三角形至少有一個(gè)銳角不小于45”，應(yīng)先假設(shè)（　?。? A．直角三角形的每個(gè)銳角都小于45 B．直角三角形有一個(gè)銳角大于45 C．直角三角形的每個(gè)銳角都大于45 D．直角三角形有一個(gè)銳角小于45 4．若關(guān)于x的一元二次方程2x2﹣3x﹣k=0的一個(gè)根為1，則另一個(gè)根為（　?。? A．2 B．﹣1 C． D． 5．如圖，?ABCD中，E是AD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，BE交AC于點(diǎn)F，交DC于點(diǎn)G，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（　　） A．△ABE∽△DGE B．△CGB∽△DGE C．△BCF∽△EAF D．△ACD∽△GCF 6．用配方法解一元二次方程2x2﹣x﹣l=0時(shí)，配方正確的是（　?。? A．（x﹣）2= B．（x+）2= C．（x﹣）2= D．（x+）2= 7．⊙O過點(diǎn)B，C，圓心O在等腰直角△ABC內(nèi)部，∠BAC=90，OA=1，BC=6，則⊙O的半徑為（　?。? A． B．2 C． D．3 8．如圖，斜面AC的坡度（CD與AD的比）為1：2，AC=3米，坡頂有旗桿BC，旗桿頂端B點(diǎn)與A點(diǎn)有一條彩帶相連．若AB=10米，則旗桿BC的高度為（　?。? A．5米 B．6米 C．8米 D．（3+）米 9．如圖，⊙O△ABC的三條邊所得的弦長(zhǎng)相等，則下列說法正確的是（　　） A．點(diǎn)O是△ABC的內(nèi)心 B．點(diǎn)O是△ABC的外心 C．△ABC是正三角形 D．△ABC是等腰三角形 10．關(guān)于x的一元二次方程x2﹣x+sinα=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則銳角α等于（　　） A．15 B．30 C．45 D．60 11．如圖，四邊形BDCE內(nèi)接于以BC為直徑的⊙A，已知：BC=10，cos∠BCD=，∠BCE=30，則線段DE的長(zhǎng)是（　　） A． B．7 C．4+3 D．3+4 12．如圖，△ABC中，A、B兩個(gè)頂點(diǎn)在x軸的上方，點(diǎn)C的坐標(biāo)是（1，0），以點(diǎn)C位似中心，在x軸的下方作△ABC的位似圖形△A′B′C，并把△ABC的邊長(zhǎng)放大到原來的2倍，設(shè)點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是a，則點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B′的橫坐標(biāo)是（　?。? A．﹣2a B．2a﹣2 C．3﹣2a D．2a﹣3 13．如圖，AB是⊙O的直徑，PA切⊙O于點(diǎn)A，OP交⊙O于點(diǎn)C，連接BC．若∠P=20，則∠B的度數(shù)是（　　） A．20 B．25 C．30 D．35 14．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90，AC=8，BC=4，分別以AC、BC為直徑畫半圓，則圖中陰影部分的面積為（　　） A．10π﹣8 B．10π﹣16 C．10π D．5π 15．我們將在直角坐標(biāo)系中圓心坐標(biāo)和半徑均為整數(shù)的圓稱為“整圓”．如圖，直線l：y=kx+4與x軸、y軸分別交于A、B，∠OAB=30，點(diǎn)P在x軸上，⊙P與l相切，當(dāng)P在線段OA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，使得⊙P成為整圓的點(diǎn)P個(gè)數(shù)是（　?。? A．6 B．8 C．10 D．12 16．如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于G，E為AD的中點(diǎn)，連接BE交AC于F，連接FD，若∠BFA=90，則下列四對(duì)三角形：①△BEA與△ACD；②△FED與△DEB；③△CFD與△ABG；④△ADF與△EFD，其中相似的為（　　） A．①④ B．①② C．②③④ D．①②③④ 17．股票每天的漲、跌幅均不能超過10%，即當(dāng)漲了原價(jià)的10%后，便不能再漲，叫做漲停；當(dāng)?shù)嗽瓋r(jià)的10%后，便不能再跌，叫做跌停．已知一只股票某天跌停，之后兩天時(shí)間又漲回到原價(jià)．若這兩天此股票股價(jià)的平均增長(zhǎng)率為x，則x滿足的方程是（　　） A．（1+x）2= B．（1+x）2= C．1+2x= D．1+2x= 18．將一副三角板如下圖擺放在一起，連接AD，則∠ADB的正切值為（　?。? A． B． C． D． 19．彼此相似的矩形A1B1C1D1，A2B2C2D2，A3B3C3D3，…，按如圖所示的方式放置．點(diǎn)A1，A2，A3，…，和點(diǎn)C1，C2，C3，…，分別在直線y=kx+b（k＞0）和x軸上，已知點(diǎn)B1、B2的坐標(biāo)分別為（1，2），（3，4），則Bn的坐標(biāo)是（　?。? A．（2n﹣1，2n） B．（2n﹣，2n） C．（2n﹣1﹣，2n﹣1） D．（2n﹣1﹣1，2n﹣1） 20．圖1是用鋼絲制作的一個(gè)幾何探究工具，其中△ABC內(nèi)接于⊙G，AB是⊙G的直徑，AB=6，AC=2．現(xiàn)將制作的幾何探究工具放在平面直角坐標(biāo)系中（如圖2），然后點(diǎn)A在射線OX上由點(diǎn)O開始向右滑動(dòng)，點(diǎn)B在射線OY上也隨之向點(diǎn)O滑動(dòng)（如圖3），當(dāng)點(diǎn)B滑動(dòng)至與點(diǎn)O重合時(shí)運(yùn)動(dòng)結(jié)束． 在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)的路程是（　?。? A．4 B．6 C．4﹣2 D．10﹣4 　 二、填空題 21．sin260+cos260﹣tan45=　　． 22．一元二次方程（x﹣1）（x﹣2）=x﹣1的解是　?。? 23．如圖所示，小華從一個(gè)圓形場(chǎng)地的A點(diǎn)出發(fā)，沿著與半徑OA夾角為α的方向行走，走到場(chǎng)地邊緣B后，再沿著與半徑OB夾角為α的方向折向行走．按照這種方式，小華第五次走到場(chǎng)地邊緣時(shí)處于弧AB上，此時(shí)∠AOE=56，則α的度數(shù)是　?。? 24．設(shè)△ABC的面積為1，如圖①，將邊BC、AC分別2等分，BE1、AD1相交于點(diǎn)O，△AOB的面積記為S1；如圖②將邊BC、AC分別3等分，BE1、AD1相交于點(diǎn)O，△AOB的面積記為S2；…，依此類推，則Sn可表示為　?。ㄓ煤琻的代數(shù)式表示，其中n為正整數(shù)） 　 三、解答題（25題8分，26-29每小題8分，共48分） 25．如圖，已知：AP2=AQ?AB，且∠ABP=∠C，試說明△QPB∽△PBC． 26． 2015年4月25日14時(shí)11分，尼泊爾發(fā)生8.1級(jí)地震，震源深度20千米．中國(guó)救援隊(duì)火速趕往災(zāi)區(qū)救援，探測(cè)出某建筑物廢墟下方點(diǎn)C處有生命跡象．在廢墟一側(cè)某面上選兩探測(cè)點(diǎn)A、B，AB相距2米，探測(cè)線與該面的夾角分別是30和45（如圖）．試確定生命所在點(diǎn)C與探測(cè)面的距離．（參考數(shù)據(jù)≈1.41，≈1.73） 27．為滿足市場(chǎng)需求，新生活超市在端午節(jié)前夕購(gòu)進(jìn)價(jià)格為3元/個(gè)的某品牌粽子，根據(jù)市場(chǎng)預(yù)測(cè)，該品牌粽子每個(gè)售價(jià)4元時(shí)，每天能出售500個(gè)，并且售價(jià)每上漲0.1元，其銷售量將減少10個(gè)，為了維護(hù)消費(fèi)者利益，物價(jià)部門規(guī)定，該品牌粽子售價(jià)不能超過進(jìn)價(jià)的200%，請(qǐng)你利用所學(xué)知識(shí)幫助超市給該品牌粽子定價(jià)，使超市每天的銷售利潤(rùn)為800元． 28．如圖，等腰三角形ABC中，AC=BC=10，AB=12，以BC為直徑作⊙O交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)G，DF⊥AC，垂足為F，交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E． （1）求證：直線EF是⊙O的切線； （2）求cos∠E的值． 29．在Rt△ABC中，∠BAC=90，過點(diǎn)B的直線MN∥AC，D為BC邊上一點(diǎn)，連接AD，作DE⊥AD交MN于點(diǎn)E，連接AE． （1）如圖①，當(dāng)∠ABC=45時(shí)，求證：AD=DE； （2）如圖②，當(dāng)∠ABC=30時(shí)，線段AD與DE有何數(shù)量關(guān)系？并請(qǐng)說明理由； （3）當(dāng)∠ABC=α?xí)r，請(qǐng)直接寫出線段AD與DE的數(shù)量關(guān)系．（用含α的三角函數(shù)表示） 　  2016-2017學(xué)年山東省泰安市新泰市青云中學(xué)九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷 參考答案與試題解析 　 一、選擇題 1．如圖，在矩形、銳角三角形、正五邊形、直角三角形的外邊加一個(gè)寬度一樣的外框，保證外框的邊與原圖形的對(duì)應(yīng)邊平行，則外框與原圖一定相似的有（　?。? A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè) 【考點(diǎn)】相似圖形． 【專題】幾何圖形問題． 【分析】根據(jù)相似多邊形的判定定理對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定最后答案． 【解答】解：矩形不相似，因?yàn)槠鋵?duì)應(yīng)角的度數(shù)一定相同，但對(duì)應(yīng)邊的比值不一定相等，不符合相似的條件； 銳角三角形、直角三角形的原圖與外框相似，因?yàn)槠淙齻€(gè)角均相等，三條邊均對(duì)應(yīng)成比例，符合相似的條件； 正五邊形相似，因?yàn)樗鼈兊倪呴L(zhǎng)都對(duì)應(yīng)成比例、對(duì)應(yīng)角都相等，符合相似的條件． 故選C． 【點(diǎn)評(píng)】邊數(shù)相同、各角對(duì)應(yīng)相等、各邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)多邊形是相似多邊形． 　 2．△ABC中，a、b、c分別是∠A、∠B、∠C的對(duì)邊，如果a2+b2=c2，那么下列結(jié)論正確的是（　?。? A．bcosB=c B．csinA=a C．a(chǎn)tanA=b D． 【考點(diǎn)】銳角三角函數(shù)的定義；勾股定理的逆定理． 【分析】由于a2+b2=c2，根據(jù)勾股定理的逆定理得到△ABC是直角三角形，且∠C=90，再根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義即可得到正確選項(xiàng)． 【解答】解：∵a2+b2=c2， ∴△ABC是直角三角形，且∠C=90， ∴sinA=， 即csinA=a， ∴B選項(xiàng)正確． 故選B． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義和勾股定理的逆定理． 　 3．利用反證法證明“直角三角形至少有一個(gè)銳角不小于45”，應(yīng)先假設(shè)（　?。? A．直角三角形的每個(gè)銳角都小于45 B．直角三角形有一個(gè)銳角大于45 C．直角三角形的每個(gè)銳角都大于45 D．直角三角形有一個(gè)銳角小于45 【考點(diǎn)】反證法． 【分析】熟記反證法的步驟，從命題的反面出發(fā)假設(shè)出結(jié)論，直接得出答案即可． 【解答】解：用反證法證明命題“在直角三角形中，至少有一個(gè)銳角不小于45”時(shí)，應(yīng)先假設(shè)直角三角形的每個(gè)銳角都小于45． 故選：A． 【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了反證法的步驟，熟記反證法的步驟：（1）假設(shè)結(jié)論不成立；（2）從假設(shè)出發(fā)推出矛盾；（3）假設(shè)不成立，則結(jié)論成立． 　 4．若關(guān)于x的一元二次方程2x2﹣3x﹣k=0的一個(gè)根為1，則另一個(gè)根為（　?。? A．2 B．﹣1 C． D． 【考點(diǎn)】解一元二次方程-公式法；一元二次方程的解． 【分析】首先把x=1代入方程，即可求得k的值，代入k的值，解方程即可求得． 【解答】解：根據(jù)題意得：21﹣31﹣k=0 ∴k=﹣1 ∴方程為：2x2﹣3x+1=0 解得：x1=1，x2=． 故選C． 【點(diǎn)評(píng)】此題考查了方程解的定義．還應(yīng)注意根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用，解題時(shí)會(huì)更簡(jiǎn)單． 　 5．（易錯(cuò)題）如圖，?ABCD中，E是AD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，BE交AC于點(diǎn)F，交DC于點(diǎn)G，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（　?。? A．△ABE∽△DGE B．△CGB∽△DGE C．△BCF∽△EAF D．△ACD∽△GCF 【考點(diǎn)】相似三角形的判定；平行四邊形的性質(zhì)． 【專題】常規(guī)題型． 【分析】本題中可利用平行四邊形ABCD中兩對(duì)邊平行的特殊條件來進(jìn)行求解． 【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形 ∴AB∥CD ∴∠EDG=∠EAB ∵∠E=∠E ∴△ABE∽△DGE（第一個(gè)正確） ∵AE∥BC ∴∠EDC=∠BCG，∠E=∠CBG ∴△CGB∽△DGE（第二個(gè)正確） ∵AE∥BC ∴∠E=∠FBC，∠EAF=∠BCF ∴△BCF∽△EAF（第三個(gè)正確） 第四個(gè)無法證得，故選D 【點(diǎn)評(píng)】考查相似三角形的判定定理： （1）兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似； （2）兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似； （3）三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似； （4）如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)直角三角形相似． 　 6．用配方法解一元二次方程2x2﹣x﹣l=0時(shí)，配方正確的是（　　） A．（x﹣）2= B．（x+）2= C．（x﹣）2= D．（x+）2= 【考點(diǎn)】解一元二次方程-配方法． 【分析】在本題中，化二次項(xiàng)系數(shù)為1后，把常數(shù)項(xiàng)﹣移項(xiàng)，應(yīng)該在左右兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)﹣的一半的平方． 【解答】解：由原方程，得 x2﹣x=， x2﹣x+=+， （x﹣）2=， 故選：A． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元二次方程﹣﹣配方法．配方法的一般步驟： （1）把常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)的右邊； （2）把二次項(xiàng)的系數(shù)化為1； （3）等式兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方． 選擇用配方法解一元二次方程時(shí)，最好使方程的二次項(xiàng)的系數(shù)為1，一次項(xiàng)的系數(shù)是2的倍數(shù)． 　 7．⊙O過點(diǎn)B，C，圓心O在等腰直角△ABC內(nèi)部，∠BAC=90，OA=1，BC=6，則⊙O的半徑為（　　） A． B．2 C． D．3 【考點(diǎn)】垂徑定理；勾股定理；等腰直角三角形． 【分析】根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)知：若過A作BC的垂線，設(shè)垂足為D，則AD必垂直平分BC；由垂徑定理可知，AD必過圓心O；根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，易求出BD、AD的長(zhǎng)，進(jìn)而可求出OD的值；連接OB根據(jù)勾股定理即可求出⊙O的半徑． 【解答】解：過A作AD⊥BC，由題意可知AD必過點(diǎn)O，連接OB； ∵△BAC是等腰直角三角形，AD⊥BC， ∴BD=CD=AD=3； ∴OD=AD﹣OA=2； Rt△OBD中，根據(jù)勾股定理，得： OB==． 故選C． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是垂徑定理及勾股定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵． 　 8．如圖，斜面AC的坡度（CD與AD的比）為1：2，AC=3米，坡頂有旗桿BC，旗桿頂端B點(diǎn)與A點(diǎn)有一條彩帶相連．若AB=10米，則旗桿BC的高度為（　?。? A．5米 B．6米 C．8米 D．（3+）米 【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題． 【分析】設(shè)CD=x，則AD=2x，根據(jù)勾股定理求出AC的長(zhǎng)，從而求出CD、AC的長(zhǎng)，然后根據(jù)勾股定理求出BD的長(zhǎng)，即可求出BC的長(zhǎng)． 【解答】解：設(shè)CD=x，則AD=2x， 由勾股定理可得，AC==x， ∵AC=3米， ∴x=3， ∴x=3米， ∴CD=3米， ∴AD=23=6米， 在Rt△ABD中，BD==8米， ∴BC=8﹣3=5米． 故選A． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣﹣坡度坡角問題，找到合適的直角三角形，熟練運(yùn)用勾股定理是解題的關(guān)鍵． 　 9．如圖，⊙O△ABC的三條邊所得的弦長(zhǎng)相等，則下列說法正確的是（　?。? A．點(diǎn)O是△ABC的內(nèi)心 B．點(diǎn)O是△ABC的外心 C．△ABC是正三角形 D．△ABC是等腰三角形 【考點(diǎn)】三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心． 【分析】過O作OM⊥AB于M，ON⊥BC于N，OQ⊥AC于Q，連接OK、OD、OF，根據(jù)垂徑定理和已知求出DM=KQ=FN，根據(jù)勾股定理求出OM=ON=OQ，根據(jù)三角形內(nèi)心的定義求出即可． 【解答】解： 過O作OM⊥AB于M，ON⊥BC于N，OQ⊥AC于Q，連接OK、OD、OF， 由垂徑定理得：DM=DE，KQ=KH，F(xiàn)N=FG， ∵DE=FG=HK， ∴DM=KQ=FN， ∵OD=OK=OF， ∴由勾股定理得：OM=ON=OQ， 即O到三角形ABC三邊的距離相等， ∴O是△ABC的內(nèi)心， 故選A． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂徑定理，勾股定理，三角形的內(nèi)心的應(yīng)用，注意：三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等． 　 10．關(guān)于x的一元二次方程x2﹣x+sinα=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則銳角α等于（　?。? A．15 B．30 C．45 D．60 【考點(diǎn)】根的判別式；特殊角的三角函數(shù)值． 【分析】由方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，結(jié)合根的判別式可得出sinα=，再由α為銳角，即可得出結(jié)論． 【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程x2﹣x+sinα=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根， ∴△=﹣4sinα=2﹣4sinα=0， 解得：sinα=， ∵α為銳角， ∴α=30． 故選B． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根的判別式以及特殊角的三角形函數(shù)值，解題的關(guān)鍵是求出sinα=．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，根據(jù)根的個(gè)數(shù)結(jié)合根的判別式得出方程（不等式或不等式組）是關(guān)鍵． 　 11．如圖，四邊形BDCE內(nèi)接于以BC為直徑的⊙A，已知：BC=10，cos∠BCD=，∠BCE=30，則線段DE的長(zhǎng)是（　?。? A． B．7 C．4+3 D．3+4 【考點(diǎn)】解直角三角形；圓周角定理． 【分析】在Rt△CDB和Rt△CBE中，通過解直角三角形易求得BD、BE的長(zhǎng)． 過B作BF⊥DE于F，由圓周角定理知∠BCE=∠BDE，∠BED=∠BCD． 根據(jù)這些角的三角函數(shù)值以及BD、BE的長(zhǎng)，即可求得DF、EF的值，從而得到DE的長(zhǎng)． 【解答】解：過B作BF⊥DE于F． 在Rt△CBD中，BC=10，cos∠BCD=， ∴BD=8． 在Rt△BCE中，BC=10，∠BCE=30， ∴BE=5． 在Rt△BDF中，∠BDF=∠BCE=30，BD=8， ∴DF=BD?cos30=4． 在Rt△BEF中，∠BEF=∠BCD，即cos∠BEF=cos∠BCD=，BE=5， ∴EF=BE?cos∠BEF=3． ∴DE=DF+EF=3+4， 故選D． 【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查的是圓周角定理和解直角三角形的綜合應(yīng)用，難度適中． 　 12．如圖，△ABC中，A、B兩個(gè)頂點(diǎn)在x軸的上方，點(diǎn)C的坐標(biāo)是（1，0），以點(diǎn)C位似中心，在x軸的下方作△ABC的位似圖形△A′B′C，并把△ABC的邊長(zhǎng)放大到原來的2倍，設(shè)點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是a，則點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B′的橫坐標(biāo)是（　?。? A．﹣2a B．2a﹣2 C．3﹣2a D．2a﹣3 【考點(diǎn)】位似變換；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)． 【分析】設(shè)點(diǎn)B′的橫坐標(biāo)為x，然后表示出BC、B′C的橫坐標(biāo)的距離，再根據(jù)位似比列式計(jì)算即可得解． 【解答】解：設(shè)點(diǎn)B′的橫坐標(biāo)為x， 則B、C間的橫坐標(biāo)的長(zhǎng)度為a﹣1，B′、C間的橫坐標(biāo)的長(zhǎng)度為﹣x+1， ∵△ABC放大到原來的2倍得到△A′B′C， ∴2（a﹣1）=﹣x+1， 解得：x=﹣2a+3， 故選：C． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了位似變換，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，根據(jù)位似比的定義，利用兩點(diǎn)間的橫坐標(biāo)的距離等于對(duì)應(yīng)邊的比列出方程是解題的關(guān)鍵． 　 13．如圖，AB是⊙O的直徑，PA切⊙O于點(diǎn)A，OP交⊙O于點(diǎn)C，連接BC．若∠P=20，則∠B的度數(shù)是（　?。? A．20 B．25 C．30 D．35 【考點(diǎn)】切線的性質(zhì)；圓周角定理． 【專題】計(jì)算題；壓軸題． 【分析】根據(jù)切線性質(zhì)得AB⊥AP，再根據(jù)圓周角定理即可求出． 【解答】解：連接AC， 根據(jù)切線的性質(zhì)定理得AB⊥AP， ∴∠AOP=70， ∵OA=OC， ∴∠OAC=∠OCA=55； ∵AB是直徑， ∴∠ACB=90， ∴∠B=35． 故選D． 【點(diǎn)評(píng)】熟練運(yùn)用切線的性質(zhì)定理和圓周角定理的推論． 　 14．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90，AC=8，BC=4，分別以AC、BC為直徑畫半圓，則圖中陰影部分的面積為（　　） A．10π﹣8 B．10π﹣16 C．10π D．5π 【考點(diǎn)】扇形面積的計(jì)算． 【分析】觀察圖形發(fā)現(xiàn)：陰影部分的面積=兩個(gè)半圓的面積﹣直角三角形的面積． 【解答】解：設(shè)各個(gè)部分的面積為：S1、S2、S3、S4、S5， 如圖所示： ∵兩個(gè)半圓的面積和是：S1+S5+S4+S2+S3+S4，△ABC的面積是S3+S4+S5，陰影部分的面積是：S1+S2+S4， ∴圖中陰影部分的面積為兩個(gè)半圓的面積減去三角形的面積． 即陰影部分的面積=π16+π4﹣84=10π﹣16． 故選：B． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了扇形面積的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是看出圖中陰影部分的面積為兩個(gè)半圓的面積﹣三角形的面積． 　 15．我們將在直角坐標(biāo)系中圓心坐標(biāo)和半徑均為整數(shù)的圓稱為“整圓”．如圖，直線l：y=kx+4與x軸、y軸分別交于A、B，∠OAB=30，點(diǎn)P在x軸上，⊙P與l相切，當(dāng)P在線段OA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，使得⊙P成為整圓的點(diǎn)P個(gè)數(shù)是（　?。? A．6 B．8 C．10 D．12 【考點(diǎn)】切線的性質(zhì)；一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征． 【專題】壓軸題． 【分析】根據(jù)直線的解析式求得OB=4，進(jìn)而求得OA=12，根據(jù)切線的性質(zhì)求得PM⊥AB，根據(jù)∠OAB=30，求得PM=PA，然后根據(jù)“整圓”的定義，即可求得使得⊙P成為整圓的點(diǎn)P的坐標(biāo)，從而求得點(diǎn)P個(gè)數(shù)． 【解答】解：∵直線l：y=kx+4與x軸、y軸分別交于A、B， ∴B（0，4）， ∴OB=4， 在RT△AOB中，∠OAB=30， ∴OA=OB==12， ∵⊙P與l相切，設(shè)切點(diǎn)為M，連接PM，則PM⊥AB， ∴PM=PA， 設(shè)P（x，0）， ∴PA=12﹣x， ∴⊙P的半徑PM=PA=6﹣x， ∵x為整數(shù)，PM為整數(shù)， ∴x可以取0，2，4，6，8，10，6個(gè)數(shù)， ∴使得⊙P成為整圓的點(diǎn)P個(gè)數(shù)是6． 故選：A． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的性質(zhì)，含30角的直角三角形的性質(zhì)等，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵． 　 16．如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于G，E為AD的中點(diǎn)，連接BE交AC于F，連接FD，若∠BFA=90，則下列四對(duì)三角形：①△BEA與△ACD；②△FED與△DEB；③△CFD與△ABG；④△ADF與△EFD，其中相似的為（　　） A．①④ B．①② C．②③④ D．①②③④ 【考點(diǎn)】相似三角形的判定． 【分析】根據(jù)判定三角形相似的條件對(duì)選項(xiàng)逐一進(jìn)行判斷． 【解答】解：①根據(jù)題意得：∠BAE=∠ADC=∠AFE=90 ∴∠AEF+∠EAF=90，∠DAC+∠ACD=90 ∴∠AEF=∠ACD ∴①中兩三角形相似； ②∵∠AEB=∠FEA，∠AFE=∠EAB=90， ∴△AFE∽△BAE， ∴=， 又∵AE=ED， ∴= 而∠BED=∠BED， ∴△FED∽△DEB． 故②正確； ③∵AB∥CD， ∴∠BAC=∠GCD， ∵∠ABE=∠DAF，∠EBD=∠EDF，且∠ABG=∠ABE+∠EBD， ∴∠ABG=∠DAF+∠EDF=∠DFC； ∵∠ABG=∠DFC，∠BAG=∠DCF， ∴△CFD∽△ABG，故③正確； ④∵△FED∽△DEB， ∴∠EFD=∠EDB， ∵AG=DG， ∴∠DAF=∠ADG， ∴∠DAF=∠EFD， ∴△ADF∽△EFD； 所以相似的有①②③④． 故選：D． 【點(diǎn)評(píng)】此題考查了相似三角形的判定： ①有兩個(gè)對(duì)應(yīng)角相等的三角形相似； ②有兩個(gè)對(duì)應(yīng)邊的比相等，且其夾角相等，則兩個(gè)三角形相似； ③三組對(duì)應(yīng)邊的比相等，則兩個(gè)三角形相似． 　 17．股票每天的漲、跌幅均不能超過10%，即當(dāng)漲了原價(jià)的10%后，便不能再漲，叫做漲停；當(dāng)?shù)嗽瓋r(jià)的10%后，便不能再跌，叫做跌停．已知一只股票某天跌停，之后兩天時(shí)間又漲回到原價(jià)．若這兩天此股票股價(jià)的平均增長(zhǎng)率為x，則x滿足的方程是（　?。? A．（1+x）2= B．（1+x）2= C．1+2x= D．1+2x= 【考點(diǎn)】由實(shí)際問題抽象出一元二次方程． 【專題】增長(zhǎng)率問題． 【分析】股票一次跌停就跌到原來價(jià)格的90%，再?gòu)?0%的基礎(chǔ)上漲到原來的價(jià)格，且漲幅只能≤10%，所以至少要經(jīng)過兩天的上漲才可以．設(shè)平均每天漲x，每天相對(duì)于前一天就上漲到1+x． 【解答】解：設(shè)平均每天漲x． 則90%（1+x）2=1， 即（1+x）2=， 故選B． 【點(diǎn)評(píng)】此題考查增長(zhǎng)率的定義及由實(shí)際問題抽象出一元二次方程的知識(shí)，這道題的關(guān)鍵在于理解：價(jià)格上漲x%后是原來價(jià)格的（1+x）倍． 　 18．將一副三角板如下圖擺放在一起，連接AD，則∠ADB的正切值為（　　） A． B． C． D． 【考點(diǎn)】解直角三角形． 【專題】數(shù)形結(jié)合． 【分析】過點(diǎn)A構(gòu)造∠ADB所在的直角三角形，設(shè)AE為1，得到DE的值，相除即可． 【解答】解：作AE⊥BD，交DB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E． 由題意可得：∠ABE=∠CBD=45， 設(shè)AE=1，則AB= ∴BC=， ∵Rt△BCD是等腰直角三角形， ∴BD=， ∴DE=1+， ∴tan∠ADB=1（+1）=． 故選D． 【點(diǎn)評(píng)】考查解直角三角形的知識(shí)；構(gòu)造出所求角所在的直角三角形是解決本題的難點(diǎn)． 　 19．彼此相似的矩形A1B1C1D1，A2B2C2D2，A3B3C3D3，…，按如圖所示的方式放置．點(diǎn)A1，A2，A3，…，和點(diǎn)C1，C2，C3，…，分別在直線y=kx+b（k＞0）和x軸上，已知點(diǎn)B1、B2的坐標(biāo)分別為（1，2），（3，4），則Bn的坐標(biāo)是（　?。? A．（2n﹣1，2n） B．（2n﹣，2n） C．（2n﹣1﹣，2n﹣1） D．（2n﹣1﹣1，2n﹣1） 【考點(diǎn)】相似多邊形的性質(zhì)；一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征． 【專題】規(guī)律型． 【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)求出點(diǎn)A1、A2的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式求出k、b，從而得到一次函數(shù)解析式，再根據(jù)一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征求出A3的坐標(biāo)，然后求出B3的坐標(biāo)，…，最后根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)特征的變化規(guī)律寫出Bn的坐標(biāo)即可． 【解答】解：∵B1（1，2）， ∴相似矩形的長(zhǎng)是寬的2倍， ∵點(diǎn)B1、B2的坐標(biāo)分別為（1，2），（3，4）， ∴A1（0，2），A2（1，4）， ∵點(diǎn)A1，A2在直線y=kx+b上， ∴， 解得， ∴y=2x+2， ∵點(diǎn)A3在直線y=2x+2上， ∴y=23+2=8， ∴點(diǎn)A3的坐標(biāo)為（3，8）， ∴點(diǎn)B3的橫坐標(biāo)為3+8=7， ∴點(diǎn)B3（7，8）， …， Bn的坐標(biāo)為（2n﹣1，2n）． 故選A． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似多邊形的性質(zhì)，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，根據(jù)點(diǎn)A的系列坐標(biāo)判斷出相應(yīng)矩形的長(zhǎng)，再求出寬，然后得到點(diǎn)B的系列坐標(biāo)的變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵． 　 20．圖1是用鋼絲制作的一個(gè)幾何探究工具，其中△ABC內(nèi)接于⊙G，AB是⊙G的直徑，AB=6，AC=2．現(xiàn)將制作的幾何探究工具放在平面直角坐標(biāo)系中（如圖2），然后點(diǎn)A在射線OX上由點(diǎn)O開始向右滑動(dòng)，點(diǎn)B在射線OY上也隨之向點(diǎn)O滑動(dòng)（如圖3），當(dāng)點(diǎn)B滑動(dòng)至與點(diǎn)O重合時(shí)運(yùn)動(dòng)結(jié)束． 在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)的路程是（　?。? A．4 B．6 C．4﹣2 D．10﹣4 【考點(diǎn)】三角形的外接圓與外心；勾股定理；圓周角定理；弧長(zhǎng)的計(jì)算． 【專題】壓軸題；動(dòng)點(diǎn)型． 【分析】由于在運(yùn)動(dòng)過程中，原點(diǎn)O始終在⊙G上，則弧AC的長(zhǎng)保持不變，弧AC所對(duì)應(yīng)的圓周角∠AOC保持不變，等于∠XOC，故點(diǎn)C在與x軸夾角為∠ABC的射線上運(yùn)動(dòng)．頂點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)軌跡應(yīng)是一條線段，且點(diǎn)C移動(dòng)到圖中C2位置最遠(yuǎn)，然后又慢慢移動(dòng)到C3結(jié)束，點(diǎn)C經(jīng)過的路程應(yīng)是線段C1C2+C2C3． 【解答】解：如圖3，連接OG． ∵∠AOB是直角，G為AB中點(diǎn)， ∴GO=AB=半徑， ∴原點(diǎn)O始終在⊙G上． ∵∠ACB=90，AB=6，AC=2，∴BC=4． 連接OC．則∠AOC=∠ABC，∴tan∠AOC==， ∴點(diǎn)C在與x軸夾角為∠AOC的射線上運(yùn)動(dòng)． 如圖4，C1C2=OC2﹣OC1=6﹣2=4； 如圖5，C2C3=OC2﹣OC3=6﹣4； ∴總路徑為：C1C2+C2C3=4+6﹣4=10﹣4． 故選：D． 【點(diǎn)評(píng)】主要考查了函數(shù)和幾何圖形的綜合運(yùn)用．解題的關(guān)鍵是會(huì)靈活的運(yùn)用函數(shù)圖象的性質(zhì)和交點(diǎn)的意義求出相應(yīng)的線段的長(zhǎng)度或表示線段的長(zhǎng)度，再結(jié)合具體圖形的性質(zhì)求解． 　 二、填空題 21．sin260+cos260﹣tan45=　0?。? 【考點(diǎn)】特殊角的三角函數(shù)值． 【分析】將特殊角的三角函數(shù)值代入求解． 【解答】解：原式=（）2+（）2﹣1 =0． 故答案為：0． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，解答本題的關(guān)鍵是掌握幾個(gè)特殊角的三角函數(shù)值． 　 22．一元二次方程（x﹣1）（x﹣2）=x﹣1的解是　x1=1，x2=3?。? 【考點(diǎn)】解一元二次方程-因式分解法． 【專題】計(jì)算題． 【分析】先移項(xiàng)得到（x﹣1）（x﹣2）﹣（x﹣1）=0，然后利用因式分解法解方程． 【解答】解：（x﹣1）（x﹣2）﹣（x﹣1）=0， （x﹣1）（x﹣2﹣1）=0， x﹣1=0或x﹣2﹣1=0， 所以x1=1，x2=3． 故答案為x1=1，x2=3． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元二次方程﹣因式分解法：就是先把方程的右邊化為0，再把左邊通過因式分解化為兩個(gè)一次因式的積的形式，那么這兩個(gè)因式的值就都有可能為0，這就能得到兩個(gè)一元一次方程的解，這樣也就把原方程進(jìn)行了降次，把解一元二次方程轉(zhuǎn)化為解一元一次方程的問題了（數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想）．也考查了配方法解一元二次方程． 　 23．如圖所示，小華從一個(gè)圓形場(chǎng)地的A點(diǎn)出發(fā)，沿著與半徑OA夾角為α的方向行走，走到場(chǎng)地邊緣B后，再沿著與半徑OB夾角為α的方向折向行走．按照這種方式，小華第五次走到場(chǎng)地邊緣時(shí)處于弧AB上，此時(shí)∠AOE=56，則α的度數(shù)是　52?。? 【考點(diǎn)】圓心角、弧、弦的關(guān)系；三角形內(nèi)角和定理． 【分析】要求α的度數(shù)，只需求出∠AOB的度數(shù)，根據(jù)已知條件，易證∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE，所以可以求出α的度數(shù)． 【解答】解：連接OC、OD， ∵∠BAO=∠CBO=α， ∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE， ∵∠AOE=56， ∴∠AOB==76， ∴α==52． 故答案為：52． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了與圓有關(guān)的性質(zhì)，在圓中，半徑處處相等，由半徑和弦組成的三角形是等腰三角形，證明題目時(shí)要注意應(yīng)用． 　 24．設(shè)△ABC的面積為1，如圖①，將邊BC、AC分別2等分，BE1、AD1相交于點(diǎn)O，△AOB的面積記為S1；如圖②將邊BC、AC分別3等分，BE1、AD1相交于點(diǎn)O，△AOB的面積記為S2；…，依此類推，則Sn可表示為　?。ㄓ煤琻的代數(shù)式表示，其中n為正整數(shù)） 【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)． 【專題】壓軸題；規(guī)律型． 【分析】連接D1E1，設(shè)AD1、BE1交于點(diǎn)M，先求出S△ABE1=，再根據(jù)==得出S△ABM：S△ABE1=（n+1）：（2n+1），最后根據(jù)S△ABM： =（n+1）：（2n+1），即可求出Sn． 【解答】解：如圖，連接D1E1，設(shè)AD1、BE1交于點(diǎn)M， ∵AE1：AC=1：（n+1）， ∴S△ABE1：S△ABC=1：（n+1）， ∴S△ABE1=， ∵==， ∴=， ∴S△ABM：S△ABE1=（n+1）：（2n+1）， ∴S△ABM： =（n+1）：（2n+1）， ∴Sn=． 故答案為：． 【點(diǎn)評(píng)】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，用到的知識(shí)點(diǎn)是相似三角形的判定與性質(zhì)、平行線分線段成比例定理、三角形的面積，關(guān)鍵是根據(jù)題意作出輔助線，得出相似三角形． 　 三、解答題（25題8分，26-29每小題8分，共48分） 25．如圖，已知：AP2=AQ?AB，且∠ABP=∠C，試說明△QPB∽△PBC． 【考點(diǎn)】相似三角形的判定． 【專題】證明題． 【分析】首先利用相似三角形的判定得出△APQ∽△ABP，進(jìn)而得出∠APB=∠AQP，利用兩角相等得出△QPB∽△PBC． 【解答】證明：∵AP2=AQ?AB， ∴=， ∵∠A=∠A， ∴△APQ∽△ABP， ∴∠APB=∠AQP， 又∵∠ABP=∠C， ∴△QPB∽△PBC． 【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，利用已知得出△APQ∽△ABP得出∠APB=∠AQP是解題關(guān)鍵． 　 26． 2015年4月25日14時(shí)11分，尼泊爾發(fā)生8.1級(jí)地震，震源深度20千米．中國(guó)救援隊(duì)火速趕往災(zāi)區(qū)救援，探測(cè)出某建筑物廢墟下方點(diǎn)C處有生命跡象．在廢墟一側(cè)某面上選兩探測(cè)點(diǎn)A、B，AB相距2米，探測(cè)線與該面的夾角分別是30和45（如圖）．試確定生命所在點(diǎn)C與探測(cè)面的距離．（參考數(shù)據(jù)≈1.41，≈1.73） 【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用． 【分析】首先過C作CD⊥AB，設(shè)CD=x米，則DB=CD=x米，AD=CD=x米，再根據(jù)AB相距2米可得方程x﹣x=2，再解即可． 【解答】解：過C作CD⊥AB， 設(shè)CD=x米， ∵∠ABE=45， ∴∠CBD=45， ∴DB=CD=x米， ∵∠CAD=30， ∴AD=CD=x米， ∵AB相距2米， ∴x﹣x=2， 解得：x=+1≈2.73，． 答：命所在點(diǎn)C與探測(cè)面的距離2.73米． 【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，關(guān)鍵是正確分析出CD、AD、BD的關(guān)系． 　 27．為滿足市場(chǎng)需求，新生活超市在端午節(jié)前夕購(gòu)進(jìn)價(jià)格為3元/個(gè)的某品牌粽子，根據(jù)市場(chǎng)預(yù)測(cè)，該品牌粽子每個(gè)售價(jià)4元時(shí)，每天能出售500個(gè)，并且售價(jià)每上漲0.1元，其銷售量將減少10個(gè)，為了維護(hù)消費(fèi)者利益，物價(jià)部門規(guī)定，該品牌粽子售價(jià)不能超過進(jìn)價(jià)的200%，請(qǐng)你利用所學(xué)知識(shí)幫助超市給該品牌粽子定價(jià)，使超市每天的銷售利潤(rùn)為800元． 【考點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用． 【專題】銷售問題． 【分析】設(shè)每個(gè)粽子的定價(jià)為x元，由于每天的利潤(rùn)為800元，根據(jù)利潤(rùn)=（定價(jià)﹣進(jìn)價(jià)）銷售量，列出方程求解即可． 【解答】解：設(shè)每個(gè)粽子的定價(jià)為x元時(shí)，每天的利潤(rùn)為800元． 根據(jù)題意，得（x﹣3）（500﹣10）=800， 解得x1=7，x2=5． ∵售價(jià)不能超過進(jìn)價(jià)的200%， ∴x≤3200%．即x≤6． ∴x=5． 答：每個(gè)粽子的定價(jià)為5元時(shí)，每天的利潤(rùn)為800元． 【點(diǎn)評(píng)】考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系，列出方程，再求解． 　 28．如圖，等腰三角形ABC中，AC=BC=10，AB=12，以BC為直徑作⊙O交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)G，DF⊥AC，垂足為F，交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E． （1）求證：直線EF是⊙O的切線； （2）求cos∠E的值． 【考點(diǎn)】切線的判定；勾股定理． 【專題】證明題． 【分析】（1）求證直線EF是⊙O的切線，只要連接OD證明OD⊥EF即可； （2）根據(jù)∠E=∠CBG，可以把求cos∠E的值得問題轉(zhuǎn)化為求cos∠CBG，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求Rt△BCG中，兩邊的比的問題． 【解答】（1）證明：如圖， 方法1：連接OD、CD． ∵BC是直徑， ∴CD⊥AB． ∵AC=BC． ∴D是AB的中點(diǎn)． ∵O為CB的中點(diǎn)， ∴OD∥AC． ∵DF⊥AC， ∴OD⊥EF． ∴EF是O的切線． 方法2：∵AC=BC， ∴∠A=∠ABC， ∵OB=OD， ∴∠DBO=∠BDO， ∵∠A+∠ADF=90 ∴∠EDB+∠BDO=∠A+∠ADF=90． 即∠EDO=90， ∴OD⊥ED ∴EF是O的切線． （2）解：連BG． ∵BC是直徑， ∴∠BDC=90． ∴CD==8． ∵AB?CD=2S△ABC=AC?BG， ∴BG===． ∴CG==． ∵BG⊥AC，DF⊥AC， ∴BG∥EF． ∴∠E=∠CBG， ∴cos∠E=cos∠CBG==． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是切線的判定，要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點(diǎn)，連接圓心和這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可． 　 29．在Rt△ABC中，∠BAC=90，過點(diǎn)B的直線MN∥AC，D為BC邊上一點(diǎn)，連接AD，作DE⊥AD交MN于點(diǎn)E，連接AE． （1）如圖①，當(dāng)∠ABC=45時(shí)，求證：AD=DE； （2）如圖②，當(dāng)∠ABC=30時(shí)，線段AD與DE有何數(shù)量關(guān)系？并請(qǐng)說明理由； （3）當(dāng)∠ABC=α?xí)r，請(qǐng)直接寫出線段AD與DE的數(shù)量關(guān)系．（用含α的三角函數(shù)表示） 【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)． 【專題】壓軸題． 【分析】（1）首先過點(diǎn)D作DF⊥BC，交AB于點(diǎn)F，得出∠BDE=∠ADF，以及∠EBD=∠AFD，再得出△BDE≌△FDA（ASA），求出即可； （2）首先過點(diǎn)D作DG⊥BC，交AB于點(diǎn)G，進(jìn)而得出∠EBD=∠AGD，證出△BDE∽△GDA即可得出答案； （3）首先過點(diǎn)D作DG⊥BC，交AB于點(diǎn)G，進(jìn)而得出∠EBD=∠AGD，證出△BDE∽△GDA即可得出答案． 【解答】（1）證明：如圖1，過點(diǎn)D作DF⊥BC，交AB于點(diǎn)F， 則∠BDE+∠FDE=90， ∵DE⊥AD， ∴∠FDE+∠ADF=90， ∴∠BDE=∠ADF， ∵∠BAC=90，∠ABC=45， ∴∠C=45， ∵M(jìn)N∥AC， ∴∠EBD=180﹣∠C=135， ∵∠BFD=45，DF⊥BC， ∴∠BFD=45，BD=DF， ∴∠AFD=135， ∴∠EBD=∠AFD， 在△BDE和△FDA中 ， ∴△BDE≌△FDA（ASA）， ∴AD=DE； （2）解：DE=AD， 理由：如圖2，過點(diǎn)D作DG⊥BC，交AB于點(diǎn)G， 則∠BDE+∠GDE=90， ∵DE⊥AD， ∴∠GDE+∠ADG=90， ∴∠BDE=∠ADG， ∵∠BAC=90，∠ABC=30， ∴∠C=60， ∵M(jìn)N∥AC， ∴∠EBD=180﹣∠C=120， ∵∠ABC=30，DG⊥BC， ∴∠BGD=60， ∴∠AGD=120， ∴∠EBD=∠AGD， ∴△BDE∽△GDA， ∴=， 在Rt△BDG中， =tan30=， ∴DE=AD； （3）AD=DE?tanα； 理由：如圖2，∠BDE+∠GDE=90， ∵DE⊥AD， ∴∠GDE+∠ADG=90， ∴∠BDE=∠ADG， ∵∠EBD=90+α，∠AGD=90+α， ∴∠EBD=∠AGD， ∴△EBD∽△AGD， ∴=， 在Rt△BDG中， =tanα，則=tanα， ∴AD=DE?tanα． 【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)，得出△EBD∽△AGD是解題關(guān)鍵．