數(shù)學選修2-3人教A：全冊學案

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111 1． 1分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理 教學目標： 知識與技能：①理解分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理； ②會利用兩個原理分析和解決一些簡單的應用問題； 過程與方法：培養(yǎng)學生的歸納概括能力； 情感、態(tài)度與價值觀：引導學生形成 “自主學習”與“合作學習”等良好的學習方式 教學重點：分類計數(shù)原理(加法原理)與分步計數(shù)原理(乘法原理) 教學難點：分類計數(shù)原理(加法原理)與分步計數(shù)原理(乘法原理)的準確理解 授課類型：新授課 課時安排：2課時 教 具：多媒體、實物投影儀 第一課時 引入課題 先看下面的問題： ①從我們班上推選出兩名同學擔任班長，有多少種不同的選法？ ②把我們的同學排成一排，共有多少種不同的排法？ 要解決這些問題，就要運用有關排列、組合知識. 排列組合是一種重要的數(shù)學計數(shù)方法. 總的來說，就是研究按某一規(guī)則做某事時，一共有多少種不同的做法. 在運用排列、組合方法時，經(jīng)常要用到分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理. 這節(jié)課，我們從具體例子出發(fā)來學習這兩個原理. 1 分類加法計數(shù)原理 （1）提出問題 問題1.1：用一個大寫的英文字母或一個阿拉伯數(shù)字給教室里的座位編號，總共能夠編出多少種不同的號碼？ 問題1.2：從甲地到乙地，可以乘火車，也可以乘汽車.如果一天中火車有3班，汽車有2班.那么一天中，乘坐這些交通工具從甲地到乙地共有多少種不同的走法？ 探究：你能說說以上兩個問題的特征嗎？ （2）發(fā)現(xiàn)新知 分類加法計數(shù)原理 完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有種不同的方法，在第2類方案中有種不同的方法. 那么完成這件事共有 種不同的方法. （3）知識應用 例1.在填寫高考志愿表時，一名高中畢業(yè)生了解到，A,B兩所大學各有一些自己感興趣的強項專業(yè)，具體情況如下： A大學 B大學 生物學 數(shù)學 化學 會計學 醫(yī)學 信息技術學 物理學 法學 工程學 如果這名同學只能選一個專業(yè)，那么他共有多少種選擇呢？ 分析：由于這名同學在 A , B 兩所大學中只能選擇一所，而且只能選擇一個專業(yè)，又由于兩所大學沒有共同的強項專業(yè)，因此符合分類加法計數(shù)原理的條件．解：這名同學可以選擇 A , B 兩所大學中的一所．在 A 大學中有 5 種專業(yè)選擇方法，在 B 大學中有 4 種專業(yè)選擇方法．又由于沒有一個強項專業(yè)是兩所大學共有的，因此根據(jù)分類加法計數(shù)原理，這名同學可能的專業(yè)選擇共有 5+4=9（種）. 變式：若還有C大學，其中強項專業(yè)為：新聞學、金融學、人力資源學.那么，這名同學可能的專業(yè)選擇共有多少種？ 探究：如果完成一件事有三類不同方案，在第1類方案中有種不同的方法，在第2類方案中有種不同的方法，在第3類方案中有種不同的方法，那么完成這件事共有多少種不同的方法？ 如果完成一件事情有類不同方案，在每一類中都有若干種不同方法，那么應當如何計數(shù)呢？ 一般歸納： 完成一件事情，有n類辦法，在第1類辦法中有種不同的方法，在第2類辦法中有種不同的方法……在第n類辦法中有種不同的方法.那么完成這件事共有 種不同的方法. 理解分類加法計數(shù)原理： 分類加法計數(shù)原理針對的是“分類”問題，完成一件事要分為若干類，各類的方法相互獨立，各類中的各種方法也相對獨立，用任何一類中的任何一種方法都可以單獨完成這件事. 例2.一螞蟻沿著長方體的棱,從的一個頂點爬到相對的另一個頂點的最近路線共有多少條？ 解:從總體上看,如,螞蟻從頂點A爬到頂點C1有三類方法,從局部上看每類又需兩步完成,所以, 第一類, m1 = 12 = 2 條 第二類, m2 = 12 = 2 條 第三類, m3 = 12 = 2 條 所以, 根據(jù)加法原理, 從頂點A到頂點C1最近路線共有 N = 2 + 2 + 2 = 6 條 練習 1．填空： ( 1 ）一件工作可以用 2 種方法完成，有 5 人只會用第 1 種方法完成，另有 4 人只會用第 2 種方法完成，從中選出 l 人來完成這件工作，不同選法的種數(shù)是＿ ; ( 2 ）從 A 村去 B 村的道路有 3 條，從 B 村去 C 村的道路有 2 條，從 A 村經(jīng) B 的路線有＿條． 第二課時 2 分步乘法計數(shù)原理 （1）提出問題 問題2.1：用前6個大寫英文字母和1—9九個阿拉伯數(shù)字，以,,…，,,…的方式給教室里的座位編號，總共能編出多少個不同的號碼？ 用列舉法可以列出所有可能的號碼： 我們還可以這樣來思考：由于前 6 個英文字母中的任意一個都能與 9 個數(shù)字中的任何一個組成一個號碼，而且它們各不相同，因此共有 69 = 54 個不同的號碼． 探究：你能說說這個問題的特征嗎？ （2）發(fā)現(xiàn)新知 分步乘法計數(shù)原理 完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有種不同的方法，在第2類方案中有種不同的方法. 那么完成這件事共有 種不同的方法. （3）知識應用 例1.設某班有男生30名，女生24名. 現(xiàn)要從中選出男、女生各一名代表班級參加比賽，共有多少種不同的選法？ 分析：選出一組參賽代表，可以分兩個步驟．第 l 步選男生．第2步選女生． 解：第 1 步，從 30 名男生中選出1人，有30種不同選擇； 第 2 步，從24 名女生中選出1人，有 24 種不同選擇． 根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有 3024 =720 種不同的選法． 探究：如果完成一件事需要三個步驟，做第1步有種不同的方法，做第2步有種不同的方法，做第3步有種不同的方法，那么完成這件事共有多少種不同的方法？ 如果完成一件事情需要個步驟，做每一步中都有若干種不同方法，那么應當如何計數(shù)呢？ 一般歸納： 完成一件事情，需要分成n個步驟，做第1步有種不同的方法，做第2步有種不同的方法……做第n步有種不同的方法.那么完成這件事共有 種不同的方法. 理解分步乘法計數(shù)原理： 分步計數(shù)原理針對的是“分步”問題，完成一件事要分為若干步，各個步驟相互依存，完成任何其中的一步都不能完成該件事，只有當各個步驟都完成后，才算完成這件事. 3．理解分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理異同點 ①相同點：都是完成一件事的不同方法種數(shù)的問題 ②不同點：分類加法計數(shù)原理針對的是“分類”問題，完成一件事要分為若干類，各類的方法相互獨立，各類中的各種方法也相對獨立，用任何一類中的任何一種方法都可以單獨完成這件事，是獨立完成；而分步乘法計數(shù)原理針對的是“分步”問題，完成一件事要分為若干步，各個步驟相互依存，完成任何其中的一步都不能完成該件事，只有當各個步驟都完成后，才算完成這件事，是合作完成. 例2 .如圖,要給地圖A、B、C、D四個區(qū)域分別涂上3種不同顏色中的某一種,允許同一種顏色使用多次,但相鄰區(qū)域必須涂不同的顏色,不同的涂色方案有多少種？ 解: 按地圖A、B、C、D四個區(qū)域依次分四步完成, 第一步, m1 = 3 種, 第二步, m2 = 2 種, 第三步, m3 = 1 種, 第四步, m4 = 1 種, 所以根據(jù)乘法原理, 得到不同的涂色方案種數(shù)共有N = 3 2 11 = 6 變式 1，如圖,要給地圖A、B、C、D四個區(qū)域分別涂上3種不同顏色中的某一種,允許同一種顏色使用多次,但相鄰區(qū)域必須涂不同的顏色,不同的涂色方案有多少種？ 2若顏色是2種，4種，5種又會什么樣的結(jié)果呢？ 練習 2．現(xiàn)有高一年級的學生 3 名，高二年級的學生 5 名，高三年級的學生 4 名． ( 1 ）從中任選1 人參加接待外賓的活動，有多少種不同的選法？村去 C 村，不同 ( 2 ）從 3 個年級的學生中各選 1 人參加接待外賓的活動，有多少種不同的選法？ 第三課時 3 綜合應用 例1. 書架的第1層放有4本不同的計算機書，第2層放有3本不同的文藝書，第3層放2本不同的體育書. ①從書架上任取1本書，有多少種不同的取法？ ②從書架的第1、2、3層各取1本書，有多少種不同的取法？ ③從書架上任取兩本不同學科的書，有多少種不同的取法？ 【分析】 ①要完成的事是“取一本書”，由于不論取書架的哪一層的書都可以完成了這件事，因此是分類問題，應用分類計數(shù)原理. ②要完成的事是“從書架的第1、2、3層中各取一本書”，由于取一層中的一本書都只完成了這件事的一部分，只有第1、2、3層都取后，才能完成這件事，因此是分步問題，應用分步計數(shù)原理. ③要完成的事是“取2本不同學科的書”，先要考慮的是取哪兩個學科的書，如取計算機和文藝書各1本，再要考慮取1本計算機書或取1本文藝書都只完成了這 件事的一部分，應用分步計數(shù)原理，上述每一種選法都完成后，這件事才能完成，因此這些選法的種數(shù)之間還應運用分類計數(shù)原理. 解： (1) 從書架上任取1本書，有3類方法：第1類方法是從第1層取1本計算機書，有4 種方法；第2 類方法是從第2 層取1本文藝書，有3 種方法；第3類方法是從第 3 層取 1 本體育書，有 2 種方法．根據(jù)分類加法計數(shù)原理，不同取法的種數(shù)是 =4+3+2=9; ( 2 ）從書架的第 1 , 2 , 3 層各取 1 本書，可以分成3個步驟完成：第 1 步從第 1 層取 1 本計算機書，有 4 種方法；第 2 步從第 2 層取1本文藝書，有 3 種方法；第 3 步從第3層取1 本體育書，有 2 種方法．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，不同取法的種數(shù)是 =432=24 . （3）。 例2. 要從甲、乙、丙3幅不同的畫中選出2幅，分別掛在左、右兩邊墻上的指定位置，問共有多少種不同的掛法？ 解：從 3 幅畫中選出 2 幅分別掛在左、右兩邊墻上，可以分兩個步驟完成：第 1 步，從 3 幅畫中選 1 幅掛在左邊墻上，有 3 種選法；第 2 步，從剩下的 2 幅畫中選 1 幅掛在右邊墻上，有 2 種選法．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，不同掛法的種數(shù)是 N=32=6 . 6 種掛法可以表示如下： 分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理，回答的都是有關做一件事的不同方法的種數(shù)問題．區(qū)別在于：分類加法計數(shù)原理針對的是“分類”問題，其中各種方法相互獨立，用其中任何一種方法都可以做完這件事，分步乘法計數(shù)原理針對的是“分步”問題，各個步驟中的方法互相依存，只有各個步驟都完成才算做完這件事． 例3.隨著人們生活水平的提高，某城市家庭汽車擁有量迅速增長，汽車牌照號碼需交通管理部門出臺了一種汽車牌照組成辦法，每一個汽車牌照都必須有3個不重復的英文字母和 3 個不重復的阿拉伯數(shù)字，并且 3 個字母必須合成一組出現(xiàn)，3個數(shù)字也必須合成一組出現(xiàn)．那么這種辦法共能給多少輛汽車上牌照？ 分析：按照新規(guī)定，牌照可以分為 2類，即字母組合在左和字母組合在右．確定一個牌照的字母和數(shù)字可以分6個步驟． 解：將汽車牌照分為 2 類，一類的字母組合在左，另一類的字母組合在右．字母組合在左時，分6個步驟確定一個牌照的字母和數(shù)字： 第1步，從26個字母中選1個，放在首位，有26種選法； 第2步，從剩下的25個字母中選 1個，放在第2位，有25種選法； 第3步，從剩下的24個字母中選 1個，放在第3位，有24種選法； 第4步，從10個數(shù)字中選1個，放在第 4 位，有10種選法； 第5步，從剩下的 9個數(shù)字中選1個，放在第5位，有9種選法； 第6步，從剩下的 8個字母中選1個，放在第6位，有8種選法． 根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，字母組合在左的牌照共有 26 25241098=11 232 000（個） . 同理，字母組合在右的牌照也有11232 000 個． 所以，共能給 11232 000 + 11232 000 = 22464 000（個） . 輛汽車上牌照． 用兩個計數(shù)原理解決計數(shù)問題時，最重要的是在開始計算之前要進行仔細分析 ― 需要分類還是需要分步．分類要做到“不重不漏”．分類后再分別對每一類進行計數(shù)，最后用分類加法計數(shù)原理求和，得到總數(shù)．分步要做到“步驟完整” ― 完成了所有步驟，恰好完成任務，當然步與步之間要相互獨立．分步后再計算每一步的方法數(shù)，最后根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，把完成每一步的方法數(shù)相乘，得到總數(shù)． 練習 1．乘積展開后共有多少項？ 2．某電話局管轄范圍內(nèi)的電話號碼由八位數(shù)字組成，其中前四位的數(shù)字是不變的，后四位數(shù)字都是。到 9 之間的一個數(shù)字，那么這個電話局不同的電話號碼最多有多少個？ 3．從 5 名同學中選出正、副組長各 1 名，有多少種不同的選法？ 4．某商場有 6 個門，如果某人從其中的任意一個門進人商場，并且要求從其他的門出去，共有多少種不同的進出商場的方式？ 第四課時 例1.給程序模塊命名，需要用3個字符，其中首字符要求用字母 A～G 或 U～Z , 后兩個要求用數(shù)字1～9．問最多可以給多少個程序命名？ 分析：要給一個程序模塊命名，可以分三個步驟：第 1 步，選首字符；第2步，選中間字符；第3步，選最后一個字符．而首字符又可以分為兩類． 解：先計算首字符的選法．由分類加法計數(shù)原理，首字符共有 7 + 6 = 13 種選法． 再計算可能的不同程序名稱．由分步乘法計數(shù)原理，最多可以有 1399 = = 1053 個不同的名稱，即最多可以給1053個程序命名． 例2. 核糖核酸（RNA）分子是在生物細胞中發(fā)現(xiàn)的化學成分一個 RNA 分子是一個有著數(shù)百個甚至數(shù)千個位置的長鏈，長鏈中每一個位置上都由一種稱為堿基的化學成分所占據(jù)． 總共有 4 種不同的堿基，分別用A,C,G,U表示．在一個 RNA 分子中，各種堿基能夠以任意次序出現(xiàn)，所以在任意一個位置上的堿基與其他位置上的堿基無關．假設有一類 RNA 分子由 100 個堿基組成，那么能有多少種不同的 RNA 分子？ 分析：用圖1. 1一2 來表示由100個堿基組成的長鏈，這時我們共有100個位置，每個位置都可以從A , C , G , U 中任選一個來占據(jù)． 解：100個堿基組成的長鏈共有 100個位置，如圖1 . 1一2所示．從左到右依次在每一個位置中，從 A , C , G , U 中任選一個填人，每個位置有 4 種填充方法．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，長度為 100 的所有可能的不同 RNA 分子數(shù)目有 （個） 例3.電子元件很容易實現(xiàn)電路的通與斷、電位的高與低等兩種狀態(tài)，而這也是最容易控制的兩種狀態(tài)．因此計算機內(nèi)部就采用了每一位只有 O 或 1 兩種數(shù)字的記數(shù)法，即二進制．為了使計算機能夠識別字符，需要對字符進行編碼，每個字符可以用一個或多個字節(jié)來表示，其中字節(jié)是計算機中數(shù)據(jù)存儲的最小計量單位，每個字節(jié)由 8 個二進制位構成．問： (1）一個字節(jié)（ 8 位）最多可以表示多少個不同的字符？ (2）計算機漢字國標碼（GB 碼）包含了6 763 個漢字，一個漢字為一個字符，要對這些漢字進行編碼，每個漢字至少要用多少個字節(jié)表示？ 分析：由于每個字節(jié)有 8 個二進制位，每一位上的值都有 0,1兩種選擇，而且不同的順序代表不同的字符，因此可以用分步乘法計數(shù)原理求解本題． 解：(1）用圖1.1一3 來表示一個字節(jié)． 圖 1 . 1 一 3 一個字節(jié)共有 8 位，每位上有 2 種選擇．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，一個字節(jié)最多可以表示 22222222= 28 =256 個不同的字符； ( 2）由（ 1 ）知，用一個字節(jié)所能表示的不同字符不夠 6 763 個，我們就考慮用2 個字節(jié)能夠表示多少個字符．前一個字節(jié)有 256 種不同的表示方法，后一個字節(jié)也有 256 種表示方法．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，2個字節(jié)可以表示 256256 = 65536 個不同的字符，這已經(jīng)大于漢字國標碼包含的漢字個數(shù) 6 763．所以要表示這些漢字，每個漢字至少要用 2 個字節(jié)表示． 例4.計算機編程人員在編寫好程序以后需要對程序進行測試．程序員需要知道到底有多少條執(zhí)行路徑（即程序從開始到結(jié)束的路線），以便知道需要提供多少個測試數(shù)據(jù)．一般地，一個程序模塊由許多子模塊組成．如圖1.1一4，它是一個具有許多執(zhí)行路徑的程序模塊．問：這個程序模塊有多少條執(zhí)行路徑？ 另外，為了減少測試時間，程序員需要設法減少測試次數(shù)你能幫助程序員設計一個測試方法，以減少測試次數(shù)嗎？ 圖1.1一4 分析：整個模塊的任意一條執(zhí)行路徑都分兩步完成：第 1 步是從開始執(zhí)行到 A 點；第 2 步是從 A 點執(zhí)行到結(jié)束．而第 1 步可由子模塊 1 或子模塊 2 或子模塊 3 來完成；第 2 步可由子模塊 4 或子模塊 5 來完成．因此，分析一條指令在整個模塊的執(zhí)行路徑需要用到兩個計數(shù)原理． 解：由分類加法計數(shù)原理，子模塊 1 或子模塊 2 或子模塊 3 中的子路徑共有 18 + 45 + 28 = 91 （條） ; 子模塊 4 或子模塊 5 中的子路徑共有 38 + 43 = 81 （條） . 又由分步乘法計數(shù)原理，整個模塊的執(zhí)行路徑共有 9181 = 7 371（條）. 在實際測試中，程序員總是把每一個子模塊看成一個黑箱，即通過只考察是否執(zhí)行了正確的子模塊的方式來測試整個模塊．這樣，他可以先分別單獨測試 5 個模塊，以考察每個子模塊的工作是否正常．總共需要的測試次數(shù)為 18 + 45 + 28 + 38 + 43 =172. 再測試各個模塊之間的信息交流是否正常，只需要測試程序第1 步中的各個子模塊和第 2 步中的各個子模塊之間的信息交流是否正常，需要的測試次數(shù)為 32=6 . 如果每個子模塊都工作正常，并且各個子模塊之間的信息交流也正常，那么整個程序模塊就工作正常．這樣，測試整個模塊的次數(shù)就變?yōu)? 172 + 6=178（次）. 顯然，178 與7371 的差距是非常大的． 你看出了程序員是如何實現(xiàn)減少測試次數(shù)的嗎？ 鞏固練習： 1.如圖,從甲地到乙地有2條路可通,從乙地到丙地有3條路可通;從甲地到丁地有4條路可通, 從丁地到丙地有2條路可通。從甲地到丙地共有多少種不同的走法？ 2.書架上放有3本不同的數(shù)學書，5本不同的語文書，6本不同的英語書． （1）若從這些書中任取一本，有多少種不同的取法？ （2）若從這些書中，取數(shù)學書、語文書、英語書各一本，有多少種不同的取法？ （3）若從這些書中取不同的科目的書兩本，有多少種不同的取法？ 3.如圖一,要給①,②,③,④四塊區(qū)域分別涂上五種顏色中的某一種,允許同一種顏色使用多次,但相鄰區(qū)域必須涂不同顏色,則不同涂色方法種數(shù)為() A. 180 B. 160 C. 96 D. 60 ① ③ ④ ② ① ② ③ ④ ④ ③ ② ① 圖一 圖二 圖三 若變?yōu)閳D二,圖三呢? 5.五名學生報名參加四項體育比賽，每人限報一項，報名方法的種數(shù)為多少？又他們爭奪這四項比賽的冠軍，獲得冠軍的可能性有多少種？ 6．（2007年重慶卷）若三個平面兩兩相交，且三條交線互相平行，則這三個平面把空間分成（ C ） A．5部分 B.6部分 C.7部分 D.8部分 課外作業(yè)：第10頁 習題 1. 1 6 , 7 , 8 教學反思： 課堂小結(jié) 1．分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理是排列組合問題的最基本的原理，是推導排列數(shù)、組合數(shù)公式的理論依據(jù)，也是求解排列、組合問題的基本思想. 2．理解分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理，并加區(qū)別 分類加法計數(shù)原理針對的是“分類”問題，其中各種方法相對獨立，用其中任何一種方法都可以完成這件事；而分步乘法計數(shù)原理針對的是“分步”問題，各個步驟中的方法相互依存，只有各個步驟都完成后才算做完這件事. 3．運用分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理的注意點： 分類加法計數(shù)原理：首先確定分類標準，其次滿足：完成這件事的任何一種方法必屬于某一類，并且分別屬于不同的兩類的方法都是不同的方法，即"不重不漏". 分步乘法計數(shù)原理：首先確定分步標準，其次滿足：必須并且只需連續(xù)完成這n個步驟，這件事才算完成. 分配問題 把一些元素分給另一些元素來接受．這是排列組合應用問題中難度較大的一類問題．因為這涉及到兩類元素：被分配元素和接受單位．而我們所學的排列組合是對一類元素做排列或進行組合的，于是遇到這類問題便手足無措了． 事實上，任何排列問題都可以看作面對兩類元素．例如，把10個全排列，可以理解為在10個人旁邊，有序號為1，2，……，10的10把椅子，每把椅子坐一個人，那么有多少種坐法？這樣就出現(xiàn)了兩類元素，一類是人，一類是椅子。于是對眼花繚亂的常見分配問題，可歸結(jié)為以下小的“方法結(jié)構”： ①.每個“接受單位”至多接受一個被分配元素的問題方法是，這里.其中是“接受單位”的個數(shù)。至于誰是“接受單位”，不要管它在生活中原來的意義，只要.個數(shù)為的一個元素就是“接受單位”，于是，方法還可以簡化為.這里的“多”只要“少”. ②.被分配元素和接受單位的每個成員都有“歸宿”,并且不限制一對一的分配問題，方法是分組問題的計算公式乘以. 1． 2．1排列 教學目標： 知識與技能：了解排列數(shù)的意義，掌握排列數(shù)公式及推導方法，從中體會“化歸”的數(shù)學思想，并能運用排列數(shù)公式進行計算。 過程與方法：能運用所學的排列知識，正確地解決的實際問題 情感、態(tài)度與價值觀：能運用所學的排列知識，正確地解決的實際問題. 教學重點：排列、排列數(shù)的概念 教學難點：排列數(shù)公式的推導 授課類型：新授課 教 具：多媒體、實物投影儀 第一課時 一、復習引入： 1分類加法計數(shù)原理：做一件事情，完成它可以有n類辦法，在第一類辦法中有種不同的方法，在第二類辦法中有種不同的方法，……，在第n類辦法中有種不同的方法那么完成這件事共有 種不同的方法 2.分步乘法計數(shù)原理：做一件事情，完成它需要分成n個步驟，做第一步有種不同的方法，做第二步有種不同的方法，……，做第n步有種不同的方法，那么完成這件事有 種不同的方法 分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理,回答的都是有關做一件事的不同方法種數(shù)的問題,區(qū)別在于:分類加法計數(shù)原理針對的是“分類”問題,其中各種方法相互獨立,每一種方法只屬于某一類,用其中任何一種方法都可以做完這件事;分步乘法計數(shù)原理針對的是“分步”問題,各個步驟中的方法相互依存,某一步驟中的每一種方法都只能做完這件事的一個步驟,只有各個步驟都完成才算做完這件事應用兩種原理解題:1.分清要完成的事情是什么；2.是分類完成還是分步完成,“類”間互相獨立，“步”間互相聯(lián)系；3.有無特殊條件的限制 二、講解新課： 1問題： 問題1．從甲、乙、丙3名同學中選取2名同學參加某一天的一項活動，其中一名同學參加上午的活動，一名同學參加下午的活動，有多少種不同的方法？ 分析：這個問題就是從甲、乙、丙3名同學中每次選取2名同學，按照參加上午的活動在前，參加下午活動在后的順序排列，一共有多少種不同的排法的問題，共有6種不同的排法：甲乙 甲丙 乙甲 乙丙 丙甲 丙乙，其中被取的對象叫做元素 解決這一問題可分兩個步驟：第 1 步，確定參加上午活動的同學，從 3 人中任選 1 人，有 3 種方法；第 2 步，確定參加下午活動的同學，當參加上午活動的同學確定后，參加下午活動的同學只能從余下的 2 人中去選，于是有 2 種方法．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，在 3 名同學中選出 2 名，按照參加上午活動在前，參加下午活動在后的順序排列的不同方法共有 32=6 種，如圖 1.2一1 所示． 圖 1.2一1 把上面問題中被取的對象叫做元素，于是問題可敘述為：從3個不同的元素 a , b ，。中任取 2 個，然后按照一定的順序排成一列，一共有多少種不同的排列方法？所有不同的排列是 ab,ac,ba,bc,ca, cb, 共有 32=6 種． 問題2．從1,2,3,4這 4 個數(shù)字中，每次取出3個排成一個三位數(shù)，共可得到多少個不同的三位數(shù)？ 分析：解決這個問題分三個步驟：第一步先確定左邊的數(shù)，在4個字母中任取1個，有4種方法；第二步確定中間的數(shù)，從余下的3個數(shù)中取，有3種方法；第三步確定右邊的數(shù)，從余下的2個數(shù)中取，有2種方法 由分步計數(shù)原理共有：432=24種不同的方法，用樹型圖排出，并寫出所有的排列由此可寫出所有的排法 顯然，從 4 個數(shù)字中，每次取出 3 個，按“百”“十”“個”位的順序排成一列，就得到一個三位數(shù)．因此有多少種不同的排列方法就有多少個不同的三位數(shù)．可以分三個步驟來解決這個問題： 第 1 步，確定百位上的數(shù)字，在 1 , 2 , 3 , 4 這 4 個數(shù)字中任取 1 個，有 4 種方法； 第 2 步，確定十位上的數(shù)字，當百位上的數(shù)字確定后，十位上的數(shù)字只能從余下的 3 個數(shù)字中去取，有 3 種方法； 第 3 步，確定個位上的數(shù)字，當百位、十位上的數(shù)字確定后，個位的數(shù)字只能從余下的 2 個數(shù)字中去取，有 2 種方法． 根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，從 1 , 2 , 3 , 4 這 4 個不同的數(shù)字中，每次取出 3 個數(shù)字，按“百”“十”“個”位的順序排成一列，共有 432=24 種不同的排法， 因而共可得到24個不同的三位數(shù)，如圖1. 2一2 所示． 由此可寫出所有的三位數(shù)： 123，124, 132, 134, 142, 143， 213，214, 231, 234, 241, 243， 312，314, 321, 324, 341, 342， 412，413, 421, 423, 431, 432 。 同樣，問題 2 可以歸結(jié)為： 從4個不同的元素a, b, c，d中任取 3 個，然后按照一定的順序排成一列，共有多少種不同的排列方法？ 所有不同排列是 abc, abd, acb, acd, adb, adc, bac, bad, bca, bcd, bda, bdc, cab, cad, cba, cbd, cda, cdb, dab, dac, dba, dbc, dca, dcb. 共有432=24種. 樹形圖如下 a b ｃ　　　　　ｄ 　　?。狻。恪。洹。帷。恪。洹　。帷。狻。洹　。帷。狻。? 2．排列的概念： 從個不同元素中，任?。ǎ﹤€元素（這里的被取元素各不相同）按照一定的順序排成一列，叫做從個不同元素中取出個元素的一個排列 說明：（1）排列的定義包括兩個方面：①取出元素，②按一定的順序排列； （2）兩個排列相同的條件：①元素完全相同，②元素的排列順序也相同 3．排列數(shù)的定義： 從個不同元素中，任取（）個元素的所有排列的個數(shù)叫做從個元素中取出元素的排列數(shù)，用符號表示 注意區(qū)別排列和排列數(shù)的不同：“一個排列”是指：從個不同元素中，任取個元素按照一定的順序排成一列，不是數(shù)；“排列數(shù)”是指從個不同元素中，任?。ǎ﹤€元素的所有排列的個數(shù)，是一個數(shù)所以符號只表示排列數(shù)，而不表示具體的排列 4．排列數(shù)公式及其推導： 由的意義：假定有排好順序的2個空位，從個元素中任取2個元素去填空，一個空位填一個元素，每一種填法就得到一個排列，反過來，任一個排列總可以由這樣的一種填法得到，因此，所有不同的填法的種數(shù)就是排列數(shù)．由分步計數(shù)原理完成上述填空共有種填法，∴= 由此，求可以按依次填3個空位來考慮，∴=， 求以按依次填個空位來考慮， 排列數(shù)公式： （） 說明：（1）公式特征：第一個因數(shù)是，后面每一個因數(shù)比它前面一個 少1，最后一個因數(shù)是，共有個因數(shù)； （2）全排列：當時即個不同元素全部取出的一個排列 全排列數(shù)：（叫做n的階乘） 另外，我們規(guī)定 0! =1 . 例1．用計算器計算： (1）； (2）; (3）. 解：用計算器可得： 由（ 2 ) ( 3 ）我們看到，．那么，這個結(jié)果有沒有一般性呢？即 . 排列數(shù)的另一個計算公式： =. 即 = 例2．解方程：3． 解：由排列數(shù)公式得：， ∵，∴ ，即， 解得 或，∵，且，∴原方程的解為． 例3．解不等式：． 解：原不等式即， 也就是，化簡得：， 解得或，又∵，且， 所以，原不等式的解集為． 例4．求證：（1）；（2）． 證明：（1），∴原式成立 （2） 右邊 ∴原式成立 說明：（1）解含排列數(shù)的方程和不等式時要注意排列數(shù)中，且這些限制條件，要注意含排列數(shù)的方程和不等式中未知數(shù)的取值范圍； （2）公式常用來求值，特別是均為已知時，公式=，常用來證明或化簡 例5．化簡：⑴；⑵ ⑴解：原式 ⑵提示：由，得， 原式 說明：． 第二課時 例1．(課本例2)．某年全國足球甲級（A組）聯(lián)賽共有14個隊參加，每隊要與其余各隊在主、客場分別比賽一次，共進行多少場比賽？ 解：任意兩隊間進行1次主場比賽與 1 次客場比賽，對應于從14個元素中任取2個元素的一個排列．因此，比賽的總場次是=1413=182. 例2．(課本例3)．(1）從5本不同的書中選 3 本送給 3 名同學，每人各 1 本，共有多少種不同的送法？ (2）從5種不同的書中買3本送給3名同學，每人各1本，共有多少種不同的送法？ 解：(1）從5本不同的書中選出3本分別送給3名同學，對應于從5個不同元素中任取 3 個元素的一個排列，因此不同送法的種數(shù)是 =543=60. (2）由于有5種不同的書，送給每個同學的1本書都有 5 種不同的選購方法，因此送給 3 名同學每人各 1 本書的不同方法種數(shù)是 555=125. 例 8 中兩個問題的區(qū)別在于： ( 1 ）是從 5 本不同的書中選出 3 本分送 3 名同學，各人得到的書不同，屬于求排列數(shù)問題；而（ 2 ）中，由于不同的人得到的書可能相同，因此不符合使用排列數(shù)公式的條件，只能用分步乘法計數(shù)原理進行計算． 例3．(課本例4)．用0到9這10個數(shù)字，可以組成多少個沒有重復數(shù)字的三位數(shù)？分析：在本問題的。到 9 這 10 個數(shù)字中，因為。不能排在百位上，而其他數(shù)可以排在任意位置上，因此。是一個特殊的元素．一般的，我們可以從特殊元素的排列位置人手來考慮問題 解法 1 ：由于在沒有重復數(shù)字的三位數(shù)中，百位上的數(shù)字不能是O，因此可以分兩步完成排列．第1步，排百位上的數(shù)字，可以從1到9 這九個數(shù)字中任選 1 個，有種選法；第2步，排十位和個位上的數(shù)字，可以從余下的9個數(shù)字中任選2個，有種選法（圖1.2一 5) ．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，所求的三位數(shù)有 =998=648（個） . 解法 2 ：如圖1.2 一6 所示，符合條件的三位數(shù)可分成 3 類．每一位數(shù)字都不是位數(shù)有 A 母個，個位數(shù)字是 O 的三位數(shù)有揭個，十位數(shù)字是 0 的三位數(shù)有揭個．根據(jù)分類加法計數(shù)原理，符合條件的三位數(shù)有 =648個． 解法 3 ：從0到9這10個數(shù)字中任取3個數(shù)字的排列數(shù)為，其中 O 在百位上的排列數(shù)是，它們的差就是用這10個數(shù)字組成的沒有重復數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)，即所求的三位數(shù)的個數(shù)是 -=1098-98=648. 對于例9 這類計數(shù)問題，可用適當?shù)姆椒▽栴}分解，而且思考的角度不同，就可以有不同的解題方法．解法 1 根據(jù)百位數(shù)字不能是。的要求，分步完成選 3 個數(shù)組成沒有重復數(shù)字的三位數(shù)這件事，依據(jù)的是分步乘法計數(shù)原理；解法 2 以 O 是否出現(xiàn)以及出現(xiàn)的位置為標準，分類完成這件事情，依據(jù)的是分類加法計數(shù)原理；解法 3 是一種逆向思考方法：先求出從10個不同數(shù)字中選3個不重復數(shù)字的排列數(shù)，然后從中減去百位是。的排列數(shù)（即不是三位數(shù)的個數(shù)），就得到?jīng)]有重復數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)．從上述問題的解答過程可以看到，引進排列的概念，以及推導求排列數(shù)的公式，可以更加簡便、快捷地求解“從n個不同元素中取出 m (m≤n）個元素的所有排列的個數(shù)”這類特殊的計數(shù)問題． 1.1節(jié)中的例 9 是否也是這類計數(shù)問題？你能用排列的知識解決它嗎？ 四、課堂練習： 1．若，則 （ ） 2．與不等的是 （ ） 3．若，則的值為 （ ） 4．計算： ； ． 5．若，則的解集是 ． 6．（1）已知，那么 ； （2）已知，那么= ； （3）已知，那么 ； （4）已知，那么 ． 7．一個火車站有8股岔道，停放4列不同的火車，有多少種不同的停放方法（假定每股岔道只能停放1列火車）？ 8．一部紀錄影片在4個單位輪映，每一單位放映1場，有多少種輪映次序？ 答案：1. B 2. B 3. A 4. 1,1 5. 6. (1) 6 (2) 181440 (3) 8 (4) 5 7. 1680 8. 24 鞏固練習：書本20頁１，２，３,4,5,6 課外作業(yè)：第27頁 習題1.2 A組1 , 2 , 3,4,5 教學反思： 排列的特征：一個是“取出元素”；二是“按照一定順序排列” ,“一定順序”就是與位置有關，這也是判斷一個問題是不是排列問題的重要標志。根據(jù)排列的定義，兩個排列相同，且僅當兩個排列的元素完全相同，而且元素的排列順序也相同. 了解排列數(shù)的意義，掌握排列數(shù)公式及推導方法，從中體會“化歸”的數(shù)學思想，并能運用排列數(shù)公式進行計算。 對于較復雜的問題，一般都有兩個方向的列式途徑，一個是“正面湊”，一個是“反過來剔”．前者指，按照要求，一點點選出符合要求的方案；后者指，先按全局性的要求，選出方案，再把不符合其他要求的方案剔出去．了解排列數(shù)的意義，掌握排列數(shù)公式及推導方法，從中體會“化歸”的數(shù)學思想，并能運用排列數(shù)公式進行計算。 第三課時 例1．（1）有5本不同的書，從中選3本送給3名同學，每人各1本，共有多少種不同的送法？ （2）有5種不同的書，要買3本送給3名同學，每人各1本，共有多少種不同的送法？ 解：（1）從5本不同的書中選出3本分別送給3名同學，對應于從5個元素中任取3個元素的一個排列，因此不同送法的種數(shù)是：，所以，共有60種不同的送法 （2）由于有5種不同的書，送給每個同學的1本書都有5種不同的選購方法，因此送給3名同學，每人各1本書的不同方法種數(shù)是：，所以，共有125種不同的送法 說明：本題兩小題的區(qū)別在于：第（1）小題是從5本不同的書中選出3本分送給3位同學，各人得到的書不同，屬于求排列數(shù)問題；而第（2）小題中，給每人的書均可以從5種不同的書中任選1種，各人得到那種書相互之間沒有聯(lián)系，要用分步計數(shù)原理進行計算 例2．某信號兵用紅、黃、藍3面旗從上到下掛在豎直的旗桿上表示信號，每次可以任意掛1面、2面或3面，并且不同的順序表示不同的信號，一共可以表示多少種不同的信號？ 解：分3類：第一類用1面旗表示的信號有種； 第二類用2面旗表示的信號有種； 第三類用3面旗表示的信號有種， 由分類計數(shù)原理，所求的信號種數(shù)是：， 答：一共可以表示15種不同的信號 例3．將位司機、位售票員分配到四輛不同班次的公共汽車上，每一輛汽車分別有一位司機和一位售票員，共有多少種不同的分配方案？ 分析：解決這個問題可以分為兩步，第一步：把位司機分配到四輛不同班次的公共汽車上，即從個不同元素中取出個元素排成一列，有種方法； 第二步：把位售票員分配到四輛不同班次的公共汽車上，也有種方法， 利用分步計數(shù)原理即得分配方案的種數(shù) 解：由分步計數(shù)原理，分配方案共有（種） 答：共有576種不同的分配方案 例4．用0到9這10個數(shù)字，可以組成多少個沒有重復數(shù)字的三位數(shù)？ 解法1：用分步計數(shù)原理： 所求的三位數(shù)的個數(shù)是： 解法2：符合條件的三位數(shù)可以分成三類：每一位數(shù)字都不是0的三位數(shù)有個，個位數(shù)字是0的三位數(shù)有個，十位數(shù)字是0的三位數(shù)有個， 由分類計數(shù)原理，符合條件的三位數(shù)的個數(shù)是：． 解法3：從0到9這10個數(shù)字中任取3個數(shù)字的排列數(shù)為，其中以0為排頭的排列數(shù)為，因此符合條件的三位數(shù)的個數(shù)是-． 說明：解決排列應用題，常用的思考方法有直接法和間接法直接法：通過對問題進行恰當?shù)姆诸惡头植?，直接計算符合條件的排列數(shù)如解法1，2；間接法：對于有限制條件的排列應用題，可先不考慮限制條件，把所有情況的種數(shù)求出來，然后再減去不符合限制條件的情況種數(shù)如解法3．對于有限制條件的排列應用題，要恰當?shù)卮_定分類與分步的標準，防止重復與遺漏 第四課時 例5．（1）7位同學站成一排，共有多少種不同的排法？ 解：問題可以看作：7個元素的全排列＝5040． （2）7位同學站成兩排（前3后4），共有多少種不同的排法？ 解：根據(jù)分步計數(shù)原理：7654321＝7?。?040． （3）7位同學站成一排，其中甲站在中間的位置，共有多少種不同的排法？ 解：問題可以看作：余下的6個元素的全排列——=720． （4）7位同學站成一排，甲、乙只能站在兩端的排法共有多少種？ 解：根據(jù)分步計數(shù)原理：第一步 甲、乙站在兩端有種； 第二步 余下的5名同學進行全排列有種，所以，共有=240種排列方法 （5）7位同學站成一排，甲、乙不能站在排頭和排尾的排法共有多少種？ 解法1（直接法）：第一步從（除去甲、乙）其余的5位同學中選2位同學站在排頭和排尾有種方法；第二步從余下的5位同學中選5位進行排列（全排列）有種方法，所以一共有＝2400種排列方法 解法2：（排除法）若甲站在排頭有種方法；若乙站在排尾有種方法；若甲站在排頭且乙站在排尾則有種方法，所以，甲不能站在排頭，乙不能排在排尾的排法共有－＋=2400種． 說明：對于“在”與“不在”的問題，常常使用“直接法”或“排除法”，對某些特殊元素可以優(yōu)先考慮 例6.從10個不同的文藝節(jié)目中選6個編成一個節(jié)目單，如果某女演員的獨唱節(jié)目一定不能排在第二個節(jié)目的位置上，則共有多少種不同的排法？ 解法一：（從特殊位置考慮）； 解法二：（從特殊元素考慮）若選：；若不選：， 則共有種； 解法三：（間接法） 第五課時 例7． 7位同學站成一排， （1）甲、乙兩同學必須相鄰的排法共有多少種？ 解：先將甲、乙兩位同學“捆綁”在一起看成一個元素與其余的5個元素（同學）一起進行全排列有種方法；再將甲、乙兩個同學“松綁”進行排列有種方法．所以這樣的排法一共有種 （2）甲、乙和丙三個同學都相鄰的排法共有多少種？ 解：方法同上，一共有＝720種 （3）甲、乙兩同學必須相鄰，而且丙不能站在排頭和排尾的排法有多少種？ 解法一：將甲、乙兩同學“捆綁”在一起看成一個元素，此時一共有6個元素，因為丙不能站在排頭和排尾，所以可以從其余的5個元素中選取2個元素放在排頭和排尾，有種方法；將剩下的4個元素進行全排列有種方法；最后將甲、乙兩個同學“松綁”進行排列有種方法．所以這樣的排法一共有＝960種方法 解法二：將甲、乙兩同學“捆綁”在一起看成一個元素，此時一共有6個元素，若丙站在排頭或排尾有2種方法， 所以，丙不能站在排頭和排尾的排法有種方法 解法三：將甲、乙兩同學“捆綁”在一起看成一個元素，此時一共有6個元素，因為丙不能站在排頭和排尾，所以可以從其余的四個位置選擇共有種方法，再將其余的5個元素進行全排列共有種方法，最后將甲、乙兩同學“松綁”，所以，這樣的排法一共有＝960種方法． （4）甲、乙、丙三個同學必須站在一起，另外四個人也必須站在一起 解：將甲、乙、丙三個同學“捆綁”在一起看成一個元素，另外四個人“捆綁”在一起看成一個元素，時一共有2個元素，∴一共有排法種數(shù)：（種） 說明：對于相鄰問題，常用“捆綁法”（先捆后松）． 例8．7位同學站成一排， （1）甲、乙兩同學不能相鄰的排法共有多少種？ 解法一：（排除法）； 解法二：（插空法）先將其余五個同學排好有種方法，此時他們留下六個位置（就稱為“空”吧），再將甲、乙同學分別插入這六個位置（空）有種方法，所以一共有種方法． （2）甲、乙和丙三個同學都不能相鄰的排法共有多少種？ 解：先將其余四個同學排好有種方法，此時他們留下五個“空”，再將甲、乙和丙三個同學分別插入這五個“空”有種方法，所以一共有＝1440種． 說明：對于不相鄰問題，常用“插空法”（特殊元素后考慮）． 第六課時 例9．5男5女排成一排，按下列要求各有多少種排法：（1）男女相間；（2）女生按指定順序排列 解：（1）先將男生排好，有種排法；再將5名女生插在男生之間的6個“空擋”（包括兩端）中，有種排法 故本題的排法有（種）； （2）方法1：； 方法2：設想有10個位置，先將男生排在其中的任意5個位置上，有種排法；余下的5個位置排女生，因為女生的位置已經(jīng)指定，所以她們只有一種排法 故本題的結(jié)論為（種） 2007年高考題 1．（2007年天津卷）如圖，用6種不同的顏色給圖中的4個格子涂色，每個格子涂一種顏色，要求最多使用3種顏色且相鄰的兩個格子顏色不同，則不同的涂色方法共有　　390　種（用數(shù)字作答）． 2．（2007年江蘇卷）某校開設9門課程供學生選修，其中三門由于上課時間相同，至多選一門，學校規(guī)定每位同學選修4門，共有　　75　　種不同選修方案。（用數(shù)值作答） 3．（2007年北京卷）記者要為5名志愿都和他們幫助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相鄰但不排在兩端，不同的排法共有（　Ｂ?。? Ａ．1440種 Ｂ．960種 Ｃ．720種 Ｄ．480種 4．（2007年廣東卷）圖３是某汽車維修公司的維修點分布圖，公司在年初分配給Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四個維修點的某種配件各５０件，在使用前發(fā)現(xiàn)需將Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四個維修點的這批配件分別調(diào)整為４０、４５、５４、６１件，但調(diào)整只能在相鄰維修點之間進行，那么完成上述調(diào)整，最少的調(diào)動件次（ｎ個配件從一個維修點調(diào)整到相鄰維修點的調(diào)動件次為ｎ）為 ?。ǎ粒保怠　　。ǎ拢保丁　　　。ǎ茫保贰　　。ǎ模保? 答案：B； 5．（2007年全國卷I）從班委會5名成員中選出3名，分別擔任班級學習委員、文娛委員與體育委員，其中甲、乙二人不能擔任文娛委員，則不同的選法共有 種．（用數(shù)字作答） 6．（2007年全國卷Ⅱ）從5位同學中選派4位同學在星期五、星期六、星期日參加公益活動，每人一天，要求星期五有2人參加，星期六、星期日各有1人參加，則不同的選派方法共有（ B ） A．40種 B．60種 C．100種 D．120種 7. （2007年陜西卷）安排3名支教老師去6所學校任教，每校至多2人，則不同的分配方案共有 種.（用數(shù)字作答） 8．（2007年四川卷）用數(shù)字0，1，2，3，4，5可以組成沒有重復數(shù)字，并且比20000大的五位偶數(shù)共有（　?。? （A）288個 （B）240個 （C）144個 （D）126個 解析：選B．對個位是0和個位不是0兩類情形分類計數(shù)；對每一類情形按“個位－最高位－中間三位”分步計數(shù)：①個位是0并且比20000大的五位偶數(shù)有個；②個位不是0并且比20000大的五位偶數(shù)有個；故共有個．本題考查兩個基本原理，是典型的源于教材的題目． 9．（2007年重慶卷）某校要求每位學生從7門課程中選修4門，其中甲乙兩門課程不能都選，則不同的選課方案有____25_____種.（以數(shù)字作答） 10．（2007年寧夏卷）某校安排5個班到4個工廠進行社會實踐，每個班去一個工廠，每個工廠至少安排一個班，不同的安排方法共有 240 種．（用數(shù)字作答） 11．（2007年遼寧卷）將數(shù)字1，2，3，4，5，6拼成一列，記第個數(shù)為，若，，，，則不同的排列方法有 種（用數(shù)字作答）． 解析：分兩步：（1）先排，=2，有2種；=3有2種；=4有1種，共有5種；（2）再排，共有種，故不同的排列方法種數(shù)為56=30，填30． 1． 2．2組合 教學目標： 知識與技能：理解組合的意義，能寫出一些簡單問題的所有組合。明確組合與排列的聯(lián)系與區(qū)別，能判斷一個問題是排列問題還是組合問題。 過程與方法：了解組合數(shù)的意義，理解排列數(shù)與組合數(shù) 之間的聯(lián)系，掌握組合數(shù)公式，能運用組合數(shù)公式進行計算。 情感、態(tài)度與價值觀：能運用組合要領分析簡單的實際問題，提高分析問題的能力。 教學重點：組合的概念和組合數(shù)公式 教學難點：組合的概念和組合數(shù)公式 授課類型：新授課 教 具：多媒體、實物投影儀 第一課時 一、復習引入： 1分類加法計數(shù)原理：做一件事情，完成它可以有n類辦法，在第一類辦法中有種不同的方法，在第二類辦法中有種不同的方法，……，在第n類辦法中有種不同的方法那么完成這件事共有 種不同的方法 2.分步乘法計數(shù)原理：做一件事情，完成它需要分成n個步驟，做第一步有種不同的方法，做第二步有種不同的方法，……，做第n步有種不同的方法，那么完成這件事有 種不同的方法 3．排列的概念：從個不同元素中，任?。ǎ﹤€元素（這里的被取元素各不相同）按照一定的順序排成一列，叫做從個不同元素中取出個元素的一個排列 4．排列數(shù)的定義：從個不同元素中，任?。ǎ﹤€元素的所有排列的個數(shù)叫做從個元素中取出元素的排列數(shù)，用符號表示 5．排列數(shù)公式：（） 6階乘：表示正整數(shù)1到的連乘積，叫做的階乘規(guī)定． 7．排列數(shù)的另一個計算公式：= 8.提出問題： 示例1：從甲、乙、丙3名同學中選出2名去參加某天的一項活動，其中1名同學參加上午的活動，1名同學參加下午的活動，有多少種不同的選法？ 示例2