高中數(shù)學 章末質量評估2 新人教A版選修2-1

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第二章　圓錐曲線與方程 一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的) 1．已知拋物線的方程為y＝2ax2，且過點(1,4)，則焦點坐標為(　　) A.　　　　　　 B. C．(1,0) D．(0,1) 解析：　∵拋物線過點(1,4)，∴4＝2a，∴a＝2，∴拋物線方程為x2＝y(tǒng)，焦點坐標為. 答案：　A 2．設橢圓＋＝1(m>0，n>0)的右焦點與拋物線y2＝8x的焦點相同，離心率為，則此橢圓的方程為(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 解析：　∵y2＝8x的焦點為(2,0)， ∴＋＝1的右焦點為(2,0)， ∴m>n且c＝2. 又e＝＝，∴m＝4. ∵c2＝m2－n2＝4，∴n2＝12. ∴橢圓方程為＋＝1. 答案：　B 3．已知點A(－2,0)，B(3,0)，動點P(x，y)滿足＝x2，則點P的軌跡是(　　) A．圓 B．橢圓 C．直線 D．拋物線 解析：　依題意，＝(－2－x，－y)，＝(3－x，－y)． 又＝x2， ∴(－2－x)(3－x)＋y2＝x2，即y2＝x＋6.∴點P的軌跡是拋物線． 答案：　D 4．中心在原點，焦點在x軸上的雙曲線的一條漸近線經(jīng)過點(4，－2)，則它的離心率為(　　) A. B. C. D. 解析：　設雙曲線的標準方程為－＝1(a>0，b>0)，所以其漸近線方程為y＝x，因為點(4，－2)在漸近線上，所以＝，根據(jù)c2＝a2＋b2，可得＝，解得e2＝，e＝. 答案：　D 5．若橢圓的對稱軸為坐標軸，長軸長與短軸長的和為18，焦距為6，則橢圓的方程為(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1或＋＝1 D.＋＝1 解析：　2c＝6，∴c＝3，∴2a＋2b＝18，a2＝b2＋c2，∴ ∴橢圓方程為＋＝1或＋＝1. 答案：　C 6．已知雙曲線x2－＝1的左頂點為A1，右焦點為F2，P為雙曲線右支上一點，則的最小值為(　　) A．1 B．0 C．－2 D．－ 解析：　設點P(x0，y0)，則x－＝1，由題意得A1(－1,0)，F(xiàn)2(2，0)，則＝(－1－x0，－y0)(2－x0，－y0)＝x－x0－2＋y， 由雙曲線方程得y＝3(x－1)， 故＝4x－x0－5(x0≥1)，可得當x0＝1時，有最小值－2.故選C. 答案：　C 7．已知F是拋物線y＝x2的焦點，P是該拋物線上的動點，則線段PF中點的軌跡方程是(　　) A．x2＝2y－1 B．x2＝2y－ C．x2＝y(tǒng)－ D．x2＝2y－2 解析：　設P(x0，y0)，PF的中點為(x，y)，則y0＝x， 又F(0,1)，∴∴ 代入y0＝x得2y－1＝(2x)2， 化簡得x2＝2y－1，故選A. 答案：　A 8．拋物線y2＝4x的焦點到雙曲線x2－＝1的漸近線的距離是(　　) A. B. C．1 D. 解析：　由已知解出拋物線的焦點坐標和雙曲線的漸近線方程，利用點到直線的距離公式求解． 由題意可得拋物線的焦點坐標為(1,0)， 雙曲線的漸近線方程為x－y＝0或x＋y＝0， 則焦點到漸近線的距離d1＝＝或d2＝＝. 答案：　B 9．直線y＝x＋b與拋物線x2＝2y交于A，B兩點，O為坐標原點，且OA⊥OB，則b＝(　　) A．2 B．－2 C．1 D．－1 解析：　設A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯(lián)立方程組消去y，得x2－2x－2b＝0，所以x1＋x2＝2，x1x2＝－2b， y1y2＝(x1＋b)(x2＋b)＝x1x2＋b(x1＋x2)＋b2＝b2， 又OA⊥OB，∴x1x2＋y1y2＝0， 即b2－2b＝0，解得b＝0(舍)或b＝2. 答案：　A 10．已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的一條漸近線方程是y＝x，它的一個焦點在拋物線y2＝24x的準線上，則雙曲線的方程為(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 解析：　因為雙曲線－＝1(a>0，b>0)的一個焦點在拋物線y2＝24x的準線上，所以F(－6,0)是雙曲線的左焦點，即a2＋b2＝36，又雙曲線的一條漸近線方程是y＝x，所以＝，解得a2＝9，b2＝27，所以雙曲線的方程為－＝1，故選B. 答案：　B 11．若動圓圓心在拋物線y2＝8x上，且動圓恒與直線x＋2＝0相切，則動圓必過定點(　　) A．(4,0) B．(2,0) C．(0,2) D．(0，－2) 解析：　拋物線y2＝8x上的點到準線x＋2＝0的距離與到焦點(2,0)的距離相等，故動圓必過焦點(2,0)． 答案：　B 12．設圓錐曲線Γ的兩個焦點分別為F1，F(xiàn)2.若曲線Γ上存在點P滿足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，則曲線Γ的離心率等于(　　) A.或 B.或2 C.或2 D.或 解析：　設圓錐曲線的離心率為e，由|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，知①若圓錐曲線為橢圓，由橢圓的定義，則有e＝＝＝；②若圓錐曲線為雙曲線，由雙曲線的定義，則有e＝＝＝.綜上，所求的離心率為或.故選A. 答案：　A 二、填空題(本大題共4小題，每小題4分，共16分．請把正確答案填在題中橫線上) 13．已知橢圓C：＋＝1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，P是橢圓上一點，且滿足|PF2|＝|F1F2|，則△PF1F2的面積等于________． 解析：　由＋＝1知，a＝5，b＝4，∴c＝3，即F1(－3,0)，F(xiàn)2(3,0)，∴|PF2|＝|F1F2|＝6.又由橢圓的定義，知|PF1|＋|PF2|＝10，∴|PF1|＝10－6＝4，于是S△PF1F2＝|PF1|h＝4＝8. 答案：　8 14．已知拋物線y2＝4x，過點P(4,0)的直線與拋物線相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，則y＋y的最小值是________． 解析：　若k不存在，則y＋y＝32.若k存在，設直線AB的斜率為k，當k＝0時，直線AB的方程為y＝0，不合題意，故k≠0. 由題意設直線AB的方程為y＝k(x－4)(k≠0)， 由得ky2－4y－16k＝0， ∴y1＋y2＝，y1y2＝－16. ∴y＋y＝(y1＋y2)2－2y1y2＝2＋32>32. ∴y＋y的最小值為32. 答案：　32 15．設橢圓的兩個焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F2作橢圓長軸的垂線交橢圓于點P，若△F1PF2為等腰直角三角形，則橢圓的離心率為________． 解析：　設橢圓的方程為＋＝1(a＞b＞0)， F2的坐標為(c,0)，P點坐標為， 由題意知|PF2|＝|F1F2|，所以＝2c，a2－c2＝2ac， 2＋2－1＝0，解得＝－1，負值舍去． 答案：?。? 16．已知雙曲線C：－＝1，給出以下4個命題，真命題的序號是________． ①直線y＝x＋1與雙曲線有兩個交點； ②雙曲線C與－＝1有相同的漸近線； ③雙曲線C的焦點到一條漸近線的距離為3. 解析：?、馘e誤，因為直線y＝x＋1與漸近線y＝x平行，與雙曲線只有一個交點；②正確，漸近線方程為y＝x；③正確，右焦點為(，0)到漸近線y＝x的距離為3. 答案：?、冖? 三、解答題(本大題共6小題，共74分．解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟) 17．(本小題滿分12分)求與橢圓＋＝1有公共焦點，并且離心率為的雙曲線方程． 解析：　由橢圓方程為＋＝1，知長半軸長a1＝3，短半軸長b1＝2，焦距的一半c1＝ ＝， ∴焦點是F1(－，0)，F(xiàn)2(，0)，因此雙曲線的焦點也是F1(－，0)，F(xiàn)2(，0)，設雙曲線方程為－＝1(a＞0，b＞0)，由題設條件及雙曲線的性質， 得解得 故所求雙曲線的方程為－y2＝1. 18．(本小題滿分12分)已知過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點的直線交拋物線于A，B兩點，且|AB|＝p，求AB所在的直線方程． 解析：　焦點F，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，若AB⊥Ox，則|AB|＝2p－1且k≠0，解得k＝2或k＝－1(舍去)． ∴所求k的值為2. 22．(本小題滿分14分)已知橢圓＋＝1和雙曲線－＝1有公共的焦點． (1)求雙曲線的漸近線方程； (2)直線l過焦點且垂直于x軸，若直線l與雙曲線的漸近線圍成的三角形的面積為，求雙曲線的方程． 解析：　(1)依題意，有3m2－5n2＝2m2＋3n2，即m2＝8n2，即雙曲線方程為－＝1，故雙曲線的漸近線方程是－＝0，即y＝x. (2)不妨設漸近線y＝x與直線l：x＝c交于點A，B，則|AB|＝，S△OAB＝cc＝，解得c＝1. 即a2＋b2＝1，又＝，a2＝，b2＝， ∴雙曲線的方程為－＝1.