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1、考前強(qiáng)化練6 解答題組合練B
1.(2019山東臨沂高三三模,文)在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,sin(B+C)+2cosπ2+Bcos C=0.
(1)求證:B=C;
(2)若cos A=35,△ABC的外接圓面積為25π4,求△ABC的周長.
2.△ABC中的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知acosCsinB=bsinB+ccosC.
(1)求角B;
(2)若b=2,求△ABC面積的最大值.
3.(2019黑龍江哈爾濱三中高三四模,理19)2019年4月
2、,甲、乙兩校的學(xué)生參加了某考試機(jī)構(gòu)舉行的大聯(lián)考,現(xiàn)對(duì)這兩校參加考試的學(xué)生的數(shù)學(xué)成績進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析,數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)顯示,考生的數(shù)學(xué)成績X服從正態(tài)分布N(110,144),從甲、乙兩校100分及以上的試卷中用系統(tǒng)抽樣的方法各抽取了20份試卷,并將這40份試卷的得分制作成如圖所示的莖葉圖:
(1)試通過莖葉圖比較這40份試卷的兩校學(xué)生數(shù)學(xué)成績的中位數(shù);
(2)若把數(shù)學(xué)成績不低于135分的記作數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀,根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù),能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.100的前提下認(rèn)為數(shù)學(xué)成績?cè)?00分及以上的學(xué)生中數(shù)學(xué)成績是否優(yōu)秀與所在學(xué)校有關(guān)?
(3)從所有參加此次聯(lián)考的學(xué)生中(人數(shù)很多)任意抽取3人,記數(shù)學(xué)
3、成績?cè)?34分以上的人數(shù)為ξ,求ξ的數(shù)學(xué)期望.
附:若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(μ,σ2),則P(μ-σ
4、三聯(lián)考)某手機(jī)公司生產(chǎn)某款手機(jī),如果年返修率不超過千分之一,則生產(chǎn)部門當(dāng)年考核優(yōu)秀,現(xiàn)獲得該公司2010~2018年的相關(guān)數(shù)據(jù)如下表所示:
年份
2010
2011
2012
2013
2014
2015
2016
2017
2018
年生產(chǎn)
量(萬臺(tái))
3
4
5
6
7
7
9
10
12
產(chǎn)品年利
潤(千萬元)
3.6
4.1
4.4
5.2
6.2
7.8
7.5
7.9
9.1
年返修
量(臺(tái))
47
42
48
50
92
83
72
87
90
(1)從該公司2010~2018年的相關(guān)數(shù)據(jù)
5、中任意選取3年的數(shù)據(jù),以X表示3年中生產(chǎn)部門獲得考核優(yōu)秀的次數(shù),求X的分布列和數(shù)學(xué)期望;
(2)根據(jù)散點(diǎn)圖發(fā)現(xiàn)2015年數(shù)據(jù)偏差較大,如果去掉該年的數(shù)據(jù),試用剩下的數(shù)據(jù)求出年利潤y(千萬元)關(guān)于年生產(chǎn)量x(萬臺(tái))的線性回歸方程(精確到0.01).
[附部分計(jì)算數(shù)據(jù):y=19∑i=19yi=6.2,∑i=19xi2=509,∑i=19xiyi=434.1.]
附:年返修率=年返修量(臺(tái))年生產(chǎn)量(臺(tái));
線性回歸方程y^=b^x+a^中,b^=∑i=1n(xi-x)(yi-y)∑i=1n(xi-x)2=∑i=1nxiyi-nxy∑i=1nxi2-nx2,a^=y^-b^x.
6、
5.(2019湖北十堰高三調(diào)研,理21)已知函數(shù)f(x)=ln x.
(1)當(dāng)a>0時(shí),討論函數(shù)F(x)=32x2-(6+a)x+2af(x)的單調(diào)性;
(2)設(shè)函數(shù)g(x)=f(x)f'(x),若斜率為k的直線與函數(shù)y=g'(x)的圖象交于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1
7、取值范圍;
(2)若a≥2e2,證明:f(x)<0.
參考答案
考前強(qiáng)化練6 解答題組合練B
1.(1)證明∵sin(B+C)+2cosπ2+BcosC=0,∴sin(B+C)-2sinBcosC=0.
∴sinBcosC+cosBsinC-2sinBcosC=0.
∴cosBsinC-sinBcosC=0.
∴sin(B-C)=0.∴B=C.
(2)解設(shè)△ABC的外接圓半徑為R,由已知得πR2=254π,∴R=52.
∵cosA=35,0
8、
由a2=b2+c2-2bc·cosA,得16=2b2-65b2,解得b=25,
∴a+b+c=45+4.
∴△ABC的周長為45+4.
2.解(1)利用正弦定理,得sinAcosCsinB=1+sinCcosC,
即sin(B+C)=cosCsinB+sinCsinB,
∴sinBcosC+cosBsinC=cosCsinB+sinCsinB,
∴cosBsinC=sinCsinB,
又sinB≠0,∴tanB=1,B=π4.
(2)由(1)得B=π4,由余弦定理可得:b2=a2+c2-2accosB,
則有2=a2+c2-2ac,即有2+2ac=a2+c2,
又由a2+
9、c2≥2ac,則有2+2ac≥2ac,變形可得:ac≤22-2=2+2,
則S=12acsinB=24ac≤2+12.
即△ABC面積的最大值為2+12.
3.解(1)由莖葉圖可知:甲校學(xué)生數(shù)學(xué)成績的中位數(shù)為128+1352=131.5,
乙校學(xué)生數(shù)學(xué)成績的中位數(shù)為128+1292=128.5,
所以比較這40份試卷的成績,甲校學(xué)生數(shù)學(xué)成績的中位數(shù)比乙校學(xué)生數(shù)學(xué)成績的中位數(shù)高.
(2)由題意,作出2×2列聯(lián)表如下:
甲校
乙校
合計(jì)
數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀
10
7
17
數(shù)學(xué)成績不優(yōu)秀
10
13
23
合計(jì)
20
20
40
計(jì)算得K2的觀測(cè)值
10、k=40×(10×13-10×7)220×20×17×23≈0.9207<2.706,
所以在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.100的前提下認(rèn)為數(shù)學(xué)成績?cè)?00分及以上的學(xué)生中數(shù)學(xué)成績是否優(yōu)秀與所在學(xué)校有關(guān).
(3)因?yàn)閄~N(110,144),所以μ=110,σ=144=12,
所以P(86134)=1-0.95442=0.0228,
由題意可知ξ~B(3,0.0228),所以Eξ=3×0.0228=0.0684.
4.解(1)由數(shù)據(jù)可知,2012,2013,2016,2017,2018五個(gè)年份考核優(yōu)秀,
所以X的所有可能取值為0,1,2,3,
11、P(X=0)=C50C43C93=121,
P(X=1)=C51C42C93=514,
P(X=2)=C52C41C93=1021,
P(X=3)=C53C40C93=542,
故X的分布列為:
X
0
1
2
3
P
121
514
1021
542
E(X)=0×121+1×514+2×1021+3×542=53.
(2)因?yàn)閤6=x=7,
b^=∑i=1n(xi-x)(yi-y)∑i=1n(xi-x)2,
所以去掉2015年的數(shù)據(jù)后不影響b^的值,
所以b^=∑i=19xiyi-9xy∑i=19xi2-9x2
=434.1-9×7×6.2509
12、-9×72
≈0.64.
去掉2015年數(shù)據(jù)后,x=7,y=9×6.2-7.88=6,
所以a^=y-b^x=6-43.568×7≈1.52,
故回歸方程為:y^=0.64x+1.52.
5.(1)解∵F(x)=32x2-(6+a)x+2alnx,
∴F'(x)=3x-(6+a)+2ax=(3x-a)(x-2)x(其中x>0).
令F'(x)=0可得,x=2或x=13a.
①當(dāng)13a>2即a>6時(shí),當(dāng)x∈13a,+∞∪(0,2)時(shí),F'(x)>0,函數(shù)在(0,2),13a,+∞內(nèi)單調(diào)遞增,
當(dāng)2
13、(x)≥0在(0,+∞)內(nèi)恒成立,即F(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.
③當(dāng)0<13a<2即00,函數(shù)在0,13a,(2,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,在13a,2內(nèi)單調(diào)遞減.
(2)證明g(x)=f(x)f'(x)=xlnx,則g'(x)=1+lnx.
故k=lnx2-lnx1x2-x1,x1<1k1),要證明x1<1k1可知lnt>0,故只要證明lnt1).
14、
①設(shè)h(t)=t-1-lnt,t>1,則h'(t)=1-1t>0,故h(t)在(1,+∞)上單調(diào)遞增,
∴h(t)>h(1)=0,即lnt1,則m'(t)=lnt>0,故m(t)在(1,+∞)上單調(diào)遞增.
∴m(t)>m(1)=0,即t-10,f'(x)=lnx+1-aex=0,
f(x)在(0,+∞)上存在兩個(gè)極值點(diǎn)等價(jià)于f'(x)=0在(0,+∞)有兩個(gè)根,
由lnx+1-aex=0可得,a=lnx+1ex.
令g(x)=lnx+1ex,
則g'(
15、x)=1x-lnx-1ex.
令h(x)=1x-lnx-1,可得h'(x)=-1x2-1x.
當(dāng)x>0時(shí),h'(x)<0,所以h(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,且h(1)=0,
當(dāng)x∈(0,1)時(shí),h(x)>0,g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增;
當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),h(x)<0,g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減;
所以x=1是g(x)的極大值也是最大值,
又當(dāng)x→0時(shí),g(x)→-∞,當(dāng)x→+∞,g(x)大于0趨向于0,要使f'(x)=0在(0,+∞)有兩個(gè)根,只需0
16、x-aexx<0.
令F(x)=lnx-aexx,F'(x)=1x-aexx-aexx2=x-a(x-1)exx2.
當(dāng)00,單調(diào)遞增,
所以F(x)≤F(1)=-ae<0.
當(dāng)x>1時(shí),F'(x)=-a(x-1)x2ex-xa(x-1),
令G(x)=ex-xa(x-1),G'(x)=ex+1a(x-1)2>0.
又G(2)=e2-2a=ae2-2a≥0∵a≥2e2,取m∈(1,2),且使ma(m-1)>e2,即10,
故F(x0)在(1,2)內(nèi)為增函數(shù),
所以F(x0)
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