(全國通用)2020版高考數(shù)學二輪復習 專題提分教程 第二編 專題五 解析幾何 第1講 直線與圓練習 理
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1、第1講 直線與圓 「考情研析」 1.考查直線間的平行和垂直的條件,與距離有關(guān)的問題. 2.考查直線與圓相切和相交的問題,與直線被圓所截得的弦長有關(guān)的問題. 核心知識回顧 1.直線的斜率 直線過點A(x1,y1),B(x2,y2),其傾斜角為α,則斜率k==tanα. 2.直線的兩種位置關(guān)系 3.三種距離公式 (1)兩點間的距離:若A(x1,y1),B(x2,y2),則|AB|= . (2)點到直線的距離:點P(x0,y0)到直線Ax+By+C=0的距離d=. (3)兩平行線的距離:若直線l1,l2的方程分別為l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0
2、(C1≠C2),則兩平行線的距離d=.
4.圓的方程
(1)標準方程:(x-a)2+(y-b)2=r2.
(2)一般方程:方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圓的充要條件是D2+E2-4F>0,其中圓心是,半徑r=.
5.直線與圓的位置關(guān)系
設(shè)圓心到直線的距離為d,圓的半徑為r.
d與r的關(guān)系
直線與圓的關(guān)系
d>r
相離
d=r
相切
d 3、0與直線l2:x+my-3=0平行”的( )
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
答案 D
解析 若直線l1:mx+4y-6=0與直線l2:x+my-3=0平行,則m2=4,m=±2,
當m=2時,直線l1:2x+4y-6=0與直線l2:x+2y-3=0,兩直線重合,舍去,
所以“直線l1:mx+4y-6=0與直線l2:x+my-3=0平行”等價于“m=-2”,
所以“m=2”是“直線l1:mx+4y-6=0與直線l2:x+my-3=0平行”的既不充分也不必要條件.故選D.
(2)已知直線l:ax+y-2-a=0在x軸和y軸上的截距 4、相等,則a的值是( )
A.1 B.-1
C.-2或-1 D.-2或1
答案 D
解析?、佼攁=0時,y=2不符合題意.②當a≠0時,令x=0,得y=2+a,令y=0,得x=,則=a+2,得a=1或a=-2.故選D.
(3)已知直線l:x-y-1=0,l1:2x-y-2=0.若直線l2與l1關(guān)于l對稱,則l2的方程是( )
A.x-2y+1=0 B.x-2y-1=0
C.x+y-1=0 D.x+2y-1=0
答案 B
解析 因為l1與l2關(guān)于l對稱,所以l1上任一點關(guān)于l的對稱點都在l2上,故l與l1的交點(1,0)在l2上.又易知(0,-2)為l1上一點,設(shè)它關(guān)于l的對 5、稱點為(x,y),則解得即(1,0),(-1,-1)為l2上兩點,可得l2的方程為x-2y-1=0,故選B.
(1)在使用不同形式的直線方程時要注意其適用條件.
(2)討論兩直線的位置關(guān)系時,要注意直線的斜率是否存在.
1.(2019·湘贛十四校高三聯(lián)考)若cosθ=,sinθ=-,則角θ的終邊所在的直線方程為( )
A.3x-4y=0 B.4x+3y=0
C.3x+4y=0 D.4x-3y=0
答案 C
解析 因為cosθ=,sinθ=-,所以tanθ==-,因此角θ的終邊所在的直線斜率為-.故選C.
2.已知直線l的傾斜角為π,直線l1經(jīng)過點A(3,2),B( 6、a,-1),且l1與l垂直,直線l2:2x+by+1=0與直線l1平行,則a+b等于( )
A.-4 B.-2
C.0 D.2
答案 B
解析 由題意知l的斜率為-1,則l1的斜率為1,即kAB==1,∴a=0.由l1∥l2,得-=1(b≠0),∴b=-2(經(jīng)檢驗滿足題意),∴a+b=-2,故選B.
3.直線xcosα+y+b=0(α,b∈R)的傾斜角的取值范圍是________.
答案 ∪
解析 ∵直線的斜率k=-cosα,α∈R,∴-1≤k≤1,直線的傾斜角的取值范圍為∪.
考向2 圓的方程及應用
例2 (1)(2019·成都市高三二診)已知a∈R且為常數(shù),圓C 7、:x2+2x+y2-2ay=0,過圓C內(nèi)一點(1,2)的直線l與圓C相交于A,B兩點,當弦AB最短時,直線l的方程為2x-y=0,則a的值為( )
A.2 B.3
C.4 D.5
答案 B
解析 圓C:x2+2x+y2-2ay=0化簡為(x+1)2+(y-a)2=a2+1,圓心坐標為C(-1,a),半徑為.
如圖,由題意可得,當弦AB最短時,過圓心與點(1,2)的直線與直線2x-y=0垂直.則=-,即a=3.故選B.
(2)與直線x+y-2=0和曲線x2+y2-12x-12y+54=0都相切的半徑最小的圓的標準方程是( )
A.(x+2)2+(y-2)2=2 B.(x 8、-2)2+(y+2)2=2
C.(x+2)2+(y+2)2=2 D.(x-2)2+(y-2)2=2
答案 D
解析 由題意知,曲線方程為(x-6)2+(y-6)2=18,過圓心(6,6)作直線x+y-2=0的垂線,垂線方程為y=x,則所求的最小圓的圓心必在直線y=x上,又(6,6)到直線x+y-2=0的距離d==5,故最小圓的半徑為,圓心坐標為(2,2),所以標準方程為(x-2)2+(y-2)2=2.
(3)已知過定點P(2,0)的直線l與曲線y=相交于A,B兩點,O為坐標原點,當△AOB的面積取到最大值時,直線l的傾斜角為( )
A.150° B.135°
C.120° D 9、.不存在
答案 A
解析 由y=得x2+y2=2(y≥0),它表示以原點O為圓心,以為半徑的圓的一部分,其圖形如圖所示.設(shè)過點P(2,0)的直線為y=k(x-2),則圓心到此直線AB的距離d=,因為S△AOB=|OA||OB|·sin∠AOB=sin∠AOB,所以當∠AOB=時,S△AOB取最大值,此時圓心O到直線AB的距離為1,由=1得k=-,故直線l的傾斜角為150°.
(1)求圓的方程就是求出圓心坐標和圓的半徑,一般是根據(jù)已知條件寫出方程即可.
(2)方程Ax2+By2+Dx+Ey+F=0(AB≠0)表示圓的充要條件是A=B且D2+E2-4AF>0.
1.在平面直角 10、坐標系xOy中,已知A(-1,0),B(0,1),則滿足|PA|2-|PB|2=4且在圓x2+y2=4上的點P的個數(shù)為( )
A.0 B.1
C.2 D.3
答案 C
解析 設(shè)P(x,y),則由|PA|2-|PB|2=4,得(x+1)2+y2-x2-(y-1)2=4,所以x+y-2=0.求滿足條件的點P的個數(shù)即為求直線與圓的交點個數(shù),圓心到直線的距離為=<2=r,所以直線與圓相交,交點個數(shù)為2.故滿足條件的點P有2個,選C.
2.(2019·宜賓市高三第二次診斷)過直線3x-4y-14=0上一點P作圓C:(x+1)2+(y-2)2=9的切線,切點分別為A,B,則當四邊形PACB 11、面積最小時,直線AB的方程是( )
A.4x-3y+2=0 B.3x-4y+2=0
C.3x-4y-2=0 D.4x-3y-2=0
答案 B
解析 根據(jù)題意,圓C:(x+1)2+(y-2)2=9的圓心C為(-1,2),半徑r=3;點P為直線3x-4y-14=0上一點,PA,PB為圓C的切線,則PA⊥CA,PB⊥CB,
則有|PA|=|PB|
= = ,
則S四邊形PACB=2S△PCA=2××|CA|×|PA|=3,
則當|PC|取得最小值時,四邊形PACB面積最小,此時CP與直線3x-4y-14=0垂直,
且|CP|==5,則C到直線AB的距離d=,
又由CP⊥AB 12、,則直線AB與直線3x-4y-14=0平行,設(shè)直線AB的方程為3x-4y-m=0,
則d==,解得m=-2或-20(舍去),則直線AB的方程為3x-4y+2=0.故選B.
3.圓(x-2)2+y2=4關(guān)于直線y=x對稱的圓的方程是( )
A.(x-)2+(y-1)2=4
B.(x-)2+(y-)2=4
C.x2+(y-2)2=4
D.(x-1)2+(y-)2=4
答案 D
解析 (x-2)2+y2=4的圓心為(2,0),其關(guān)于y=x對稱的點為(x,y),則解得x=1,y=,所以所求圓的方程為(x-1)2+(y-)2=4,故選D.
考向3 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系
13、例3 (1)(2019·東北三省高三第二次模擬)圓x2-4x+y2=0與圓x2+y2+4x+3=0的公切線共有( )
A.1條 B.2條
C.3條 D.4條
答案 D
解析 x2-4x+y2=0?(x-2)2+y2=22,圓心坐標為(2,0),半徑為2.x2+y2+4x+3=0?(x+2)2+y2=12,圓心坐標為(-2,0),半徑為1.圓心距為4,兩圓半徑和為3,因為4>3,所以兩圓的位置關(guān)系是外離,故兩圓的公切線共有4條.故選D.
(2)一條光線從點(1,-1)射出,經(jīng)y軸反射后與圓(x-2)2+y2=1相交,則入射光線所在直線的斜率的取值范圍為( )
A. B.
14、
C. D.
答案 C
解析 由題意可知,反射光線必過(-1,-1)點,設(shè)反射光線斜率為k,則反射光線為kx-y+k-1=0,由題意可知<1,∴0 15、b+1=0,得b=-,又直線l與直線x+y+2=0垂直,故-=1,所以a=,故直線l的方程為x-y+1=0,即x-y+3=0,選D.
(1)處理直線與圓的位置關(guān)系問題時,主要利用幾何法,即利用圓心到直線的距離與半徑的大小關(guān)系判斷,并依據(jù)圓的幾何性質(zhì)求解.
(2)直線與圓相交涉及弦長問題時,主要依據(jù)弦長的一半、弦心距、半徑的關(guān)系求解.
(3)經(jīng)過圓內(nèi)一點,垂直于過這點的半徑的弦最短.
1.已知圓C:(x-3)2+(y-4)2=4和兩點A(-m,0),B(m,0)(m>0),若圓C上存在點P,使得∠APB=90°,則m的最大值為( )
A.7 B.6
C.5 D.4
答 16、案 A
解析 由題意知,點P在以原點O(0,0)為圓心,以m為半徑的圓上,又因為點P在圓C上,所以只要兩個圓有交點即可.圓心C(3,4)到O(0,0)的距離為5,所以|m-2|≤5≤m+2,解得3≤m≤7,即m的最大值為7.故選A.
2.直線y=kx+3被圓(x-2)2+(y-3)2=4截得的弦長為2,則k=( )
A.± B.±
C. D.
答案 A
解析 圓(x-2)2+(y-3)2=4的圓心坐標為(2,3),半徑r=2,圓心(2,3)到直線y=kx+3的距離d=,∵直線y=kx+3被圓(x-2)2+(y-3)2=4截得的弦長為2,∴由勾股定理得r2=d2+2,即4= 17、+3,解得k=±.故選A.
3.(2019·朝陽區(qū)高三第一次模擬)已知圓C:(x-2)2+y2=2,直線l:y=kx-2,若直線l上存在點P,過點P引圓的兩條切線l1,l2,使得l1⊥l2,則實數(shù)k的取值范圍是( )
A.[0,2-)∪(2+,+∞)
B.[2-,2+]
C.(-∞,0)
D.[0,+∞)
答案 D
解析 圓心C(2,0),半徑r=,設(shè)P(x,y),因為兩切線l1⊥l2,如下圖,PA⊥PB,由切線性質(zhì)定理,知PA⊥AC,PB⊥BC,|PA|=|PB|,所以四邊形PACB為正方形,所以|PC|=2,則有(x-2)2+y2=4,即點P的軌跡是以(2,0)為圓心,2為 18、半徑的圓.
直線l:y=kx-2過定點(0,-2),直線方程即kx-y-2=0,只要直線l與P點的軌跡(圓)有交點即可,即大圓的圓心到直線的距離小于等于半徑,即d=≤2,解得k≥0,即實數(shù)k的取值范圍是[0,+∞).故選D.
真題押題
『真題模擬』
1.(2019·廈門模擬)“C=2”是“點(1,)到直線x+y+C=0的距離為3”的( )
A.充要條件 B.充分不必要條件
C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件
答案 B
解析 若點(1,)到直線x+y+C=0的距離為3,則有=3,解得C=2或C=-10,故“C=2”是“點(1,)到直線x+y+C=0的距離為3” 19、的充分不必要條件,選B.
2.(2019·山東省高三第一次大聯(lián)考)已知直線l:x-y=0與圓C:x2+(y-1)2=1相交于O,A兩點,O為坐標原點,則△COA的面積為( )
A. B.
C. D.2
答案 A
解析 由題意,直線l,圓C均過原點,△COA為等腰三角形,且|CO|=|CA|=1,∠OCA=60°,所以S△COA=|CO|·|CA|·sin∠OCA=×12×=.故選A.
3.(2019·唐山市第一中學高三下學期沖刺(一))過點P(-1,-1)且不垂直于y軸的直線l與圓M:x2+y2-2x-3=0交于A,B兩點,點C在圓M上,若△ABC是正三角形,則直線l的斜率 20、是( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 根據(jù)題意得,圓M:x2+y2-2x-3=0即(x-1)2+y2=4,圓心M為(1,0),半徑r=2,設(shè)正三角形ABC的高為h,由題意知M為正三角形ABC的中心,
∴M到直線l的距離d=h,又h=|AB|,即d=|AB|,∴由垂徑定理可得+d2=r2=4,可得|AB|=2,∴d=1,由題意知設(shè)直線l的斜率存在且不為0,設(shè)為k,則直線l的方程為y+1=k(x+1),即kx-y+k-1=0,則有=1,解得k=或0(舍去).故選D.
4.(2019·合肥市高三第二次教學質(zhì)量檢測)在平面直角坐標系xOy中,圓C經(jīng)過點(0,1),(0,3 21、),且與x軸正半軸相切,若圓C上存在點M,使得直線OM與直線y=kx(k>0)關(guān)于y軸對稱,則k的最小值為( )
A. B.
C.2 D.4
答案 D
解析 ∵圓C經(jīng)過(0,1),(0,3),∴圓心在(0,1),(0,3)的垂直平分線y=2上,又∵圓C與x軸正半軸相切,
∴圓的半徑為2.設(shè)圓心坐標為(x0,2),x0>0,由x+(2-3)2=4,得x0=,∴圓心坐標為(,2),設(shè)OM的斜率為k0,因為k>0,所以k0<0,當k0最大時k最小,設(shè)OM:y=k0x(k0<0),由圖可知當y=k0x與圓相切時k0最大,此時=2,解得k0=-4,此時k=4,即k的最小值為4,故選D 22、.
5.(2019·浙江高考)已知圓C的圓心坐標是(0,m),半徑長是r.若直線2x-y+3=0與圓C相切于點A(-2,-1),則m=________,r=________.
答案 -2
解析 根據(jù)題意畫出圖形,可知A(-2,-1),C(0,m),B(0,3),則|AB|==2,
|AC|=
=,|BC|=|m-3|.
∵直線2x-y+3=0與圓C相切于點A,
∴∠BAC=90°,∴|AB|2+|AC|2=|BC|2.
即20+4+(m+1)2=(m-3)2,解得m=-2.
因此r=|AC|==.
『金版押題』
6.由直線y=x+1上的一點向圓(x-)2+y2= 23、r2(r>0)引切線,若切線長的最小值為,則r的值為( )
A.2 B.
C. D.1
答案 D
解析 從題意看出,切線長、直線上的點到圓心的距離、半徑之間滿足勾股定理,顯然圓心(,0)到直線的距離最小時,切線長也最?。畧A心(,0)到直線y=x+1的距離為=2,切線長的最小值為=,解得r=1或r=-1(舍去),選D.
7.已知P是直線kx+y+4=0(k>0)上一動點,PA,PB是圓C:x2+y2-2y=0的兩條切線,切點分別為A,B,若四邊形PACB的最小面積為2,則k的值為( )
A.3 B.2
C.1 D.
答案 B
解析 S四邊形PACB=|PA| 24、·|AC|=|PA|==,可知當|CP|最小,即CP⊥l時,其面積最小,由最小面積=2得|CP|min=,由點到直線的距離公式得|CP|min==,因為k>0,所以k=2.選B.
配套作業(yè)
一、選擇題
1.與直線3x-2y+7=0關(guān)于y軸對稱的直線方程為( )
A.3x+2y+7=0 B.3x+2y-7=0
C.2x-3y+7=0 D.3x-2y-7=0
答案 B
解析 由題知,與直線3x-2y+7=0關(guān)于y軸對稱的直線方程是3(-x)-2y+7=0,即3x+2y-7=0,故選B.
2.已知直線3x+4y-3=0與直線6x+my+14=0平行,則它們之間的距離是( )
25、
A. B.
C.8 D.2
答案 D
解析 ∵=≠,∴m=8,直線6x+my+14=0可化為3x+4y+7=0,兩平行線之間的距離d==2.
3.已知直線l經(jīng)過圓C:x2+y2-2x-4y=0的圓心,且坐標原點到直線l的距離為,則直線l的方程為( )
A.x+2y+5=0 B.2x+y-5=0
C.x+2y-5=0 D.x-2y+3=0
答案 C
解析 圓心C(1,2),故kOC=2,|OC|=,所以l⊥OC,kl=-,直線l的方程為y-2=-(x-1),即x+2y-5=0,故選C.
4.(2019·蕪湖市四校高二上學期期末聯(lián)考)圓x2+(y-3)2=1上的動點P 26、到點Q(2,3)的距離的最小值為( )
A.2 B.1
C.3 D.4
答案 B
解析 圓x2+(y-3)2=1上的動點P到點Q(2,3)的距離的最小值為圓心到點Q(2,3)的距離減去半徑.∵圓x2+(y-3)2=1的圓心坐標為C(0,3),半徑為r=1,∴|CQ|-r=2-1=1,∴圓x2+(y-3)2=1上的動點P到點Q(2,3)的距離的最小值為1.故選B.
5.集合A={(x,y)|x2+y2-2mx+m2≤4},B={(x,y)|x2+y2+2x-2my≤8-m2},若A∩B=A,則實數(shù)m的范圍是( )
A.[-1,0] B.(-1,0)
C.[0,1] D. 27、(0,1)
答案 A
解析 設(shè)A,B表示的兩圓的圓心分別為C1,C2,由A∩B=A,得A?B,則圓(x-m)2+y2=4與圓(x+1)2+(y-m)2=9的關(guān)系是內(nèi)切或內(nèi)含,則|C1C2|=≤3-2,得m2+m≤0,即-1≤m≤0.
6.已知點P(1,2)和圓C:x2+y2+kx+2y+k2=0,過點P作圓C的切線有兩條,則k的取值范圍是( )
A.k∈R B.k<
C.- 28、外.將P(1,2)代入,得k2+k+9>0.∵k2+k+9=2+>0恒成立,∴k的取值范圍是.
7.(2019·內(nèi)江、眉山等六市高三第二次診斷)若直線x-my+m=0與圓(x-1)2+y2=1相交,且兩個交點位于坐標平面上不同的象限,則m的取值范圍是( )
A.(0,1) B.(0,2)
C.(-1,0) D.(-2,0)
答案 D
解析 圓與直線聯(lián)立整理得(1+m2)y2-2m(m+1)y+m2+2m=0.∵直線與圓相交且有兩個交點,∴方程有兩個不相等的實數(shù)根,即Δ>0,Δ=4m2(m+1)2-4(m2+2m)(m2+1)=-8m>0,得m<0.∵圓(x-1)2+y2=1上的 29、點都在y軸右側(cè)及原點,若要交點在兩個象限,則交點縱坐標的符號相反,即一個交點在第一象限,一個交點在第四象限.
∴y1y2=<0,解得-2 30、x軸的對稱點C1′(2,-3),連接C1′C2,與x軸交于點P,連接PC1,根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊可知|PC1|+|PC2|的最小值為|C1′C2|==5.則|PM|+|PN|的最小值為5-4.
9.已知圓C:(x-1)2+y2=r2(r>0),設(shè)p:0 31、以0 32、019·山東師范大學附屬中學高三第四次模擬)已知直線x+y-k=0(k>0)與圓x2+y2=4交于不同的兩點A,B,O是坐標原點,且有·≥-2,那么k的取值范圍是( )
A.(,+∞) B.[,2)
C.[,+∞) D.[,2)
答案 B
解析 根據(jù)題意得,圓x2+y2=4的圓心為(0,0),半徑r=2,設(shè)圓心到直線x+y-k=0的距離為d,若直線x+y-k=0(k>0)與圓x2+y2=4交于不同的兩點A,B,則d==<2,則有k<2.設(shè)與的夾角即∠AOB=θ,若·≥-2,即|OA|·|OB|·cosθ≥-2,變形可得cosθ≥-,則θ≤.當θ=時,d=1,若θ≤,則d=≥1,解得k 33、≥,則k的取值范圍為[,2).故選B.
二、填空題
12.已知圓M:x2+y2+2x+2y-5=0,此圓中過原點的弦最短時,該弦所在的直線方程為________.
答案 x+y=0
解析 ∵圓M:x2+y2+2x+2y-5=0,∴圓心M的坐標為(-1,-),∴kOM==,∴此圓中過原點的弦最短時,該弦所在的直線的斜率k=-,∴該弦所在的直線方程為y=- x,即x+y=0.
13.已知P(2,0)為圓C:x2+y2-2x+2my+m2-7=0(m>0)內(nèi)一點,過點P的直線AB交圓C于A,B兩點,若△ABC面積的最大值為4,則正實數(shù)m的取值范圍為________.
答案 ≤m<
解析 34、 圓的標準方程為(x-1)2+(y+m)2=8,則圓心坐標為(1,-m),半徑r=2,S△ABC=r2sin∠ACB=4sin∠ACB,當∠ACB=90°時,△ABC的面積取得最大值4,此時△ABC為等腰直角三角形,AB=r=4,則點C到直線AB的距離等于2,故2≤PC<2,即2≤<2,∴4≤1+m2<8,即3≤m2<7,∵m>0,∴≤m<.
14.(2019·宜賓市高三第二次診斷)已知直線l1:3x+y-6=0與圓心為M(0,1),半徑為的圓相交于A,B兩點,另一直線l2:2kx+2y-3k-3=0與圓M交于C,D兩點,則AB的中點坐標為________,四邊形ACBD面積的最大值為________.
答案 5
解析 以M(0,1)為圓心,半徑為的圓的方程為x2+(y-1)2=5,聯(lián)立解得A(2,0),B(1,3),∴AB的中點坐標為.直線l2:2kx+2y-3k-3=0恒過定點,要使四邊形的面積最大,只需直線l2過圓心即可,即CD為直徑,此時AB垂直CD,|AB|==,∴四邊形ACBD面積的最大值為S=·|AB|·|CD|=××2=5.
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