數(shù)學(xué)思想與方法試題.doc

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數(shù)學(xué)思想與方法試題 一、填空題(每題3分，共30分) 1. 概 括通常包括兩種:經(jīng)驗(yàn)概括和理論概括。而經(jīng)驗(yàn)概括是從事實(shí)出發(fā)，以對個(gè)別事物所作的觀察陳述為基礎(chǔ)，上升為普遍的認(rèn)識—的認(rèn)識。 2.算法大致可以分為 3.反駁反例是用兩大類。否定的一種思維形式。類比聯(lián)想是人們運(yùn)用類比法獲得猜想的一種思想方法，它的主要步驟是 5. 歸 納 猜想是運(yùn)用歸納法得道的猜想，它的思維步驟是 6. 傳統(tǒng) 數(shù) 學(xué)教學(xué)只注重_ 的數(shù)學(xué)知識傳授，忽略了數(shù)學(xué)思想方法的挖掘、整理、提煉。 7. 所 謂 統(tǒng)一性，就是協(xié)調(diào)一致。 8. 中 國 《九章算術(shù)》的算法體系和古希臘《幾何原本》的體 系 在 數(shù) 學(xué) 歷 史 發(fā) 展 進(jìn) 程中 爭 奇 斗 妍 、 交 相 輝 映 。 9. 所 謂 數(shù)學(xué)模型方法是 10. 所 謂 特殊化是指在研究問題時(shí)，的思想方法。 二、判斷題(每題4分，共20分。在括號里填上是或否) 1.數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)隸屬數(shù)學(xué)教學(xué)范疇，只要貫徹通常的數(shù)學(xué)教學(xué)原則就可實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)思 想方法教學(xué)目標(biāo)。( ) 2數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)教學(xué)的兩條主線。( ) 3新頒發(fā)的《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中的特點(diǎn)之一“再創(chuàng)造”體現(xiàn)了我國數(shù)學(xué)課程改革與發(fā)展的新 的理念。( )法國的布爾巴基學(xué)派利用數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)的統(tǒng)一。由類比法推得的結(jié)論必然正確。( ) 三、簡答題(每題10分，共30分) 1.常量數(shù)學(xué)應(yīng)用的局限性是什么?\ 2.簡述計(jì)算的意義。 3，簡述培養(yǎng)數(shù)學(xué)猜想能力的途徑。 四、證明題(20分) 在四面體ABCD中，如圖，已知AB土CD,A D土BC;求證:AC土BDo 數(shù)學(xué)思想與方法試題答案及評分標(biāo)準(zhǔn) 一、填空題(每題3分.共30分} 1. 由 對 個(gè)體特性的認(rèn)識上升為對個(gè)體所屬的種的特性 2. 多 項(xiàng) 式算法和指數(shù)型算法 3. 特 殊 一般 4. 聯(lián) 想 類比猜測 5. 特 例 歸納猜測 6. 形 式 化 7. 就 是 部分與部分部分與整體之間的 8. 以 算 為主邏輯演繹 9. 利 用 數(shù)學(xué)模型解決問題的一般數(shù)學(xué)方法 10. 從 對 象的一個(gè)給定集合出發(fā)，進(jìn)而考慮某個(gè)包含于該集合的較小集合 二、判斷題(每題4分，共20分。填是或否) 1. 否 2.是3.是4，是5.否 三、簡答題(每題10分，共30分) 1. 答 :① 在建立了太陽中心理論后，17世紀(jì)的人們面臨了如何改進(jìn)計(jì)算行星位置，以及如 何解釋地球上靜止的物體保持不動(dòng)、下降的物體還落在地球上等之類的問題。②這類問題的 核心是物體的運(yùn)動(dòng)。面對這類帶有運(yùn)動(dòng)特征的問題，人們已有的數(shù)學(xué)知識:算術(shù)、初等代數(shù)、初等幾何和三角等構(gòu)成的初等數(shù)學(xué)，顯得無效。③由于初等數(shù)學(xué)都是以不變的數(shù)量(即常量)和固定的圖形為其研究對象(因此這部分內(nèi)容也稱為常量數(shù)學(xué))。運(yùn)用這些知識可以有效地描述和解釋相對穩(wěn)定的事物和現(xiàn)象?？墒牵瑢τ谶@些運(yùn)動(dòng)變化的事物和現(xiàn)象，它們顯然無能為力。 2.答:①推動(dòng)了數(shù)學(xué)的應(yīng)用; ②加快了科學(xué)的數(shù)學(xué)化; ③促進(jìn)了數(shù)學(xué)的發(fā)展。 3.答:猜想能力培養(yǎng)可以通過數(shù)學(xué)教學(xué)，如:①新知識的學(xué)習(xí)、②數(shù)學(xué)規(guī)律的尋求、③解題 思路的探索等途徑來實(shí)現(xiàn)。 四、解答題(20分) 答:本題可利用兩個(gè)非零向量a,b垂直的充要條件是a"b=0，加以證明。 (注:雖然本題也可依據(jù)三垂線定理及其逆定理進(jìn)行證明，但是不及向量證法既有幾何直觀，又簡潔明快) 數(shù)學(xué)思想與方法試題 一、填空題(每題3分.共30分) .三段論是演繹推理的主要形式，它由三部 分組成。 2.演繹法與 3.被認(rèn)為是理性思維中兩種最重要的推理方法。是聯(lián)系數(shù)學(xué)知識與數(shù)學(xué)能力的紐帶，是數(shù)學(xué)科學(xué)的靈魂，它劉發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，提高學(xué)生的思維品質(zhì)都具有十分重要的作用。 4.分類方法具有三個(gè)要素: 5.數(shù)學(xué)研究的對象可以分為兩類:一類是，另一類是 6.所謂社會科學(xué)數(shù)學(xué)化就是指，也就是運(yùn)用來揭示社會現(xiàn)象的一般規(guī)律。在古代的活動(dòng)中就有概率思想的雛形，但是作為一門學(xué)科則產(chǎn)生于17世紀(jì)中期前后，它的起源與一個(gè)所謂的點(diǎn)數(shù)問題有關(guān)。 8.在數(shù)學(xué)中建立公理體系最早的是，而這方面的代表著作是古希臘學(xué)者歐幾里得的 9.《九章算術(shù)》是世界上最早系統(tǒng)地?cái)⑹鲞\(yùn)算的著作，它關(guān)于的論述也是世界上最早的。 10.數(shù)學(xué)知識與數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)教學(xué)的兩條主線，是一條明線，它被寫 在教材中; 則是一條暗線，需要教師挖掘、提煉并貫穿在教學(xué)過程中。 二、判斷題(每題4分，共20分。在括號里填上是或否) 1.在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，往往需要綜合運(yùn)用多種數(shù)學(xué)思想方法才能取得效果。( ) 2.分類可使知識條理化、系統(tǒng)化。( ) 3.既沒有脫離數(shù)學(xué)知識的數(shù)學(xué)思想方法，也沒有不包括數(shù)學(xué)思想方法的數(shù)學(xué)知識。 對同一數(shù)學(xué)對象，若選取不同的標(biāo)準(zhǔn)，可以得到不同的分類。 完全歸納法實(shí)質(zhì)上屬于演繹推理的范疇。( ) 三、簡答題(每題10分，共30分) 1，什么是算法的有限性特點(diǎn)?試舉一個(gè)不符合算法有限性特點(diǎn)的例子。 2.我國數(shù)學(xué)教育存在哪些問題?試舉例子說明。 3，簡述公理化方法發(fā)展。 四、解答題(20分) 通過 下 列 例子具體說明化歸方法的含義: 一 鐵 球 浮在水銀上，若將水再傾注在水銀之上，并覆蓋鐵球，這時(shí)球相對于水銀面將下沉? 上升?還是保持在同樣的深度上?(已知水銀密度為13.6 ，鐵密度為7.8 4，水密度為1) 數(shù)學(xué)思想與方法試題答案及評分標(biāo)準(zhǔn) 一、填空題(每題3分.共30分) 1. 大 前 提小前提結(jié)論 2. 歸 納 法 3. 數(shù) 學(xué) 思想方法 4. 劃 分 的對象劃分后所得的類概念劃分的標(biāo)準(zhǔn) 5. 研 究 數(shù)量關(guān)系研究空間形式 6. 數(shù) 學(xué) 向社會科學(xué)的滲透數(shù)學(xué)方法 7. 游 戲 與賭博 8. 幾 何 學(xué)《幾何原本》 9. 分 數(shù) 負(fù)數(shù) 10. 數(shù) 學(xué) 知識數(shù)學(xué)思想 二、判斷題(每題4分，共20分.填是或否) 1. 是 2.是3.是4.是 三、簡答題(每題10分，共30分) 1. 答 :① 算法的有一限性是指一個(gè)算法必須在有限步之內(nèi)終止。 ② 例 如 ，對初始數(shù)據(jù)20和3，計(jì)算過程為[豎式20除以3] 無 論 怎 樣 延 續(xù)這個(gè)過程都不能結(jié)束，同時(shí)也不會出現(xiàn)中斷。如果在某一處中斷過程，我們 只能得到一個(gè)近似的、不準(zhǔn)確的結(jié)果。而且如果在某一步中斷計(jì)算過程已經(jīng)不是執(zhí)行原來的 算法?？梢?，十進(jìn)制小數(shù)除法對于20和3這組數(shù)不符合算法的“有限性”特點(diǎn)。 2. 答 :① 數(shù)學(xué)教學(xué)重結(jié)果，輕過程;重解題訓(xùn)練，輕智力、情感開發(fā);不重視創(chuàng)新能力培養(yǎng)， 雖然學(xué)生考試分?jǐn)?shù)高，但是學(xué)習(xí)能力低下;②重模仿，輕探索，學(xué)習(xí)缺少主動(dòng)性，缺乏判斷力和獨(dú)立思考能力;③學(xué)生學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān)過重。原因是課堂教學(xué)效益不高，教學(xué)圍繞升學(xué)考試指揮棒轉(zhuǎn)，不斷重復(fù)訓(xùn)練各種題型和模擬考試，不少教師心存以量求質(zhì)的想法，造成學(xué)生學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān)過重。 3. 答 :公 理化方法是一個(gè)由個(gè)別上升到特殊再上升到一般的過程，最后形成了數(shù)學(xué)中普 遍適用的科學(xué)方法。它的發(fā)展關(guān)系可以用下列圖示表明:① 個(gè) 別 、特殊一一般② 歐 氏空間一各種幾何一一般意義空間③ 具 體 公理方法一抽象公理方法一形式化公理方法 四、解答題(20分) 解 答 : ① 這 是 一個(gè)物理問題。用數(shù)學(xué)的眼光來考慮不會滿足于是上升或下沉的定性的描述，而 是渴望有定量的分析，即在傾人水前后兩種情況下，計(jì)算球在水銀平面之上的那部分體積占整 球體積的比例。 10 7 3 ② 不排 除 定性的直觀想象，因?yàn)檫@對理解問題會有好處。不妨想象在水銀上包圍鐵球上 部的液體連續(xù)地改變其密度，從空氣— 水— 鐵的密度，球必上升完全超出水銀，如果密度 繼續(xù)增加，球就會從想象的液體中浮出來。由此可見，當(dāng)覆蓋球的物質(zhì)從空氣逐漸變?yōu)樗臅r(shí) 候，球?qū)⑸仙? ③下 面 將 數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，分別設(shè)上面液體的密度為“，下面液體的密度為b，球 的密度為。,v表示球的體積，x，表示球上半部分的體積y，表示球下半部分的體積。根據(jù)阿基 米德原理:浮體質(zhì)量等于所排開液體的質(zhì)量，可列方程: { ⑤ 回到 原 題，傾水前a=O,b=13.60 ,c=7.8 4，由此得二二0.4 32v;傾水后a=1.0 0，求得x =0.45 7v，故知傾水后球浮于水銀上的部分占球總體積的比例增大，即球上升。 ⑥此 題 的 解決過程是先把問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，再轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，最后歸結(jié)為解方程 組，通過解方程組得到解。 評 分 標(biāo) 準(zhǔn): (1) ① Oz ③中每答對一個(gè)，分別得2,3,4分; (2 ). 5 ⑥中每答對一個(gè)，分別得3,5,3分; (3 )完 整 答出①②③，得20分。 數(shù)學(xué)思想與方法試題 一、填空題(每題3分，共30分) 1.學(xué)生理解或掌握數(shù)學(xué)思想方法的過程有如下三個(gè)主要階段 2.面對一個(gè)問題，經(jīng)過認(rèn)真的觀察和思考，通過歸納或類比提出猜想，然后從兩個(gè)方面人 手:演繹證明此猜想為真;或者 正或否定此猜想。 ，并且進(jìn)一步修 3. 變 量 數(shù)學(xué)產(chǎn)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是，標(biāo)志是 4. 化 歸 方法是將轉(zhuǎn)化為已知問題。 5. 公 理方 法是從盡可能少的初始概念和公理出發(fā)，應(yīng)用嚴(yán)格的_ ，使一 門數(shù)學(xué)構(gòu)建成為演繹系統(tǒng)的一種方法。 6. 數(shù) 學(xué) 的第一次危機(jī)是由于出現(xiàn)了而造成的。 7. 數(shù) 學(xué) 猜想具有兩個(gè)明顯的特點(diǎn): 與 8. 所 謂社 會科學(xué)數(shù)學(xué)化就是指數(shù)學(xué)向_ 的滲透，運(yùn)用數(shù)學(xué)方法來揭示 的 一 般 規(guī) 律 。 9. 分 類必 須遵循的原則是_ 10. 深 層 類比又稱實(shí)質(zhì)性類比，它是通過 而得到的類比。 二、判斷題(每題4分。共20分，填是或否) 1. 數(shù) 學(xué) 模型方法是近代才產(chǎn)生的。( ) 2. 在 小 學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，本教材所涉及到的數(shù)學(xué)思想方法并不多見。( ) 3. 所 謂 特殊化是指在研究問題時(shí)，從對象的一個(gè)給定集合出發(fā)，進(jìn)而考慮某個(gè)包含于該 集合的較小集合的思想。( ) 4. 既 沒 有脫離數(shù)學(xué)知識的數(shù)學(xué)思想方法，也沒有不包括數(shù)學(xué)思想方法的數(shù)學(xué)知識。 5.對同一數(shù)學(xué)對象，若選取不同的標(biāo)準(zhǔn)，可以得到不同的分類。( 得分評卷人 三、簡答題(每題10分，共30分) 1.簡述概括與抽象的關(guān)系。 2.簡述培養(yǎng)數(shù)學(xué)猜想能力的途徑。 3.微積分產(chǎn)生可以歸結(jié)為哪四類情況? 得分評卷人 四、論述題(20分) 論述《幾何原本》和《九章算術(shù)》思想方法的特點(diǎn)。 一、填空題(每題3分，共30分) 1. 對 同 一數(shù)學(xué)對象，若選取不同的標(biāo)準(zhǔn)，可以得到不同的分類 2. 尋 找 反例說明此猜想為假 3. 解 析 幾何微積分 4. 疑 難 問題 5. 邏 輯 推理 6. 無 理 數(shù)(或涯 7. 科 學(xué) 性推測性 8. 社 會 科學(xué)社會現(xiàn)象 9.① 不 重 復(fù);②無遺漏;③標(biāo)準(zhǔn)同一 10. 對 被 比較對象的處理相互依存的各種相似屬性之間的多種因果關(guān)系的分析 二、判斷題(每題4分，共20分，填是或否) 1. 否 2.否3.是4.是5.是 三、簡答題(每題10分.共30分) 1.答① 概括方法與抽象方法是不同的，但是它們又有十分密切的聯(lián)系。抽象是舍棄事物的一些屬性而收括固定出其固有的另一些屬性的思維過程，抽象得到的新概念與表述原來的對象的概念之間不一定有種屬關(guān)系。②概括是在思維中由認(rèn)識個(gè)別事物的本質(zhì)屬性，發(fā)展到認(rèn)識具有這種本質(zhì)屬性的一切事物，從而形成關(guān)于這類事物的普遍概念。由概括得出的新概念是表述概括對象概念的一個(gè)屬概念。③概括和抽象雖有差別，但又是互相聯(lián)系、密不可分的。抽象是概括的基礎(chǔ)，沒有抽象就不能認(rèn)識任何事物的本質(zhì)屬性，就無法概括。概括也是抽 象思維過程中所必須的一個(gè)環(huán)節(jié)，前述“收括”操作實(shí)際上也是一個(gè)概括過程，有人就把“收括” 稱之為概括，由于對共同點(diǎn)的概括才能得出對象的本質(zhì)屬性，從而完成抽象過程。 2. 答:猜 想能力培養(yǎng)可以通過數(shù)學(xué)教學(xué)，如:①新知識的學(xué)習(xí)、②數(shù)學(xué)規(guī)律的尋求、③解題 思路的探索等途徑來實(shí)現(xiàn)。 3， 答 :這 些問題歸結(jié)到數(shù)學(xué)上主要有如下四類情況。 ①第 一 類 是:已知物體移動(dòng)的距離為時(shí)間的函數(shù)，求物體瞬時(shí)速度和加速度;反過來，已知 物體的加速度為時(shí)間的函數(shù)，求速度和距離。 ②第二類是:求曲線切線的斜率和方程。 ③第三類是:求函數(shù)的最大值與最小值。 ④第四類是:求曲線的長度，曲邊梯形的面積，曲面圍成的物體的重心。 這四類問題的核心是求一個(gè)常量無法確定的量— 變量— 問題。 四、解答題【20分) 答 :《幾 何 原本》的思想方法的特點(diǎn): ① 封閉 的 演繹體系 因?yàn)?在 《 幾何原本》中，除了推導(dǎo)時(shí)所需要的邏輯規(guī)則外，每個(gè)定理的證明所采用的論據(jù)均 是公設(shè)、公理或前面已經(jīng)證明過的定理，并且引人的概念(除原始概念)也基本上是符合邏輯上 對概念下定義的要求，原則上不再依賴其它東西。因此《幾何原本》是一個(gè)封閉的演繹體系。 另外 ，《幾 何原本》的理論體系回避任何與社會生產(chǎn)現(xiàn)實(shí)生活有關(guān)的應(yīng)用問題，因此對于社 會生活的各個(gè)領(lǐng)域來說，它也是封閉的。 所 以 ，《幾 何原本》是一個(gè)封閉的演繹體系。 ② 抽象 化 的內(nèi)容 《幾 何 原 本》中研究的對象都是抽象的概念和命題，它所探討的是這些概念和命題之間的 邏輯關(guān)系，不討論這些概念和命題與社會生活之間的關(guān)系，也不考察這些數(shù)學(xué)模型所由之產(chǎn)生 的現(xiàn)實(shí)原型。因此《幾何原本》的內(nèi)容是抽象的。 ③ 公 理 化的方法 《幾 何 原 本》的第一篇中開頭5個(gè)公設(shè)和5個(gè)公理，是全書其它命題證明的基本前提，接著 給出23個(gè)定義，然后再逐步引人和證明定理。定理的引人是有序的，在一個(gè)定理的證明中，允 許采用的論據(jù)只有公設(shè)和公理與前面已經(jīng)證明過的定理。以后各篇除了不再給出公設(shè)和公理 外也都照此辦理。這種處理知識體系與表述方法就是公理化方法。 《九 章 算 術(shù)》的思想方法的特點(diǎn): ④ 開 放 的歸納體系 從 《九 章 算術(shù)》的內(nèi)容可以看出，它是以應(yīng)用問題解法集成的體例編纂而成的書，因此它是 一個(gè)與社會實(shí)踐緊密聯(lián)系的開放體系。 在《 九 章 算術(shù)》中通常是先舉出一些問題，從中歸納出某一類問題的一般解法;再把各類算 法綜合起來，得到解決該領(lǐng)域中各種問題的方法;最后，把解決各領(lǐng)域中問題的數(shù)學(xué)方法全部 綜合起來，就得到整個(gè)《九章算術(shù)》。 另 外 該 書還按解決問題的不同數(shù)學(xué)方法進(jìn)行歸納，從這些方法中提煉出數(shù)學(xué)模型，最后再 以數(shù)學(xué)模型立章寫人《九章算術(shù)》。 因 此 ，《 九章算術(shù)》是一個(gè)開放的歸納體系。 10 6 9 ⑤ 算 法 化的內(nèi)容 《九 章 算 術(shù)》在每一章內(nèi)先列舉若干個(gè)實(shí)際問題，并對每個(gè)問題都給出答案，然后再給出 “術(shù)”，作為一類問題的共同解法。因此，內(nèi)容的算法化是《九章算術(shù)》思想方法上的特點(diǎn)之一。 ⑥ 模 型 化的方法 《九 章 算 術(shù)》各章都是先從相應(yīng)的社會實(shí)踐中選擇具有典型意義的現(xiàn)實(shí)原型，并把它們表 述成問題，然后通過“術(shù)”使其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型。當(dāng)然有的章采取的是由數(shù)學(xué)模型到原型的過 程，即先給出數(shù)學(xué)模型，然后再舉出可以應(yīng)用的原型。 一、填空題(每題3分，共3。分) 1.等腰三角形的抽象過程，就是把一個(gè)新的特征: ，加人到三角形概念 中去，使三角形概念得到強(qiáng)化。 2.所謂類比，是指 ;常稱這種方法為類比 法，也稱類比推理。 .反例反駁的理論依據(jù)是形式邏輯的 .猜想具有兩個(gè)顯著特點(diǎn): 算法大致可以分為 所謂數(shù)學(xué)模型方法是 所謂特殊化方法是指在研究問題時(shí)， 兩大類。 的思想方法。 8 特性。 9 數(shù)學(xué)模型具有 公理方法就是從初始概念和公理出發(fā)，按照 ，推導(dǎo)出1i.他一切命題的一種演繹方法 10 .概 括 通常包括兩種:經(jīng)驗(yàn)概括和理論概括。而經(jīng)驗(yàn)概括是從事實(shí)出發(fā)，以對個(gè)別事物 所作的觀察陳述為基礎(chǔ)，上升為普遍的認(rèn)識— 的認(rèn)識。 二、判斷題(每題4分，共20分。在括號里填上是或否) 1. 數(shù) 學(xué) 思想方法教學(xué)隸屬數(shù)學(xué)教學(xué)范疇，只要貫徹通常的數(shù)學(xué)教學(xué)原則就可實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)思 想方法教學(xué)目標(biāo)。( ) 2. 由 類 比法推得的結(jié)論必然正確。( ) 3. 有 時(shí) 特殊情況能與一般情況等價(jià)。( ) 4. 演 繹 的根本特點(diǎn)就是當(dāng)它的前提為真時(shí)，結(jié)論必然為真。( ) 5. 抽 象 得到的新概念與表述原來的對象概念之間不一定有種屬關(guān)系。( ) 三、簡答題(每題10分，共30分) 1.簡述確定性現(xiàn)象、隨機(jī)現(xiàn)象的特點(diǎn)以及確定性數(shù)學(xué)的局限性。 2.簡述計(jì)算機(jī)在數(shù)學(xué)方面的三種新用途。 3.簡述化歸方法的和諧化原則。 四、解答題(20分) 以“ 認(rèn) 識 長方形的對邊相等”為內(nèi)容，設(shè)計(jì)一個(gè)教學(xué)片斷。 (要 求 :① 教學(xué)過程要比較具體、合理，且有一定的層次;②要有與數(shù)學(xué)知識教學(xué)相聯(lián)系的 本課程中所學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)內(nèi)容;③不少于300字) 一、填空題(每題3分，共30分) 1. 兩 邊 相等 2. 由 一 類事物所具有的某種屬性，可以推測與其類似的事物也具有該屬性的一種推理方 法 3. 矛 盾 律 4. ① 具 有一定的科學(xué)性，②具有一定的推測性 5. 多 項(xiàng) 式算法和指數(shù)型算法 6. 利 用 數(shù)學(xué)模型解決問題的一般數(shù)學(xué)方法 7. 從 對 象的一個(gè)給定集合出發(fā)，進(jìn)而考慮某個(gè)包含于該集合的較小集合 8. 抽 象 性、準(zhǔn)確性和演繹性、預(yù)測性 9. 一 定 的規(guī)定定義出其他所有的概念 10. 由 對 個(gè)體特性的認(rèn)識上升為對個(gè)體所屬的種的特性 二、判斷題(每題4分，共20分。在括號里填上是或否) 3. 是 4.是5.是 三、簡答題(每題10分，共30分) 1. 答 :① 確定性現(xiàn)象的特點(diǎn)是:在一定的條件下，其結(jié)果完全被決定，或者完全肯定，或者 完全否定，不存在其他可能。即這種現(xiàn)象在一定的條件下必然會發(fā)生某種結(jié)果，或者必然不會 發(fā)生某種結(jié)果。②隨機(jī)現(xiàn)象的特點(diǎn)是:在一定的條件下，可能發(fā)生某種結(jié)果，也可能不發(fā)生某 種結(jié)果。③對于隨機(jī)現(xiàn)象，由于條件和結(jié)果之間不存在必然性聯(lián)系，因此不能用確定數(shù)學(xué)來加 以定量描述;此外，由于隨機(jī)現(xiàn)象并不是雜亂無章的現(xiàn)象，就個(gè)體而言，似乎沒有什么規(guī)律存 在，但當(dāng)同類現(xiàn)象大量出現(xiàn)時(shí)，從總體上卻呈現(xiàn)出一種規(guī)律性，而確定數(shù)學(xué)無法定量地揭示這 利，規(guī)律性。 2. 答 :① 推動(dòng)了數(shù)學(xué)的應(yīng)用;②加快了科學(xué)的數(shù)學(xué)化;③促進(jìn)了數(shù)學(xué)的發(fā)展。 (4 )完 整 答出①②③，得1Q分。 3， 答 :和 諧化是數(shù)學(xué)內(nèi)在美的主要內(nèi)容之一。①美與真在數(shù)學(xué)命題和數(shù)學(xué)解題中一般是 統(tǒng)一的。因此，②我們在解題過程中，可根據(jù)數(shù)學(xué)問題的條件或結(jié)論以及數(shù)、式、形等的結(jié)構(gòu)特 征，利用和諧美去思考問題，獲得解題信息，③從而確立解題的總體思路，達(dá)到以美啟真的 作用。 四、解答題(20分) 1. 答 :將 教學(xué)過程設(shè)計(jì)成四個(gè)層次: ① 讓 學(xué) 生說一說:我們周圍有哪些長方形物體?學(xué)生會舉出黑板、桌面、教室的門、課本的 封面等例子。 ② 要求 學(xué) 生仔細(xì)觀察:看一看、想一想，這些長方形的四條邊的長短有什么關(guān)系?學(xué)生經(jīng) 過觀察后，會猜想:長方形相對的兩條邊長度相等。 ③ 教師 進(jìn) 一步提出問題:同學(xué)們敢于大膽猜想的精神值得鼓勵(lì)!我們怎樣才能驗(yàn)證長方 形相對的兩條邊的長短相等呢?這時(shí)，學(xué)生會想出許多辦法，如:用尺量、將圖形對折等方法。 教師順勢引導(dǎo)學(xué)生通過量量、折折的具體操作，確信長方形相對的兩條邊長短相等。教師板 書:長方形對邊相等。接著，師生討論長方形“對邊”的含義，以及一個(gè)長方形有幾組對邊的問題。 ④鞏固長方形對邊相等的認(rèn)識。利用多媒體展示下面的長方形: ( )厘 米 師 :如 何 填寫括號內(nèi)的數(shù)字?為什么? 要 求學(xué) 生 會用“因?yàn)?所以?”句式回答。如“因?yàn)殚L方形的對邊相等，已知長方形的一條 邊是4厘米，所以它的對邊也是4厘米?！? 小教專業(yè)數(shù)學(xué)思想與方法試題 一、填空題(每題3分，共30分) .在數(shù)學(xué)中建立公理體系最早的是幾何學(xué)，而這方面的代表著作是古希臘歐幾里得的 隨機(jī)現(xiàn)象的特點(diǎn)是 .演繹法與被認(rèn)為是理性思維中兩種最重要的推理方法。 .在化歸過程中應(yīng)遵循的原則是 是聯(lián)系數(shù)學(xué)知識與數(shù)學(xué)能力的紐帶，是數(shù)學(xué)科學(xué)的靈魂， 它對發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，提高學(xué)生的思維品質(zhì)都具有十分重要的作用。 .三段論是演繹推理的主要形式，它由三部分組 .傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)只注重的傳授，而忽略對知識發(fā)生過程 的挖掘。 ，特殊化方法是指在研究問題中， 的思想方法。 9，分類方法的原則是 10.數(shù)學(xué)模型按照對模型結(jié)構(gòu)和參數(shù)的了解程度可以分為三類: 得分評卷人 二、判斷題(每題4分，共20分。在括號里填上是或否) 1.數(shù)學(xué)模型方法在生物學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、軍事學(xué)等領(lǐng)域沒應(yīng)用。( ) 2.在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，往往需要綜合運(yùn)用多種數(shù)學(xué)思想方法才能取得效果。( ) 3.如果某一類問題存在算法，并且構(gòu)造出這個(gè)算法，就一定能求出該問題的精確解。 ( 分類可使知識條理化、系統(tǒng)化。( ) 在建立數(shù)學(xué)模型的過程中，不必經(jīng)過數(shù)學(xué)抽象這一環(huán)節(jié)。( ) 三、簡答題(每題10分，共30分) 1.我國數(shù)學(xué)教育存在哪些問題? 2.《幾何原本》貫徹哪兩條邏輯要求? 3.簡述將“化隱為顯”列為數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的一條原則的理由。 得分評卷人 四、解答題《20分) (1)什么是類比推理?(2)寫出類比推理的表示形式。<3)怎樣才能增加由類比得出的結(jié) 論的可靠性? 一、填空題(每題3分.共30分) 1. 《幾 何 原本》 2. 在 一 定條件下，可能發(fā)生某種結(jié)果，也可能不發(fā)生某種結(jié)果 3. 歸 納 法 4. 簡 單 化原則、熟悉化原則、和諧化原則 5. 數(shù) 學(xué) 思想方法 6. 大 前 提、小前提、結(jié)論 7. 形 式 化數(shù)學(xué)知識數(shù)學(xué)思想方法 8. 從 對 象的一個(gè)給定集合出發(fā)，進(jìn)而考慮某個(gè)包含于該集合的較小集合 9. 不 重 復(fù)、無遺漏、標(biāo)準(zhǔn)同一、按層次逐步劃分 10. 白 箱 模型、灰箱模型、黑箱模型 二、判斷題(每題4分，共20分。在括號里填上是或否) 1. 否 2.是3.否4.是5.否 三、簡答題(每題10分.共30分) 1. 答 :① 數(shù)學(xué)教學(xué)重結(jié)果，輕過程;重解題訓(xùn)練，輕智力、情感開發(fā);不重視創(chuàng)新能力培養(yǎng)， 雖然學(xué)生考試分?jǐn)?shù)高，但是學(xué)習(xí)能力低下;②重模仿，輕探索，學(xué)習(xí)缺少主動(dòng)性，缺乏判斷力和 獨(dú)立思考能力;③學(xué)生學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān)過重。原因是課堂教學(xué)效益不高，教學(xué)圍繞升學(xué)考試指揮棒 轉(zhuǎn)，不斷重復(fù)訓(xùn)練各種題型和模擬考試，不少教師心存以量求質(zhì)的想法，造成學(xué)生學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān)過重。 z. 答 :《 幾何原本》貫徹了兩條邏輯要求。①第一，公理必須是明顯的，因而是無需加以證 明的，其是否真實(shí)應(yīng)受推出的結(jié)果的檢驗(yàn)，但它仍是不加證明而采用的命題;初始概念必須是 10 5 1 直接可以理解的，因而無需加以定義。②第二，由公理證明定理時(shí)，必須遵守邏輯規(guī)律與邏輯 規(guī)則;同樣，通過初始概念以直接或間接方式對派生概念下定義時(shí)，必須遵守下定義的邏輯規(guī) 則。 0 3. 答 :① 由于數(shù)學(xué)思想方法往往隱含在知識的背后，知識教學(xué)雖然蘊(yùn)含著思想方法，但是 如果不是有意識地把數(shù)學(xué)思想方法作為教學(xué)對象，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時(shí)，學(xué)生常常只注意到處于表層 的數(shù)學(xué)知識，而注意不到處于深層的思想方法。②因此，進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)時(shí)必須以數(shù)學(xué) 知識為載體，把隱藏在知識背后的思想方法顯示出來，使之明朗化，才能通過知識教學(xué)過程達(dá) 到思想方法教學(xué)之目的。 0 四、解答題{20分) 解 答 :① 類比推理是指，由一類事物所具有的某種屬性，可以推測與其類似的事物也具有 這種屬性的一種推理方法。 ② 類 比推 理的表示形式為: A具 有 性 質(zhì)a}}a z ，?,a。及d; B具 有 性 質(zhì)a},az}...+a}, 因此 ， B也 可能具有性質(zhì)d’o ③ 盡 量 滿足下列條件可增加類比結(jié)論的可靠性: .A 與 B共同(或相似)的屬性盡可能多些; . 這些 共 同(或相似)的屬性應(yīng)是類比對象A與B的主要屬性; . 這些 共 同(或相似)的屬性應(yīng)包括類比對象的不同方面，并且盡可能是多方面的; . 可遷 移 的屬性d應(yīng)是和a,,az}...,a。屬于同一類型。 一、填空題(每題3分，共30分) 算法的有效性是指 2.數(shù)學(xué)的研究對象大致可以分成兩大類: 所謂數(shù)形結(jié)合方法，就是在研究數(shù)學(xué)問題時(shí)， 的一種思想方法。 4.推動(dòng)數(shù)學(xué)發(fā)展的原因主要有兩個(gè): ，數(shù)學(xué)思想方法的幾次突破就是這兩種需要的結(jié)果。 5.古代數(shù)學(xué)大體可分為兩種不同的類型 種是長于計(jì)算和實(shí)際應(yīng)用，以 :一種是崇尚邏輯推理，以《幾何原本》為代表; 為 典范。 6. 勻 速 直線運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)模型是 7. 數(shù) 學(xué) 的統(tǒng)一性是客觀世界統(tǒng)一性的反映，是數(shù)學(xué)中各個(gè)分支固有的內(nèi)在聯(lián)系的體現(xiàn)， 它表現(xiàn)為的趨勢。 8. 不 完 全歸納法是根據(jù) ，作 出 關(guān) 于 該 類事物的一般性結(jié)論的推理方法。 9. 學(xué) 生 理解或掌握數(shù)學(xué)思想方法的過程一般有三個(gè)主要階段: 1078 10.在實(shí)施數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)時(shí)，應(yīng)該注意三條原則: 得分評卷人 二、判斷題(每題4分，共20分。在括號里填上是或否) 1.計(jì)算機(jī)是數(shù)學(xué)的創(chuàng)造物，又是數(shù)學(xué)的創(chuàng)造者。( ) ?..抽象得到的新概念與表述原來的對象的概念之間一定有種屬關(guān)系。( ) 3.一個(gè)數(shù)學(xué)理論體系內(nèi)的每一個(gè)命題都必須給出證明。( ) 4.貫穿在整個(gè)數(shù)學(xué)發(fā)展歷史過程中有兩個(gè)思想，一是公理化思想，一是機(jī)械化思想。 ( 5.提出一個(gè)問題的猜想是解決這個(gè)問題的終結(jié)。( ) 得分評卷人 三、簡答題(每題10分，共30分) 1，為什么說《幾何原本》是一個(gè)封閉的演繹體系? 2.什么是類比猜想?并舉一個(gè)例子說明。 3.數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)為什么要遵循循序漸進(jìn)原則?試舉例說明。 得分評卷人 四、解答題(20分) 簡述用MM方法解決實(shí)際問題的基本步驟，并用框圖加以表示。 一、填空題(每題3分.共30分) 1. 如 果 使用該算法從它的初始數(shù)據(jù)出發(fā)，能夠得到這一問題的正確解 2. 數(shù) 量 關(guān)系，空間形式 3. 由 數(shù) 思形、見形思數(shù)、數(shù)形結(jié)合考慮問題 4. 實(shí) 踐 的需要，理論的需要 ;>. 《 九 章算術(shù)》 6. 一 次 函數(shù) 7. 數(shù) 學(xué) 的各個(gè)分支相互滲透和相互結(jié)合 8. 對 某 類事物中的部分對象的分析 9. 潛 意 識階段、明朗化階段、深刻理解階段 10. 化 隱 為顯原則、循序漸進(jìn)原則、學(xué)生參與原則 二、判斷題(每題4分，共20分。在括號里填上是或否) 1， 是 2.否3.否4.是5.否 三、簡答題(每題10分，共30分) 1. 答 :① 因?yàn)樵凇稁缀卧尽分?，除了推?dǎo)時(shí)所需要的邏輯規(guī)則外，每個(gè)定理的證明所采用 的論據(jù)均是公設(shè)、公理或前面已經(jīng)證明過的定理，并且引人的概念(除原始概念)也基本上是符 合邏輯上對概念下定義的要求，原則上不再依賴其它東西。因此《幾何原本》是一個(gè)封閉的演鄒系。 ② 另外 ，《幾何原本》的理論體系回避任何與社會生產(chǎn)現(xiàn)實(shí)生活有關(guān)的應(yīng)用問題，因此對于 社會生活的各個(gè)領(lǐng)域來說，它也是封閉的。 lo so ③ 所以 ， 《幾何原本》是一個(gè)封閉的演繹體系。 評 分 標(biāo) 準(zhǔn): (1 )① 答 對，得4分; (2 )② 答 對，得4分; 吸3) ③ 答 對，得2分; <4 )完 整 答出①②③，得l0分。 2. 答 :① 人們運(yùn)用類比法，根據(jù)一類事物所具有的某種屬性，得出與其類似的事物也具有 這種屬性的一種推測性的判斷，即猜想，這種思想方法稱為類比猜想。 ② 例 如 ，分式與分?jǐn)?shù)非常相似，只不過是用字母替代數(shù)而已。因此，我們可以猜想，分式與 分?jǐn)?shù)在定義、基本性質(zhì)、約分、通分、四則運(yùn)算等方面都是對應(yīng)相似的。 3. 答 :① 數(shù)學(xué)思想方法的形成難于知識的理解和一般技能的掌握，它需要學(xué)生深入理解事物之間的本質(zhì)聯(lián)系。②學(xué)生對每種數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識都是在反復(fù)理解和運(yùn)用中形成的，是從個(gè)別到一般，從具體到抽象，從感性到理性，從低級到高級的沿著螺旋式方向上升的。 ③例如，學(xué)生理解數(shù)形結(jié)合方法可從小學(xué)的畫示意圖找數(shù)量關(guān)系著手孕育;在學(xué)習(xí)數(shù)軸時(shí)，要求學(xué)生會借助數(shù)軸來表示相反數(shù)、絕對值、比較有理數(shù)的大小等。 四、解答題(20分) 答 :① 所謂數(shù)學(xué)模型方法是利用數(shù)學(xué)模型解決間題的一般數(shù)學(xué)方法。它的基本步驟為:②從現(xiàn)實(shí)原型抽象概括出數(shù)學(xué)模型;③在數(shù)學(xué)模型上進(jìn)行邏輯推理、論證或演算，求得數(shù)學(xué)問題的解;選)從數(shù)學(xué)模型過渡到現(xiàn)實(shí)原型，即把研究數(shù)學(xué)模型所得到的結(jié)論，返回到現(xiàn)實(shí)原型上去，便得到實(shí)際問題的解答。⑤MM方法解題的基本步驟框圖表示如下: 推理或演算實(shí)際問題的解還原說明 數(shù)學(xué)模型的解