高中數(shù)學 學業(yè)分層測評11 蘇教版必修2

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學業(yè)分層測評(十一) (建議用時：45分鐘) [學業(yè)達標] 一、填空題 1．(2016蘇州高二檢測)若正三棱錐的底面邊長為，側棱長為1，則此正三棱錐的體積為__________． 【解析】　設此正三棱錐的高為h，則h2＋2＝1，所以h2＝，h＝，故此三棱錐的體積V＝()2＝. 【答案】　 2．一個正四棱臺形油槽可以裝煤油190 L，假如它的上、下底邊長分別等于60 cm和40 cm，它的深度是________ cm. 【解析】　設深度為h，則V＝(402＋4060＋602)， 即190 000＝7 600，所以h＝75. 【答案】　75 3．如圖1311，已知底面半徑為r的圓柱被一個平面所截，剩下部分母線長的最大值為a，最小值為b，那么圓柱被截后剩下部分的體積是________. 【導學號：60420042】 圖1311 【解析】　將該幾何體補上一個同樣的幾何體，變?yōu)橐粋€高為a＋b的圓柱，則所求幾何體的體積為V＝＝πr2(a＋b)＝. 【答案】　 4．(2015江蘇高考)現(xiàn)有橡皮泥制作的底面半徑為5、高為4的圓錐和底面半徑為2，高為8的圓柱各一個，若將它們重新制作成總體積與高均保持不變，但底面半徑相同的新的圓錐和圓柱各一個，則新的底面半徑為______． 【解析】　設新的底面半徑為r，由題意得 π524＋π228＝πr24＋πr28， ∴r2＝7，∴r＝. 【答案】　 5．(2015山東高考改編)在梯形ABCD中，∠ABC＝，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.將梯形ABCD繞AD所在的直線旋轉一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為________． 【解析】　過點C作CE垂直AD所在直線于點E，梯形ABCD繞AD所在直線旋轉一周而形成的旋轉體是由以線段AB的長為底面圓半徑，線段BC為母線的圓柱挖去以線段CE的長為底面圓半徑，ED為高的圓錐，如圖所示，該幾何體的體積為V＝V圓柱－V圓錐＝πAB2BC－πCE2DE＝π122－π121＝. 【答案】　 6．將一銅球放入底面半徑為16 cm的圓柱形玻璃容器中，水面升高了9 cm，則這個銅球的半徑為__________cm. 【解析】　設銅球的半徑為R cm，則有πR3＝π1629，解得R＝12. 【答案】　12 7．如圖1312，在直三棱柱ABCA1B1C1中，如果AB＝AC＝，BB1＝BC＝6，E，F(xiàn)為側棱AA1上的兩點，且EF＝3，那么多面體BB1C1CEF的體積為________． 圖1312 【解析】　在△ABC中，BC邊上的高h＝＝2， V柱＝BChBB1＝626＝36， ∴VEABC＋VFA1B1C1＝V柱＝6，故VBB1C1CEF＝36－6＝30. 【答案】　30 8．如圖1313所示，在邊長為4的正方形紙片ABCD中，AC與BD相交于O，剪去△AOB，將剩余部分沿OC，OD折疊，使OA，OB重合，則以A(B)，C，D，O為頂點的四面體的體積是__________． 圖1313 【解析】　顯然，折疊后OA是該四面體的高，且OA為2，而△COD的面積為4，所以四面體的體積為. 【答案】　 二、解答題 9．如圖1314所示，A為直線y＝x上的一點，AB⊥x軸于點B，半圓的圓心O′在x軸的正半軸上，且半圓與AB，AO相切，已知△ABO繞x軸旋轉一周形成的幾何體的體積為9π，求陰影部分旋轉成的幾何體的體積． 圖1314 【解】　陰影部分繞x軸旋轉一周所得幾何體是圓錐挖去一個內(nèi)切球．其體積為V＝V圓錐－V球． 設A點坐標為(x，y)，則 解得 于是∠AOB＝30，從而OO′＝2R， 3R＝x＝3，R＝. ∴V＝9π－πR3＝9π－π()3 ＝5π. 10．直三棱柱ABCA1B1C1中，AB＝AA1，∠CAB＝. (1)證明：CB1⊥BA1； (2)已知AB＝2，BC＝，求三棱錐C1ABA1的體積． 【解】　(1)如圖，連結AB1， ∵ABCA1B1C1是直三棱柱，∠CAB＝， ∴AC⊥平面ABB1A1，故AC⊥BA1. 又∵AB＝AA1， ∴四邊形ABB1A1是正方形， ∴BA1⊥AB1，又CA∩AB1＝A， ∴BA1⊥平面CAB1，故CB1⊥BA1. (2)∵AB＝AA1＝2，BC＝， ∴AC＝A1C1＝1， 由(1)知A1C1⊥平面ABA1， ∴VC1ABA1＝S△ABA1A1C1＝21＝. [能力提升] 1．(2014山東高考)一個六棱錐的體積為2，其底面是邊長為2的正六邊形，側棱長都相等，則該六棱錐的側面積為________． 【解析】　設正六棱錐的高為h，側面的斜高為h′. 由題意，得62h＝2，∴h＝1， ∴斜高h′＝＝2，∴S側＝622＝12. 【答案】　12 2．若與球外切的圓臺的上、下底面半徑分別為r，R，則球的表面積為________． 【解析】　 法一：如圖，設球的半徑為r1，則在Rt△CDE中，DE＝2r1，CE＝R－r，DC＝R＋r.由勾股定理得4r＝(R＋r)2－(R－r)2，解得r1＝.故球的表面積為S球＝4πr＝4πRr. 法二：如圖，設球心為O，球的半徑為r1，連結OA，OB，則在Rt△AOB中，OF是斜邊AB上的高．由相似三角形的性質得OF2＝BFAF＝Rr，即r＝Rr，故r1＝，故球的表面積為S球＝4πRr. 【答案】　4πRr 3．如圖1315，在直三棱柱ABCA1B1C1中，E是AB的中點，D是AA1的中點，則三棱錐DB1C1E的體積與三棱柱ABCA1B1C1的體積之比是__________. 【導學號：60420043】 圖1315 【解析】　設C1到平面A1B的距離為h，由已知得，S△DB1E＝ABA1A，所以V三棱錐DB1C1E＝S△DB1Eh＝ABA1Ah＝ABA1Ah＝VABCA1B1C1，即V三棱錐DB1C1E∶VABCA1B1C1＝1∶4. 【答案】　1∶4 4．(2015全國卷Ⅱ)如圖1316，長方體ABCDA1B1C1D1中，AB＝16，BC＝10，AA1＝8，點E，F(xiàn)分別在A1B1，D1C1上，A1E＝D1F＝4.過點E，F(xiàn)的平面α與此長方體的面相交，交線圍成一個正方形． 圖1316 (1)在圖中畫出這個正方形(不必說明畫法和理由)； (2)求平面α把該長方體分成的兩部分體積的比值． 【解】　(1)交線圍成的正方形EHGF如圖所示． (2)如圖，作EM⊥AB，垂足為M，則AM＝A1E＝4，EB1＝12，EM＝AA1＝8. 因為四邊形EHGF為正方形，所以EH＝EF＝BC＝10. 于是MH＝＝6，AH＝10，HB＝6. 故S四邊形A1EHA＝(4＋10)8＝56， S四邊形EB1BH＝(12＋6)8＝72. 因為長方體被平面α分成兩個高為10的直棱柱， 所以其體積的比值為.