(全國通用)2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題提分教程 第二編 專題三 數(shù)列 第3講 數(shù)列的綜合問題練習(xí) 理
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1、第3講 數(shù)列的綜合問題 「考情研析」 1.從具體內(nèi)容上,數(shù)列的綜合問題,主要考查:①數(shù)列與函數(shù)、不等式結(jié)合,探求數(shù)列中的最值或證明不等式.②以等差數(shù)列、等比數(shù)列為背景,利用函數(shù)觀點探求參數(shù)的值或范圍. 2.從高考特點上,常在選填題型的最后兩題及解答題第17題中出現(xiàn),分值一般為5~8分. 核心知識回顧 數(shù)列綜合應(yīng)用主要體現(xiàn)在以下兩點: (1)以數(shù)列知識為紐帶,在數(shù)列與函數(shù)、方程、不等式、解析幾何的交匯處命題,主要考查利用函數(shù)觀點、不等式的方法解決數(shù)列問題,往往涉及與數(shù)列相關(guān)的不等式證明、參數(shù)的范圍等. (2)以數(shù)列知識為背景的新概念、創(chuàng)新型問題,除了需要用到數(shù)列知識外,還要運用函
2、數(shù)、不等式等相關(guān)知識和方法,特別是題目條件中的“新知識”是解題的鑰匙,此類問題體現(xiàn)了即時學(xué)習(xí),靈活運用知識的能力. 熱點考向探究 考向1 數(shù)列與函數(shù)的綜合問題 例1 (2019·上海市青浦區(qū)高三二模)已知函數(shù)f(x)=x2+ax+b(a,b∈R),且不等式|f(x)|≤2019|2x-x2|對任意的x∈[0,10]都成立,數(shù)列{an}是以7+a為首項,公差為1的等差數(shù)列(n∈N*). (1)當(dāng)x∈[0,10]時,寫出方程2x-x2=0的解,并寫出數(shù)列{an}的通項公式(不必證明); (2)若bn=an·an(n∈N*),數(shù)列{bn}的前n項和為Sn,對任意的n∈N*,都有Sn<
3、m成立,求m的取值范圍.
解 (1)因為x∈[0,10]時,易知方程2x-x2=0的解為x=2,x=4,
由不等式|f(x)|≤2019|2x-x2|對任意的x∈[0,10]都成立,可得
即解得
所以f(x)=x2-6x+8,又?jǐn)?shù)列{an}是以7+a=1為首項,公差為1的等差數(shù)列,所以an=n.
(2)由(1)知bn=an·an=n·n,
所以Sn=b1+b2+…+bn=1·+2·2+3·3+…+n·n,①
Sn=1·2+2·3+3·4+…+n·n+1,②
①-②得,Sn=+2+3+…+n-n·n+1=-n·n+1=-,
整理得,Sn=-,由>0可得Sn<,
由Sn 4、立,可得m≥.
數(shù)列與函數(shù)的綜合問題一般是利用函數(shù)作為背景,給出數(shù)列所滿足的條件,通常利用點在曲線上給出Sn的表達(dá)式,還有以曲線上的切點為背景的問題,解決這類問題的關(guān)鍵在于利用數(shù)列與函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系,將條件進(jìn)行準(zhǔn)確的轉(zhuǎn)化.
已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,向量a=(Sn,1),b=,滿足條件a∥b.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)設(shè)函數(shù)f(x)=x,數(shù)列{bn}滿足條件b1=1,f(bn+1)=.
①求數(shù)列{bn}的通項公式;
②設(shè)cn=,求數(shù)列{cn}的前n項和Tn.
解 (1)∵a∥b,∴Sn=2n-1,Sn=2n+1-2.
當(dāng)n≥2時,an=Sn-Sn- 5、1=2n;當(dāng)n=1時,a1=S1=2,滿足上式,
∴an=2n.
(2)①∵f(x)=x,f(bn+1)=,
∴bn+1=,∴=.
∴bn+1=bn+1,即bn+1-bn=1.又∵b1=1,∴{bn}是以1為首項,1為公差的等差數(shù)列,∴bn=n.
②cn==,Tn=++…++,
兩邊同乘得,Tn=++…++,
上述兩式相減得Tn=+++…+-
=-=1-,
∴Tn=2-(n∈N*).
考向2 數(shù)列與不等式的綜合問題
例2 (2019·云南玉溪第一中學(xué)高三第五次調(diào)研)若數(shù)列{an}的前n項和為Sn,首項a1>0且2Sn=a+ 6、an(n∈N*).
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)若an>0,令bn=,數(shù)列{bn}的前n項和為Tn,若Tn 7、
(1)數(shù)列中的不等式證明,大多是不等式的一端為一個數(shù)列的前n項和,另一端為常數(shù)的形式,證明的關(guān)鍵是放縮:①如果不等式一端的和式可以通過公式法、裂項法、錯位相減法求得,則先求和再放縮;②如果不等式一端的和式無法求和,則要通過對數(shù)列通項的合適放縮使之能夠求和,這時先放縮再求和,最后再放縮.
(2)注意放縮的尺度:如<,<.
(2019·安徽黃山高三第二次質(zhì)檢)已知數(shù)列的前n項和Sn=n,n∈N*.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)令bn=,數(shù)列{bn}的前n項和為Tn,求證:對于任意的n∈N*,都有Tn<1.
解 (1)因為Sn=n,?、?
當(dāng)n≥2時,Sn-1=n- 8、1,?、?
由①-②,得=1,故an=n+1,
又因為a1=2適合上式,所以an=n+1(n∈N*).
(2)證明:由(1)知,bn===-,Tn=++…+=1-,所以Tn<1.
考向3 奇(偶)數(shù)項和問題
例3 設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn.已知a1=1,a2=2,且an+2=3Sn-Sn+1+3,n∈N*.
(1)證明:an+2=3an;
(2)求Sn.
解 (1)證明:由條件,對任意n∈N*,有an+2=3Sn-Sn+1+3,因而對任意n∈N*,n≥2,有an+1=3Sn-1-Sn+3.
兩式相減,得an+2-an+1=3an-an+1,即an+2=3an,n≥2 9、.
又a1=1,a2=2,所以a3=3S1-S2+3=3a1-(a1+a2)+3=3a1.故對一切n∈N*,an+2=3an.
(2)由(1)知,an≠0,所以=3.
于是數(shù)列{a2n-1}是首項a1=1,公比為3的等比數(shù)列;
數(shù)列{a2n}是首項a2=2,公比為3的等比數(shù)列.
因此a2n-1=3n-1,a2n=2×3n-1.
于是S2n=a1+a2+…+a2n
=(a1+a3+…+a2n-1)+(a2+a4+…+a2n)
=(1+3+…+3n-1)+2(1+3+…+3n-1)
=3(1+3+…+3n-1)=,
從而S2n-1=S2n-a2n=-2×3n-1=(5×3n-2 10、-1).
當(dāng)n為偶數(shù)時,數(shù)列中的奇數(shù)項與偶數(shù)項相同,分別為項;當(dāng)n為奇數(shù)時,數(shù)列中的奇數(shù)項比偶數(shù)項多一項,此時偶數(shù)項為項,奇數(shù)項為+1=項.
已知函數(shù)f(x)=ln x+cosx-x的導(dǎo)數(shù)為f′(x),且數(shù)列{an}滿足an+1+an=nf′+3(n∈N*).
(1)若數(shù)列{an}是等差數(shù)列,求a1的值;
(2)若對任意n∈N*,都有an+2n2≥0成立,求a1的取值范圍.
解 f′(x)=-sinx-+,則f′=4,故an+1+an=4n+3.
(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,
則an=a1+(n-1)d,an+1=a1+nd,
由an+1+an=4n+3得(a 11、1+nd)+[a1+(n-1)d]=4n+3,解得d=2,a1=.
(2)由an+1+an=4n+3得an+2+an+1=4n+7,兩式相減得an+2-an=4,
故數(shù)列{a2n-1}是首項為a1,公差為4的等差數(shù)列;數(shù)列{a2n}是首項為a2,公差為4的等差數(shù)列,
又a1+a2=7,a2=7-a1,
所以an=
①當(dāng)n為奇數(shù)時,an=2n-2+a1,an+2n2≥0,則有a1≥-2n2-2n+2對任意的奇數(shù)n恒成立,
令f(n)=-2n2-2n+2=-22+,n為奇數(shù),
則f(n)max=f(1)=-2,所以a1≥-2.
②當(dāng)n為偶數(shù)時,an=2n+3-a1,an+2n2≥0 12、,則有a1≤2n2+2n+3對任意的偶數(shù)n恒成立,
令g(n)=2n2+2n+3=22+,n為偶數(shù),則g(n)min=g(2)=15,故a1≤15.
綜上,a1的取值范圍是[-2,15].
真題押題
『真題模擬』
1.(2019·齊齊哈爾高三二模)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且S10=120,a2-a1,a4-a2,a1+a2成等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)設(shè)Tn為數(shù)列的前n項和,求滿足Tn>的最小的n值.
解 (1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,
由S10=120得10a1+45d=120,2a1+9d=24,
由a2-a1,a4-a2 13、,a1+a2成等比數(shù)列,
得d(2a1+d)=4d2且d≠0,
∴2a1=3d,∴a1=3,d=2,
∴等差數(shù)列{an}的通項公式為an=a1+(n-1)d=3+(n-1)·2=2n+1.
(2)∵Sn=na1+=n(n+2),
∴==,
∴Tn==,
由Tn>得+<,n(3n-35)>60,
∴n的最小值為14.
2.(2019·河北衡水中學(xué)高三下學(xué)期一調(diào))已知數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足--=0,a1=1.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)在數(shù)列{an}的前100項中,是否存在兩項am,at(m,t∈N*,且m 14、的m,t的取值;若不存在,請說明理由.
解 (1)因為--=0,
所以 -=1,所以數(shù)列{}是以1為首項,1為公差的等差數(shù)列,所以=1+(n-1)×1=n,
所以Sn=n2.
當(dāng)n≥2時,an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1.
又2×1-1=1=a1,所以an=2n-1(n∈N*).
(2)若,,三項成等比數(shù)列,
則×=2,即×=2,
即(2m-1)2=3(2t-1).
因為t≤100,所以(2m-1)2≤597,又m∈N*,所以2m-1≤24,所以m≤12.
又2m-1為3的奇數(shù)倍,所以m=2,5,8,11,
驗證得
3.(2019·浙江高考)設(shè)等差數(shù)列 15、{an}的前n項和為Sn,a3=4,a4=S3.數(shù)列{bn}滿足:對每個n∈N*,Sn+bn,Sn+1+bn,Sn+2+bn成等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列{an},{bn}的通項公式;
(2)記cn=,n∈N*,證明:c1+c2+…+cn<2,n∈N*.
解 (1)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d,
由題意得解得
從而an=2n-2,n∈N*.所以Sn=n2-n,n∈N*.
由Sn+bn,Sn+1+bn,Sn+2+bn成等比數(shù)列,得
(Sn+1+bn)2=(Sn+bn)(Sn+2+bn).
解得bn=(S-SnSn+2).所以bn=n2+n,n∈N*.
(2)證明:cn= = = ,n∈ 16、N*.
我們用數(shù)學(xué)歸納法證明.
①當(dāng)n=1時,c1=0<2,不等式成立;
②假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*)時不等式成立,即c1+c2+…+ck<2.那么,當(dāng)n=k+1時,
c1+c2+…+ck+ck+1<2+ <2+ <2+=2+2(-)=2,
即當(dāng)n=k+1時不等式也成立.
根據(jù)①和②,不等式c1+c2+…+cn<2對任意n∈N*成立.
『金版押題』
4.已知函數(shù)f(x)=cosπx-sinπx(x∈R)的所有正的零點構(gòu)成遞增數(shù)列{an}(n∈N*).
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)設(shè)bn=n,求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.
解 (1)f(x)=cosπx-sinπ 17、x=2cos,
由題意令πx+=kπ+(k∈Z),解得x=k+(k∈Z).
又函數(shù)f(x)的所有正的零點構(gòu)成遞增數(shù)列{an},所以{an}是以為首項,1為公差的等差數(shù)列,所以an=n-(n∈N*).
(2)由(1)知bn=n=n·n,
則Tn=1·1+2·2+3·3+…+(n-1)·n-1+n·n,①
Tn=1·2+2·3+3·4+…+(n-1)·n+n·n+1,②
①-②得,Tn=+2+3+…+n-n·n+1=-n·n+1=1-(n+2)·n+1,所以Tn=2-(n+2)n.
配套作業(yè)
1.(2019·北京市海淀區(qū)高三4月模擬)已知等差數(shù)列{an}的公差d=2,且a2+a 18、5=2,{an}的前n項和為Sn.
(1)求{an}的通項公式;
(2)若Sm,a9,a15成等比數(shù)列,求m的值.
解 (1)因為a5+a2=2,d=2,所以2a1+5d=2a1+10=2,所以a1=-4,所以an=2n-6.
(2)Sm==m2-5m,又a9=12,a15=24,
因為Sm,a9,a15是等比數(shù)列,所以a=Sma15,
所以m2-5m-6=0,m=6或m=-1,
因為m∈N*,所以m=6.
2.設(shè)數(shù)列{an}的前n項和是Sn,若點An在函數(shù)f(x)=-x+c的圖象上運動,其中c是與x無關(guān)的常數(shù),且a1=3.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)記bn= 19、aan,求數(shù)列{bn}的前n項和Tn的最小值.
解 (1)因為點An在函數(shù)f(x)=-x+c的圖象上運動,所以=-n+c,所以Sn=-n2+cn.
因為a1=3,所以c=4,所以Sn=-n2+4n,所以an=Sn-Sn-1=-2n+5(n≥2).
又a1=3滿足上式,所以an=-2n+5(n∈N*).
(2)由(1)知,bn=aan=-2an+5=-2(-2n+5)+5=4n-5,所以{bn}為等差數(shù)列,所以Tn==2n2-3n,
當(dāng)n=1時,Tn取最小值,所以Tn的最小值是T1=-1.
3.(2019·廣東東莞高三二調(diào))已知數(shù)列{an}滿足a2=3,an+1=2an+1,設(shè)bn= 20、an+1.
(1)求a1,a3;
(2)判斷數(shù)列{bn}是否為等比數(shù)列,并說明理由;
(3)求a1+a3+a5+…+a2n+1.
解 (1)數(shù)列{an}滿足a2=3,an+1=2an+1,
當(dāng)n=1時,a2=2a1+1,解得a1=1.
當(dāng)n=2時,解得a3=7.
(2)當(dāng)n=1時,b1=2,所以==2(常數(shù)),
則數(shù)列{bn}是以2為首項,2為公比的等比數(shù)列.
(3)由(1)和(2)得an=2n-1,
所以a1+a3+…+a2n+1=(21+23+…+22n+1)-(n+1)=-(n+1)=.
4.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若a1=,3Sn+1=Sn+1.
(1 21、)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)若bn=logan,數(shù)列{an·bn}的前n項和為Tn,求Tn.
解 (1)當(dāng)n=1時,3S2=,a2=,∴3a2=a1;
當(dāng)n≥2時,3Sn=Sn-1+1,∴3an+1=an(n≥2),故數(shù)列{an}是以為首項,為公比的等比數(shù)列,則an=×n-1=n.
(2)由(1)知bn=logan=n,則an·bn=n·n.
從而Tn=1×+2×2+…+(n-1)×n-1+n·n,①
Tn=1×2+2×3+…+(n-1)×n+n·n+1,②
由①-②得,Tn=+2+…+n-n·n+1=-n·n+1,
因此Tn=-(2n+3)·n.
5.(2019·衡 22、水第二中學(xué)高三上學(xué)期期中)已知等差數(shù)列{an}與公比為正數(shù)的等比數(shù)列{bn}滿足b1=2a1=2,a2+b3=10,a3+b2=7.
(1)求{an},{bn}的通項公式;
(2)若cn=,求數(shù)列{cn}的前n項和Sn.
解 (1)由題意a1=1,b1=2.
設(shè)公差為d,公比為q,則解得
故an=a1+(n-1)d=n,bn=b1·qn-1=2n.
(2)因為cn=,
所以cn==-,
故Sn=-+-+…+-=-.
6.設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,點(an,bn)在函數(shù)f(x)=2x的圖象上(n∈N*).
(1)若a1=-2,點(a8,4b7)在函數(shù)f(x)的圖象上,求數(shù) 23、列{an}的前n項和Sn;
(2)若a1=1,函數(shù)f(x)的圖象在點(a2,b2)處的切線在x軸上的截距為2-,求數(shù)列的前n項和Tn.
解 (1)由已知得,b7=2a7,b8=2a8=4b7,有2a8=4×2a7=2a7+2.所以d=a8-a7=2.
所以Sn=na1+d=-2n+n(n-1)=n2-3n.
(2)f′(x)=2xln 2,f′(a2)=2a2ln 2,故函數(shù)f(x)=2x的圖象在(a2,b2)處的切線方程為y-2a2=2a2ln 2(x-a2),
它在x軸上的截距為a2-.
由題意得,a2-=2-,解得a2=2.
所以d=a2-a1=1.從而an=n,bn=2n 24、,=.
所以Tn=+++…++,
2Tn=+++…+.
因此,2Tn-Tn=1+++…+-
=2--=.
所以,Tn=.
7.(2019·安徽六安第一中學(xué)高三模擬)已知a,b,c分別為△ABC的三內(nèi)角A,B,C的對邊,其面積S=,B=60°,a2+c2=2b2,在等差數(shù)列{an}中,a1=a,公差d=b.數(shù)列{bn}的前n項和為Tn,且Tn-2bn+1=0,n∈N*.
(1)求數(shù)列{an},{bn}的通項公式;
(2)若cn=anbn,求數(shù)列{cn}的前n項和Sn.
解 (1)S=acsinB=ac·=,∴ac=4,
又a2+c2=2b2,b2=a2+c2-2accosB, 25、
∴b2=ac=4,∴b=2,
從而(a+c)2=a2+c2+2ac=16,得a+c=4,
∴a=c=2,
故可得∴an=2+2(n-1)=2n.
∵Tn-2bn+1=0, ①
∴當(dāng)n=1時,b1=1;
當(dāng)n≥2時,Tn-1-2bn-1+1=0,?、?
①-②,得bn=2bn-1(n≥2),
∴數(shù)列{bn}為等比數(shù)列,∴bn=2n-1.
(2)由(1)得cn=2n·2n-1=n·2n,
∴Sn=a1·b1+a2·b2+…+an·bn=1×21+2×22+3×23+…+n·2n, ③
∴2Sn=1×22+2×23+3×24+…+n·2n+1, ④
③-④得-Sn=1×21 26、+(22+23+…+2n)-n·2n+1,
即-Sn=(1-n)2n+1-2,∴Sn=(n-1)2n+1+2.
8.(2019·貴州凱里第一中學(xué)高三下學(xué)期模擬)在等差數(shù)列{an}中,已知a3+a4=84-a5,a8=36.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式an;
(2)記Sn為數(shù)列{an}的前n項和,求的最小值.
解 (1)由a3+a4=84-a5,得a4=28,
∴由得
即數(shù)列{an}的通項公式為an=22+(n-1)×2=2n+20.
(2)由(1)得,Sn=22n+×2=n2+21n,
∴=n++21,令f(x)=x++21,n∈N*,
f′(x)=1-,當(dāng)x∈(0,2 27、)時,f′(x)<0;
當(dāng)x∈(2,+∞)時,f′(x)>0,則f(x)在(0,2)上單調(diào)遞減,在(2,+∞)上單調(diào)遞增,
又n∈N*,f(4)=f(5)=30,
∴當(dāng)n=4或5時,f(n)取到最小值30,即的最小值為30.
數(shù)列類解答題
(12分)已知各項均不為零的數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且對任意的n∈N*,滿足Sn=a1(an-1).
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)設(shè)數(shù)列{bn}滿足anbn=log2an,數(shù)列{bn}的前n項和為Tn,求證:Tn<.
解題思路 (1)根據(jù)Sn-Sn-1=an(n≥2)及遞推關(guān)系式化簡得an和an-1的關(guān)系式,從而求出a 28、n;(2)采用錯位相減法求Tn,從而證明結(jié)論.
解 (1)當(dāng)n=1時,a1=S1=a1(a1-1)=a-a1,
∵a1≠0,∴a1=4.(2分)
∴Sn=(an-1),∴當(dāng)n≥2時,Sn-1=(an-1-1),
兩式相減得an=4an-1(n≥2),(4分)
∴數(shù)列{an}是首項為4,公比為4的等比數(shù)列,∴an=4n.(6分)
(2)證明:∵anbn=log2an=2n,∴bn=,(7分)
∴Tn=+++…+,
Tn=+++…+,(8分)
兩式相減得Tn=++++…+-=2-=2×-=--=-.(10分)
∴Tn=-<.(12分)
1.正確求出a1的值給2分.
2. 29、利用an與Sn的關(guān)系構(gòu)造等比數(shù)列給2分.
3.寫出數(shù)列{an}的通項公式給2分.
4.求出數(shù)列{bn}的通項公式給1分.
5.采取錯位相減法給1分.
6.兩式相減后的正確化簡計算給2分.
7.放縮法證明不等式給2分.
1.由an與Sn的關(guān)系求通項公式,易忽略條件n≥2而出錯.
2.錯位相減法中兩式相減后,一定成等比數(shù)列的有n-1項,整個式子共有n+1項.
3.放縮法證明不等式時,要注意放縮適度,放的過大或過小都不能達(dá)到證明的目的.
[跟蹤訓(xùn)練]
(2019·沈陽模擬)(12分)設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項和,a1=1,S=an(n≥2).
(1)求Sn;
(2)設(shè)bn=,求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.
解 (1)當(dāng)n≥2時,由S=an得,
S=(Sn-Sn-1),
整理得,Sn-1-Sn=2Sn-1Sn?-=2,(3分)
又==1,
∴數(shù)列是以2為公差、以1為首項的等差數(shù)列,則
=1+2(n-1),故Sn=.(6分)
(2)由(1)知,bn==
=,(9分)
∴Tn===.(12分)
- 15 -
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