八年級(jí)數(shù)學(xué)暑假專題輔導(dǎo) 培優(yōu)專題

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1、 （1）已知四邊形ABCD，∠ ABC=30°∠ADC=60° AD=DC，求證BD =AB +BC 方法一：把△ABD繞D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,∵AD=DC?∴旋轉(zhuǎn)后的△DCP≌△DAB,∠BDP=60°BD=BP,∴等邊三角形BDP,BP=BD. 又∵∠ABD+∠CBD=30°?∴∠CBD+∠CPD=30°，∴BC⊥CP(是可以證的，∵∠BPD+∠DBC+∠DPC=直角BCP)?∴BC²+CP²=BP² ∵CP=AB,BP=BD???如圖1 方法二：做BP⊥AB,且使BP=BC,連接AP,AC,PC.∵AD=DC,∠ADC=60°∴等邊三角形 ADC

2、?∵BA⊥BP,∠ABC=30°∴∠PBC=60°∴等邊三角形PBC? ∵AC=DC,∠ACP=∠DCB,PC=BC?∴△ACP≌△DCB(SAS)∴AP=BD? 又∵RT△ABP∴AB²+BP²=AP²?∵BP=BC，AP=BD?如圖2 如圖所示，在凸四邊形ABCD中，∠ABC=30°，∠ADC=60°，AD=DC，求證：BD2=AB2+BC2 如圖：四邊形ABCD中，AD=DC，∠ABC=30°，∠ADC=60°．試探索以AB、BC、BD為邊，能否組成直角三角形，并說明理由． ? 解：分析:待證明的等式說明AB,BC,BD三條線段可組成一個(gè)

3、直角三角形.因此,應(yīng)設(shè)法將它們集中到一起.從條件容易知道,三角形ADC是一個(gè)正三角形.這樣,就可一將三角形BCD作旋轉(zhuǎn)變換.得到以下證明方法: 證明:連結(jié)AC,因?yàn)锳D=DC,∠ADC=60° 則△ACD是等邊三角形. 過B作BE⊥AB,使BE=BC,連結(jié)CE,AE 則∠EBC=90°－∠ABC=90°－30°=60° ∴△BCE是正三角形, 又∠ACE=∠ACB＋∠BCE =∠ACB＋60° ∠DCB=∠ACB＋∠ACD =∠ACB＋60° ∴∠ACE=∠DCB 又DC=AC,BC=CE 所以△DCB≌△ACE 所以AE=BD 在直角三角形ABE中AE^2=AB^

4、2＋BE^2 即BD^2=AB^2＋BC^2 證明:過B作AB⊥BE使BE=BC 則∠ABE=90° ∵∠ABC=30° ∴∠CBE=60° ∴△BCE為正三角形 ∴BC=BE=CE ∵∠ACE=∠ACB+60°=∠DCB AC=DC BC=CE ∴△DCB≌△ACE ∴BD=AE 在Rt△ABE中 ∵AE^2=AB^2+BE^2 ∴BD平方=AB平方+BC平方 過B作AB⊥BE使BE=BC 則∠ABE=90° ∵∠ABC=30° ∴∠CBE=60° ∴△BCE為正三角形 ∴BC=BE=CE ∵∠ACE=∠ACB+60°=∠DCB AC=DC BC=

5、CE ∴△DCB≌△ACE ∴BD=AE 在Rt△ABE中 ∵AE^2=AB^2+BE^2 ∴BD平方=AB平方+BC平方 過B作AB⊥BE使BE=BC 則∠ABE=90° ∵∠ABC=30° ∴∠CBE=60° ∴△BCE為正三角形 ∴BC=BE=CE ∵∠ACE=∠ACB+60°=∠DCB AC=DC BC=CE ∴△DCB≌△ACE ∴BD=AE 在Rt△ABE中 ∵AE^2=AB^2+BE^2 ∴BD平方=AB平方+BC平方 解答: 分析從結(jié)論想辦法.結(jié)論是BD=AB+BC,是勾股定理的表達(dá)式，因此要通過變形,構(gòu)造直角三角形, 使BD為斜邊,

6、AB、BC為直角邊。 為此我們 過點(diǎn)B作BE垂直AB于B, 使BE=BC，點(diǎn)E、C在直線AB同旁，連結(jié)CE， 則三角形BCE為等邊三角形。 連結(jié)AE、BD， 在三角形ACE和三角形BCD中， BC=CE， CD=AC，∠ACE=60度+∠ACB，∠BCD=60度+∠ACB，所以∠ACE=∠BCD 所以三角形BCD全等于三角形ACE，于是AE=BD ；在三角形ABE中，∠ABE=90度，所以， AE=AB+BE, BE=BC, AE=AB+BC 所以，BD=AB+BC 2.如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC=30°，∠ADC=60°，AD=DC，連接AC、BD．在四邊形A

7、BCD的外部以BC為一邊作等邊三角形BCE，連接AE． （1）求證：BD=AE； （2）若AB=2，BC=3，求BD的長(zhǎng)． ?(1)略；（2）BD=. 【解析】 試題分析：（1）由∠ADC=60°，AD=DC，易得△ADC是等邊三角形，又由△BCE是等邊三角形，可證得△BDC≌△EAC（SAS），即可得BD=AE； （2）由△BCE是等邊三角形，∠ABC=30°，易得∠ABE=90°，然后由勾股定理求得AE的長(zhǎng)，即可求得BD的長(zhǎng)． 試題解析： 證明：∵在△ADC中，AD=DC，∠ADC=60°， ∴△ADC是等邊三角形， ∴DC=AC，∠DCA=60°； 又∵△BCE

8、是等邊三角形， ∴CB=CE，∠BCE=60°， ∴∠DCA+∠ACB=∠ECB+∠ACB， 即∠DCB=∠ACE， 在△BDC和△EAC中， ， ∴△BDC≌△EAC（SAS）， ∴BD=AE； （2）【解析】 ∵△BCE是等邊三角形， ∴BE=BC=3，∠CBE=60°． ∵∠ABC=30°， ∴∠ABE=∠ABC+∠CBE=90°． 在Rt△ABE中，AE===， ∴BD=AE=． 考點(diǎn)：全等三角形的判定及性質(zhì)；等邊三角形的判定及性質(zhì) ?（3）三角形abc是等腰直角三角形，∠acb==90°，m，n為斜邊ab上兩點(diǎn)。滿足am+bn=mn求∠MCN的度數(shù)．

9、 方法1： 給你一個(gè)提示，M N兩點(diǎn)分別是MN=2AM=2BN,也就是說MN=1/2AB,AM=BN=1/4AB,M N分別做AC BC的高，利用三角函數(shù)求出角BCN ACM,實(shí)際上這兩個(gè)角是相等的，然后用90度減去就行了 方法2 證明：作PA⊥AB，且PA=BN，連接CP ∵三角形ABC是等腰直角三角形，∴AC=BC，∠CAB=∠B=45o 在⊿CPA和⊿CNB中，∠PAC=90o-∠CAB=45o=∠B，PA=NB，CA=CB ∴⊿CPA≌⊿CNB（SAS） ∴CP=CN，∠PCA=∠NCB ∵∠MCN=45o∴∠ACM+∠NCB=45o則∠PCA+

10、∠ACM=45o即∠PCM=45o=∠MCN。 又∵CM=CM ∴⊿PCM≌⊿NCM（SAS） ∴PM=MN ∵⊿PAM是直角三角形，∴PA2+AM2=PM2 即AM2+BN2=MN2 如圖，等腰直角△ABC的斜邊AB上 有兩點(diǎn)M、N，且滿足MN2=BN2+AM2， 將△ABC繞著C點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，點(diǎn)M、N的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為T、S． （1）請(qǐng)畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形，并證明△MCN≌△MCS； （2）求∠MCN的度數(shù)． 作圖-旋轉(zhuǎn)變換；全等三角形的判定及性質(zhì)；勾股定理的逆定理． 專題：綜合題． 分析：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)角度、旋轉(zhuǎn)方向、旋轉(zhuǎn)點(diǎn)找出各點(diǎn)的對(duì)應(yīng)

11、點(diǎn)，順次連接即可得出旋轉(zhuǎn)后的圖形，根據(jù)MN2=BN2+AM2，可證得MS=MN，從而利用SSS可證得結(jié)論． （2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)角為90°，再由（1）的結(jié)論即可得出答案． 解答：解：（1）畫圖形如右圖所示： 證明：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：CS=CN，AS=BN， 又∵M(jìn)N2=BN2+AM2， ∴MN2=AS2+AM2=MS2， ∴MS=MN， 又∵CS=CN，CM=CM， ∴△MCN≌△MCS（SSS）． （2）由（1）得：△MCN≌△MCS， ∴∠NCM=∠MCS=45°． 點(diǎn)評(píng)：本題考查旋轉(zhuǎn)作圖及三角形全等的證明，難度較大，關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)前后線段的長(zhǎng)度，角的度數(shù)均不變． （4）

12、三角形ABC中,D在AC上AB=AD=2,AC=4,BD:DC=2:3 則三角形是什么三角形 設(shè)BD的中點(diǎn)為E，且BD＝2x，則CD＝3x，從而CE＝4x，由勾股定理得： AB－BE＝AE＝AC－CE ∴2－x2＝4－(4x) 得：x＝ ∴BC＝(5x)＝25x＝25×＝20 而AB＋AC＝2＋4＝20 ∴AB＋AC＝BC 即△ABC是直角三角形 （5）在△ABC中，AB=10，AC=5，D是BC上的一點(diǎn)，且BD：DC=2：3，則AD的取值范圍是 4＜AD＜84＜AD＜8． 考點(diǎn)：三角形三邊關(guān)系． 分析：已知兩邊，則第三邊的

13、長(zhǎng)度應(yīng)是大于兩邊的差而小于兩邊的和，這樣就可求出BC的取值范圍；根據(jù)BD：DC=2：3，求出BD，DC的取值范圍，再根據(jù)三角形三邊關(guān)系求出AD的取值范圍． 解答：解：由三角形三邊關(guān)系定理得10-5＜BC＜10+5，即5＜BC＜15． ∵BD：DC=2：3， ∴2＜BD＜6， ∴AD的取值范圍是10-6＜AD＜10-2，即4＜AD＜8． 故答案為4＜AD＜8． 點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形三邊關(guān)系．要注意三角形形成的條件：任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊． 已知三角形ABC,點(diǎn)D在邊AC上,AD:DC=2:1,BD⊥AB, tan∠DBC=,則sin∠ BAC為

14、 答案為 解：過D做AB的平行線交BC于E，則因?yàn)锽D⊥AB，所以BD⊥BC，在Rt△BED中，因?yàn)閠an∠ DBC=，即DE/BD=，設(shè)DE=k,則BD=3K,所以BE=^10k.因?yàn)镈E∥AB，=，所以=，故CE=,,在△DBC中tan∠DBC=，即=，解得 cos∠DBC=3倍根10/10，由余弦定理解得DC=3k倍根2/2,所以AD=3k 。所以sin∠BAC ==.。 如圖，已知△ABC，點(diǎn)D在邊AC上，AD：DC=2：1，BD⊥AB，tan∠DBC=，則sin∠BAC的值是??? ． 首先過D做AB的平行線交BC于E，求出cos∠DBC===，進(jìn)而

15、得出CD2=BD2+BC2-2BD?BCcos∠DBC，求出CD的長(zhǎng)，進(jìn)而得出sin∠BAC的值． 【解析】 過D做AB的平行線交BC于E， ∵BD⊥AB，∴BD⊥DE， 在Rt△BED中， tan∠DBC=， 即=， 設(shè)DE=k，則BD=3K， 所以BE=k． ∵DE∥AB，=2， ∴=2， 故CE=k， 在△DBC中tan∠DBC=， 則cos∠DBC===， 由余弦定理：CD2=BD2+BC2-2BD?BCcos∠DBC， CD2=9k2+（）2k2-2×3k×k×， 解得：DC=， 所以AD=3k． 所以sin∠BAC==． 故答案為：．

16、 直角三角形斜邊中線定理 如果一個(gè)三角形是直角三角形，那么這個(gè)三角形 斜邊上的中線 等于斜邊的一半 　　 其逆命題1：如果一個(gè)三角形一條邊的中線等于這條邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形，且這條邊為直角三角形的斜邊。 　　逆命題1是正確的。以該條邊的中點(diǎn)為圓心，以中線長(zhǎng)為半徑作圓，則該邊成為圓的直徑，該三角形的另一個(gè)頂點(diǎn)在圓上，該頂角為圓周角。因?yàn)橹睆缴系膱A周角是直角，所以逆命題1成立。 　　原命題2：如果BD是直角三角形ABC斜邊AC上的中線，那么它等

17、于AC的一半。 　　逆命題2：如果線段BD的一端B是直角三角形ABC的頂點(diǎn)，另一端D在斜邊AC上，且BD等于AC的一半，那么BD是斜邊AC的中線。 　　逆命題2是不成立的。舉一個(gè)反例。設(shè)直角三角形三邊長(zhǎng)分別為AB=3，BC=4，AC=5。斜邊的一半長(zhǎng)為2.5,斜邊上的高BE=（3*4）/5=2.4,在線段AE上上必能找到一點(diǎn)D，使BD=2.5，但BD并不是AC邊的中線，因?yàn)锳C邊的中點(diǎn)在線段EC上。 3.閱讀：定理“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”，如圖，Rt△ABC中，D為AB中點(diǎn)，則CD=AD=BD= 1 2 AB．（此定理在解決下面的問題中要用到） 應(yīng)用：

18、如圖1，在△ABC中，點(diǎn)P為BC邊中點(diǎn)，直線a繞頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，若B、P在直線a的異側(cè)，BM⊥直線a于點(diǎn)M，CN⊥直線a于點(diǎn)N，連接PM、PN； （1）延長(zhǎng)MP交CN于點(diǎn)E（如圖2）．①求證：△BPM≌△CPE；②求證：PM=PN； （2）若直線a繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時(shí)，點(diǎn)B、P在直線a的同側(cè)，其它條件不變，此時(shí)PM=PN還成立嗎？若成立，請(qǐng)給予證明：若不成立，請(qǐng)說明理由； （3）若直線a繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到及BC邊平行的位置時(shí)，其它條件不變，請(qǐng)直接判斷四邊形MBCN的形狀及此時(shí)PM=PN還成立嗎？不必說明理由． （1）①證明：∵BM⊥直線a，CN⊥直線a， ∴∠BMN=∠CN

19、M=90°， ∴BM∥CN， ∴∠MBP=∠PCE， ∵點(diǎn)P為BC邊中點(diǎn)， ∴BP=PC， 在△BPM和△CPE中， ∠MBP=∠PCE BP=PC ∠BPM=∠CPE ∴△BPM≌△CPE（ASA）； ②∵△BPM≌△CPE， ∴MP=PE， ∵∠MNE=90°， ∴PN=PM； （2）PM=PN還成立． 理由如下：如圖3，延長(zhǎng)MP及NC延長(zhǎng)線交于F， ∵BM⊥直線a，CN⊥直線a， ∴BM∥FN， ∴∠BMP=∠PFC， ∵點(diǎn)P為BC邊中點(diǎn)， ∴BP=PC， 在△BMP和△CFP中， ∠BMP=∠PFC BP=PC ∠

20、BPM=∠CPF ∴△BMP≌△CFP（ASA）， ∴PM=PF， ∵∠MNF=90°， ∴PM=PN； （3）四邊形MBCN是矩形，PM=PN還成立． 理由如下：如圖4，∵a∥BC，BM⊥a，CN⊥a， ∴BM∥CN，BM=CN， ∴四邊形MBCN是矩形， ∵點(diǎn)P是BC的中點(diǎn)， ∴BP=CP， 在△BMP和△CMN中， BM=CN ∠PBM=∠PCN=90 BP=CP ∴△BMP≌△CPN（SAS）， ∴PM=PN． 4.如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D是斜邊AC的中點(diǎn)，DE⊥AB，垂足為E，EF∥DB交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，猜

21、想：四邊形CDEF是怎樣的特殊四邊形？試對(duì)你猜想的結(jié)論說明理由． 四邊形CDEF是等腰梯形． 理由： ∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D是斜邊AC的中點(diǎn)，DE⊥AB， ∴BD是斜邊上的中線，DE是△ABC的中位線， ∴BD=CD，DE∥BC，DE= 1 2 BC， ∵EF∥DB， ∴四邊形BDEF是平行四邊形， ∴BD=EF， ∴EF=CD， ∵DE∥BC， ∴四邊形CDEF是梯形， ∴四邊形CDEF是等腰梯形． 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，點(diǎn)D是斜邊AB中點(diǎn)，作DE⊥AB，交直線AC于點(diǎn)E。 （1）若∠A=30°，求線段C

22、E的長(zhǎng)； （2）當(dāng)點(diǎn)E在線段AC上時(shí)，設(shè)BC=x，CE=y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出定義域； （3）若CE=1，求BC的長(zhǎng)。 題型：解答題難度：偏難來(lái)源： 解：（1）（1）聯(lián)結(jié)BE，點(diǎn)D是AB中點(diǎn)且DE⊥AB，BE=AE ∵∠A=30°，∠ABE=30°，∠CBE=∠B-∠ABE=30° 又∵∠C=90° ∴ ∵AC=6 ∴； （2）結(jié)BE，則 在Rt△BCE中，由勾股定理得 即 解得； （3）1°當(dāng)點(diǎn)E在線段AC上時(shí)，由（2）得 解得（負(fù)值已舍） 2°當(dāng)點(diǎn)E在AC延長(zhǎng)線上時(shí)， 在Rt△BCE中，由勾股定理得，即 解得（負(fù)值已舍） 綜上所述，滿足條件的BC的長(zhǎng)為，。