(浙江專版)2020屆高考數(shù)學一輪復習 單元檢測十 計數(shù)原理單元檢測(含解析)

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1、單元檢測十 計數(shù)原理 (時間:120分鐘 滿分:150分) 第Ⅰ卷(選擇題 共40分) 一、選擇題(本大題共10小題,每小題4分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的) 1.3個單位從4名大學畢業(yè)生中選聘工作人員,若每個單位至少選聘1人(4名大學畢業(yè)生不一定都能被選聘上),則不同的選聘方法的種數(shù)為(  ) A.60B.36C.24D.42 答案 A 解析 當4名大學畢業(yè)生都被選聘上時,則有CA=6×6=36(種)不同的選聘方法;當4名大學畢業(yè)生有3名被選聘上時,則有A=24(種)不同的選聘方法.由分類加法計數(shù)原理,可得不同的選聘方法種數(shù)為36+24=60,

2、故選A. 2.用數(shù)字0,1,2,3,4組成沒有重復數(shù)字,且大于3000的四位數(shù),則這樣的四位數(shù)有(  ) A.250個B.249個C.48個D.24個 答案 C 解析 先考慮四位數(shù)的首位,當排數(shù)字4,3時,其他三個數(shù)位上可從剩余的4個數(shù)中任選3個進行全排列,得到的四位數(shù)都滿足題設(shè)條件,因此依據(jù)分類加法計數(shù)原理,可得滿足題設(shè)條件的四位數(shù)共有A+A=2A=2×4×3×2=48(個),故選C. 3.有四支足球隊進行單循環(huán)比賽(每兩隊比賽一場),每場比賽勝者得3分,負者得0分,平局雙方各1分.比賽結(jié)束后發(fā)現(xiàn)沒有足球隊全勝,且四隊得分各不相同,則比賽中可能出現(xiàn)的最少的平局場數(shù)是(  ) A.

3、0B.1C.2D.3 答案 B 解析 四支隊得分總和最多為3×6=18,若沒有平局,又沒有全勝的隊,則四支隊的得分只可能有6,3,0三種選擇,必有兩隊得分相同,與四隊得分各不相同矛盾,所以最少平局場數(shù)是1,如四隊得分為7,6,3,1時符合題意,故選B. 4.某班上午有5節(jié)課,分別安排語文、數(shù)學、英語、物理、化學各1節(jié)課,要求語文與化學相鄰,數(shù)學與物理不相鄰,且數(shù)學不排在第一節(jié)課,則不同的排課法的種數(shù)是(  ) A.16B.24C.8D.12 答案 A 解析 根據(jù)題意分3步進行分析:①要求語文與化學相鄰,將語文與化學看成一個整體,考慮其順序,有A=2(種)情況;②將這個整體與英語全排

4、列,有A=2(種)情況,排好后,有3個空位;③數(shù)學課不排在第一節(jié),有2個空位可選,在剩下的2個空位中任選1個安排物理,有2種情況,則數(shù)學、物理的安排方法有2×2=4(種),則不同的排課法的種數(shù)是2×2×4=16,故選A. 5.某電視臺連續(xù)播放6個廣告,其中有3個不同的商業(yè)廣告,2個不同的兩會宣傳片,1個公益廣告,要求最后播放的不能是商業(yè)廣告,且兩會宣傳片與公益廣告不能連續(xù)播放,2個兩會宣傳片也不能連續(xù)播放,則不同的播放方式的種數(shù)是(  ) A.48B.98C.108D.120 答案 C 解析 首選排列3個商業(yè)廣告,有A種結(jié)果,再在3個商業(yè)廣告形成的4個空中排入另外3個廣告,注意最后一個

5、位置的特殊性,共有CA種結(jié)果,故不同的播放方式的種數(shù)為ACA=108. 6.C+C+C+C+…+C的值為(  ) A.CB.CC.CD.C 答案 D 解析 C+C+C+C+…+C=C+C+C+C+…+C=C+C+C+…+C=C+C+…+C=…=C=C,故選D. 7.在(1+x-x2)10的展開式中,x3的系數(shù)為(  ) A.10B.30C.45D.210 答案 B 解析 (1+x-x2)10表示10個1+x-x2相乘,x3的組成可分為3個x或1個x2,1個x組成,故展開式中x3的系數(shù)為C+(-1)·C·C=120-90=30,故選B. 8.某班班會準備從包含甲、乙的7名學生中

6、選取4人發(fā)言,要求甲、乙2人至少有1人參加,若甲、乙同時參加,則他們發(fā)言的順序不能相鄰,那么不同發(fā)言順序的種數(shù)為(  ) A.720B.520C.600D.360 答案 C 解析 分兩種情況討論: 若甲、乙2人只有1人參加,有CCA=480(種)情況;若甲、乙2人都參加且發(fā)言的順序不相鄰,有CCAA=120(種)情況, 則不同發(fā)言順序的種數(shù)為480+120=600. 9.設(shè)集合A={(x1,x2,x3,x4)|xi∈{-1,0,1},i=1,2,3,4},那么集合A中滿足條件“x+x+x+x≤4”的元素個數(shù)為(  ) A.60B.65C.80D.81 答案 D 解析 由題意可

7、得x+x+x+x≤4成立,需要分五種情況討論: ①當x+x+x+x=0時,只有1種情況,即x1=x2=x3=x4=0; ②當x+x+x+x=1時,即x1=±1,x2=x3=x4=0,有2C=8種; ③當x+x+x+x=2時,即x1=±1,x2=±1,x3=x4=0,有4C=24種; ④當x+x+x+x=3時,即x1=±1,x2=±1,x3=±1,x4=0,有8C=32種; ⑤當x+x+x+x=4時,即x1=±1,x2=±1,x3=±1,x4=±1,有16種, 綜合以上五種情況,則總共有81種,故選D. 10.已知關(guān)于x的等式x4+a1x3+a2x2+a3x+a4=(x+1)4+b

8、1(x+1)3+b2(x+1)2+b3(x+1)+b4,定義映射f:(a1,a2,a3,a4)→(b1,b2,b3,b4),則f(4,3,2,1)等于(  ) A.(1,2,3,4) B.(0,3,4,0) C.(0,-3,4,-1) D.(-1,0,2,-2) 答案 C 解析 因為x4+a1x3+a2x2+a3x+a4=[(x+1)-1]4+a1[(x+1)-1]3+a2[(x+1)-1]2+a3[(x+1)-1]+a4,所以f(4,3,2,1)=[(x+1)-1]4+4[(x+1)-1]3+3[(x+1)-1]2+2[(x+1)-1]+1,所以b1=C(-1)+4C=0,b

9、2=C(-1)2+4C(-1)+3C=-3,b3=C(-1)3+4C(-1)2+3C(-1)+2=4,b4=C(-1)4+4C(-1)3+3C(-1)2+2(-1)+1=-1,故選C. 第Ⅱ卷(非選擇題 共110分) 二、填空題(本大題共7小題,多空題每題6分,單空題每題4分,共36分.把答案填在題中橫線上) 11.若CA=42,則=________. 答案 35 解析 由×2=42,解得n=7,所以==35. 12.(2018·嘉興市期末測試)已知(1-x)6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6,則x2項的二項式系數(shù)是________;|a0|+|a1|+|a2|+…+|a6|

10、=________. 答案 15 64 解析 二項式(1-x)6的展開式的通項公式為 Tk+1=C(-x)k=(-1)kCxk, 令k=2得x2項的二項式系數(shù)為C=15. 由二項展開式的通項公式得x的奇數(shù)次冪的項的系數(shù)小于零,偶數(shù)次冪的項的系數(shù)大于零, 則|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|+|a6|=a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6, 則在(1-x)6=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6中,令x=-1得a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6=[1-(-1)]6=64. 13.(2018·浙江名校聯(lián)盟聯(lián)考)已知5的展開

11、式中含的項的系數(shù)為30,則實數(shù)a=________,展開式的第3項是________. 答案?。? 360 解析 5的展開式的通項 Tk+1=C()5-k·k=(-a)kC, 當-k=時,k=1.∴(-a)1C=-5a=30,∴a=-6. 第3項為T3=C()5-22=C62=360. 14.(2019·臺州市期末質(zhì)量評估)若(x2-2x-3)n的展開式中所有項的系數(shù)之和為256,則n=________,含x2項的系數(shù)是________.(用數(shù)字作答) 答案 4 108 解析 令x=1,則有(-4)n=256,解得n=4, 所以(x2-2x-3)n=(x2-2x-3)4=(x

12、-3)4(x+1)4, 所以x2項的系數(shù)是C(-3)2+C×(-3)4+C×(-3)3×C=108. 15.(2018·紹興市嵊州高考適應(yīng)性考試)已知多項式(x+b)5=(x-1)5+a1(x-1)4+a2(x-1)3+a3(x-1)2+a4(x-1)-32,則b=________,a2=________. 答案?。? 40 解析 設(shè)x=1,則(1+b)5=-32,解得b=-3; 因為(x+b)5=(x-3)5=[(x-1)-2]5, 所以a2=C·(-2)2=40. 16.(2018·麗水、衢州、湖州三地質(zhì)檢)現(xiàn)有7名志愿者,其中只會俄語的有3人,既會俄語又會英語的有4人.從中

13、選出4人負責“一帶一路”峰會開幕式翻譯工作,2人擔任英語翻譯,2人擔任俄語翻譯,共有________種不同的選法. 答案 60 解析 不選只會俄語的,有C··A=6種選法;選1名只會俄語的,有(C·C)·C=36種選法;選2名只會俄語的,有C·C=18種選法,所以共有60種不同的選法. 17.有6張卡片分別寫有數(shù)字1,1,1,2,3,4,從中任取3張,可排出不同的三位數(shù)的個數(shù)是________.(用數(shù)字作答) 答案 34 解析 當取出的3張卡片中不含寫有數(shù)字1的卡片時,只有1種取法,可構(gòu)成A個不同的三位數(shù);當取出的3張卡片中,含1張寫有數(shù)字1的卡片時,有C種取法,可構(gòu)成CA個不同的三

14、位數(shù);當取出的3張卡片中,含2張寫有數(shù)字1的卡片時,有C種取法,可構(gòu)成個不同的三位數(shù);當取出的3張卡片都為寫有數(shù)字1的卡片時,有1種取法,只能構(gòu)成1個三位數(shù).綜上所述,構(gòu)成的不同的三位數(shù)共有A33+CA++1=34(個). 三、解答題(本大題共5小題,共74分.解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟) 18.(14分)有兩排座位,前排11個座位,后排12個座位,現(xiàn)安排2人就座,規(guī)定前排中間的3個座位不能坐,并且這2人不左右相鄰,共有多少種不同的排法? 解 ∵前排中間3個座位不能坐, ∴實際可坐的位置前排8個,后排12個. (1)兩人一個前排,一個后排,方法數(shù)為C·C·A; (2)兩

15、人均在后排左右不相鄰,方法數(shù)為A-A·A=A; (3)兩人均在前排,又分兩類: ①兩人一左一右,方法數(shù)為C·C·A; ②兩人同左或同右,方法數(shù)為2(A-A·A). 綜上,不同的排法種數(shù)為C·C·A+A+C·C·A+2(A-A·A)=346. 19.(15分)已知m,n∈N*,f(x)=(1+x)m+(1+x)n的展開式中x的系數(shù)為19,求x2的系數(shù)的最小值及此時展開式中x7的系數(shù). 解 由題設(shè)知,m+n=19.又m,n∈N*,∴1≤m≤18, ∴x2的系數(shù)為C+C=(m2-m)+(n2-n) =m2-19m+171. ∴當m=9或10時,x2的系數(shù)取最小值81,此時x7的系數(shù)

16、為C+C=156. 20.(15分)某人有4種顏色的燈泡(每種顏色的燈泡足夠多),要在如圖所示的6個點A,B,C,A1,B1,C1上各裝一個燈泡,要求同一條線段兩端的燈泡不同色,求每種顏色的燈泡都至少用一個的安裝方法的種數(shù). 解 第一步,在點A1,B1,C1上安裝燈泡,A1有4種方法,B1有3種方法,C1有2種方法,則共有4×3×2=24(種)方法. 第二步,從A,B,C中選一個點安裝第4種顏色的燈泡,有3種方法. 第三步,再給剩余的兩個點安裝燈泡,有3種方法. 由分步乘法計數(shù)原理可得,安裝方法共有4×3×2×3×3=216(種). 21.(15分)已知n的展開式的各項系數(shù)之和

17、等于5的展開式中的常數(shù)項,求: (1)展開式的二項式系數(shù)和; (2)展開式中a-1項的二項式系數(shù). 解 依題意,令a=1,得n展開式中各項系數(shù)和為(3-1)n=2n,5展開式中的通項為Tk+1=C(4)5-kk=(-1)kC45-k··. 若Tk+1為常數(shù)項,則=0,即k=2, 故常數(shù)項為T3=(-1)2C·43·5-1=27, 于是有2n=27,得n=7. (1)n展開式的二項式系數(shù)和為2n=27=128. (2)7的通項為Tk+1=C7-k·(-)k =C(-1)k·37-k·,令=-1,得k=3, ∴所求a-1項的二項式系數(shù)為C=35. 22.(15分)已知a,b,

18、c∈{-2,0,1,2,3},且a,b,c互不相同,則對于方程ay=b2x2+c所表示的曲線中不同的拋物線共有多少條? 解 將方程ay=b2x2+c變形可得x2=y(tǒng)-,若表示拋物線,則a≠0且b≠0,所以分b=-2,1,2,3四種情況: ①當b=-2時, 當=時,=0,,; 當=時,=0,,; 當=時,=0,,. ②當b=2時, 當=-時,=0,,; 當=時,=-,0,; 當=時,=-,0,. ③當b=1時, ④當b=3時, 由于b=-2或b=2時,b2=4,①與②中有4條重復的拋物線,所以方程ay=b2x2+c所表示的曲線中不同的拋物線共有9×2-4+9×2=32(條). 8

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