(全國通用)2020版高考數(shù)學二輪復習 專題提分教程 高難拉分攻堅特訓(三)理

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1、高難拉分攻堅特訓(三) 1.若函數(shù)f(x)=ax-x2-ln x存在極值,且這些極值的和不小于4+ln 2,則a的取值范圍為(  ) A.[2,+∞) B.[2,+∞) C.[2,+∞) D.[4,+∞) 答案 C 解析 f′(x)=a-2x-=-,因為f(x)存在極值,所以f′(x)=0在(0,+∞)上有根,即2x2-ax+1=0在(0,+∞)上有根,所以Δ=a2-8≥0,顯然當Δ=0時,f(x)無極值,不符合題意,所以Δ=a2-8>0,即a>2或a<-2.記方程2x2-ax+1=0的兩根為x1,x2,由根與系數(shù)的關系得x1x2=,x1+x2=,易知a>0,則f(x1),f

2、(x2)為f(x)的極值,所以f(x1)+f(x2)=(ax1-x-ln x1)+(ax2-x-ln x2)=a(x1+x2)-(x+x)-(ln x1+ln x2)=-+ln 2≥4+ln 2,所以a≥2.綜上,a的取值范圍為[2,+∞),選C. 2.A,B為單位圓(圓心為O)上的點,O到弦AB的距離為,C是劣弧 (包含端點)上一動點,若=λ+μ(λ,μ∈R),則λ+μ的取值范圍為________. 答案  解析 如圖,以圓心O為坐標原點建立直角坐標系,設A,B兩點在x軸上方且線段AB與y軸垂直,∵A,B為單位圓(圓心為O)上的點,O到弦AB的距離為,∴點A,點B,∴=,=,即λ=,μ

3、=,∴=λ+μ=,又∵C是劣弧 (包含端點)上一動點,設點C坐標為(x,y),則∵==(x,y),∴≤y=≤1, 解得1≤λ+μ≤,故λ+μ的取值范圍為. 3.已知圓C:x2+y2-2x=0,圓P在y軸的右側且與y軸相切,與圓C外切. (1)求圓心P的軌跡Γ的方程; (2)過點M(2,0),且斜率為k(k≠0)的直線l與Γ交于A,B兩點,點N與點M關于y軸對稱,記直線AN,BN的斜率分別為k1,k2,是否存在常數(shù)m,使得+-為定值?若存在,求出該常數(shù)m與定值;若不存在,請說明理由. 解 (1)圓C的方程可化為(x-1)2+y2=1, 則圓心C(1,0),半徑r=1. 設圓心P

4、的坐標為(x,y)(x>0),圓P的半徑為R, 由題意可得 所以|PC|=x+1,即=x+1,整理得y2=4x. 所以圓心P的軌跡Γ的方程為y2=4x(x>0). (2)由已知,直線l的方程為y=k(x-2),不妨設t=, 則直線l的方程為y=(x-2),即x=ty+2. 聯(lián)立,得 消去x,得y2-4ty-8=0. 設A(x1,y1),B(x2,y2),則 因為點M(2,0)與點N關于y軸對稱,所以N(-2,0), 故k1=,所以===t+, 同理,得=t+, 所以+-=2+2- =2t2+8t×+16×-mt2 =2t2+8t×+16×-mt2 =2t2+8t×

5、+16×-mt2 =2t2+4-mt2=(2-m)t2+4, 要使該式為定值,則需2-m=0,即m=2,此時定值為4. 所以存在常數(shù)m=2,使得+-為定值,且定值為4. 4.已知函數(shù)f(x)=x-a(ln x)2,a∈R. (1)當a=1,x>1時,試比較f(x)與1的大小,并說明理由; (2)若f(x)有極大值,求實數(shù)a的取值范圍; (3)若f(x)在x=x0處有極大值,證明:11時,f(x)=x-(ln x)2,x>1. f′(x)=1-2(ln x)·=. 令g(x)=x-2ln x,x>1,則g′(x)=1-=, 當x∈(

6、1,2)時,g′(x)<0,g(x)單調遞減; 當x∈(2,+∞)時,g′(x)>0,g(x)單調遞增. ∴g(x)≥g(2)=2-2ln 2>0,即f′(x)>0, ∴f(x)在(1,+∞)上單調遞增. ∴f(x)>f(1)=1. 故當a=1,x>1時,f(x)>1. (2)∵f′(x)=1-=(x>0), 令h(x)=x-2aln x(x>0),則h′(x)=1-=, ①當a=0時,f(x)=x無極大值. ∴當x∈(0,x1)時,f′(x)<0,f(x)單調遞減, 當x∈(x1,+∞)時,f′(x)>0,f(x)單調遞增, ∴f(x)在x=x1處有極小值,f(x)

7、無極大值. ③當a>0時,h(x)在(0,2a)上單調遞減,h(x)在(2a,+∞)上單調遞增, ∵f(x)有極大值, ∴h(2a)=2a-2aln (2a)=2a[1-ln (2a)]<0,即a>, 又h(1)=1>0,h(e)=e-2a<0, ∴?x0∈(1,e),使得h(x0)=x0-2aln x0=0,即aln x0=. ∴當x∈(0,x0)時,f′(x)>0,f(x)單調遞增; 當x∈(x0,e)時,f′(x)<0,f(x)單調遞減, ∴f(x)有極大值,綜上所述,a>. (3)證明:由(2)可知aln x0=, ∴f(x0)=x0-a(ln x0)2=x0-(10, ∴p(x)在(1,e)上單調遞增, ∴p(1)

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