高中數(shù)學(xué) 第一講 相似三角形的判定及有關(guān)性質(zhì) 學(xué)業(yè)分層測評4 直角三角形的射影定理 新人教A版選修4-1

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【課堂新坐標(biāo)】2016-2017學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一講 相似三角形的判定及有關(guān)性質(zhì) 學(xué)業(yè)分層測評4 直角三角形的射影定理 新人教A版選修4-1 (建議用時(shí)：45分鐘) [學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)] 一、選擇題 1．如圖1332，D，E，F(xiàn)是△ABC的三邊中點(diǎn)，設(shè)△DEF的面積為，△ABC的周長為9，則△DEF的周長與△ABC的面積分別是(　　) 圖1332 A.，1　　　　 B．9,4 C.，8 D.，16 【解析】　∵D，E，F(xiàn)分別為△ABC三邊的中點(diǎn)， ∴EF綊BC，DE綊AC，DF綊AB. ∴△DFE∽△ABC，且＝，∴＝＝. 又∵l△ABC＝9，∴l(xiāng)△DEF＝. 又∵＝＝，S△DEF＝， ∴S△ABC＝1，故選A. 【答案】　A 2．如圖1333，在?ABCD中，AB＝10，AD＝6，E是AD的中點(diǎn)，在AB上取一點(diǎn)F，使△CBF∽△CDE，則BF的長是(　　) 圖1333 A．5 B．8.2 C．6.4 D．1.8 【解析】　由△CBF∽△CDE，得＝， 又點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，AB＝CD＝10，AD＝BC＝6， ∴DE＝3，即＝，∴BF＝1.8. 【答案】　D 3．如圖1334所示，D是△ABC的AB邊上一點(diǎn)，過D作DE∥BC交AC于E.已知AD∶DB＝1∶3，則△ADE與四邊形BCED的面積比為(　　) 圖1334 A．1∶3　　　 B．1∶9 C．1∶15 D．1∶16 【解析】　因?yàn)镈E∥BC，所以△ADE∽△ABC. 又因?yàn)锳D∶DB＝1∶3. 所以AD∶AB＝1∶4，其面積比為1∶16， 則所求兩部分面積比為1∶15. 【答案】　C 4．某同學(xué)自制了一個(gè)簡易的幻燈機(jī)，其工作情況如圖1335所示，幻燈片與屏幕平行，光源到幻燈片的距離是30 cm，幻燈片到屏幕的距離是1.5 m，幻燈片上小樹的高度是10 cm，則屏幕上小樹的高度是(　　) 【導(dǎo)學(xué)號：07370017】 圖1335 A．50 cm B．500 cm C．60 cm D．600 cm 【解析】　設(shè)屏幕上小樹的高度為x cm，則＝，解得x＝60(cm)． 【答案】　C 5．如圖1336，△ABC中，DE∥BC，DE分別交AB，AC于D，E，S△ADE＝2S△DCE，則＝(　　) 圖1336 A. B. C. D. 【解析】　∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC， 由S△ADE＝2S△DCE，得＝，∴＝. 【答案】　D 二、填空題 6．如圖1337，在△ABC中，D為AC邊上的中點(diǎn)，AE∥BC，ED交AB于G，交BC延長線于F，若BG∶GA＝3∶1，BC＝10，則AE的長為________． 圖1337 【解析】　∵AE∥BC，∴△BGF∽△AGE，∴＝＝， ∵D為AC中點(diǎn)，∴＝＝1，∴AE＝CF， ∴BC∶AE＝2∶1，∵BC＝10，∴AE＝5. 【答案】　5 7．如圖1338，AB與CD相交于點(diǎn)E，過E作BC的平行線與AD的延長線交于點(diǎn)P，已知∠A＝∠C，PD＝2DA＝2，則PE＝________. 圖1338 【解析】　因?yàn)镻E∥BC，所以∠C＝∠PED.又因?yàn)椤螩＝∠A，所以∠A＝∠PED.又∠P＝∠P，所以△PDE∽△PEA，則＝，即PE2＝PDPA＝23＝6，故PE＝. 【答案】　 8．(2016湛江高三調(diào)研)如圖1339，在△ABC中，已知DE∥BC，△ADE的面積是a2，梯形DBCE的面積是8a2，則＝________. 圖1339 【解析】　∵S△ADE＝a2，SDBCE＝8a2，∴S△ABC＝S△ADE＋SBDCE＝a2＋8a2＝9a2， ∴2＝＝＝，∴＝. 【答案】　 三、解答題 9．如圖1340，已知在△ABC中，D是BC邊的中點(diǎn)，且AD＝AC，DE⊥BC，DE與 AB相交于點(diǎn)E，EC與AD相交于點(diǎn)F. 圖1340 (1)求證：△ABC∽△FCD； (2)若S△FCD＝5，BC＝10，求DE的長． 【解】　(1)證明：∵DE⊥BC，D是BC的中點(diǎn)， ∴EB＝EC，∴∠B＝∠1， 又∵AD＝AC， ∴∠2＝∠ACB. ∴△ABC∽△FCD. (2)過點(diǎn)A作AM⊥BC，垂足為點(diǎn)M. ∵△ABC∽△FCD，BC＝2CD， ∴＝2＝4. 又∵S△FCD＝5，∴S△ABC＝20. ∵S△ABC＝BCAM，BC＝10， ∴20＝10AM，∴AM＝4. 又∵DE∥AM，∴＝. ∵DM＝DC＝BC＝， BM＝BD＋DM， BD＝BC＝5，∴＝， ∴DE＝. 10．如圖1341，△ABC是一塊銳角三角形余料，邊BC＝200 mm，高AD＝300 mm，要把它加工成長是寬的2倍的矩形零件，使矩形較短的邊在BC上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在AB，AC上，求這個(gè)矩形零件的邊長． 圖1341 【解】　設(shè)矩形EFGH為加工成的矩形零件，邊FG在BC上，則點(diǎn)E，H分別在AB，AC上，△ABC的高AD與邊EH相交于點(diǎn)P，設(shè)矩形的邊EH的長為x mm. ∵EH∥BC，∴△AEH∽△ABC， ∴＝，∴＝， 解得x＝ (mm)，2x＝(mm)． 答：加工成的矩形零件的邊長分別為mm和mm. [能力提升] 1．如圖1342所示，已知在△ABC中，∠C＝90，正方形DEFG內(nèi)接于△ABC，DE∥AC，EF∥BC，AC＝1，BC＝2，則AF∶FC等于(　　) 圖1342 A．1∶3　　　　 B．1∶4 C．1∶2 D．2∶3 【解析】　設(shè)正方形邊長為x，則由△AFE∽△ACB， 可得AF∶AC＝FE∶CB，即＝， 所以x＝，于是＝. 【答案】　C 2．如圖1343，AB∥EF∥CD，已知AB＝20，DC＝80，那么EF的值是(　　) 圖1343 A．10 B．12 C．16 D．18 【解析】　∵AB∥EF∥CD， ∴＝＝＝， ∴＝＝， ∴EF＝AB＝20＝16. 【答案】　C 3．在△ABC中，如圖1344所示，BC＝m，DE∥BC，DE分別交AB，AC于E，D兩點(diǎn)，且S△ADE＝S四邊形BCDE，則DE＝________. 【導(dǎo)學(xué)號：07370018】 圖1344 【解析】　∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ACB. 又∵S△ADE＋S四邊形BCDE＝S△ABC；S△ADE＝S四邊形BCDE， ∴S△ADE＝S△ABC， ∴2＝，∴2＝， ∴DE＝m. 【答案】　m 4．某生活小區(qū)的居民籌集資金1 600元，計(jì)劃在一塊上、下兩底分別為10 cm、20 cm的梯形空地上種植花木． (1)他們在△AMD和△BMC地帶上種植太陽花，單價(jià)為8元/m2，當(dāng)△AMD地帶種滿花后(如圖1345陰影部分)共花了160元，請計(jì)算種滿△BMC地帶所需的費(fèi)用； 圖1345 (2)若其余地帶要種的有玫瑰和茉莉花兩種花木可供選擇，單價(jià)分別為12元/m2和10元/m2，應(yīng)選擇種哪種花木可以剛好用完所籌集的資金？ 【解】　(1)∵四邊形ABCD是梯形，∴AD∥BC， ∴△AMD∽△CMB，∴＝2＝. ∵種植△AMD地帶花費(fèi)160元， ∴S△AMD＝＝20 (m2)，∴S△CMB＝80 (m2)． ∴△BMC地帶的花費(fèi)為808＝640(元)． (2)設(shè)△AMD，△BMC的高分別為h1，h2，梯形ABCD的高為h， ∵S△AMD＝10h1＝20，∴h1＝4(m)． 又∵＝，∴h2＝8(m)． ∴h＝h1＋h2＝12(m)． ∴S梯形ABCD＝(AD＋BC)h＝3012 ＝180 (m2)， ∴S△AMB＋S△DMC＝180－20－80＝80 (m2)． ∴160＋640＋8012＝1 760(元)， 160＋640＋8010＝1 600(元)． ∴應(yīng)種植茉莉花剛好用完所籌資金．