（江蘇專用）2020版高考數(shù)學二輪復習 專題一 集合、常用邏輯用語、不等式、函數(shù)與導數(shù) 第4講 不等式練習 文 蘇教版

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1、第4講　不等式 1．函數(shù)f(x)＝lg(2＋x－x2)的定義域為__________． [解析] ?－10，則函數(shù)y＝的最小值為________． [解析] 因為t>0，所以y＝＝t＋－4≥2－4＝－2，且在t＝1時取等號． [答案] －2 3．(2019·高三第一次調(diào)研測試)若實數(shù)x，y滿足x≤y≤2x＋3，則x＋y的最小值為______． [解析] 作出可行域如圖中陰影部分所示，令z＝x＋y，數(shù)形結合易知當直線z＝x＋y過點A(－3，－3)時，z取得

2、最小值，zmin＝－6． [答案] －6 4．(2019·蘇北四市高三質量檢測)設f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當x＞0時，f(x)＝2x－3，則不等式f(x)≤－5 的解集為________． [解析] 因為當x＞0時，f(x)＝2x－3， 所以當x＜0，即－x＞0時，f(－x)＝2－x－3，因為函數(shù)f(x) 是定義在R上的奇函數(shù)， 所以f(－x)＝2－x－3＝－f(x)， 所以f(x)＝－2－x＋3． 當x＞0時，不等式f(x)≤－5等價為2x－3≤－5， 即2x≤－2，無解，故x＞0時，不等式不成立； 當x＜0時，不等式f(x)≤－5等價為－2－x＋3≤－5， 即

3、2－x≥8， 得x≤－3； 當x＝0時，f(0)＝0，不等式f(x)≤－5不成立． 綜上，不等式f(x)≤－5的解集為(－∞，－3]． [答案] (－∞，－3] 5．某公司一年購買某種貨物600噸，每次購買x噸，運費為6萬元/次，一年的總存儲費用為4x萬元．要使一年的總運費與總存儲費用之和最小，則x的值是________． [解析] 一年購買次，則總運費與總存儲費用之和為×6＋4x＝4≥8＝240，當且僅當x＝30時取等號，故總運費與總存儲費用之和最小時x的值是30． [答案] 30 6．(2019·蘇北三市高三模擬)已知對于任意的x∈(－∞，1)∪(5，＋∞)，都有x2－2(

4、a－2)x＋a＞0，則實數(shù)a的取值范圍是________． [解析] 記f(x)＝x2－2(a－2)x＋a，令f(x)＝0，由題意得，Δ＝4(a－2)2－4a＜0或所以1＜a＜4或4≤a≤5， 即實數(shù)a的取值范圍是(1，5]． [答案] (1，5] 7．(2019·揚州市第一學期期末檢測)已知正實數(shù)x，y滿足x＋4y－xy＝0，若x＋y≥m恒成立，則實數(shù)m的取值范圍為______． [解析] x＋4y－xy＝0，即x＋4y＝xy，等式兩邊同時除以xy，得＋＝1，由基本不等式可得x＋y＝(x＋y)·＝＋＋5≥2＋5＝9，當且僅當＝，即x＝2y＝6時，等號成立，所以x＋y的最小值為9，因

5、為m≤9． [答案] m≤9 8．在R上定義運算：x*y＝x(1－y)，若不等式(x－a)*(x＋a)≤1對任意的x恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是________． [解析] 由于(x－a)*(x＋a)＝(x－a)(1－x－a)，則不等式(x－a)*(x＋a)≤1對任意的x恒成立，即x2－x－a2＋a＋1≥0恒成立，所以a2－a－1≤x2－x恒成立，又x2－x＝－≥－，則a2－a－1≤－，解得－≤a≤． [答案] 9．記min{a，b}為a，b兩數(shù)的最小值．當正數(shù)x，y變化時，令t＝min，則t的最大值為______． [解析] 因為x＞0，y＞0，所以問題轉化為t2≤(2x＋y)

6、·＝≤＝＝2，當且僅當x＝y(tǒng)時等號成立，所以0＜t≤，所以t的最大值為． [答案] 10．(2019·寧波統(tǒng)考)已知函數(shù)f(x)＝loga(x2－a|x|＋3)(a>0，a≠1)．若對于－1≤x10，a≠1) 設g(x)＝x2－ax＋3， 由題意得：或 則2≤a<4或0

7、數(shù)y＝x(a－2x)的最大值； (2)求y＝－x的最小值． [解] (1)因為x＞0，a＞2x， 所以y＝x(a－2x)＝×2x(a－2x) ≤＝， 當且僅當x＝時取等號，故函數(shù)的最大值為． (2)y＝＋－≥2 －＝－． 當且僅當x＝時取等號． 故y＝－x的最小值為－． 12．已知關于x的不等式>0． (1)當a＝2時，求此不等式的解集； (2)當a>－2時，求此不等式的解集． [解] (1)當a＝2時，不等式可化為>0， 所以不等式的解集為{x|－22}． (2)當a>－2時，不等式可化為>0， 當－21}

8、； 當a＝1時，解集為{x|x>－2且x≠1}； 當a>1時，解集為{x|－2a}． 13．(2019·鹽城市高三第三次模擬考試)如圖，某人承包了一塊矩形土地ABCD用來種植草莓，其中AB＝99 m，AD＝49．5 m．現(xiàn)計劃建造如圖所示的半圓柱型塑料薄膜大棚n(n∈N*)個，每個半圓柱型大棚的兩半圓形底面與側面都需蒙上塑料薄膜(接頭處忽略不計)，塑料薄膜的價格為每平方米10元；另外，還需在每兩個大棚之間留下1 m寬的空地用于建造排水溝與行走小路(如圖中EF＝1 m)，這部分的建設造價為每平方米31．4元． (1)當n＝20時，求蒙一個大棚所需塑料薄膜的面積；(結果保

9、留π) (2)試確定大棚的個數(shù)，使得上述兩項費用的和最低．(計算中π取3．14) [解] (1)設每個半圓柱型大棚的底面半徑為r． 當n＝20時，共有19塊空地，所以r＝＝2(m)， 所以每個大棚的表面積(不含與地面接觸的面的面積)為 πr2＋πr×AD＝π×22＋2π×49．5＝103π(m2)， 即蒙一個大棚所需塑料薄膜的面積為103π m2． (2)設兩項費用的和為f(n)． 因為r＝＝， 所以每個大棚的表面積(不含與地面接觸的面的面積)為 S＝πr2＋πr×AD＝π×＋π×49．5×， 則f(n)＝10nS＋31．4×1×49．5(n－1) ＝10n[π×＋π×

10、49．5×]＋31．4×1×49．5(n－1) ＝31．4×[＋49．5×＋49．5(n－1)] ＝×[＋99(100－n)＋198(n－1)] ＝×(＋100n＋9 502) ＝×[100×＋9 502]， 因為＋n≥2＝20，當且僅當n＝10時等號成立， 所以，當且僅當n＝10時，f(n)取得最小值， 即當大棚的個數(shù)為10個時，上述兩項費用的和最低． 14．設m是常數(shù)，集合M＝{m|m>1}，f(x)＝log3(x2－4mx＋4m2＋m＋)． (1)證明：當m∈M時，f(x)對所有的實數(shù)x都有意義； (2)當m∈M時，求函數(shù)f(x)的最小值； (3)求證：對每個m∈M，函數(shù)f(x)的最小值都不小于1． [解] (1)證明：f(x)＝log3， 當m∈M，即m>1時，(x－2m)2＋m＋>0恒成立，故f(x)的定義域為R． (2)令g(x)＝x2－4mx＋4m2＋m＋，因為y＝log3g(x)是增函數(shù)，所以當g(x)最小時f(x)最小， 而g(x)＝(x－2m)2＋m＋， 顯然當x＝2m時，g(x)的最小值為m＋． 此時f(x)min＝log3． (3)證明：m∈M時，m＋＝m－1＋＋1 ≥2＋1＝3， 所以log3≥log33＝1，結論成立． - 6 -