高中數(shù)學 課時跟蹤檢測（十一）雙曲線的參數(shù)方程 拋物線的參數(shù)方 新人教A版選修4-4

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課時跟蹤檢測(十一) 雙曲線的參數(shù)方程 拋物線的參數(shù)方 一、選擇題 1．曲線(t為參數(shù))的焦點坐標是(　　) A．(1,0) B．(0,1) C．(－1,0) D．(0，－1) 解析：選B　將參數(shù)方程化為普通方程(y－1)2＝4(x＋1)， 該曲線為拋物線y2＝4x向左、向上各平移一個單位得到， 所以焦點為(0,1)． 2．圓錐曲線(θ是參數(shù))的焦點坐標是(　　) A．(－5,0) B．(5,0) C．(5,0) D．(0，5) 解析：選C　由(θ為參數(shù))得 －＝1， ∴它的焦點坐標為(5,0)． 3．方程(t為參數(shù))的圖形是(　　) A．雙曲線左支 B．雙曲線右支 C．雙曲線上支 D．雙曲線下支 解析：選B　∵x2－y2＝e2t＋2＋e－2t－(e2t－2＋e－2t)＝4. 且x＝et＋e－t≥2＝2. ∴表示雙曲線的右支． 4．點Μ0(0,2)到雙曲線x2－y2＝1的最小距離(即雙曲線上任一點Μ與點Μ0的距離的最小值)是(　　) A．1 B．2 C. D．3 解析：選C　∵雙曲線方程為x2－y2＝1，∴a＝b＝1. ∴雙曲線的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))． 設(shè)雙曲線上一動點為Μ(sec θ，tan θ)， 則2＝sec2θ＋(tan θ－2)2 ＝(tan2θ＋1)＋(tan2θ－4tan θ＋4) ＝2tan2θ－4tan θ＋5＝2(tan θ－1)2＋3. 當tan θ＝1時，2取最小值3， 此時有＝. 二、填空題 5．已知動圓方程x2＋y2－xsin 2θ＋2ysin＝0(θ為參數(shù))．則圓心的軌跡方程是________． 解析：圓心軌跡的參數(shù)方程為 即消去參數(shù)，得 y2＝1＋2x. 答案：y2＝1＋2x 6．雙曲線(θ為參數(shù))的兩條漸近線的傾斜角為________． 解析：將參數(shù)方程化為y2－＝1， 此時a＝1，b＝， 設(shè)漸近線傾斜角為α，則tan α＝＝. ∴α＝30或150. 答案：30或150 7．(廣東高考)在平面直角坐標系xOy中，曲線C1和C2的參數(shù)方程分別為(t為參數(shù))和(θ為參數(shù))，則曲線C1與C2的交點坐標為________． 解析：由(t為參數(shù))得y＝， 又由(θ為參數(shù))得x2＋y2＝2. 由得 即曲線C1與C2的交點坐標為(1,1)． 答案：(1,1) 三、解答題 8．已知圓O1：x2＋(y－2)2＝1上一點P與雙曲線x2－y2＝1上一點Q，求P，Q兩點距離的最小值． 解：由題意可知O1(0,2)，∵Q為雙曲線x2－y2＝1上一點，設(shè)Q(sec θ，tan θ)， 在△O1QP中，|O1P|＝1，|O1P|＋|PQ|≥|O1Q|. 又|O1Q|2＝sec2θ＋(tan θ－2)2 ＝(tan2θ＋1)＋(tan2θ－4tan θ＋4) ＝2tan2θ－4tan θ＋5 ＝2(tan θ－1)2＋3. ∴當tan θ＝1，即θ＝時，|O1Q|2取最小值3，此時有|O1Q|min＝. ∴|PQ|min＝－1. 9．已知雙曲線方程為x2－y2＝1，Μ為雙曲線上任意一點，點Μ到兩條漸近線的距離分別為d1和d2，求證：d1與d2的乘積是常數(shù)． 證明：設(shè)d1為點Μ到漸近線y＝x的距離，d2為點Μ到漸近線y＝－x的距離， 因為點Μ在雙曲線x2－y2＝1上，則可設(shè)點Μ的坐標為(sec α，tan α)． d1＝，d2＝， d1d2＝＝， 故d1與d2的乘積是常數(shù)． 10．過點A(1,0)的直線l與拋物線y2＝8x交于M，N兩點，求線段MN的中點的軌跡方程． 解：法一：設(shè)拋物線的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，可設(shè)M(8t，8t1)，N(8t，8t2)， 則kMN＝＝. 又設(shè)MN的中點為P(x，y)， 則∴kAP＝， 由kMN＝kAP知t1t2＝－，又 則y2＝16(t＋t＋2t1t2)＝16＝4(x－1)． ∴所求軌跡方程為y2＝4(x－1)． 法二：設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，由M，N在拋物線y2＝8x上知 兩式相減得y－y＝8(x1－x2)，即(y1－y2)(y1＋y2)＝8(x1－x2)， ∴＝.設(shè)線段MN的中點為P(x，y)，∴y1＋y2＝2y. 由kPA＝，又kMN＝＝＝， ∴＝.∴y2＝4(x－1)． ∴線段MN的中點P的軌跡方程為y2＝4(x－1)．