《（浙江專(zhuān)用）2020版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第八章 立體幾何 考點(diǎn)規(guī)范練37 空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（浙江專(zhuān)用）2020版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第八章 立體幾何 考點(diǎn)規(guī)范練37 空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系（9頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、考點(diǎn)規(guī)范練37 空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系
基礎(chǔ)鞏固組
1.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是線段BC,CD1的中點(diǎn),則直線A1B與直線EF的位置關(guān)系是( )
A.相交 B.異面 C.平行 D.垂直
答案A
解析如圖所示,直線A1B與直線外一點(diǎn)E確定的平面為A1BCD1,EF?平面A1BCD1,且兩直線不平行,故兩直線相交.
2.若空間中四條兩兩不同的直線l1,l2,l3,l4,滿足l1⊥l2,l2∥l3,l3⊥l4,則下列結(jié)論一定正確的是( )
A.l1⊥l4
B.l1∥l4
C.l1與l4既不垂直也不
2、平行
D.l1與l4的位置關(guān)系不確定
答案D
解析如圖所示,正方體ABCD-A1B1C1D1,取l1為BB1,l2為BC,l3為AD,l4為CC1,則l1∥l4,可知選項(xiàng)A錯(cuò)誤;取l1為BB1,l2為BC,l3為AD,l4為C1D1,則l1⊥l4,故B錯(cuò)誤,則C也錯(cuò)誤,故選D.
3.(2018浙江高三模擬)給定下列兩個(gè)關(guān)于異面直線的命題:
命題(1):若平面α上的直線a與平面β上的直線b為異面直線,直線c是α與β的交線,則c至多與a,b中的一條相交;命題(2):不存在這樣的無(wú)窮多條直線,它們中的任意兩條都是異面直線.
那么( )
A.命題(1)正確,命題(2)不正確
B.
3、命題(2)正確,命題(1)不正確
C.兩個(gè)命題都正確
D.兩個(gè)命題都不正確
答案D
解析如圖所示,當(dāng)c可以與a,b都相交,但交點(diǎn)不是同一個(gè)點(diǎn)時(shí),平面α上的直線a與平面β上的直線b為異面直線,因此(1)是假命題;對(duì)于(2),可以取無(wú)窮多個(gè)平行平面,在每個(gè)平面上取一條直線,且使這些直線兩兩不同向,則這些直線中任意兩條是異面直線,從而(2)是假命題;故選D.
4.已知直線a,b分別在兩個(gè)不同的平面α,β內(nèi).則“直線a和直線b相交”是“平面α和平面β相交”的( )
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
答案A
解析若直線a,b相交,設(shè)交
4、點(diǎn)為P,則P∈a,P∈b.
又因?yàn)閍?α,b?β,所以P∈α,P∈β.故α,β相交.
反之,若α,β相交,設(shè)交線為l,當(dāng)a,b都與直線l不相交時(shí),則有a∥b.
顯然a,b可能相交,也可能異面或平行.
綜上,“直線a,b相交”是“平面α,β相交”的充分不必要條件.
5.已知正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別為BB1,CC1的中點(diǎn),那么異面直線AE與D1F所成角的余弦值為( )
A.45 B.35 C.23 D.57
答案B
解析連接DF,則AE∥DF,
∴∠D1FD為異面直線AE與D1F所成的角.設(shè)正方體棱長(zhǎng)為a,則D1D=a,DF=52a,D1F=52a,∴
5、cos∠D1FD=
52a2+52a2-a22·52a·52a=35.
6.正方體ABCD-A1B1C1D1的12條棱中,與棱AA1是異面直線且互相垂直的棱有 條.?
答案4
解析與AA1異面且垂直的有B1C1,BC,CD,C1D1.
7.如圖所示,已知正方體ABCD-A1B1C1D1,點(diǎn)E,F分別是正方形A1B1C1D1和ADD1A1的中心,則EF和CD所成的角是 .?
答案60°
解析連接A1D,AD1,則F恰好是它們的交點(diǎn),同理E是A1C1,B1D1的交點(diǎn).
連接EF,AB1,
∵正方體ABCD-A1B1C1D1中,B1B∥D1D,且B1B=D1D,
6、∴四邊形BB1D1D是平行四邊形,可得BD∥B1D1.因此,∠FED1(或其補(bǔ)角)就是EF和BD所成的角.設(shè)正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1,則△FED1中,D1E=D1F=EF=22,
∴△FED1是等邊三角形,可得∠FED1=60°.由此可得EF和BD所成的角等于60°.
8.
如圖,在四面體ABCD中,E,F分別為AB,CD的中點(diǎn),過(guò)EF任作一個(gè)平面α分別與直線BC,AD相交于點(diǎn)G,H,則下列結(jié)論正確的是 .?
①對(duì)于任意的平面α,都有直線GF,EH,BD相交于同一點(diǎn);
②存在一個(gè)平面α0,使得GF∥EH∥BD;
③存在一個(gè)平面α0,使得點(diǎn)G在線段BC上
7、,點(diǎn)H在線段AD的延長(zhǎng)線上;
④對(duì)于任意的平面α,都有S△EFG=S△EFH.
答案②④
解析逐一判斷.當(dāng)點(diǎn)G,H分別是BC和AD的中點(diǎn)時(shí),直線GF,EH,BD兩兩相互平行,所以①錯(cuò)誤,②正確;
點(diǎn)G在BC上時(shí),GF與BD的延長(zhǎng)線的交點(diǎn)I一定在BD延長(zhǎng)線上,連接EI,與AD的交點(diǎn)H一定在線段AD上,所以③錯(cuò)誤;
過(guò)點(diǎn)D作DP∥AB交EI于點(diǎn)P,
因?yàn)镮DIB=DPBE=DPAE(相似),
所以線段GCBC=DHAD,S△GCFS△BCD=S△DFHS△ACD,
所以四面體EFGC與ECFH的體積相等.
所以△EFG與△EFH的面積相等,④正確.
故正確結(jié)論的序號(hào)是②④.
8、能力提升組
9.給出下列四個(gè)命題:
①分別與兩條異面直線都相交的兩條直線一定是異面直線;
②若一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的垂線,則這兩個(gè)平面相互垂直;
③垂直于同一直線的兩條直線相互平行;
④若兩個(gè)平面垂直,則一個(gè)平面內(nèi)與它們的交線不垂直的直線與另一個(gè)平面也不垂直.
其中為真命題的是( )
A.①和② B.②和③ C.③和④ D.②和④
答案D
解析分別與兩條異面直線都相交的兩條直線,可能相交也可能異面,故①錯(cuò)誤;根據(jù)面面垂直的判定定理,當(dāng)一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的垂線,那么這兩個(gè)平面一定相互垂直,故②正確;垂直于同一直線的兩條直線可能平行,也可能相交,也可能異面,故③錯(cuò)誤;由面
9、面垂直的性質(zhì)定理,當(dāng)兩個(gè)平面垂直,那么一個(gè)平面內(nèi)與它們的交線不垂直的直線與另一個(gè)平面也不垂直,故④正確.故選D.
10.如圖,在空間四邊形ABCD中,E,F分別是AB,AD的中點(diǎn),G,H分別在BC,CD上,且BG∶GC=DH∶HC=1∶2,則下列說(shuō)法正確的是( )
A.EG,FH,AC交于一點(diǎn)
B.EF,GH,BD交于一點(diǎn)
C.EFGH為平行四邊形
D.AC∥平面EFGH
答案A
解析∵G,H不是BC,CD的中點(diǎn),∴EF≠GH.
又EF∥GH,∴EG與FH必相交,設(shè)其交點(diǎn)為M,
∵EG?平面ABC,HF?平面ACD,
∴M∈平面ABC,且M∈平面ACD.
∴M在平面
10、ABC與平面ACD的交線上.
又平面ABC∩平面ACD=AC,
∴M∈AC.
故EG與HF的交點(diǎn)在直線AC上.
11.在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中,正三角形ABC的頂點(diǎn)A,B分別在xOy平面和z軸上移動(dòng).若AB=2,則點(diǎn)C到原點(diǎn)O的最遠(yuǎn)距離為( )
A.3-1 B.2
C.3+1 D.3
答案C
解析連接OA,取AB的中點(diǎn)E,連接OE,CE,根據(jù)題意可得:
∵Rt△AOB中,斜邊AB=2,
∴OE=12AB=1.
又∵正三角形ABC的邊長(zhǎng)為2,
∴CE=32AB=3,
對(duì)圖形加以觀察,當(dāng)點(diǎn)A,B分別在xOy平面和z軸上移動(dòng)時(shí),可得當(dāng)O,E,C三點(diǎn)共線時(shí),點(diǎn)C到原點(diǎn)
11、O的距離最遠(yuǎn),且最遠(yuǎn)距離等于3+1.故選C.
12.
如圖,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1⊥平面ABCD,AB∥CD,∠DCB=90°,AB=AD=AA1=2DC,Q為棱CC1上一動(dòng)點(diǎn),過(guò)直線AQ的平面分別與棱BB1,DD1交于點(diǎn)P,R,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是( )
A.對(duì)于任意的點(diǎn)Q,都有AP∥QR
B.對(duì)于任意的點(diǎn)Q,四邊形APQR不可能為平行四邊形
C.存在點(diǎn)Q,使得△ARP為等腰直角三角形
D.存在點(diǎn)Q,使得直線BC∥平面APQR
答案C
解析∵AB∥CD,AA1∥DD1,∴平面ABB1A1∥平面CDD1C1,
∵平面APQR∩平面ABB1A1=AP,
12、平面APQR∩平面CDD1C1=RQ,∴AP∥QR,故A正確.
∵四邊形ABCD是直角梯形,AB∥CD,∴平面BCC1B1與平面ADD1A1不平行,
∵平面APQR∩平面BCC1B1=PQ,平面APQR∩平面ADD1A1=AR,∴PQ與AR不平行,故四邊形APQR不可能為平行四邊形,故B正確.
延長(zhǎng)CD至M,使得DM=CM,則四邊形ABCM是矩形,
∴BC∥AM.
當(dāng)R,Q,M三點(diǎn)共線時(shí),AM?平面APQR,
∴BC∥平面APQR,故D正確.故選C.
13.
(2017浙江溫州模擬)如圖,在四邊形ABCD中,AB=BD=DA=2,BC=CD=2.現(xiàn)將△ABD沿BD折起,
13、當(dāng)二面角A-BD-C處于π6,5π6過(guò)程中,直線AB與CD所成角的余弦值取值范圍是( )
A.-528,28 B.28,528
C.0,28 D.0,528
答案D
解析如圖所示,取BD中點(diǎn)E,連接AE,CE,∴∠AEC即為二面角A-BD-C的平面角,而AC2=AE2+CE2-2AE·CE·cos∠AEC=4-23cos∠AEC,∠AEC∈π6,5π6,∴AC∈[1,7],
∴AB·CD=22cos=AB·(BD-BC)=-2+AB·BC·AB2+BC2-AC22AB·BC=1-AC22∈-52,12,設(shè)異面直線AB,CD所成的角為θ,
∴0≤cosθ≤122×
14、52=528,故選D.
14.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別為棱C1D1,C1C的中點(diǎn),則直線BN與MB1是 直線(填“相交”或“平行”或“異面”);直線MN與AC所成的角的大小為 .?
答案異面 60°
解析(1)M,B,B1三點(diǎn)共面,且在平面MBB1中,點(diǎn)N?平面MBB1,B?MB1,因此直線BN與MB1是異面直線;(2)連接D1C,因?yàn)镈1C∥MN,所以直線MN與AC所成的角就是D1C與AC所成的角,且角為60°.
15.如圖,長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形,點(diǎn)E在側(cè)棱AA1上,滿足∠C1EB=90°,則異
15、面直線BE與C1B1所成的角為 ,側(cè)棱AA1的長(zhǎng)的最小值為 .?
答案90° 2
解析連接BC1,在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,CB⊥平面ABB1A1,∴∠CBE=90°.又C1B1∥BC,∴異面直線BE與C1B1所成的角為90°.設(shè)AA1=x,AE=m(m≥0),所以BE2=1+m2,EC12=(x-m)2+2,BC12=1+x2,因?yàn)椤螩1EB=90°,所以BC12=EC12+BE2,即1+x2=(x-m)2+2+1+m2,即m2-mx+1=0,所以x=m+1m≥2當(dāng)且僅當(dāng)m=1m,即m=1時(shí)等號(hào)成立.
16.(2018浙江桐鄉(xiāng)一中)在三棱錐A-BCD中,AD
16、⊥BC,AD=BC=2,AB=CD=4,則直線AB與CD所成角的大小為 .?
答案45°
解析取BD的中點(diǎn)G,連接EG,FG,
∵△ABD中,E,G分別為AB,BD的中點(diǎn),∴EG∥AD且EG=12AD.同理可得FG∥BC,且FG=12BC,
∴EF與FG所成的直角或銳角就是異面直線EF與BC所成的角.∵AD⊥BC且AD=BC,
∴△EFG中,EG⊥GF且EG=GF.∴∠EGF=45°,
即異面直線EF與BC所成角等于45°.故答案為45°.
17.
已知正方形ABCD和矩形ADEF,DE⊥平面ABCD,G是AF的中點(diǎn).
(1)求證:EB⊥AC;
(2)若直線
17、BE與平面ABCD成45°角,求異面直線GE與AC所成角的余弦值.
(1)證明在矩形ADEF中,ED⊥AD.
∵平面ADEF⊥平面ABCD,且平面ADEF∩平面ABCD=AD,∴ED⊥平面ABCD.∴ED⊥AC.
(2)解由(1)知:ED⊥平面ABCD,
∴∠EBD是直線BE與平面ABCD所成的角,
即∠EBD=45°.
設(shè)AB=a,則DE=BD=2a,取DE的中點(diǎn)M,連接AM.
∵G是AF的中點(diǎn),∴AM∥GE.
∴∠MAC是異面直線GE與AC所成角或其補(bǔ)角.
連接BD交AC于點(diǎn)O.
∵AM=CM=a2+22a2=62a,O是AC的中點(diǎn),
∴MO⊥AC.∴cos∠MAC=
18、AOAM=22a62a=33.
∴異面直線GE與AC所成角的余弦值為33.
18.
(2018北京高考)如圖,△ABC是等腰直角三角形∠CAB=90°,AC=2a,E,F分別為AC,BC的中點(diǎn),沿EF將△CEF折起,得到如圖所示的四棱錐C'-ABFE.
(1)求證:AB⊥平面AEC';
(2)當(dāng)四棱錐C'-ABFE體積取最大值時(shí),若G為BC'中點(diǎn),求異面直線GF與AC'所成角.
(1)證明因?yàn)椤鰽BC是等腰直角三角形,∠CAB=90°,E,F分別為AC,BC的中點(diǎn),所以EF⊥AE,EF⊥C'E.
又因?yàn)锳E∩C'E=E,
所以EF⊥平面AEC'.
由于EF∥AB,所以有AB⊥平面AEC'.
(2)解取AC'中點(diǎn)D,連接DE,EF,FG,GD,由于GD為△ABC'中位線,以及EF為△ABC中位線,所以四邊形DEFG為平行四邊形.直線GF與AC'所成角就是DE與AC'所成角.
所以四棱錐C'-ABFE體積取最大值時(shí),C'E垂直于底面ABFE.此時(shí)△AEC'為等腰直角三角形,ED為中線,所以直線ED⊥AC'.所以異面直線GF與AC'所成角為90°.
9
（浙江專(zhuān)用）2020版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第八章 立體幾何 考點(diǎn)規(guī)范練37 空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系
