（浙江專用）2021版新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十章 計數(shù)原理與古典概率 2 第2講 排列與組合高效演練分層突破

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1、第2講　排列與組合 [基礎(chǔ)題組練] 1．不等式A＜6×A的解集為(　　) A．[2，8]　　　　　　　　　 B．[2，6] C．(7，12) D．{8} 解析：選D.由題意得＜6×，所以x2－19x＋84＜0，解得7＜x＜12.又x≤8，x－2≥0，所以7＜x≤8，x∈N*，即x＝8. 2．(2020·金華等三市部分學(xué)校高三期中)如圖，一環(huán)形花壇分成A，B，C，D四塊，現(xiàn)有4種不同的花供選種，要求在每塊里種1種花，且相鄰的2塊種不同的花，則不同的種法總數(shù)為(　　) A．96 B．84 C．60 D．48 解析：選B.法一：分三類：種兩種花有A種種法；種三種花有2A

2、種種法；種四種花有A種種法． 共有A＋2A＋A＝84. 法二：按A－B－C－D順序種花，可分A，C同色與不同色有4×3×(1×3＋2×2)＝84. 3．(2020·溫州八校第二次聯(lián)考)若無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)滿足條件：①個位數(shù)字與十位數(shù)字之和為奇數(shù)，②所有數(shù)位上的數(shù)字和為偶數(shù)，則這樣的三位數(shù)的個數(shù)是(　　) A．540 B．480 C．360 D．200 解析：選D.由個位數(shù)字與十位數(shù)字之和為奇數(shù)知個位數(shù)字、十位數(shù)字1奇1偶，有CCA＝50種排法；所有數(shù)位上的數(shù)字和為偶數(shù)，則百位數(shù)字是奇數(shù)，有C＝4種滿足題意的選法，故滿足題意的三位數(shù)共有C×CCA＝200(個)． 4．3本不

3、同的數(shù)學(xué)書與3本不同的語文書放在書架同一層，則同類書不相鄰的放法種數(shù)為(　　) A．36 B．72 C．108 D．144 解析：選B.3本數(shù)學(xué)書的放法有A種，將3本語文書插入使得語文數(shù)學(xué)均不相鄰的插法有2A種，故同類書不相鄰的放法有2AA＝2×6×6＝72(種)，故選B. 5．(2020·金華十校期末調(diào)研)A、B、C、D、E五個人參加抽獎活動，現(xiàn)有5個紅包，每人各摸一個，5個紅包中有2個8元，1個18元，1個28元，1個0元，(紅包中金額相同視為相同紅包)，則A、B兩人都獲獎(0元視為不獲獎)的情況有(　　) A．18種 B．24種 C．36種 D．48種 解析

4、：選C.A、B兩人都獲獎(0元視為不獲獎)的情況有三類： 即獲獎的四人為：ABCD，ABCE，ABDE， 在每類情況中，獲獎的情況有C·A＝12種， 所以由分步乘法原理得：A、B兩人都獲獎(0元視為不獲獎)的情況有3×12＝36種． 6．某中學(xué)高一學(xué)習(xí)雷鋒志愿小組共有16人，其中一班、二班、三班、四班各4人，現(xiàn)從中任選3人，要求這三人不能全是同一個班的學(xué)生，且在三班至多選1人，則不同選法的種數(shù)為(　　) A．484 B．472 C．252 D．232 解析：選B.若三班有1人入選，則另兩人從三班以外的12人中選取，共有CC＝264種選法．若三班沒有人入選，則要從三班以外的

5、12人中選3人，又這3人不能全來自同一個班，故有C－3C＝208種選法．故總共有264＋208＝472種不同的選法． 7．如圖，∠MON的邊OM上有四點A1，A2，A3，A4，ON上有三點B1，B2，B3，則以O(shè)，A1，A2，A3，A4，B1，B2，B3中三點為頂點的三角形的個數(shù)為(　　) A．30 B．42 C．54 D．56 解析：選B.間接法：先從這8個點中任取3個點，有C種取法，再減去三點共線的情形即可，即C－C－C＝42. 8．(2019·寧波高考模擬)從1，2，3，4，5這五個數(shù)字中選出三個不相同數(shù)組成一個三位數(shù)，則奇數(shù)位上必須是奇數(shù)的三位數(shù)的個數(shù)為(　　) A

6、．12 B．18 C．24 D．30 解析：選B.根據(jù)題意，要求奇數(shù)位上必須是奇數(shù)的三位數(shù)，則這個三位數(shù)的百位、個位為奇數(shù)，分2步進行分析： ①在1、3、5三個奇數(shù)中任選2個，安排在三位數(shù)的個位和百位，有CA＝6種情況， ②在剩余的3個數(shù)字中任選1個，將其安排在三位數(shù)的十位，有C＝3種情況， 則奇數(shù)位上必須是奇數(shù)的三位數(shù)有6×3＝18個． 9．(2020·溫州中學(xué)高三模擬)身高從矮到高的甲、乙、丙、丁、戊5人排成高矮相間的一個隊形，則甲丁不相鄰的不同的排法共有(　　) A．12 B．14 C．16 D．18 解析：選B.從矮到高的甲、乙、丙、丁、戊5人的身高可

7、記為1，2，3，4，5.要求1，4不相鄰．分四類：①先排4，5時，則1只有1種排法，2，3在剩余的兩個位上，這樣有AA＝4種排法；②先排3，5時，則4只有1種排法，2，1在剩余的兩個位上，這樣有AA＝4種排法；③先排1，2時，則4只有1種排法，3，5在剩余的兩個位上，這樣有AA＝4種排法；④先排1，3時，則這樣的數(shù)只有兩個，即21534，43512，只有兩種排法．綜上共有4＋4＋4＋2＝14種排法，故選B. 10．設(shè)集合A＝{(x1，x2，x3，x4，x5)|xi∈{－1，0，1}，i＝1，2，3，4，5}，那么集合A中滿足條件“1≤|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|≤3”的元

8、素的個數(shù)為(　　) A．60 B．90 C．120 D．130 解析：選D.設(shè)t＝|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|，t＝1說明x1，x2，x3，x4，x5中有一個為－1或1，其他為0，所以有2×C＝10個元素滿足t＝1；t＝2說明x1，x2，x3，x4，x5中有兩個為－1或1，其他為0，所以有C×2×2＝40個元素滿足t＝2；t＝3說明x1，x2，x3，x4，x5中有三個為－1或1，其他為0，所以有C×2×2×2＝80個元素滿足t＝3，從而，共有10＋40＋80＝130個元素滿足1≤t≤3. 11．(2020·溫州十五校聯(lián)合體期末聯(lián)考)用數(shù)字1、2、3、4、5構(gòu)

9、成數(shù)字不重復(fù)的五位數(shù)，要求數(shù)字1，3不相鄰，數(shù)字2，5相鄰，則這樣的五位數(shù)的個數(shù)是________(用數(shù)字作答)． 解析：先把2，5捆挷有2種方法，再把它與4排列有2種排法，此時共有3個空隙供數(shù)字1、3插入有A＝6種方法，故這樣的五位數(shù)的個數(shù)是2×2×6＝24個． 答案：24 12．(2020·嘉興市一中高考適應(yīng)性考試)電影院一排10個位置，甲、乙、丙三人去看電影，要求他們坐在同一排，那么他們每人左右兩邊都有空位且甲坐在中間的坐法有________種． 解析：先排7個空座位，由于空座位是相同的，則只有1種情況，其中有6個空位符合條件，考慮三人的順序，將3人插入6個空位中，則共有1×A＝

10、120種情況，由于甲必須坐在三人中間，則有符合要求的坐法有×120＝40(種)． 答案：40 13．從正方體六個面的對角線中任取兩條作為一對，其中所成的角為60°的共有________對． 解析：如圖．它們的棱是原正方體的12條面對角線． 一個正四面體中兩條棱成60°角的有(C－3)對，兩個正四面體有(C－3)×2對．又正方體的面對角線中平行成對，所以共有(C－3)×2×2＝48(對)． 答案：48 14．如圖A，B，C，D為海上4個小島，要建立3座大橋，將4個小島連接起來，則不同的建橋方案有________種． 解析：法一：任2個島之間建立1座橋，則共需C＝6座橋，現(xiàn)只

11、建其中3座，有C種建法，但如圖(1)這樣的建橋方式是不合題意的，類似這樣的情況有C種，則共有C－C＝16種建橋方案． 法二：依題意，滿足條件的建橋方案分兩類． 第一類，如圖(2)，此時有C種方法． 第二類，如圖(3)，此時有A＝12種方法． 由分類加法計數(shù)原理得，共有4＋12＝16種建橋方案． 答案：16 15．現(xiàn)從男、女共8名學(xué)生干部中選出2名男同學(xué)和1名女同學(xué)分別參加全校“資源”“生態(tài)”“環(huán)?！比齻€夏令營活動，已知共有90種不同的方案，那么有男生________人、女生________人． 解析：設(shè)男、女同學(xué)的人數(shù)分別為m和n，則有， 即 由于m，n∈N＋，則m＝3，

12、n＝5. 答案：3　5 16．在航天員進行的一項太空實驗中，要先后實施6個程序，其中程序A只能出現(xiàn)在第一或最后一步，程序B和C在實施時必須相鄰，則實驗順序的編排方法共有________種． 解析：程序A有A＝2種結(jié)果，將程序B和C看作元素集團與除A外的元素排列有AA＝48(種)，所以由分步乘法計數(shù)原理得，實驗順序的編排共有2×48＝96種方法． 答案：96 17．規(guī)定C＝，其中x∈R，m是正整數(shù)，且C＝1，這是組合數(shù)C(n，m是正整數(shù)，且m≤n)的一種推廣，則C＝________；若x>0，則x＝________時，取到最小值，該最小值為________． 解析：由規(guī)定：C＝＝－6

13、80，由＝＝. 因為x>0，x＋≥2，當且僅當x＝時，等號成立， 所以當x＝時，得最小值. 答案：－680　　 [綜合題組練] 1．已知10件不同的產(chǎn)品中有4件是次品，現(xiàn)對它們進行測試，直至找出所有的次品為止． (1)若恰在第5次測試才測試到第1件次品，第10次才找到最后一件次品，則這樣的不同測試方法數(shù)是多少？ (2)若恰在第5次測試后就找出了所有次品，則這樣的不同測試方法數(shù)是多少？ 解：(1)先排前4次測試，只能取正品，有A種不同的測試方法，再從4件次品中選2件排在第5次和第10次的位置上測試，有C·A＝A種測試方法，再排余下4件的測試位置，有A種測試方法．所以共有A·A·A

14、＝103 680種不同的測試方法． (2)第5次測試的產(chǎn)品恰為最后一件次品，另3件在前4次中出現(xiàn)，從而前4次有一件正品出現(xiàn)，所以共有C·C·A＝576種不同的測試方法． 2．現(xiàn)有男運動員6名，女運動員4名，其中男女隊長各1名，選派5人外出比賽，在下列情形中各有多少種選派方法？ (1)男運動員3名，女運動員2名； (2)至少有1名女運動員； (3)既要有隊長，又要有女運動員． 解：(1)任選3名男運動員，方法數(shù)為C，再選2名女運動員，方法數(shù)為C，共有C·C＝120種方法． (2)法一：至少有1名女運動員包括以下幾種情況： 1女4男，2女3男，3女2男，4女1男， 由分類加法計數(shù)

15、原理可得總選法數(shù)為 CC＋CC＋CC＋CC＝246(種)． 法二：“至少有1名女運動員”的反面是“全是男運動員”，因此用間接法求解，不同選法有C－C＝246(種)． (3)當有女隊長時，其他人任意選，共有C種選法，不選女隊長時，必選男隊長，其他人任意選，共有C種選法，其中不含女運動員的選法有C種，所以不選女隊長時共有(C－C)種選法． 所以既有隊長又有女運動員的選法共有C＋C－C＝191(種)． 3．證明下列各題： (1)A＋kA＝A(k≤n，n≥0)； (2)CC＝CC(k≤m≤n，n≥0)． 證明：(1)左邊＝＋k· ＝＝ ＝A＝右邊． (2)左邊＝· ＝， 右邊

16、＝· ＝， 所以左邊＝右邊． 4．集合A＝{x∈Z|x≥10}，集合B是集合A的子集，且B中的元素滿足：①任意一個元素的各數(shù)位的數(shù)字互不相同；②任意一個元素的任意兩個數(shù)位的數(shù)字之和不等于9. (1)集合B中兩位數(shù)和三位數(shù)各有多少個？ (2)集合B中是否有五位數(shù)？是否有六位數(shù)？ (3)將集合B中的元素從小到大排列，求第1 081個元素． 解：將0，1，…，9這10個數(shù)字按照和為9進行配對，(0，9)，(1，8)，(2，7)，(3，6)，(4，5)，B中元素的每個數(shù)位只能從上面五對數(shù)中每對只取一個數(shù)構(gòu)成． (1)兩位數(shù)有C×22×A－C×2＝72(個)； 三位數(shù)有C×23×A－C×22×A＝432(個)． (2)存在五位數(shù)，只需從上述五個數(shù)對中每對取一個數(shù)即可找出符合條件的五位數(shù)；不存在六位數(shù)，若存在，則至少要從一個數(shù)對中取出兩個數(shù)，則該兩個數(shù)字之和為9，與B中任意一個元素的任意兩個數(shù)位的數(shù)字之和不等于9矛盾，因此不存在六位數(shù)． (3)四位數(shù)共有C×24×A－C×23×A＝1 728(個)， 因此第1 081個元素是四位數(shù)，且是第577個四位數(shù)， 我們考慮千位，千位為1，2，3的四位數(shù)有3×C×23×A＝576(個)，因此第1 081個元素是4 012. 7