《正弦余弦函數(shù)的周期性》教案

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1、 《正弦、余弦函數(shù)的周期性》教案 一、教材分析： 《正弦、余弦函數(shù)的周期性》是普通高中課程標準實驗教科書必修四第一章第四節(jié)第二節(jié)課，其主要 內(nèi)容是周期函數(shù)的概念及正弦、余弦函數(shù)的周期性．本節(jié)課是學(xué)生學(xué)習(xí)了誘導(dǎo)公式和正弦、余弦函數(shù)的圖 象之后，對三角函數(shù)知識的又一深入探討．正弦、余弦函數(shù)的周期性是三角函數(shù)的一個重要性質(zhì)，是研究 三角函數(shù)其它性質(zhì)的基礎(chǔ)，是函數(shù)性質(zhì)的重要補充．通過本課的學(xué)習(xí)不僅能進一步培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能 力、推理論證能力、分析問題和解決問題的能力，而且能使學(xué)生把這些認識遷移到后續(xù)的知識學(xué)習(xí)中去， 為以后研究三角函數(shù)的其它性質(zhì)打下基礎(chǔ)．所以本課既是前期知識的

2、發(fā)展，又是后續(xù)有關(guān)知識研究的前驅(qū)， 起著承前啟后的作用． 二、教學(xué)目標： 學(xué)情分析： 學(xué)生在知識上已經(jīng)掌握了誘導(dǎo)公式、正弦、余弦函數(shù)圖象及五點作圖的方法；在能力上已經(jīng)具備了一 定的形象思維與抽象思維能力；在思想方法上已經(jīng)具有一定的數(shù)形結(jié)合、類比、特殊到一般等數(shù)學(xué)思想． 本課的教學(xué)目標： (一)知識與技能 1．理解周期函數(shù)的概念及正弦、余弦函數(shù)的周期性． 2．會求一些簡單三角函數(shù)的周期. (二)過程與方法 從學(xué)生生活實際的周期現(xiàn)象出發(fā)，提供豐富的實際背景，通過對實際背景的分析與?y=sinx?圖形的比較、 概括抽象出周期函數(shù)的概念.運用數(shù)形結(jié)合方法研究正弦函數(shù)?y=sin

3、x?的周期性，通過類比研究余弦函數(shù) y=cosx?的周期性． (三)情感、態(tài)度與價值觀 讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)來源于生活，體會從感性到理性的思維過程，體會數(shù)形結(jié)合思想；讓學(xué)生親身經(jīng)歷數(shù) 學(xué)研究的過程，享受成功的喜悅，感受數(shù)學(xué)的魅力． 三、教學(xué)重點：周期函數(shù)的定義和正弦、余弦函數(shù)的周期性. 四、教學(xué)難點：周期函數(shù)定義及運用定義求函數(shù)的周期. 五、教學(xué)準備：三角板、多媒體課件 六、教學(xué)流程： 創(chuàng)設(shè)問題 復(fù)習(xí)回顧 構(gòu)建周期 情境引入 引入新知 函數(shù)定義 正弦函數(shù) 鞏固周期 余弦函數(shù) 的周期 函數(shù)定義 的周期 七、教學(xué)過程：

4、 預(yù)?計 課堂????????????????課堂 小結(jié)????????????????反饋 知識 應(yīng)用 時?間 教學(xué)程序 （分） 教師活動???????????????學(xué)生活動?????????????備注 1?分鐘 創(chuàng)設(shè)問題 問:生活中有哪些周而復(fù)始 情境引入 現(xiàn)象？ 問:數(shù)學(xué)中有哪些周期現(xiàn)象? 2?分鐘 復(fù)習(xí)回顧 引導(dǎo)學(xué)生回顧： 1．誘導(dǎo)公式（一） 2．正弦線 3．利用正弦線畫正弦函數(shù) 圖象（動畫演示）. 學(xué)生舉例??????????從?生活中?的 周期現(xiàn)象引 入，激發(fā)學(xué)生 的學(xué)習(xí)興趣.

5、 學(xué)生回顧誘導(dǎo)公式（一）???引導(dǎo)學(xué)生回 學(xué)生觀察動畫演示??????顧舊知為本課 做準備. 通過動畫演 示讓學(xué)生直觀 感知周而復(fù)始 的變化規(guī)律. 10?分鐘 構(gòu)建周期 函數(shù)定義  問:正弦函數(shù)?y=sinx?圖象有  答：由動畫演示觀察可 通?過對正?弦 函數(shù)?y=sinx?圖 什么特征？ 得：正弦函數(shù)圖象具有??象觀察、分析， 周而復(fù)始的變化規(guī)律????結(jié)合誘導(dǎo)公 問:圖象呈周期性變化怎樣 答：即?sin(2π?+x)=sinx, 式，構(gòu)建出周 期函數(shù)的定 用數(shù)學(xué)表達式表示?

6、 由誘導(dǎo)公式也可得：????義，主要是立 sin(2π?+x)=sinx,????????足于從學(xué)生的 (讓學(xué)生再次觀察動畫演示) 抽象概括： 最近思維區(qū)入 正弦函數(shù)圖象的周而復(fù)始 的變化實際上就是函數(shù)值 的周而復(fù)始的變化. 設(shè)?f(x)=sinx,則對于任意?手，著力于知 x∈R,都有?f(x+2π?)=f(x)．?識建構(gòu)，培養(yǎng) 周期函數(shù)定義:?????????學(xué)生觀察、分 一般地，對于函??析和抽象概括 數(shù)?f（x），如果存在?能力?,并進一步 一個非零的常數(shù)?T，??滲透數(shù)形結(jié)合

7、 預(yù)?計 時?間 教學(xué)程序 （分） sin(2π?+x)=sinx?這個結(jié)論可???使得定義域內(nèi)的每一?思想方法． 由圖象觀察分析得到，也可????個?x?值，都滿足 由誘導(dǎo)公式得到.????????????f(x+T)=f(x)，那么函 問:?對于?sin(2π?+x)=sinx,?????數(shù)?f（x）就叫做周期 若記?f(x)=sinx,則對于任意?????函數(shù)，非零常數(shù)?T?叫 x∈R,都有?f(??)=f(??)??????做這個函數(shù)的周期. 給出周期函數(shù)及周期 的定義. 教師活動???????????????

8、學(xué)生活動?????????????備注 2?分鐘 正弦函數(shù) 的周期和 最小正周 期?的?定 問: 正弦函數(shù)的周期為多少? 問:?在正弦函數(shù)的周期中, 最小正數(shù)是多少? 答:??????????????????讓學(xué)生理解最 2p?、4p?、6p?、……?小正周期的定 2kπ?(k∈Z?且?k≠0)都是?義． 它的周期．??????????????培?養(yǎng)學(xué)生?的 義. 給出最小正周期的定義． 答:?2p 數(shù)形結(jié)合能力 9?分鐘 鞏固周期 判斷題： 答:1.錯?舉反例: 為了幫助 函

9、數(shù)定義?? 1.?因?為?? p? p???? p??, sin( + )?=?sin 4 2 4 p??p??????p?學(xué)生正確理解 sin(??+??)?1?sin 3??2??????3???????周期函數(shù)概 所以?p?是?y?=?sin?x?的周期. 2.錯（結(jié)合正弦函數(shù)周 念，防止學(xué)生 2 期分析） 以偏概全，讓 2.周期函數(shù)的周期唯一． 3.對（結(jié)合定義分析） 學(xué)生學(xué)會怎樣 3.常數(shù)函數(shù)?f(x)=5?是周期函 學(xué)生談體會： 學(xué)習(xí)概念；培 數(shù). 1.?周期的定義是對定 養(yǎng)學(xué)生透過現(xiàn) （分四人一組進行討論?,再 義域中的每一個?x?值來 象看本

10、質(zhì)的能 由學(xué)生發(fā)表看法.） 說的. 力，使學(xué)生養(yǎng) 引導(dǎo)學(xué)生做完判斷題后談 2.周期函數(shù)的周期不唯 成細致、全面 一談體會． 一. 地考慮問題的 3.周期函數(shù)不一定存在 思維品質(zhì)?.?讓 最小正周期. 學(xué)生在討論交 說明?:今后不加特殊說 流中不斷完善 明，涉及的周期都是最 自己的認知結(jié) 小正周期. 構(gòu)，充分感受 成功與失敗的 情感體驗. 2?分鐘 探究余弦 問題： 學(xué)生回答: 通過對定 函數(shù)的周 期 余弦函數(shù)?y=cosx?是周期函 數(shù)嗎？即能否找到非零常 數(shù)?T，使?cos(T+x)=?cosx?成 立？若是

11、，請找出它的周 期，若不是，請說明理由. 余弦函數(shù)?y=cosx?是周 期函數(shù)，2kπ?(k∈Z?且 k≠0)都是它的周期． 最小正周期為?2?p 義的理解、余 弦函數(shù)圖象以 及類比正弦函 數(shù)，可以得到 余弦函數(shù)是周 期函數(shù)，這樣 使學(xué)生加深對 （分）???????????????????? 教師活動 預(yù)?計 時?間  教學(xué)程序 定義的理解， 培養(yǎng)學(xué)生類比 思想和數(shù)形結(jié) 合能力． 學(xué)生活動?????????????備注 2.??f?(

12、?x)?=?sin?2?x?，?x???R?； 9?分鐘 知識應(yīng)用 例?1．求下列函數(shù)的最小正 兩名學(xué)生板演，其余學(xué) 周期?T. 生在下面獨立完成， 1.?f?(?x)?=?3sin?x?，?x???R?；?完成后由學(xué)生點評. 學(xué)生可能的方法： 1.周期函數(shù)定義 3.?f?(?x)?=?2sin(?1?x?+?p?)?， 2.函數(shù)圖象觀察得到周 2 4 期 x???R?； 第?1?題師生共同完成 第?2、3?題學(xué)生獨立完成 預(yù)設(shè)：利用課件中的圖象引 導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)最小正周期 觀察學(xué)生 對周期函數(shù)定 義的掌握情 況． 培養(yǎng)學(xué)生 的數(shù)形結(jié)合能 力． 課外作

13、業(yè)： 求下列函 數(shù)的周期： (1) y?=?3sin?x 4 ，?x???R?； (2) p y?=?sin(?x?+??) 10 ，?x???R?； (3) 4?分鐘 課堂反饋 練習(xí)： 1．等式sin(300?+?1200?)?=?sin?300 是否成立??如果這個等式成 立,能否說120?0是正弦函數(shù) y?=?sin?x?的一個周期？ 2.求下列函數(shù)的周期: (1)y?=?cos?4?x,?x???R 1 (2)?y?=?cos x,?x???R 2 答： 1.?成立??不能 p 2.(1)

14、 2 (2)?4?p 通?過課堂?反 饋能準確、及 時地了解學(xué)生 對周期函數(shù)定 義和函數(shù)周期 求法的掌握情 況?,?做到及時 反饋、評價,及 時查漏補缺?, 達到堂堂清. p y?=?cos(2?x?+?) 3 ,?x???R?(4) 1???p y?=?3?sin(?x?-?) 2???4 ，?x???R 課外思考： 1.?求?函?數(shù) f?(?x)?=?A?sin(w?x?+?j?) 和 f?(?x)?=?A?cos(w?x?+?j?) 1?分鐘 課堂小結(jié) 1.回顧周期函數(shù)的定義．

15、 2.函數(shù)?y=sinx?和函數(shù)?y=cosx 周期為多少？. 3.函數(shù)周期有多少種求法? ，?x???R 附：板書設(shè)計  1.周期函數(shù)定義:???????????引導(dǎo)學(xué)生 一般地，對于函數(shù)??????對所學(xué)知識進 f（x），如果存在一個??行小結(jié)?,?有利 非零的常數(shù)?T，使得定??于學(xué)生對已有 義域內(nèi)的每一個?x?值，??的知識結(jié)構(gòu)進 都滿足?f(x+T)=f(x)，??行編碼處理?, 那么函數(shù)?f（x）就叫做?加強記憶. 周期函數(shù)，非零常數(shù)?T 叫做這個函數(shù)的周期. 2.?函

16、數(shù)?y=sinx?和函數(shù) y=cosx?周期均為?2π． 3．周期的求法： ①定義法??②圖象法 （?其?中 A,w,j?為 常數(shù)，且 A?1?0,w?>?0 ）的周期． 2.求下列函 數(shù)的周期： （??1??） y?=|?sin?x?| ，?x???R?； （??2??） y?=|?cos?2?x?| 課題：正弦、余弦函數(shù)的周期性 設(shè)計意圖 1．?周期函數(shù)定義 例?1?板演及學(xué)生演示區(qū) 為了使學(xué)生全面 系統(tǒng)地了解本節(jié)內(nèi)容 2．?正弦函數(shù)?y=sinx?的周期為?2p 余弦函數(shù)?y=c

17、osx?的周期為?2p  . 的知識結(jié)構(gòu)?,?達到突 出重點?,?簡潔明了的 目的. 附： 1．本節(jié)課預(yù)計學(xué)生建構(gòu)周期函數(shù)概念時有困難，特別是“正弦函數(shù)圖象的周而復(fù)始變化實際上是函數(shù) 值的周而復(fù)始變化”?的本質(zhì)學(xué)生理解有一定困難.為了突破這個難點，借助了幾何畫板來幫助學(xué)生從形象思 維過渡到抽象思維． 2．預(yù)計部分學(xué)生對周期函數(shù)定義的自變量的任意性的理解有困難，為了突破這個難點，設(shè)計了三道 判斷題讓學(xué)生分組討論交流，通過學(xué)生思維碰撞來體會數(shù)學(xué)概念的嚴謹，通過學(xué)生互動建構(gòu)自己對周期函 數(shù)概念的認識． 3．預(yù)計部分學(xué)生運用周期函數(shù)定義

18、求函數(shù)周期有一定困難，為了解決這個困難，在設(shè)計中，例１第 １問由師生共同完成，完成后小結(jié)解題的思路方法．再由學(xué)生完成第２問和第３問，再由師生共同點評． 教案設(shè)計說明 廣東省東莞中學(xué)松山湖學(xué)校 彭?科 《正弦、余弦函數(shù)的周期性》是普通高中課程標準實驗教科書必修四第一章第四節(jié)第二節(jié)課，其主要 內(nèi)容是周期函數(shù)的概念及正弦、余弦函數(shù)的周期性．正弦、余弦函數(shù)的周期性是三角函數(shù)的一個重要性質(zhì)， 是研究三角函數(shù)其它性質(zhì)的基礎(chǔ)，是函數(shù)性質(zhì)的重要補充．本課的重點為周期函數(shù)的定義和正弦、余弦函 數(shù)的周期性，難點為周期函數(shù)定義及運用定義求函數(shù)的周期.本課的教學(xué)設(shè)計分

19、為六個部分，包括：教材 分析，目標分析（含學(xué)情分析），教學(xué)重難點，教學(xué)準備，教學(xué)流程，教學(xué)過程．設(shè)計反映了由學(xué)生熟悉 的生活的周期現(xiàn)象出發(fā)，通過概括、抽象，并結(jié)合正弦函數(shù)的圖象引導(dǎo)學(xué)生感受周期函數(shù)概念的形成過程， 這是設(shè)計的數(shù)學(xué)本質(zhì)基礎(chǔ)；設(shè)計中結(jié)合本班學(xué)生的學(xué)習(xí)的實際情況，從而確定了教學(xué)活動的環(huán)節(jié)．以這些 分析為基礎(chǔ)從而確定教學(xué)目標，而過程設(shè)計則針對目標從九個環(huán)節(jié)進行具體的設(shè)計．教學(xué)過程設(shè)計自始至 終貫穿數(shù)形結(jié)合思想．下面從如下幾個方面進行詳細說明． 一、教學(xué)內(nèi)容的數(shù)學(xué)本質(zhì)及教學(xué)目標定位 本節(jié)課主要內(nèi)容是周期函數(shù)的概念及正弦、余

20、弦函數(shù)的周期性．通過對正弦函數(shù)圖象“周而復(fù)始”的 變化規(guī)律特征的感知，使學(xué)生建立比較牢固的理解周期性的認知基礎(chǔ)，然后再引導(dǎo)學(xué)生了解用代數(shù)表達式 刻畫圖象“周而復(fù)始”的變化規(guī)律.本節(jié)課要探究的周期函數(shù)的概念的數(shù)學(xué)本質(zhì)是從形和數(shù)兩個方面去刻畫 “周而復(fù)始”的變化規(guī)律． 學(xué)生在知識上已經(jīng)學(xué)習(xí)了函數(shù)概念與基本初等函數(shù)等知識，已經(jīng)掌握了三角函數(shù)圖象的畫法及五點法 作圖；在能力上已經(jīng)具備了一定的形象思維與抽象思維能力；在思想方法上已經(jīng)接觸過數(shù)形結(jié)合、類比、 特殊到一般等數(shù)學(xué)思想．?另外，我還對我班學(xué)生的具體情況做了如下分析：我班學(xué)生基礎(chǔ)知識比較扎實、 思維較活躍，

21、學(xué)生層次差異不大，能夠很好的掌握教材上的內(nèi)容，能較好地做到數(shù)形結(jié)合，善于發(fā)現(xiàn)問題， 深入研究問題，但是部分學(xué)生處理抽象問題的能力還有待進一步提高． 于是，結(jié)合以上的學(xué)情分析，我從?“知識與技能”、“過程與方法”和“情感態(tài)度與價值觀”設(shè)定 目標.其中知識與技能目標為：理解周期函數(shù)的概念及正弦、余弦函數(shù)的周期性，會求一些簡單三角函數(shù)的 周期．過程與方法則是：從學(xué)生實際中的周期現(xiàn)象出發(fā)，提供豐富的實際背景，通過對實際背景的分析與 y=sinx?圖形的比較、概括抽象出周期函數(shù)的概念.?運用數(shù)形結(jié)合方法研究正弦函數(shù)?y=sinx?的周期性，通過 類

22、比研究余弦函數(shù)?y=cosx?的周期性．并且在過程中滲透了本課的情感態(tài)度目標：?讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)來源于 生活，體會從感性到理性的思維過程，體會數(shù)形結(jié)合思想；讓學(xué)生親身經(jīng)歷數(shù)學(xué)研究的過程，享受成功的 喜悅，感受數(shù)學(xué)的魅力.以上是對教學(xué)目標定位的說明． 二、教學(xué)流程 創(chuàng)設(shè)問題 情境引入 復(fù)習(xí)回顧 引入新知 構(gòu)建周期 函數(shù)定義 正弦函數(shù) 的周期 鞏固周期 函數(shù)定義 余弦函數(shù) 的周期 課堂 小結(jié) 三、學(xué)習(xí)基礎(chǔ)及作用 課堂 反饋 知識 應(yīng)用

23、 本節(jié)課是學(xué)生學(xué)習(xí)了誘導(dǎo)公式和正弦、余弦函數(shù)的圖象之后，對三角函數(shù)知識的又一深入探討．正弦、 余弦函數(shù)的周期性是三角函數(shù)的一個重要性質(zhì)，是研究三角函數(shù)其它性質(zhì)的基礎(chǔ)，是函數(shù)性質(zhì)的重要補 充．通過本課的學(xué)習(xí)不僅能進一步培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力，分析問題和解決問題的能力，而且能使學(xué)生 把這些認識遷移到后續(xù)的知識學(xué)習(xí)中去，為以后研究三角函數(shù)的其它性質(zhì)打下基礎(chǔ)．正弦函數(shù)、余弦函數(shù) 、 的周期性，與后面高中物理研究的《單擺運動》《簡諧運動》、《機械波》等知識有著密切相關(guān)的聯(lián)系．在 數(shù)學(xué)和其它領(lǐng)域（物理學(xué)、生物學(xué)、醫(yī)學(xué)等）中具有重要的作用，所以，該內(nèi)容在教材中具

24、有非常重要的 意義，是連接理論知識和實際問題的一個橋梁． 四、教學(xué)診斷分析 1．學(xué)習(xí)正弦、余弦函數(shù)的周期性時，用圖象法求周期學(xué)生容易理解；建構(gòu)周期函數(shù)概念時學(xué)生有困 難，特別是“正弦函數(shù)圖象的周而復(fù)始的變化實際上是函數(shù)值的周而復(fù)始的變化”的本質(zhì)學(xué)生感到有一定 困難.?我首先讓學(xué)生回顧如何利用正弦線畫正弦函數(shù)?y=sinx?圖象（動畫演示）,通過動畫演示，讓學(xué)生感 知正弦函數(shù)圖象“周而復(fù)始”的變化規(guī)律，再引導(dǎo)學(xué)生用代數(shù)表達式刻畫圖象“周而復(fù)始”的變化規(guī)律． 2．部分學(xué)生對周期函數(shù)定義中的任意性理解容易出現(xiàn)錯誤，需要在教學(xué)中反復(fù)強調(diào). 3．本節(jié)課

25、充分利用了多媒體技術(shù)的強大功能，把現(xiàn)代信息技術(shù)作為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和解決問題的強有 力工具，使學(xué)生樂意投入到現(xiàn)實的、探索性的教學(xué)活動中去． 五、教法特點及預(yù)期效果分析 結(jié)合教學(xué)目標以及學(xué)生的實際情況，我采用了啟發(fā)引導(dǎo)與小組合作交流相結(jié)合的教學(xué)方式，而在知識 構(gòu)建過程中，在教師引導(dǎo)下，使學(xué)生經(jīng)歷了直觀感知、觀察發(fā)現(xiàn)、抽象概括等思維活動，提高數(shù)學(xué)思維能 力；注重信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的整合，提倡利用信息技術(shù)呈現(xiàn)以往教學(xué)中難以呈現(xiàn)的課程內(nèi)容，鼓勵學(xué)生 運用信息技術(shù)進行探索和發(fā)現(xiàn)．本節(jié)課遵循學(xué)生的認知規(guī)律，通過典型具體例子的分析和學(xué)生自主地觀察、 探索活動，使學(xué)生

26、理解周期概念的形成過程，體會蘊含在其中的數(shù)形結(jié)合的思想方法，把數(shù)學(xué)的學(xué)術(shù)形態(tài) 通過適當?shù)姆绞睫D(zhuǎn)化為學(xué)生易于接受的教育形態(tài)，教學(xué)內(nèi)容利用生活中的問題和課本上已有的知識創(chuàng)設(shè)情 境，使教學(xué)內(nèi)容不僅貼近生活，并且來源于舊知識，設(shè)計內(nèi)容一環(huán)扣一環(huán)，使學(xué)生對周期函數(shù)的概念理解 和應(yīng)用步步深入.在教學(xué)方法上運用多種方法，如觀察、分析、歸納、討論；在知識的學(xué)習(xí)過程中，重視知 識的形成過程和概括過程.在解決問題中，引導(dǎo)學(xué)生分析、歸納方法，注意優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì)；在教學(xué)手 段上采用多媒體和黑板重點板書結(jié)合的教學(xué)方法． 通過本節(jié)課學(xué)習(xí)，我力求達到：1?、形成學(xué)生主動參與，自主探究，合作交流的課堂氣氛.2、學(xué)生進 一步了解數(shù)學(xué)來源于生活，理解周期函數(shù)和周期的定義.3、讓學(xué)生體會從感性到理性的思維過程，體會數(shù) 形結(jié)合思想，讓學(xué)生領(lǐng)悟問題探究的學(xué)習(xí)方法.由于本課內(nèi)容不多，難度不大，相信大多數(shù)學(xué)生都能掌握 本課知識，實現(xiàn)預(yù)期的目標.