2020屆高考數(shù)學(xué) 專題二十 幾何概型精準(zhǔn)培優(yōu)專練 理

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1、培優(yōu)點二十 幾何概型 一、長度類幾何概型 例1：若是從區(qū)間中任取的一個實數(shù)，則函數(shù)無零點的概率是（） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】方程無實解，則，即， 又，∴，其構(gòu)成的區(qū)域長度為， 從區(qū)間中任取一個實數(shù)構(gòu)成的區(qū)域長度為， 則方程無實解的概率是．故選B． 二、面積類幾何概型 例2：（1）圖形類幾何概型 例題2-1：如圖，在正方形圍欄內(nèi)均勻撒米粒，一只小雞在其中隨意啄食，此刻小雞正在正方形的內(nèi)切圓中的概率是（） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】設(shè)正方形的邊長為，則圓的半徑為， 由幾何概型的概率公式得，故答案為B． （

2、2）線性規(guī)劃類幾何概型 例2-2：小明一家訂購的晚報會在下午之間的任何一個時間隨機地被送到，小明一家人在下午之間的任何一個時間隨機地開始晚餐． ①你認(rèn)為晚報在晚餐開始之前被送到和晚餐開始之后被送到哪一種可能性更大? ②晚報在晚餐開始之前被送到的概率是多少？ 【答案】①見解析；②． 【解析】建立如圖所示的坐標(biāo)系． 圖中直線，，，圍成一個正方形區(qū)域， 該試驗的所有結(jié)果與區(qū)域內(nèi)的點一一對應(yīng)， 由題意知，每次結(jié)果出現(xiàn)的可能性是相同的，是幾何概型． ①作射線．晚報在晚餐前送達(dá)即， 因此圖中陰影部分表示事件“晚報在晚餐前送達(dá)”． 而中空白部分則表示事件“晚報在晚餐開始后送到”．

3、 由圖知事件發(fā)生的可能性大． ②易求的面積為，而的面積為，由幾何概型的概率公式可得． （3）利用積分求面積 例2-3：如圖，矩形的四個頂點依次為，，，， 記線段、以及的圖象圍成的區(qū)域（圖中陰影部分）為，若向矩形內(nèi)任意投一點，則點落在區(qū)域內(nèi)的概率為（） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】陰影部分的面積是，矩形的面積是， ∴點落在區(qū)域內(nèi)的概率，故選D． 三、體積類幾何概型 例3：已知，，，都在球面上，且在所在平面外，，，，，在球面內(nèi)任取一點，則該點落在三棱錐內(nèi)的概率為． 【答案】 【解析】如圖，在三角形中，由已知可得，，可得， 設(shè)三角形的

4、外接圓的半徑為，由，可得． 再設(shè)的外心為，過作底面的垂線，且使，連接， 則為三棱錐的外接球的半徑， 則球的體積為，， 則該點落在三棱錐內(nèi)的概率為． 對點增分集訓(xùn) 一、選擇題 1．已知地鐵列車每分鐘一班，在車站停分鐘．則乘客到達(dá)站臺立即乘上車的概率是（） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由于地鐵列車每分鐘一班，列車在車站停分鐘， 乘客到達(dá)站臺立即乘上車的概率為，故選A． 2．下圖是年月中國成功主辦的國際數(shù)學(xué)家大會的會標(biāo)，是我們古代數(shù)學(xué)家趙爽為證明勾股定理而繪制的，在我國最早的數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中有詳細(xì)的記載．若圖中大正方形的邊長為，小正方形

5、的邊長為，現(xiàn)作出小正方形的內(nèi)切圓，向大正方形所在區(qū)域模擬隨機投擲個點，有個點落在中間的圓內(nèi)，由此可估計的所似值為（） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】大正方形的邊長為，總面積為，小正方形的邊長為，其內(nèi)切圓的半徑為，面積為； 則，解得．故選A． 3．已知橢圓的面積公式為，某同學(xué)通過下面的隨機模擬實驗估計的值過橢圓的左右焦點，分別作與軸垂直的直線與橢圓交于，，，四點，隨機在橢圓內(nèi)撒粒豆子，設(shè)落入四邊形內(nèi)的豆子數(shù)為，則圓周率的值約為（） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根據(jù)題意得到，， 將方程中的，，代入等式中得到． 4．某路口人行橫道的信號燈

6、為紅燈和綠燈交替出現(xiàn)，紅燈持續(xù)時間為秒．若一名行人來到該路口遇到 紅燈，則至少需要等待秒才出現(xiàn)綠燈的概率為（） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵紅燈持續(xù)時間為秒，至少需要等待秒才出現(xiàn)綠燈， ∴一名行人前秒來到該路口遇到紅燈， ∴至少需要等待秒才出現(xiàn)綠燈的概率為．故選B． 5．分別以正方形的四條邊為直徑畫半圓，重疊部分如圖中陰影區(qū)域所示，若向該正方形內(nèi)隨機投一點，則該點落在陰影區(qū)域的概率為（） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】設(shè)正方形的邊長為，那么圖中陰影區(qū)域的面積， 而正方形的面積，所以若向該正方形內(nèi)隨機投一點， 則該點落在陰影區(qū)域的概

7、率． 6．路公共汽車每分鐘發(fā)車一次，小明到乘車點的時刻是隨機的，則他候車時間不超過兩分鐘的概率 是（） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵公共汽車站每隔分鐘有一輛車通過， 當(dāng)乘客在上一輛車開走后分鐘內(nèi)到達(dá)候車時間會超過分鐘， ∴乘客候車時間不超過分鐘的概率為． 7．從區(qū)間上任意選取一個實數(shù)，則雙曲線的離心率大于的概率為（） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由題意得，，， ∴，解得，即，∴． 8．如圖，四個相同的直角三角形與中間的小正方形拼成一個大正方形，已知小正方形的外接圓恰好是大正方形的內(nèi)切圓，現(xiàn)在大正方形內(nèi)隨機取一點，則此點取自陰影部分的概

8、率為（） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】設(shè)大正方形的邊長為，其內(nèi)切圓的直徑為，則小正方形的邊長為， 所以大正方形的面積為，圓的面積為，小正方形的面積為， 則陰影部分的面積為， 所以在大正方形內(nèi)隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率． 9．歐陽修《賣炭翁》中寫道：（翁）乃取一葫蘆置于地，以錢覆其口，徐以杓酌油瀝之，自錢孔入，而錢不濕．可見“行行出狀元”，賣油翁的技藝讓人嘆為觀止．若銅錢是直徑為的圓，中間的正方形孔，若你隨意向錢上滴一滴油，則油（油滴大小忽略不計）正好落入圓孔中的概率為（） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由題意得，正方形

9、的面積，銅錢的面積， 則油正好落入圓孔中的概率． 二、填空題 10．已知是所在平面內(nèi)一點，，現(xiàn)將一粒黃豆隨機撒在內(nèi)，則黃豆落在內(nèi)的概率是． 【答案】 【解析】以，為鄰邊作平行四邊形，則， 因為，所以，得， 由此可得，是邊上的中線的中點，點到的距離等于到距離的， 所以，所以將一粒黃豆隨機撒在內(nèi)，黃豆落在內(nèi)的概率為． 11．下列關(guān)于概率和統(tǒng)計的幾種說法： ①名工人某天生產(chǎn)同一種零件，生產(chǎn)的件數(shù)分別是，設(shè)其平均數(shù)為，中位數(shù)為，眾數(shù)為，則，，的大小關(guān)系為； ②樣本的標(biāo)準(zhǔn)差是； ③在面積為的內(nèi)任選一點，則隨機事件“的面積小于”的概率為； ④從寫有的十張卡片中，有放回地每

10、次抽一張，連抽兩次，則兩張卡片上的數(shù)字各不相同的 概率是． 其中正確說法的序號有． 【答案】②④ 【解析】對于①，由題意原數(shù)據(jù)為，故可得該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，中位數(shù)，眾數(shù)為，所以，故①不正確； 對于②，由題意得樣本的平均數(shù)為，故方差為， 所以標(biāo)準(zhǔn)差為，故②正確； 對于③，如圖，作出的高，當(dāng)?shù)拿娣e等于時，，要使的面積小于，則點應(yīng)位于圖中的陰影部分內(nèi)，由題意可得，故陰影部分的面積， 所以由幾何概型概率公式可得“的面積小于”的概率為，故③不正確； 對于④，由題意得所有的基本事件總數(shù)為個，事件“有放回地每次抽一張，連抽兩次，則兩張卡片上的數(shù)字各不相同”包含的基本事件有個，根據(jù)古典概型的概

11、率公式得所求概率為，故④正確． 綜上可得②④正確． 12．已知直線過點，與圓相交于，兩點，則弦長的概率為． 【答案】 【解析】顯然直線的斜率存在，設(shè)直線方程為， 代入中得，， ∵與圓相交于，兩點，∴，∴，∴． 又當(dāng)弦長時，∵圓半徑，∴圓心到直線的距離，即，， ∴，由幾何概型知，事件：“直線與圓相交弦長”的概率． 三、解答題 13．設(shè)關(guān)于的一元二次方程． （1）若是從，，，，五個數(shù)中任取的一個數(shù)，是從，，三個數(shù)中任取的一個數(shù)，求上述方程有實根的概率； （2）若是從區(qū)間上任取的一個數(shù)，是從區(qū)間上任取的一個數(shù)，求上述方程有實根的概率． 【答案】（1）；（2）．

12、【解析】（1）由題意知本題是一個古典概型，設(shè)事件為“方程有實根”， 總的基本事件共個：，，，，，，，，，，，，，，， 其中第一個數(shù)表示的取值，第二個數(shù)表示的取值． 事件中包含個基本事件，，，，，，，，，， ∴事件發(fā)生的概率為． （2）由題意知本題是一個幾何概型， 試驗的全部結(jié)束所構(gòu)成的區(qū)域為， 滿足條件的構(gòu)成事件的區(qū)域為． ∴所求的概率是． 14．已知有一個三邊長分別為的三角形．求下面兩只螞蟻與三角形三頂點的距離均超過的概率． （1）一只螞蟻在三角形的邊上爬行； （2）一只螞蟻在三角形所在區(qū)域內(nèi)部爬行． 【答案】（1）；（2）． 【解析】記“螞蟻與三角形三

13、頂點的距離均超過”為事件． （1）根據(jù)題意，如圖中，，，，，則的周長為， 由圖分析可得，距離三角形的三個頂點的距離均超過的部分為線段、、上， 即其長度為， 則螞蟻距離三角形的三個頂點的距離均超過的概率螞蟻在三角形的邊上爬行，其測度是長度， 所求概率． （2）螞蟻在三角形所在區(qū)域內(nèi)部爬行，其測度是面積，三角形的面積為， 離三個頂點距離都不大于的地方的面積為， 所以其恰在離三個頂點距離都大于的地方的概率為所求概率． 15．已知圓，直線． （1）圓的圓心到直線的距離為多少？ （2）圓上任意一點到直線的距離小于的概率為多少？ 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）由

14、題意知，圓的圓心是，圓心到直線的距離是． （2）如圖，圓心到直線的距離是，到直線的距離是， 則劣弧所對應(yīng)的弧上的點到直線的距離都小于， 優(yōu)弧所對應(yīng)的弧上的點到直線的距離都大于， ∵，，∴，，∴， 根據(jù)幾何概型的概率公式得到． 16．某射擊運動員進行射擊訓(xùn)練，前三次射擊在靶上的著彈點、、剛好是邊長為的等邊三角形的三個頂點． （1）第四次射擊時，該運動員瞄準(zhǔn)區(qū)域射擊（不會打到外），則此次射擊的著彈點距、、的距離都超過的概率為多少？（彈孔大小忽略不計） （2）該運動員前三次射擊的成績（環(huán)數(shù)）都在區(qū)間內(nèi)，調(diào)整一下后，又連打三槍，其成績（環(huán)數(shù)）都在區(qū)間內(nèi)．現(xiàn)從這次射擊成績中隨機抽取兩次射擊的成績（記為和）進行技術(shù)分析．求事件“”的概率． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）因為著彈點若與、、的距離都超過， 則著彈點就不能落在分別以、、為中心，半徑為的三個扇形區(qū)域內(nèi)， 只能落在圖中陰影部分內(nèi)． 因為， 圖中陰影部分的面積為， 故所求概率為． （2）前三次射擊成績依次記為，，，后三次成績依次記為，，， 從這次射擊成績中隨機抽取兩個，基本事件是：，，，，，，，，，，，，，，，共個， 其中可使發(fā)生的是后個基本事件．故． 17