(全國通用)2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題提分教程 仿真模擬卷二 理
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1、仿真模擬卷二 本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分.共150分,考試時間120分鐘. 第Ⅰ卷 一、選擇題:本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的. 1.已知集合P={0,1,2},Q={x|x<2},則P∩Q=( ) A.{0} B.{0,1} C.{1,2} D.{0,2} 答案 B 解析 因為集合P={0,1,2},Q={x|x<2},所以P∩Q={0,1}. 2.已知復(fù)數(shù)z滿足|z|=,z+=2(為z的共軛復(fù)數(shù))(i為虛數(shù)單位),則z=( ) A.1+i B.1-i C.1+i或1-i
2、 D.-1+i或-1-i
答案 C
解析 設(shè)z=a+bi(a,b∈R),則=a-bi,z+=2a,
所以得所以z=1+i或z=1-i.
3.若a>1,則“ax>ay”是“l(fā)ogax>logay”的( )
A.必要不充分條件 B.充分不必要條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
答案 A
解析 由a>1,得ax>ay等價為x>y,logax>logay等價為x>y>0,故“ax>ay”是“l(fā)ogax>logay”的必要不充分條件.
4.已知a=log52,b=log0.50.2,c=0.50.2,則a,b,c的大小關(guān)系為( )
A.a(chǎn) 3、 4、展開式的通項為C(-)m=C(-1)mx,(1+)4的展開式的通項為C()n=Cx,其中m=0,1,2,…,6,n=0,1,2,3,4.
令+=1,得m+n=2,于是(1-)6(1+)4的展開式中x的系數(shù)等于C·(-1)0·C+C·(-1)1·C+C·(-1)2·C=-3.
解法二:(1-)6(1+)4=[(1-)(1+)]4(1-)2=(1-x)4(1-2+x).于是(1-)6(1+)4的展開式中x的系數(shù)為C·1+C·(-1)1·1=-3.
解法三:在(1-)6(1+)4的展開式中要出現(xiàn)x,可分為以下三種情況:
①(1-)6中選2個(-),(1+)4中選0個作積,這樣得到的x項的系數(shù) 5、為CC=15;
②(1-)6中選1個(-),(1+)4中選1個作積,這樣得到的x項的系數(shù)為C(-1)1C=-24;
③(1-)6中選0個(-),(1+)4中選2個作積,這樣得到的x項的系數(shù)為CC=6.
故x項的系數(shù)為15-24+6=-3.
7.已知直線y=x+m和圓x2+y2=1交于A,B兩點,O為坐標(biāo)原點,若·=,則實數(shù)m=( )
A.±1 B.± C.± D.±
答案 C
解析 聯(lián)立得2x2+2mx+m2-1=0,
∵直線y=x+m和圓x2+y2=1交于A,B兩點,O為坐標(biāo)原點,∴Δ=-4m2+8>0,解得- 6、x2=-m,x1x2=,y1y2=(x1+m)(x2+m)=x1x2+m(x1+x2)+m2,=(-x1,-y1),=(x2-x1,y2-y1),
∵·=,∴·=x-x1x2+y-y1y2=1--+m2-m2=2-m2=,解得m=±.
8.在△ABC中,a,b,c分別為角A,B,C的對邊,若△ABC的面積為S,且4S=(a+b)2-c2,則sin=( )
A.1 B. C. D.
答案 D
解析 由4S=(a+b)2-c2,得4×absinC=a2+b2-c2+2ab,∵a2+b2-c2=2abcosC,
∴2absinC=2abcosC+2ab,
即sinC-cosC= 7、1,即2sin=1,則sin=,∵0 8、一零點,故C正確;根據(jù)f(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增,可知它一定不是周期函數(shù),故D錯誤.
10.已知log2(a-2)+log2(b-1)≥1,則2a+b取到最小值時,ab=( )
A.3 B.4 C.6 D.9
答案 D
解析 由log2(a-2)+log2(b-1)≥1,可得a-2>0,b-1>0且(a-2)(b-1)≥2.所以2a+b=2(a-2)+(b-1)+5≥2+5≥2+5=9,當(dāng)2(a-2)=b-1且(a-2)(b-1)=2時等號成立,解得a=b=3.所以2a+b取到最小值時,ab=3×3=9.
11.已知實數(shù)a>0,函數(shù)f(x)=
若關(guān)于x的方程f[-f 9、(x)]=e-a+有三個
不等的實根,則實數(shù)a的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 當(dāng)x<0時,f(x)為增函數(shù),當(dāng)x≥0時,f′(x)=ex-1+ax-a-1,f′(x)為增函數(shù),令f′(x)=0,解得x=1,故函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,在(1,+∞)上單調(diào)遞增,最小值為f(1)=0.
由此畫出函數(shù)f(x)的大致圖象如圖所示.令t=-f(x),因為f(x)≥0,所以t≤0,
則有解得-a=t-1,
所以t=-a+1,所以f(x)=a-1.
所以方程要有三個不同的實數(shù)根,
則需<a-1<+,解得2<a<+2.
12.已知△AB 10、C的頂點A∈平面α,點B,C在平面α同側(cè),且AB=2,AC=,若AB,AC與α所成的角分別為,,則線段BC長度的取值范圍為( )
A.[2-,1] B.[1,]
C.[, ] D.[1, ]
答案 B
解析 如圖,過點B,C作平面的垂線,垂足分別為M,N,
則四邊形BMNC為直角梯形.
在平面BMNC內(nèi),過C作CE⊥BM交BM于點E.
又BM=AB·sin∠BAM=2sin=,AM=AB·cos∠BAM=2cos=1,
CN=AC·sin∠CAN=sin=,
AN=AC·cos∠CAN=cos=,
所以BE=BM-CN=,故BC2=MN2+.
又AN-AM≤ 11、MN≤AM+AN,
即=AN-AM≤MN≤AM+AN=,
所以1≤BC2≤7,即1≤BC≤ ,故選B.
第Ⅱ卷
本卷包括必考題和選考題兩部分.第13~21題為必考題,每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題,考生根據(jù)要求作答.
二、填空題:本大題共4小題,每小題5分,共20分.
13.已知向量a=(1,λ),b=(3,1),c=(1,2),若向量2a-b與c共線,則向量a在向量c方向上的投影為________.
答案 0
解析 向量2a-b=(-1,2λ-1),
由2λ-1=-2,得λ=-.∴向量a=,
∴向量a在向量c方向上的投影為|a|cos〈a,c〉===0.
12、
14.在△ABC中,a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C的對邊,且2absinC=(b2+c2-a2),若a=,c=3,則△ABC的面積為________.
答案 3
解析 由題意得=·,
即=cosA,由正弦定理得sinA=cosA,
所以tanA=,A=.
由余弦定理得13=32+b2-2×3bcos,
解得b=4,故面積為bcsinA=×4×3×=3.
15.已知點M為單位圓x2+y2=1上的動點,點O為坐標(biāo)原點,點A在直線x=2上,則·的最小值為________.
答案 2
解析 設(shè)A(2,t),M(cosθ,sinθ),
則=(cosθ-2,sinθ-t),=(-2 13、,-t),
所以·=4+t2-2cosθ-tsinθ.
又(2cosθ+tsinθ)max=,
故·≥4+t2-.
令s=,則s≥2,又4+t2-=s2-s≥2,
當(dāng)s=2,即t=0時等號成立,故(·)min=2.
16.已知函數(shù)f(x)=x2-2mx+m+2,g(x)=mx-m,若存在實數(shù)x0∈R,使得f(x0)<0且g(x0)<0同時成立,則實數(shù)m的取值范圍是________.
答案 (3,+∞)
解析 當(dāng)m>0,x<1時,g(x)<0,
所以f(x)<0在(-∞,1)上有解,
則或
即m>3或故m>3.
當(dāng)m<0,x>1時,g(x)<0,所以f(x)<0在(1,+ 14、∞)上有解,所以此不等式組無解.
綜上,m的取值范圍為(3,+∞).
三、解答題:共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17.(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)=cosx(sinx-cosx)+.
(1)求f的值;
(2)當(dāng)x∈時,不等式c 15、如圖,在等腰梯形ABCD中,AE⊥CD,BF⊥CD,AB=1,AD=2,∠ADE=60°,沿AE,BF折成三棱柱AED-BFC.
(1)若M,N分別為AE,BC的中點,求證:MN∥平面CDEF;
(2)若BD=,求二面角E-AC-F的余弦值.
解 (1)證明:如圖,取AD的中點G,連接GM,GN,
在△ADE中,∵M(jìn),G分別為AE,AD的中點,
∴MG∥DE,
∵DE?平面CDEF,MG?平面CDEF,
∴MG∥平面CDEF.
由于G,N分別為AD,BC的中點,
由棱柱的性質(zhì)可得GN∥DC,
∵CD?平面CDEF,GN?平面CDEF,
∴GN∥平面CDEF.
又 16、GM?平面GMN,GN?平面GMN,MG∩GN=G,
∴平面GMN∥平面CDEF,
∵M(jìn)N?平面GMN,∴MN∥平面CDEF.
(2)如圖,連接EB,
在Rt△ABE中,AB=1,AE=,
∴BE=2,又ED=1,DB=,
∴EB2+ED2=DB2,
∴DE⊥EB,又DE⊥AE且AE∩EB=E,AE,EB?平面ABFE,
∴DE⊥平面ABFE.
以E為坐標(biāo)原點,分別以EA,EF,ED所在直線為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,可得E(0,0,0),A(,0,0),F(xiàn)(0,1,0),C(0,1,1),
=(-,1,1),=(-,0,0),=(0,0,1).
17、
設(shè)平面AFC的法向量為m=(x,y,z),
則
則z=0,令x=1,得y=,則m=(1,,0)為平面AFC的一個法向量,
設(shè)平面ACE的法向量為n=(x1,y1,z1),
則
則x1=0,令y1=1,得z1=-1,
∴n=(0,1,-1)為平面ACE的一個法向量.
設(shè)m,n所成的角為θ,則cosθ===,
由圖可知二面角E-AC-F的余弦值是.
19.(本小題滿分12分)為調(diào)查某公司五類機(jī)器的銷售情況,該公司隨機(jī)收集了一個月銷售的有關(guān)數(shù)據(jù),公司規(guī)定同一類機(jī)器銷售價格相同,經(jīng)分類整理得到下表:
機(jī)器類型
第一類
第二類
第三類
第四類
第五類
銷售總額(萬元 18、)
100
50
200
200
120
銷售量(臺)
5
2
10
5
8
利潤率
0.4
0.2
0.15
0.25
0.2
利潤率是指一臺機(jī)器銷售價格減去出廠價格得到的利潤與該機(jī)器銷售價格的比值.
(1)從該公司本月賣出的機(jī)器中隨機(jī)選一臺,求這臺機(jī)器利潤率高于0.2的概率;
(2)從該公司本月賣出的銷售單價為20萬元的機(jī)器中隨機(jī)選取2臺,求這兩臺機(jī)器的利潤率不同的概率;
(3)假設(shè)每類機(jī)器利潤率不變,銷售一臺第一類機(jī)器獲利x1萬元,銷售一臺第二類機(jī)器獲利x2萬元,……,銷售一臺第五類機(jī)器獲利x5萬元,依據(jù)上表統(tǒng)計數(shù)據(jù),隨機(jī)銷售一臺機(jī)器獲利的期 19、望為E(x),設(shè)=,試判斷E(x)與的大?。?結(jié)論不要求證明)
解 (1)由題意知,本月共賣出30臺機(jī)器,
利潤率高于0.2的是第一類和第四類,共有10臺.
設(shè)“這臺機(jī)器利潤率高于0.2”為事件A,則
P(A)==.
(2)用銷售總額除以銷售量得到機(jī)器的銷售單價,可知第一類與第三類的機(jī)器銷售單價為20萬元,第一類有5臺,第三類有10臺,共有15臺,隨機(jī)選取2臺有C種不同方法,
兩臺機(jī)器的利潤率不同則每類各取一臺有CC種不同方法,
設(shè)“兩臺機(jī)器的利潤率不同”為事件B,則P(B)==.
(3)由題意可得,獲利x可能取的值為8,5,3,10,
P(x=8)==,P(x=5)==,
20、
P(x=3)==,P(x=10)==,
因此E(x)=×8+×5+×3+×10=;
又==,所以E(x)<.
20.(本小題滿分12分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓C:+=1(a>b>0)的焦點為F1(-1,0),F(xiàn)2(1,0).過F2作x軸的垂線l,在x軸的上方,l與圓F2:(x-1)2+y2=4a2交于點A,與橢圓C交于點D.連接AF1并延長交圓F2于點B,連接BF2交橢圓C于點E,連接DF1.已知|DF1|=.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)求點E的坐標(biāo).
解 (1)設(shè)橢圓C的焦距為2c.
因為F1(-1,0),F(xiàn)2(1,0),所以|F1F2|=2,c=1 21、.
又因為|DF1|=,AF2⊥x軸,
所以|DF2|===,
因此2a=|DF1|+|DF2|=4,從而a=2.
由b2=a2-c2,得b2=3.
因此,橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1.
(2)解法一:由(1)知,橢圓C:+=1,a=2,
因為AF2⊥x軸,所以點A的橫坐標(biāo)為1.
將x=1代入圓F2的方程(x-1)2+y2=16,
解得y=±4.
因為點A在x軸上方,所以A(1,4).
又F1(-1,0),所以直線AF1:y=2x+2.
由得5x2+6x-11=0,
解得x=1或x=-.
將x=-代入y=2x+2,得y=-,
因此B點坐標(biāo)為.
又F2(1,0),所以 22、直線BF2:y=(x-1).
由得7x2-6x-13=0,
解得x=-1或x=.
又因為E是線段BF2與橢圓的交點,所以x=-1.
將x=-1代入y=(x-1),得y=-.
因此E點坐標(biāo)為.
解法二:由(1)知,橢圓C:
+=1.
如圖,連接EF1.
因為|BF2|=2a,|EF1|+|EF2|=2a,
所以|EF1|=|EB|,
從而∠BF1E=∠B.
因為|F2A|=|F2B|,所以∠A=∠B,
所以∠A=∠BF1E,從而EF1∥F2A.
因為AF2⊥x軸,所以EF1⊥x軸.
因為F1(-1,0),由得y=±.
又因為E是線段BF2與橢圓的交點,所以y= 23、-.
因此E點坐標(biāo)為.
21.(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)=ln x-xex+ax(a∈R).
(1)若函數(shù)f(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞減,求實數(shù)a的取值范圍;
(2)若a=1,求f(x)的最大值.
解 (1)由題意知,f′(x)=-(ex+xex)+a=-(x+1)ex+a≤0在[1,+∞)上恒成立,
所以a≤(x+1)ex-在[1,+∞)上恒成立.
令g(x)=(x+1)ex-,
則g′(x)=(x+2)ex+>0,
所以g(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞增,
所以g(x)min=g(1)=2e-1,所以a≤2e-1.
(2)當(dāng)a=1時,f(x)=ln x-xe 24、x+x(x>0).
則f′(x)=-(x+1)ex+1=(x+1),
令m(x)=-ex,則m′(x)=--ex<0,
所以m(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減.
由于m>0,m(1)<0,所以存在x0>0滿足m(x0)=0,即ex0=.
當(dāng)x∈(0,x0)時,m(x)>0,f′(x)>0;當(dāng)x∈(x0,+∞)時,m(x)<0,f′(x)<0.
所以f(x)在(0,x0)上單調(diào)遞增,在(x0,+∞)上單調(diào)遞減.
所以f(x)max=f(x0)=ln x0-x0e x0+x0,
因為ex0=,所以x0=-ln x0,所以f(x0)=-x0-1+x0=-1,
所以f(x)max=-1 25、.
請考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做,則按所做的第一題計分,作答時請寫清題號.
22.(本小題滿分10分)[選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程]
在平面直角坐標(biāo)系xOy中,以坐標(biāo)原點O為極點,x軸正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),曲線C的極坐標(biāo)方程為ρcos2θ=8sinθ.
(1)求曲線C的直角坐標(biāo)方程,并指出該曲線是什么曲線;
(2)若直線l與曲線C的交點分別為M,N,求|MN|.
解 (1)因為ρcos2θ=8sinθ,所以ρ2cos2θ=8ρsinθ,即x2=8y,
所以曲線C表示焦點坐標(biāo)為(0,2),對稱軸為y軸的拋物線.
(2) 26、設(shè)點M(x1,y1),點N(x2,y2),
直線l過拋物線的焦點(0,2),則直線的參數(shù)方程化為一般方程為y=x+2,代入曲線C的直角坐標(biāo)方程,得x2-4x-16=0,
所以x1+x2=4,x1x2=-16,
所以|MN|=
=·
=·
=·=10.
23.(本小題滿分10分)[選修4-5:不等式選講]
已知函數(shù)f(x)=|x+4|,不等式f(x)>8-|2x-2|的解集為M.
(1)求M;
(2)設(shè)a,b∈M,證明:f(ab)>f(2a)-f(-2b).
解 (1)將f(x)=|x+4|代入不等式,
整理得|x+4|+|2x-2|>8.
①當(dāng)x≤-4時,不等式轉(zhuǎn)化為 27、-x-4-2x+2>8,
解得x<-,所以x≤-4;
②當(dāng)-4
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