《大學(xué)物理教程習(xí)題答案》上海交通大學(xué)出版社.doc

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1、習(xí)題1 1-1．已知質(zhì)點(diǎn)位矢隨時(shí)間變化的函數(shù)形式為 其中為常量．求：（1）質(zhì)點(diǎn)的軌道；(2)速度和速率。 解：(1) 由，知： ， 消去t可得軌道方程： ∴質(zhì)點(diǎn)的軌道為圓心在（0，0）處，半徑為R的圓； （2）由，有速度： 而，有速率：。 1-2．已知質(zhì)點(diǎn)位矢隨時(shí)間變化的函數(shù)形式為，式中的單位為m，的單位為s。求：（1）質(zhì)點(diǎn)的軌道；（2）從到秒的位移；（3）和秒兩時(shí)刻的速度。 解：（1）由，可知 ， 消去t得軌道方程為：，∴質(zhì)點(diǎn)的軌道為拋物線。 （2）由，有速度： 從到秒的位移為： （3）和秒兩時(shí)刻的速度為：， 。 1-3．已知質(zhì)點(diǎn)位矢隨時(shí)間變化的函數(shù)

2、形式為，式中的單位為m，的單位為s.求：（1）任一時(shí)刻的速度和加速度；（2）任一時(shí)刻的切向加速度和法向加速度。 解：(1)由，有：，，有：； （2）而，有速率： ∴，利用有： 。 1-4．一升降機(jī)以加速度上升，在上升過程中有一螺釘從天花板上松落，升降機(jī)的天花板與底板相距為，求螺釘從天花板落到底板上所需的時(shí)間。 解法一：以地面為參照系，坐標(biāo)如圖，設(shè)同一時(shí)間內(nèi)螺釘下落的距離為，升降機(jī)上升的高度為，運(yùn)動(dòng)方程分別為 （1） （2） （3） （注意到為負(fù)值，有） 聯(lián)立求解，有：。 解法二：以

3、升降機(jī)為非慣性參照系，則重力加速度修正為， 利用，有：。 1-5．一質(zhì)量為的小球在高度處以初速度水平拋出，求： （1）小球的運(yùn)動(dòng)方程； （2）小球在落地之前的軌跡方程； （3）落地前瞬時(shí)小球的，，。 解：（1）如圖，可建立平拋運(yùn)動(dòng)學(xué)方程： ， ，∴； （2）聯(lián)立上面兩式，消去t得小球軌跡方程：（為拋物線方程）； （3）∵，∴， 即：， 在落地瞬時(shí)，有：，∴ 又∵ ，∴ 。 1-6．路燈距地面的高度為，一身高為的人在路燈下以勻速沿直線行走。試證明人影的頂端作勻速運(yùn)動(dòng)，并求其速度. 證明：設(shè)人向路燈行走，t時(shí)刻人影中頭的坐標(biāo)為，足的坐標(biāo)為， 由相似三角形關(guān)

4、系可得：， ∴ 兩邊對時(shí)間求導(dǎo)有： ，考慮到：， 知人影中頭的速度：（常數(shù)）。 1-7．一質(zhì)點(diǎn)沿直線運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)方程為(m)，在 t從0秒到3秒的時(shí)間間隔內(nèi)，則質(zhì)點(diǎn)走過的路程為多少？ 解：由于是求質(zhì)點(diǎn)通過的路程，所以可考慮在0~3s的時(shí)間間隔內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)速度為0的位置： 若 解得 ， 。 1-8．一彈性球直落在一斜面上，下落高度，斜面對水平的傾角，問它第二次碰到斜面的位置距原來的下落點(diǎn)多遠(yuǎn)(假設(shè)小球碰斜面前后速度數(shù)值相等，碰撞時(shí)人射角等于反射角)。 解：小球落地時(shí)速度為，建立沿斜面的直角坐標(biāo)系，以小球第一次落地點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)如圖示， → （1） →

5、 （2） 第二次落地時(shí)：，代入（2）式得：， 所以：。 1-9．地球的自轉(zhuǎn)角速度最大增加到若干倍時(shí)，赤道上的物體仍能保持在地球上而不致離開地球?已知現(xiàn)在赤道上物體的向心加速度約為，設(shè)赤道上重力加速度為。 解：由向心力公式：， 赤道上的物體仍能保持在地球必須滿足：，而現(xiàn)在赤道上物體的向心力為： ∴ 1-10．已知子彈的軌跡為拋物線，初速為，并且與水平面的夾角為。試分別求出拋物線頂點(diǎn)及落地點(diǎn)的曲率半徑。 解：（1）拋物線頂點(diǎn)處子彈的速度，頂點(diǎn)處切向加速度為0，法向加速度為。 因此有：， ； （2）在落地點(diǎn)時(shí)子彈的，由拋物線對稱性，知法向加速度方向與豎直方向

6、成角，則：，有： 則： 。 1-11．一飛行火箭的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為，其中b是與燃料燃燒速率有關(guān)的量，u為燃?xì)庀鄬鸺膰娚渌俣取Ｇ螅? （1）火箭飛行速度與時(shí)間的關(guān)系；（2）火箭的加速度。 解：一維運(yùn)動(dòng)，直接利用公式：，有： （1） ， （2） 1-12．飛機(jī)以的速度沿水平直線飛行，在離地面高時(shí)，駕駛員要把物品投到前方某一地面目標(biāo)上，問：投放物品時(shí)，駕駛員看目標(biāo)的視線和豎直線應(yīng)成什么角度?此時(shí)目標(biāo)距飛機(jī)下方地點(diǎn)多遠(yuǎn)? 解：設(shè)此時(shí)飛機(jī)距目標(biāo)水平距離為有： ┄①，┄② 聯(lián)立方程解得：，∴。 1-13．一物體和探測氣球從同一高度豎直向上運(yùn)動(dòng)，物體初速為，而氣球以速度勻

7、速上升，問氣球中的觀察者在第二秒末、第三秒末、第四秒末測得物體的速度各多少？ 解：物體在任意時(shí)刻的速度表達(dá)式為： 故氣球中的觀察者測得物體的速度 代入時(shí)間t可以得到第二秒末物體速度：，（向上） 第三秒末物體速度： 第四秒末物體速度：（向下）。 思考題1 1-1．質(zhì)點(diǎn)作曲線運(yùn)動(dòng)，其瞬時(shí)速度為，瞬時(shí)速率為，平均速度為，平均速率為，則它們之間的下列四種關(guān)系中哪一種是正確的? （A）；（B）；（C）；（D） 答：（C） 1-2．沿直線運(yùn)動(dòng)的物體，其速度大小與時(shí)間成反比，則其加速度的大小與速度大小的關(guān)系是：（A）與速度大小成正比；（B）與速度大小平方成正比；（C）與速度大小

8、成反比；（D）與速度大小平方成反比。 答：B 1-3．如圖所示為A，B兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)在同一直線上運(yùn)動(dòng)的圖像，由圖可知 （A）兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)一定從同一位置出發(fā) （B）兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)都始終作勻加速運(yùn)動(dòng) （C）在末兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)相遇 （D）在時(shí)間內(nèi)質(zhì)點(diǎn)B可能領(lǐng)先質(zhì)點(diǎn)A 答：D 1-4．質(zhì)點(diǎn)的關(guān)系如圖，圖中，，三條線表示三個(gè)速度不同的運(yùn)動(dòng)．問它們屬于什么類型的運(yùn)動(dòng)?哪一個(gè)速度大？哪一個(gè)速度??？ 答：勻速直線運(yùn)動(dòng)；。 1-5．如圖所示，兩船和相距，分別以速度和勻速直線行駛，它們會不會相碰?若不相碰，求兩船相靠最近的距離．圖中和為已知。 答：方法一：如圖，以A船為參考系，在

9、該參考系中船A是靜止的，而船B的速度。 是船B相對于船A的速度,從船B作一條平行于方向的直線BC,它不與船A相交,這表明兩船不會相碰. 由A作BC垂線AC,其長度就是兩船相靠最近的距離 作FD//AB,構(gòu)成直角三角形DEF，故有：， 在三角形BEF中,由余弦定理可得： 。 方法二： 兩船在任一時(shí)刻的位置矢量分別為： 任一時(shí)刻兩船的距離為： 令： 。 1-6．若質(zhì)點(diǎn)限于在平面上運(yùn)動(dòng)，試指出符合下列條件的各應(yīng)是什么樣的運(yùn)動(dòng)？ （A），；（B），；（C）， 答：(1) 質(zhì)點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)； (2) 質(zhì)點(diǎn)作勻速率曲線運(yùn)動(dòng)； (3) 質(zhì)點(diǎn)作拋體運(yùn)

10、動(dòng)。 1-7．如圖所示，質(zhì)點(diǎn)在t=0時(shí)刻由原點(diǎn)出發(fā)作斜拋運(yùn)動(dòng)，其速度，回到x軸的時(shí)刻為t，則 （A） （B） （C） （D） 答：A （注意：題目中各處的v 應(yīng)為矢量！須加上箭頭。） 1-8．一質(zhì)點(diǎn)作斜拋運(yùn)動(dòng)，用代表落地時(shí)， （1）說明下面三個(gè)積分的意義：； （2）用和代表拋出點(diǎn)和落地點(diǎn)位置，說明下面三個(gè)積分的意義： 。 答： 表示物體落地時(shí)x方向的距離， 表示物體落地時(shí)y方向的距離， 表示物體在時(shí)間內(nèi)走過的幾何路程， 拋出點(diǎn)到落地點(diǎn)的位移， 拋出點(diǎn)到落地點(diǎn)位移的大小， 拋出點(diǎn)到落地點(diǎn)位移的大小。 習(xí)題2 2-1 質(zhì)量為16kg的質(zhì)

11、點(diǎn)在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，受一恒力作用，力的分量為，，當(dāng)時(shí)，，，。當(dāng)時(shí)，求： (1) 質(zhì)點(diǎn)的位矢； (2) 質(zhì)點(diǎn)的速度。 解：由 ，有：， （1）， 。 于是質(zhì)點(diǎn)在時(shí)的速度： （2） 2-2 質(zhì)量為2kg的質(zhì)點(diǎn)在xy平面上運(yùn)動(dòng)，受到外力的作用，t=0時(shí)，它的初速度為，求t=1s時(shí)質(zhì)點(diǎn)的速度及受到的法向力。 解：解：由于是在平面運(yùn)動(dòng)，所以考慮矢量。 由：，有：，兩邊積分有： ，∴， 考慮到，，有 由于在自然坐標(biāo)系中，，而（時(shí)），表明在時(shí)，切向速度方向就是方向，所以，此時(shí)法向的力是方向的，則利用，將代入有，∴。 2-3．如圖，物體A、B質(zhì)量相同，B在光滑水平桌面上．

12、滑輪與繩的質(zhì)量以及空氣阻力均不計(jì)，滑輪與其軸之間的摩擦也不計(jì)．系統(tǒng)無初速地釋放，則物體A下落的加速度是多少？ 解：分別對A，B進(jìn)行受力分析，可知： 則可計(jì)算得到： 。 2-4．如圖，用質(zhì)量為的板車運(yùn)載一質(zhì)量為的木箱，車板與箱底間的摩擦系數(shù)為，車與路面間的滾動(dòng)摩擦可不計(jì)，計(jì)算拉車的力為多少才能保證木箱不致滑動(dòng)？ 解法一：根據(jù)題意，要使木箱不致于滑動(dòng)，必須使板車與木箱具有相同的加速度，且上限車板與箱底間為最大摩擦。 即： 可得： 解法二：設(shè)木箱不致于滑動(dòng)的最大拉力為，列式有： 聯(lián)立得：， 有：。 2-5．如圖所示一傾角為的斜面放在水平面上，斜面上放一

13、木塊，兩者間摩擦系數(shù)為。為使木塊相對斜面靜止，求斜面加速度的范圍。 解法一：在斜面具有不同的加速度的時(shí)候， 木塊將分別具有向上和向下滑動(dòng)的趨勢，這就是加速度的兩個(gè)范圍，由題意，可得： （1）當(dāng)木塊具有向下滑動(dòng)的趨勢時(shí)（見圖a），列式為： 可計(jì)算得到：此時(shí)的 （2）當(dāng)木快具有向上滑動(dòng)的趨勢時(shí)（見圖b），列式為： 可計(jì)算得到：此時(shí)的，所以：。 解法二：考慮物體m放在與斜面固連的非慣性系中， 將物體m受力沿和方向分解，如圖示，同時(shí) 考慮非慣性力，隔離物塊和斜面體，列出木塊平衡式： 方向： 方向

14、： 考慮到，有：， 解得：。 ∴的取值范圍：。 2-6．質(zhì)量為的子彈以速度水平射入沙土中，設(shè)子彈所受阻力與速度反向，大小與速度成正比，比例系數(shù)為，忽略子彈的重力，求：(1) 子彈射入沙土后，速度隨時(shí)間變化的函數(shù)式；(2) 子彈進(jìn)入沙土的最大深度。 解：（1）由題意，子彈射入沙土中的阻力表達(dá)式為： 又由牛頓第二定律可得：，則 分離變量，可得：，兩邊同時(shí)積分，有：， 所以： （2）子彈進(jìn)入沙土的最大深度也就是的時(shí)候子彈的位移，則： 考慮到，，可推出：，而這個(gè)式子兩邊積分就可以得到位移： 。 2-7．質(zhì)量為的物體可以在劈形物體的斜面上無摩擦滑動(dòng)， 劈形物質(zhì)量為，放置在

15、光滑的水平面上，斜面傾角為， 求釋放后兩物體的加速度及它們的相互作用力。 解：利用隔離體方法，設(shè)方形物相對于劈形物 沿斜面下滑的加速度為，劈形物水平向左的加 速度為，分析受力有： 方形物受力：，，（慣性力）； 劈形物受力：，，，如圖； 對于，有沿斜面平行和垂直的方程為： ① ② 對于，有： ③ 將③代入有②：， ∴，代入①，有： 再將在水平和豎直兩方向上分解，有： ∴ 而相互作用力： 2-8．在光滑的水平面上設(shè)置一豎直的圓筒，半徑為，一小球緊靠圓筒內(nèi)壁運(yùn)動(dòng)，摩擦系數(shù)為，在時(shí)，球的速率為，求任一時(shí)

16、刻球的速率和運(yùn)動(dòng)路程。 解：利用自然坐標(biāo)系，法向：，而： 切向：，則： ，得： 2-9．如圖，一質(zhì)點(diǎn)在幾個(gè)力作用下沿半徑為的圓周運(yùn)動(dòng)，其中有一恒力N，求質(zhì)點(diǎn)從A開始沿逆時(shí)針方向經(jīng)3/4圓周到達(dá)B的過程中，力所做的功。 解：本題為恒力做功，考慮到B的坐標(biāo)為（，）， ∴，再利用：， 有：（焦耳） 2-10．質(zhì)量為m=0.5kg的質(zhì)點(diǎn)，在xOy坐標(biāo)平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)方程為x=5t2,y=0.5(SI),從t=2s到t=4s這段時(shí)間內(nèi)，外力對質(zhì)點(diǎn)的功為多少？ 解：由功的定義：，題意： ， ∴。 2-11．一質(zhì)量為的物體，在力的作用下

17、，由靜止開始運(yùn)動(dòng)，求在任一時(shí)刻此力所做功的功率為多少。 解：由，要求功率就必須知道力和速度的情況，由題意： 所以功率為： 。 2-12．一彈簧并不遵守胡克定律，其彈力與形變的關(guān)系為，其中和單位分別為和。 （1）計(jì)算當(dāng)將彈簧由拉伸至過程中，外力所做之功； （2）此彈力是否為保守力? 解：（1）由做功的定義可知： （2）∵，按保守力的定義： ∴該彈力為保守力。 2-13．如圖，一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)，在半徑為R的半球形容器中，由靜止開始自邊緣上的A點(diǎn)滑下，到達(dá)最低點(diǎn)B時(shí)，它對容器的正壓力數(shù)值為N，求質(zhì)點(diǎn)自A滑到B的過程中，摩擦力對其做的功。 分析：直接求

18、解顯然有困難，所以使用動(dòng)能定理，那就要知道它的末速度的情況。 解：求在B點(diǎn)的速度：， 可得： 由動(dòng)能定理： ∴ 2-14．在密度為的液面上方，懸掛一根長為，密度為的均勻棒，棒的端剛和液面接觸如圖所示，今剪斷細(xì)繩，設(shè)細(xì)棒只在浮力和重力作用下運(yùn)動(dòng)，在的條件下，求細(xì)棒下落過程中的最大速度，以及細(xì)棒能進(jìn)入液體的最大深度。 解：（1）分析可知，棒下落的最大速度是受合力為零的時(shí)候， 所以：，即 ，則：。 利用功能原理：，有： 可解得： （2）當(dāng)均勻棒完全進(jìn)入液體中時(shí)，浮力不變，到最大深度時(shí)，速度為零，設(shè)： ，由能量守恒有：， 即： ∴。 2-15．一鏈條放

19、置在光滑桌面上，用手撳住一端，另一端有四分之一長度由桌邊下垂，設(shè)鏈條長為，質(zhì)量為，試問將鏈條全部拉上桌面要做多少功？ 解：直接考慮垂下的鏈條的質(zhì)心位置變化，來求做功，則： 2-16．在光滑水平面上，平放一輕彈簧，彈簧一端固定，另一端連一物體、邊上再放一物體，它們質(zhì)量分別為和，彈簧勁度系數(shù)為，原長為．用力推，使彈簧壓縮，然后釋放。求： （1）當(dāng)與開始分離時(shí)，它們的位置和速度； （2）分離之后，還能往前移動(dòng)多遠(yuǎn)? 解：（1）當(dāng)與開始分離時(shí)，兩者具有相同的速度，但的加速度為零，此時(shí)彈簧和都不對產(chǎn)生作用力，即為彈簧原長位置時(shí)刻，根據(jù)能量守恒，可得到：，有：，； （2）分離之后

20、，的動(dòng)能又將逐漸的轉(zhuǎn)化為彈性勢能，所以： ，則： 。 2-17．已知地球?qū)σ粋€(gè)質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)的引力為（為地球的質(zhì)量和半徑)。（1）若選取無窮遠(yuǎn)處勢能為零，計(jì)算地面處的勢能；（2）若選取地面處勢能為零，計(jì)算無窮遠(yuǎn)處的勢能．比較兩種情況下的勢能差． 解：（1）取無窮遠(yuǎn)處勢能為零，地面處的勢能為： ； （2）若選取地面處勢能為零，計(jì)算無窮遠(yuǎn)處的勢能為： ∴兩種情況下勢能差是完全一樣的。 2-18．如圖所示的圓錐擺，繩長為l，繩子一端固定，另一端系一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)，以勻角速ω繞鉛直線作圓周運(yùn)動(dòng)，繩子與鉛直線的夾角為θ。在質(zhì)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周的過程中，試求： （1）質(zhì)點(diǎn)所受

21、合外力的沖量； （2）質(zhì)點(diǎn)所受張力T的沖量。 解：（1）設(shè)周期為，因質(zhì)點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)一周的過程中， 速度沒有變化，，由， ∴旋轉(zhuǎn)一周的沖量； （2）如圖該質(zhì)點(diǎn)受的外力有重力和拉力， 且，∴張力T旋轉(zhuǎn)一周的沖量： 所以拉力產(chǎn)生的沖量為，方向豎直向上。 2-19．質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為 ，求： （1）質(zhì)點(diǎn)在任一時(shí)刻的動(dòng)量； （2）從到的時(shí)間內(nèi)質(zhì)點(diǎn)受到的沖量。 解：（1）根據(jù)動(dòng)量的定義：，而， ∴ ； （2）由 ， 所以沖量為零。 2-20．質(zhì)量為M=2.0kg的物體（不考慮體積），用一根長為l=1.0m的細(xì)繩懸掛在天花板上。今有一質(zhì)量為m=20g

22、的子彈以=600m/s的水平速度射穿物體。剛射出物體時(shí)子彈的速度大小=30m/s，設(shè)穿透時(shí)間極短。求： （1）子彈剛穿出時(shí)繩中張力的大??； （2）子彈在穿透過程中所受的沖量。 解：（1）解：由碰撞過程動(dòng)量守恒可得： ∴ 根據(jù)圓周運(yùn)動(dòng)的規(guī)律：，有：； （2）根據(jù)沖量定理可得：。 2-21．一靜止的原子核經(jīng)放射性衰變產(chǎn)生出一個(gè)電子和一個(gè)中微子，巳知電子的動(dòng)量為，中微子的動(dòng)量為，兩動(dòng)量方向彼此垂直。（1）求核反沖動(dòng)量的大小和方向；（2）已知衰變后原子核的質(zhì)量為，求其反沖動(dòng)能。 解：由碰撞時(shí)，動(dòng)量守恒，分析示意圖，有： （1） 又∵

23、，∴ ， 所以 ， ； （2）反沖的動(dòng)能為：。 2-22．有質(zhì)量為的彈丸，從地面斜拋出去，它的落地點(diǎn)為。如果它在飛行到最高點(diǎn)處爆炸成質(zhì)量相等的兩碎片。其中一碎片鉛直自由下落，另一碎片水平拋出，它們同時(shí)落地。問第二塊碎片落在何處。 解：利用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理，在爆炸的前后，質(zhì)心始終只受重力的作用，因此，質(zhì)心的軌跡為一拋物線，它的落地點(diǎn)為。 ，而， ， ∴ 。 2-23．如圖，光滑斜面與水平面的夾角為，輕質(zhì)彈簧上端固定．今在彈簧的另一端輕輕地掛上質(zhì)量為的木塊，木塊沿斜面從靜止開始向下滑動(dòng)．當(dāng)木塊向下滑時(shí)，恰好有一質(zhì)量的子彈，沿水平方向以速度射中木塊并陷在其中。設(shè)彈簧的勁度系數(shù)為。求

24、子彈打入木塊后它們的共同速度。 解：由機(jī)械能守恒條件可得到碰撞前木快的速度，碰撞過程中子彈和木快沿斜面方向動(dòng)量守恒，可得： (碰撞前木快的速度) 再由沿斜面方向動(dòng)量守恒定律，可得： 。 2-24．以初速度0將質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)以傾角從坐標(biāo)原點(diǎn)處拋出。設(shè)質(zhì)點(diǎn)在Oxy平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，不計(jì)空氣阻力，以坐標(biāo)原點(diǎn)為參考點(diǎn)，計(jì)算任一時(shí)刻： （1）作用在質(zhì)點(diǎn)上的力矩； （2）質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量。 解：（1） （2） 2-25．人造地球衛(wèi)星近地點(diǎn)離地心r1=2R，（R為地球半徑），遠(yuǎn)地點(diǎn)離地心r2=4R。求： （1）衛(wèi)星在近地點(diǎn)及遠(yuǎn)地點(diǎn)處的速率和（用地球半徑R以及地球表面附近的重力加速度

25、g來表示）； （2）衛(wèi)星運(yùn)行軌道在近地點(diǎn)處的軌跡的曲率半徑ρ。 解：（1）利用角動(dòng)量守恒：，得 ， 同時(shí)利用衛(wèi)星的機(jī)械能守恒，這里，萬有引力勢能表達(dá)式為：， 所以：， 考慮到：，有： ，； （2）利用萬有引力提供向心力，有： ， 可得到：。 2-26．火箭以第二宇宙速度沿地球表面切向飛出，如圖所示。在飛離地球過程中，火箭發(fā)動(dòng)機(jī)停止工作，不計(jì)空氣阻力，求火箭在距地心4R的A處的速度。 解：第二宇宙速度時(shí)，由機(jī)械能守恒： 再由動(dòng)量守恒：， 代入：。 2-27．如圖，一輕繩跨過兩個(gè)質(zhì)量為、半徑為的均勻圓盤狀定滑輪，繩的兩端分別掛著質(zhì)量為和的重物，繩與滑輪間無

26、相對滑動(dòng)，滑輪軸光滑，兩個(gè)定滑輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量均為，將由兩個(gè)定滑輪以及質(zhì)量為和的重物組成的系統(tǒng)從靜止釋放，求重物的加速度和兩滑輪之間繩內(nèi)的張力。 解：受力分析如圖，可建立方程： ┄① ┄② ┄③ ┄④ ，┄⑤ 聯(lián)立，解得：， 。 2-28．如圖所示，一均勻細(xì)桿長為，質(zhì)量為，平放在摩擦系數(shù)為的水平桌面上，設(shè)開始時(shí)桿以角速度繞過中心且垂直與桌面的軸轉(zhuǎn)動(dòng)，試求：（1）作用于桿的摩擦力矩；（2）經(jīng)過多長時(shí)間桿才會停止轉(zhuǎn)動(dòng)。 解：（1）設(shè)桿的線密度為：，在桿上取一小質(zhì)元，有微元摩擦力： ， 微元摩擦力矩：， 考慮對稱性，有摩擦力矩： ； （2）根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律，有：， ，∴。

27、 或利用：，考慮到，， 有：。 2-29．如圖所示，滑輪轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，半徑為；物體的質(zhì)量為，用一細(xì)繩與勁度系數(shù)的彈簧相連，若繩與滑輪間無相對滑動(dòng)，滑輪軸上的摩擦忽略不計(jì)。求：（1）當(dāng)繩拉直、彈簧無伸長時(shí)使物體由靜止而下落的最大距離；（2）物體的速度達(dá)最大值時(shí)的位置及最大速率。 解：（1）設(shè)彈簧的形變量為，下落最大距離為。 由機(jī)械能守恒：，有： ； （2）當(dāng)物體下落時(shí)，由機(jī)械能守恒：， 考慮到，有：， 欲求速度最大值，將上式兩邊對求導(dǎo)，且令，有： ，將代入，有：， ∴當(dāng)m時(shí)物體速度達(dá)最大值，有： ，代入數(shù)值可算出： 。 2-30．如圖所示，長為l的輕桿，兩端各固

28、定質(zhì)量分別為和的小球，桿可繞水平光滑固定軸O在豎直面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)軸O距兩端分別為和．輕桿原來靜止在豎直位置。今有一質(zhì)量為的小球，以水平速度與桿下端小球作對心碰撞，碰后以的速度返回，試求碰撞后輕桿所獲得的角速度。 解：根據(jù)角動(dòng)量守恒，有： 有： ∴ 思考題 2-1．質(zhì)量為m的小球，放在光滑的木板和光滑的墻壁之間，并保持平衡，如圖所示．設(shè)木板和墻壁之間的夾角為a，當(dāng)a逐漸增大時(shí)，小球?qū)δ景宓膲毫⒃鯓幼兓? 解：以小球?yàn)檠芯繉ο?，設(shè)墻壁對小球的壓力為N1， 方向水平向右，木板對小球的壓力為N2，方向垂直于 木板，小球受重力為mg，建立平衡方程： ， 所以當(dāng)增大，

29、小球?qū)δ景宓膲毫2將減小； 小球?qū)Ρ诘膲毫σ矞p小。 2-2．質(zhì)量分別為m1和m2的兩滑塊A和B通過一輕彈簧水平連結(jié)后置于水平桌面上，滑塊與桌面間的摩擦系數(shù)均為μ，系統(tǒng)在水平拉力F作用下勻速運(yùn)動(dòng)，如圖所示．如突然撤消拉力，則剛撤消后瞬間，二者的加速度aA和aB分別為多少 ？ 解：由于系統(tǒng)在拉力F作用下做勻速運(yùn)動(dòng)， 對A進(jìn)行受力分析，知：， 對B進(jìn)行受力分析，知： 突然撤消拉力時(shí)，對A有：，所以， 對B有：，所以。 2-3．如圖所示，用一斜向上的力 (與水平成30角)，將一重為的木塊壓靠在豎直壁面上，如果不論用怎樣大的力F，都不能使木塊向上滑動(dòng)，則說明木塊與壁面間的靜摩

30、擦系數(shù)m的大小為多少？ 解：假設(shè)墻壁對木塊的壓力為N，由受力分析圖可知： 整理上式，并且根據(jù)題意，如果不論用怎樣大的力F，都不能使木塊向上滑動(dòng)，則說明： 即：（此式中F無論為多大，總成立），則可得：。 2-4．如圖所示，假設(shè)物體沿著豎直面上圓弧形軌道下滑，軌道是光滑的，在從A至C的下滑過程中，下面哪個(gè)說法是正確的？ (A) 它的加速度大小不變，方向永遠(yuǎn)指向圓心。 (B) 它的速率均勻增加。 (C) 它的合外力大小變化，方向永遠(yuǎn)指向圓心。 (D) 它的合外力大小不變。 (E) 軌道支持力的大小不斷增加。 解：在下滑過程中，物體做圓周運(yùn)動(dòng)。并且v在增大，所以

31、它既有法向加速度，又有切向加速度，A的說法不對； 速率的增加由重力沿切線方向的分力提供，由于切線方向始終在改變，所以速率增加不均勻，B的說法不對； 外力有重力和支持力，后者的大小和方向都在變化，所以合力的大小方向也在變化。C，D的說法都不對。 下滑過程中的θ和v都在增大，所以N也在增大， 則E的說法正確。 2-5．和兩物體放在水平面上，它們受到的水平恒力一樣，位移也一樣，但一個(gè)接觸面光滑，另一個(gè)粗糙．力做的功是否一樣?兩物體動(dòng)能增量是否一樣? 答：根據(jù)功的定義： 所以當(dāng)它們受到的水平恒力一樣，位移也一樣時(shí)，兩個(gè)功是相等的； 但由于光滑的接觸面摩擦力不做功，粗糙的接觸面摩擦力

32、做功，所以兩個(gè)物體的總功不同，動(dòng)能的增量就不相同。 2-6．按質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理，下列式子： 是否成立?這三式是否是質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理的三個(gè)分量式?試作分析。 答：不成立，因?yàn)楣κ菢?biāo)量，不分方向，沒有必要這么寫。 2-7．在勁度系數(shù)為的彈簧下，如將質(zhì)量為的物體掛上慢慢放下，彈簧伸長多少?如瞬間掛上讓其自由下落彈簧又伸長多少? 答：如將質(zhì)量為的物體掛上慢慢放下，彈簧伸長為，所以； 如瞬間掛上讓其自由下落，彈簧伸長應(yīng)滿足能量守恒：，所以 。 2-8．一粒子初時(shí)沿軸負(fù)向以速度運(yùn)動(dòng)，后被位于坐標(biāo)原點(diǎn)的金核所散射，使其沿與軸成的方向運(yùn)動(dòng)(速度大小不變)．試用矢量在圖上表出粒子

33、所受到的沖量的大小和方向。 解：由： ， 考慮到， 見右圖示。 2-9．試用所學(xué)的力學(xué)原理解釋逆風(fēng)行舟的現(xiàn)象。 解：可用動(dòng)量定理來解釋。設(shè)風(fēng)沿與航向成角的方向 從右前方吹來，以風(fēng)中一小塊沿帆面吹過來的空氣為研 究對象，表示這塊空氣的質(zhì)量，和分別表示它 吹向帆面和離開帆面時(shí)的速度，由于帆面比較光滑，風(fēng) 速大小基本不變，但是由于的速度方向改變了，所 以一定是受到帆的作用力，根據(jù)牛頓第三定律，必然 對帆有一個(gè)反作用力，此力的方向偏向船前進(jìn)的方向，將分解為兩個(gè)分量，垂直船體的分量與水對船的阻力相平衡，與船的航向平行的分量就是推動(dòng)帆及整個(gè)船體前進(jìn)的作用力。 2-10．當(dāng)

34、質(zhì)量為的人造衛(wèi)星在軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí)，常常列出下列三個(gè)方程： ， ， ， 試分析上述三個(gè)方程各在什么條件下成立。 解：（1）機(jī)械能守恒； （2）角動(dòng)量守恒； （3）萬有引力提供向心力。 2-11．在水平冰面上以一定速度向東行駛的炮車，向東南（斜向上）方向發(fā)射一炮彈，對于炮車和炮彈這一系統(tǒng)，在此過程中（忽略冰面摩擦力及空氣阻力）哪些量守恒？ 答：對于這個(gè)系統(tǒng)，（1）動(dòng)量守恒；（2）能量守恒，因?yàn)闆]有外力做功。 2-12．體重相同的甲乙兩人，分別用雙手握住跨過無摩擦滑輪的繩子兩端，當(dāng)他們由同一高度向上爬時(shí)，相對于繩子，甲的速度是乙的兩倍，則到達(dá)頂點(diǎn)情況是： （A

35、）甲先到達(dá)；（B）乙先到達(dá)；（C）同時(shí)到達(dá)；（D）誰先到達(dá)不能確定。 答：本題測試的是剛體系統(tǒng)的角動(dòng)量定理和角動(dòng)量守恒的概念. 當(dāng)兩小孩質(zhì)量相等時(shí)，M=0。則系統(tǒng)角動(dòng)量守恒，兩人的實(shí)際的速度相同，將同時(shí)到達(dá)滑輪處，與誰在用力，誰不在用力無關(guān)。 選擇C。 2-13．一圓盤繞過盤心且與盤面垂直的軸以角速度按圖示方向轉(zhuǎn)動(dòng)，若如圖所示的情況那樣，將兩個(gè)大小相等方向相反但不在同一條直線的力沿盤面方向同時(shí)作用到盤上，則盤的角速度怎樣變化？ 答：增大 2-14．一個(gè)人站在有光滑固定轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)平臺上,雙臂伸直水平地舉起二啞鈴,在該人把此二啞鈴水平收縮到胸前的過程中，人、啞鈴與轉(zhuǎn)動(dòng)平臺

36、組成的系統(tǒng)的： （A）機(jī)械能守恒，角動(dòng)量守恒；（B）機(jī)械能守恒，角動(dòng)量不守恒； （C）機(jī)械能不守恒，角動(dòng)量守恒；（D）機(jī)械能不守恒，角動(dòng)量不守恒。 答：（C） 習(xí)題3 3-1．原長為的彈簧，上端固定，下端掛一質(zhì)量為的物體，當(dāng)物體靜止時(shí)，彈簧長為．現(xiàn)將物體上推，使彈簧縮回到原長，然后放手，以放手時(shí)開始計(jì)時(shí)，取豎直向下為正向，寫出振動(dòng)式。（g取9.8） 解：振動(dòng)方程：，在本題中，，所以； ∴ 。 取豎直向下為x正向，彈簧伸長為0.1m時(shí)為物體的平衡位置，所以如果使彈簧的初狀態(tài)為原長，那么：A=0.1m， 當(dāng)t=0時(shí)，x=-A，那么就可以知道物體的初相位為π。 所以：

37、 即：。 3-2．有一單擺，擺長，小球質(zhì)量，時(shí)，小球正好經(jīng)過處，并以角速度向平衡位置運(yùn)動(dòng)。設(shè)小球的運(yùn)動(dòng)可看作簡諧振動(dòng)，試求：（1）角頻率、頻率、周期；（2）用余弦函數(shù)形式寫出小球的振動(dòng)式。（g取9.8） 解：振動(dòng)方程： 我們只要按照題意找到對應(yīng)的各項(xiàng)就行了。 （1）角頻率：， 頻率： ， 周期：； （2）振動(dòng)方程可表示為：，∴ 根據(jù)初始條件，時(shí)：， 可解得：， 所以得到振動(dòng)方程： 。 3-3．一質(zhì)點(diǎn)沿軸作簡諧振動(dòng)，振幅為，周期為。當(dāng)時(shí)，位移為，且向軸正方向運(yùn)動(dòng)。求：（1）振動(dòng)表達(dá)式；（2）時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的位置、速度和加速度；（3）如果在某時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)位于，且向軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)

38、，求從該位置回到平衡位置所需要的時(shí)間。 解：（1）由題已知 A=0.12m，T=2 s ，∴ 又∵t=0時(shí)，，，由旋轉(zhuǎn)矢量圖，可知： 故振動(dòng)方程為：； （2）將t=0.5 s代入得： ， ， ， 方向指向坐標(biāo)原點(diǎn)，即沿x軸負(fù)向； （3）由題知，某時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)位于， 且向軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，如圖示，質(zhì)點(diǎn)從位置回到 平衡位置處需要走，建立比例式：， 有： 。 3-4．兩質(zhì)點(diǎn)作同方向、同頻率的簡諧振動(dòng)，振幅相等。當(dāng)質(zhì)點(diǎn)1在 處，且向左運(yùn)動(dòng)時(shí)，另一個(gè)質(zhì)點(diǎn)2在 處，且向右運(yùn)動(dòng)。求這兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的位相差。 解：由旋轉(zhuǎn)矢量圖可知： 當(dāng)質(zhì)點(diǎn)1在 處，且向左運(yùn)動(dòng)時(shí)， 相位為， 而質(zhì)

39、點(diǎn)2在 處，且向右運(yùn)動(dòng)， 相位為。 所以它們的相位差為。 3-5．當(dāng)簡諧振動(dòng)的位移為振幅的一半時(shí)，其動(dòng)能和勢能各占總能量的多少？物體在什么位置時(shí)其動(dòng)能和勢能各占總能量的一半？ 解：由，，有：， ， （1）當(dāng)時(shí)，由， 有：，， ∴，； （2）當(dāng)時(shí)，有： ∴，。 3-6．兩個(gè)同方向的簡諧振動(dòng)曲線(如圖所示) （1）求合振動(dòng)的振幅。 （2）求合振動(dòng)的振動(dòng)表達(dá)式。 解：通過旋轉(zhuǎn)矢量圖做最為簡單。 由圖可知，兩個(gè)振動(dòng)同頻率，且 初相：，初相：， 表明兩者處于反相狀態(tài)， （反相，） ∵，∴合成振動(dòng)的振幅： ； 合成振動(dòng)的相位： ； 合成振動(dòng)的方程

40、： 。 3-7．兩個(gè)同方向，同頻率的簡諧振動(dòng)，其合振動(dòng)的振幅為，與第一個(gè)振動(dòng)的位相差為。若第一個(gè)振動(dòng)的振幅為。則（1）第二個(gè)振動(dòng)的振幅為多少？（2）兩簡諧振動(dòng)的位相差為多少？ 解：如圖，可利用余弦定理： 由圖知 =0.01 m ∴A２=0.1 m ， 再利用正弦定理：，有： ，∴。 說明A１與A２間夾角為π/2，即兩振動(dòng)的位相差為π/2 。 3-8. 質(zhì)點(diǎn)分別參與下列三組互相垂直的諧振動(dòng)： （1） ；（2） ； （3） 。試判別質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡。 解：質(zhì)點(diǎn)參與的運(yùn)動(dòng)是頻率相同，振幅相同的垂直運(yùn)動(dòng)的疊加。 對于，的疊加，可推得： （1）

41、將，代入有：， 則方程化為：，軌跡為一般的橢圓； （2）將，代入有： 則方程化為：，即，軌跡為一直線； （3）將，代入有： 則方程化為：，軌跡為圓心在原點(diǎn)，半徑為4m的圓。 3-9．沿一平面簡諧波的波線上，有相距的兩質(zhì)點(diǎn)與，點(diǎn)振動(dòng)相位比點(diǎn)落后，已知振動(dòng)周期為，求波長和波速。 解：根據(jù)題意，對于A、B兩點(diǎn)，， 而相位和波長之間滿足關(guān)系：， 代入數(shù)據(jù)，可得：波長=24m。又∵T=2s，所以波速。 3-10．已知一平面波沿軸正向傳播，距坐標(biāo)原點(diǎn)為處點(diǎn)的振動(dòng)式為，波速為，求： （1）平面波的波動(dòng)式； （2）若波沿軸負(fù)向傳播，波動(dòng)式又如何? 解：（1）設(shè)平面波的波動(dòng)式為

42、，則點(diǎn)的振動(dòng)式為： ，與題設(shè)點(diǎn)的振動(dòng)式比較， 有：，∴平面波的波動(dòng)式為：； （2）若波沿軸負(fù)向傳播，同理，設(shè)平面波的波動(dòng)式為：，則點(diǎn)的振動(dòng)式為： ，與題設(shè)點(diǎn)的振動(dòng)式比較， 有：，∴平面波的波動(dòng)式為：。 3-11．一平面簡諧波在空間傳播，如圖所示，已知點(diǎn)的振動(dòng)規(guī)律為，試寫出： （1）該平面簡諧波的表達(dá)式； （2）點(diǎn)的振動(dòng)表達(dá)式（點(diǎn)位于點(diǎn)右方處）。 解：（1）仿照上題的思路，根據(jù)題意，設(shè)以點(diǎn)為原點(diǎn)平面簡諧波的表達(dá)式為： ，則點(diǎn)的振動(dòng)式： 題設(shè)點(diǎn)的振動(dòng)式比較，有：， ∴該平面簡諧波的表達(dá)式為： （2）B點(diǎn)的振動(dòng)表達(dá)式可直接將坐標(biāo)，代入波動(dòng)方程： 3-12．已知

43、一沿正方向傳播的平面余弦波，時(shí)的波形如圖所示，且周期為。 （1）寫出點(diǎn)的振動(dòng)表達(dá)式； （2）寫出該波的波動(dòng)表達(dá)式； （3）寫出點(diǎn)的振動(dòng)表達(dá)式； （4）寫出點(diǎn)離點(diǎn)的距離。 解：由圖可知：，，而，則：， ，，∴波動(dòng)方程為： 點(diǎn)的振動(dòng)方程可寫成： 由圖形可知：時(shí)：，有： 考慮到此時(shí)，∴，（舍去） 那么：（1）點(diǎn)的振動(dòng)表達(dá)式：； （2）波動(dòng)方程為：； （3）設(shè)點(diǎn)的振動(dòng)表達(dá)式為： 由圖形可知：時(shí)：，有： 考慮到此時(shí)，∴（或） ∴A點(diǎn)的振動(dòng)表達(dá)式：，或； （4）將A點(diǎn)的坐標(biāo)代入波動(dòng)方程，可得到A的振動(dòng)方程為： ，與（3）求得的A點(diǎn)的振動(dòng)表達(dá)式比較，有： ，所以： 。

44、 3-13．一平面簡諧波以速度沿軸負(fù)方向傳播。已知原點(diǎn)的振動(dòng)曲線如圖所示。試寫出： （1）原點(diǎn)的振動(dòng)表達(dá)式； （2）波動(dòng)表達(dá)式； （3）同一時(shí)刻相距的兩點(diǎn)之間的位相差。 解：這是一個(gè)振動(dòng) 圖像！ 由圖可知A=0.5cm，設(shè)原點(diǎn)處的振動(dòng)方程為：。 （1）當(dāng)時(shí)，，考慮到：，有：， 當(dāng)時(shí)，，考慮到：，有：，， ∴原點(diǎn)的振動(dòng)表達(dá)式：； （2）沿軸負(fù)方向傳播，設(shè)波動(dòng)表達(dá)式： 而，∴； （3）位相差： 。 3-14．一正弦形式空氣波沿直徑為的圓柱形管行進(jìn)，波的平均強(qiáng)度為，頻率為，波速為。問波中的平均能量密度和最大能量密度各是多少？每兩個(gè)相鄰?fù)嗝骈g的波段中含有多少能量？ 解

45、：（1）已知波的平均強(qiáng)度為：，由 有： ； （2）由，∴ 。 3-15．一彈性波在媒質(zhì)中傳播的速度，振幅，頻率。若該媒質(zhì)的密度為，求：（1）該波的平均能流密度；（2）1分鐘內(nèi)垂直通過面積的總能量。 解：（1）由：，有： ； （2）1分鐘為60秒，通過面積的總能量為： 。 3-16．設(shè)與為兩個(gè)相干波源，相距波長，比的位相超前。若兩波在在、連線方向上的強(qiáng)度相同且不隨距離變化，問、連線上在外側(cè)各點(diǎn)的合成波的強(qiáng)度如何？又在外側(cè)各點(diǎn)的強(qiáng)度如何？ 解：（1）如圖，、連線上在外側(cè)， ∵， ∴兩波反相，合成波強(qiáng)度為0； （2）如圖，、連線上在外側(cè)， ∵， ∴兩

46、波同相，合成波的振幅為， 合成波的強(qiáng)度為： 。 3-17．圖中所示為聲音干涉儀，用以演示聲波的干涉。為聲源，為聲音探測器，如耳或話筒。路徑的長度可以變化，但路徑是固定的。干涉儀內(nèi)有空氣，且知聲音強(qiáng)度在的第一位置時(shí)為極小值100單位，而漸增至距第一位置為的第二位置時(shí)，有極大值單位。求： （1）聲源發(fā)出的聲波頻率； （2）抵達(dá)探測器的兩波的振幅之比。 解：根據(jù)駐波的定義，相鄰兩波節(jié)(腹)間距：， 相鄰波節(jié)與波腹的間距：，可得：。 （1）聲音的速度在空氣中約為340m/s，所以： （2）∵，，，依題意有： ，那么 。 3-18．蝙蝠在洞穴中飛來飛去，是利用超聲脈

47、沖來導(dǎo)航的。假定蝙蝠發(fā)出的超聲頻率為39000Hz。當(dāng)它以空氣中聲速的的運(yùn)動(dòng)速率朝著墻壁飛撲過程中，試問它自己聽到的從墻壁反射回來的脈沖頻率是多少？ 解：根據(jù)多普勒效應(yīng)， 3-19．一聲源的頻率為1080Hz，相對于地以30m/s的速度向右運(yùn)動(dòng)，在其右方有一反射面相對于地以65m/s的速率向左運(yùn)動(dòng)，設(shè)空氣中的聲速為331m/s，求： （1）聲源在空氣中發(fā)出聲音的波長； （2）每秒鐘到達(dá)反射面的波數(shù)； （3）反射波的波速； （4）反射波的波長。 解：（1）在聲源前方靜止接收器接收到的頻率 聲音的波長 （2）每秒鐘到達(dá)反射面的波數(shù)（等于反射波的頻率）為

48、 （3）波速只取決于媒質(zhì)的性質(zhì)，因此反射波的波速仍為 （4）反射波的波長為 3-20．試計(jì)算：一波源振動(dòng)的頻率為，以速度向墻壁接近（如圖所示），觀察者在點(diǎn)聽得拍音的頻率為，求波源移動(dòng)的速度，設(shè)聲速為。 解：根據(jù)觀察者不動(dòng)，波源運(yùn)動(dòng)，即：，， 觀察者認(rèn)為接受到的波數(shù)變了：， 其中，，，分別代入，可得： 。 思考題 3-1．試說明下列運(yùn)動(dòng)是不是簡諧振動(dòng)： （1）小球在地面上作完全彈性的上下跳動(dòng)； （2）小球在半徑很大的光滑凹球面底部作小幅度的擺動(dòng)。 答：要使一個(gè)系統(tǒng)作諧振動(dòng)，必須同時(shí)滿足以下三個(gè)條件： ① 描述系統(tǒng)的各種參量，如質(zhì)量、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、擺長……等等

49、在運(yùn)動(dòng)中保持為常量； ② 系統(tǒng)是在自己的穩(wěn)定平衡位置附近作往復(fù)運(yùn)動(dòng)； ③ 在運(yùn)動(dòng)中系統(tǒng)只受到內(nèi)部的線性回復(fù)力的作用。 或者說，若一個(gè)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程能用描述時(shí)，其所作的運(yùn)動(dòng)就是諧振動(dòng)。 那么，（1）拍皮球時(shí)球的運(yùn)動(dòng)不是諧振動(dòng)。第一、球的運(yùn)動(dòng)軌道中并不存在一個(gè)穩(wěn)定的平衡位置；第二、球在運(yùn)動(dòng)中所受的三個(gè)力：重力，地面給予的彈力，擊球者給予的拍擊力，都不是線性回復(fù)力。要使一個(gè)系統(tǒng)作諧振動(dòng)，必須同時(shí)滿足以下三個(gè)條件：一、描述系統(tǒng)的各種參量，如質(zhì)量、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、擺長……等等在運(yùn)動(dòng)中保持為常量；二、系統(tǒng)是在自己的穩(wěn)定平衡位置附近作往復(fù)運(yùn)動(dòng)；三、在運(yùn)動(dòng)中系統(tǒng)只受到內(nèi)部的線性回復(fù)力的作用。或者說，若一

50、個(gè)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程能用描述時(shí)，其所作的運(yùn)動(dòng)就是諧振動(dòng)。 （2）小球在圖所示的情況中所作的小弧度的運(yùn)動(dòng)，是諧振動(dòng)。顯然，小球在運(yùn)動(dòng)過程中，各種參量均為常量；該系統(tǒng)(指小球凹槽、地球系統(tǒng))的穩(wěn)定平衡位置即凹槽最低點(diǎn)，即系統(tǒng)勢能最小值位置點(diǎn)O；而小球在運(yùn)動(dòng)中的回復(fù)力為。題中所述，，故，所以回復(fù)力為。（式中負(fù)號表示回復(fù)力的方向始終與角位移的方向相反）即小球在O點(diǎn)附近的往復(fù)運(yùn)動(dòng)中所受回復(fù)力為線性的。若以小球?yàn)閷ο?，則小球在以O(shè)′為圓心的豎直平面內(nèi)作圓周運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律，在凹槽切線方向上有 mR，令，則有：。 3-2．簡諧振動(dòng)的速度和加速度在什么情況下是同號的?在什么

51、情況下是異號的?加速度為正值時(shí)，振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的速率是否一定在增加？反之，加速度為負(fù)值時(shí)，速率是否一定在減小? 答： 簡諧振動(dòng)的速度： ； 加速度：； 要使它們同號，必須使質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)相位在第一象限。其他象限的相位兩者就是異號的。 加速度為正值時(shí)，振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的速率不一定在增加，反之，加速度為負(fù)值時(shí)，速率也不一定在減小。 只有當(dāng)速度和加速度是同號時(shí)，加速度才能使速率增加；反之，兩者異號時(shí)，加速度使速率減小。 3-3．分析下列表述是否正確，為什么? （1）若物體受到一個(gè)總是指向平衡位置的合力，則物體必然作振動(dòng)，但不一定是簡諧振動(dòng)； （2）簡諧振動(dòng)過程是能量守恒的過程，凡是能量守恒的過程就

52、是簡諧振動(dòng)。 答：（1）的表述是正確的，原因參考7-1； （2）的表述不正確，比如自由落體運(yùn)動(dòng)中能量守恒，但不是簡諧振動(dòng)。 3-4．用兩種方法使某一彈簧振子作簡諧振動(dòng)。 方法1：使其從平衡位置壓縮，由靜止開始釋放。 方法2：使其從平衡位置壓縮2，由靜止開始釋放。 若兩次振動(dòng)的周期和總能量分別用和表示，則它們滿足下面那個(gè)關(guān)系？ （A） （B） （C） （D） 答：根據(jù)題意，這兩次彈簧振子的周期相同，振幅相差一倍。所以能量不同。選擇（B）。 3-5．一質(zhì)點(diǎn)沿x軸作簡諧振動(dòng)，周期為T，振幅為A，質(zhì)點(diǎn)從運(yùn)動(dòng)到處所需要的最短時(shí)間為多少？ 答：質(zhì)點(diǎn)從運(yùn)

53、動(dòng)到處所需要的最短相位變化為，所以運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為：。 3-6．一彈簧振子，沿軸作振幅為的簡諧振動(dòng)，在平衡位置處，彈簧振子的勢能為零，系統(tǒng)的機(jī)械能為，問振子處于處時(shí)；其勢能的瞬時(shí)值為多少？ 答：由題意，在平衡位置處，彈簧振子的勢能為零，系統(tǒng)的機(jī)械能為，所以該振子的總能量為，當(dāng)振子處于處時(shí)；其勢能的瞬時(shí)值為： 。 3-7.圖（a）表示沿軸正向傳播的平面簡諧波在時(shí)刻的波形圖，則圖（b）表示的是： （A）質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)曲線； （B）質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)曲線； （C）質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)曲線； （D）質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)曲線。 答：圖（b）在t=0時(shí)刻的相位為，所以對應(yīng)的是質(zhì)點(diǎn)n的振動(dòng)曲線，選擇B。

54、 3-8．從能量的角度討論振動(dòng)和波動(dòng)的聯(lián)系和區(qū)別。. 答：（1）在波動(dòng)的傳播過程中，任意時(shí)刻的動(dòng)能和勢能不僅大小相等而且相位相同，同時(shí)達(dá)到最大，同時(shí)等于零。而振動(dòng)中動(dòng)能的增加必然以勢能的減小為代價(jià)，兩者之和為恒量。 （2）在波傳動(dòng)過程中，任意體積元的能量不守恒。質(zhì)元處在媒質(zhì)整體之中，沿波的前進(jìn)方向，每個(gè)質(zhì)元從后面吸收能量，又不停的向前面的質(zhì)元釋放能量，能量得以不斷地向前傳播。而一個(gè)孤立振動(dòng)系統(tǒng)總能量是守恒的。 3-9. 當(dāng)兩列波干涉時(shí)，是否會有能量損失？ 答：否。當(dāng)兩列波干涉時(shí)，波的能量只是進(jìn)行了重新分布，并不會有損失。 3-10. 一衛(wèi)星發(fā)射恒定頻率的無線電波

55、。地面上的探測器測到了這些無線電波，并使它們與某一標(biāo)準(zhǔn)頻率形成拍，然后將拍頻輸入揚(yáng)聲器，人們就“聽”到了衛(wèi)星的信號。試描述當(dāng)衛(wèi)星趨近地面探測器、通過探測器上空以及離開探測器時(shí)聲音的變化情況。 答：由于多普勒效應(yīng)，當(dāng)衛(wèi)星趨近地面探測器、通過探測器上空以及離開探測器時(shí)，地面上探測器測到的來自衛(wèi)星的無線電波頻率將大于、等于和小于其發(fā)射頻率（n1），它們與標(biāo)準(zhǔn)頻率(n2)形成拍的拍頻將隨著增大（若n2>n1）或減?。ㄈ鬾1>n2），揚(yáng)聲器發(fā)出的拍音也隨之變短或變長。 習(xí)題4 4-1．在容積的容器中盛有理想氣體，氣體密度為=1.3g/L。容器與大氣相通排出一部分氣體后，氣壓下降了0.78atm

56、。若溫度不變，求排出氣體的質(zhì)量。 解：根據(jù)題意，可知：，，。 由于溫度不變，∴，有：， 那么，逃出的氣體在下體積為：， 這部分氣體在下體積為： 則排除的氣體的質(zhì)量為： 。 根據(jù)題意，可得：， 4-2．有一截面均勻的封閉圓筒，中間被一光滑的活塞分割成兩邊。如果其中的一邊裝有0.1kg某一溫度的氫氣，為了使活塞停留在圓筒的正中央，則另一邊裝入的同一溫度的氧氣質(zhì)量為多少？ 解：平衡時(shí)，兩邊氫、氧氣體的壓強(qiáng)、體積、溫度相同，利用，知兩氣體摩爾數(shù)相同，即：，∴，代入數(shù)據(jù)有： 。 4-3．如圖所示，兩容器的體積相同，裝有相同質(zhì)量的氮?dú)夂脱鯕?。用一?nèi)壁光滑的水平細(xì)玻璃管相通，管的正

57、中間有一小滴水銀。要保持水銀滴在管的正中間，并維持氧氣溫度比氮?dú)鉁囟雀?0oC，則氮?dú)獾臏囟葢?yīng)是多少？ 解：已知氮?dú)夂脱鯕赓|(zhì)量相同，水銀滴停留在管的正中央， 則體積和壓強(qiáng)相同，如圖。 由：，有：， 而：，，可得： 。 4-4．高壓氧瓶：，，每天用，，為保證瓶內(nèi)，能用幾天？ 解：由，可得：， ∴； 而：，有：， 那么：能用的天數(shù)為天 。 4-5．氫分子的質(zhì)量為，如果每秒有個(gè)氫分子沿著與容器器壁的法線成角的方向以的速率撞擊在面積上(碰撞是完全彈性的)，則器壁所承受的壓強(qiáng)為多少？ 解：由：，再根據(jù)氣體壓強(qiáng)公式：，有： 。 4-6．一容器內(nèi)儲有氧氣，其壓強(qiáng)，溫度

58、，求容器內(nèi)氧氣的 （1）分子數(shù)密度； （2）分子間的平均距離； （3）分子的平均平動(dòng)動(dòng)能； （4）分子的方均根速度。 解：（1）由氣體狀態(tài)方程得： ； （2）分子間的平均距離可近似計(jì)算：； （3）分子的平均平動(dòng)動(dòng)能：； （4）分子的方均根速度： 。 4-7．已知某種理想氣體，其分子方均根率為，當(dāng)其壓強(qiáng)為時(shí)，求氣體的密度。 解： ∵，由氣體方程：， 又∵，∴。 4-8．金屬導(dǎo)體中的電子，在金屬內(nèi)部作無規(guī)則運(yùn)動(dòng)（與容器中的氣體分子類似），設(shè)金屬中共有個(gè)自由電子，其中電子的最大速率為 ，電子速率在之間的概率為：，式中為常數(shù)．則電子的平均速率為多少？ 解：由平均速率

59、的定義：，考慮到：， 有： 。 4-9．大量粒子（個(gè)）的速率分布函數(shù)圖象如圖所示，試求：（1）速率小于的分子數(shù)約為多少？（2）速率處在到之間的分子數(shù)約為多少？（3）所有個(gè)粒子的平均速率為多少？（4）速率大于的那些分子的平均速率為多少？ 解：根據(jù)圖像信息，注意到。 圖形所圍的面積為分子的全部數(shù)目，有： ，所以，利用 ，有：，。 （1）速率小于的分子數(shù)：個(gè)； （2）速率處在到之間的分子數(shù)： 個(gè)； 【或：】 （3）所有個(gè)粒子的平均速率：先寫出這個(gè)分段函數(shù)的表達(dá)式： 由平均速率定義：，有： ； （4）速率大于的那些分子的平均速率： 。 4-10．在麥

60、克斯韋分布下，（1）計(jì)算溫度和時(shí)氧氣分子最可幾速率和；（2）計(jì)算在這兩溫度下的最可幾速率附近單位速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率；（3）計(jì)算時(shí)氧分子在處單位速率區(qū)間內(nèi)分子數(shù)占總分子的比率。 解：根據(jù)最可幾速率的定義： （1）溫度：， ： ； （2）在最可幾速率附近單位速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率就是麥克斯韋分布函數(shù)： ，代入： ，代入：； （3）計(jì)算時(shí)氧分子在處單位速率區(qū)間內(nèi)分子數(shù)占總分子的比率。 將，代入： 得： 。 4-11．在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下，若氧氣（視為剛性雙原子分子的理想氣體）和氦氣的體積比，則其內(nèi)能之比為多少？ 解：根據(jù)，有：，因題設(shè)條件為，，可得：

61、，又∵氦氣是單原子分子，知：， 那么內(nèi)能之比為： 。 4-12．水蒸氣分解為同溫度的氫氣和氧氣，即H2O→H2+0.5O2，內(nèi)能增加了多少？ 解：水蒸氣分解后，一份的三原子的內(nèi)能變成了1.5份的雙原子的內(nèi)能，而水分子的自由度為6，氫氣和氧氣作為剛性雙原子分子，其自由度均為5，利用氣體內(nèi)能公式：，所以內(nèi)能的變化為： 。 4-13．體積為的鋼瓶中盛有氧氣（視為剛性雙原子氣體），使用一段時(shí)間后，測得瓶中氣體的壓強(qiáng)為，此時(shí)氧氣的內(nèi)能為多少？ 解：由理想氣體狀態(tài)方程：，以及雙原子氣體內(nèi)能公式：， 可得到： 。 思考題 4-1．氣體在平衡狀態(tài)時(shí)有何特征？平衡態(tài)與穩(wěn)定態(tài)有

62、什么不同？氣體的平衡態(tài)與力學(xué)中所指的平衡有什么不同？ 答：平衡態(tài)的特征： （1）系統(tǒng)與外界在宏觀上無能量和物質(zhì)的交換 （2）系統(tǒng)的宏觀性質(zhì)不隨時(shí)間改變。 熱平衡態(tài)是指：在無外界的影響下，不論系統(tǒng)初始狀態(tài)如何，經(jīng)過足夠長的時(shí)間后，系統(tǒng)的宏觀性質(zhì)不隨時(shí)間改變的穩(wěn)定狀態(tài)。 它與穩(wěn)定態(tài)或力學(xué)中的平衡不是一個(gè)概念。 1．平衡態(tài)是一種熱動(dòng)平衡狀態(tài)。處在平衡態(tài)的大量分子并不是靜止的，它們?nèi)栽谧鳠徇\(yùn)動(dòng)，而且因?yàn)榕鲎?，每個(gè)分子的速度經(jīng)常在變，但是系統(tǒng)的宏觀量不隨時(shí)間改變。 例如：粒子數(shù)問題： 箱子假想分成兩相同體積的部分，達(dá)到平衡時(shí)，兩側(cè)粒子有的穿越界線，但兩側(cè)粒子數(shù)相同。 2．平衡態(tài)是一種理

63、想狀態(tài)。 4-2．對一定量的氣體來說，當(dāng)溫度不變時(shí)，氣體的壓強(qiáng)隨體積的減小面增大；當(dāng)體積不變時(shí)，壓強(qiáng)隨溫度的升高而增大。從宏觀來看，這兩種變化同樣使壓強(qiáng)增大；從微觀來看，它們是否有區(qū)別? 答：有區(qū)別。從微觀上看： 當(dāng)溫度不變時(shí)，氣體的壓強(qiáng)隨體積的減小而增大是因?yàn)椋寒?dāng)一定時(shí)，體積減小，n越大，即單位時(shí)間內(nèi)碰撞到器壁的分子越多，則P就越大； 當(dāng)體積不變時(shí)，壓強(qiáng)隨溫度的升高而增大是因?yàn)椋寒?dāng)n一定時(shí)，越大，即單位時(shí)間內(nèi)分子對器壁的碰撞越厲害，則P就越大。 4-3．在推導(dǎo)理想氣體壓強(qiáng)公式的過程中，什么地方用到了理想氣體的分子模型?什么地方用到了平衡態(tài)的概念?什么地方用到了統(tǒng)計(jì)平均的概念

64、？壓強(qiáng)的微觀統(tǒng)計(jì)意義是什么? 答：壓強(qiáng)的求解公式中用到了理想氣體的分子模型，把分子作為質(zhì)點(diǎn)來研究； 對每個(gè)分子狀態(tài)的假定用到了平衡態(tài)的概念； 從一個(gè)分子對器壁的作用力推廣到所有分子對器壁的作用力，計(jì)算分子的平均速度都用到了統(tǒng)計(jì)平均的概念； 壓強(qiáng)的微觀統(tǒng)計(jì)意義是壓強(qiáng)是大量分子碰撞器壁的平均效果，是對大量分子對時(shí)間對面積的一個(gè)統(tǒng)計(jì)平均值。對一個(gè)分子而言，它對器壁的碰撞是偶然的，但就大量分子而言，其碰撞的統(tǒng)計(jì)平均效果就表現(xiàn)為持續(xù)的均勻壓強(qiáng)。 4-4．容器內(nèi)有質(zhì)量為，摩爾質(zhì)量為的理想氣體，設(shè)容器以速度作定向運(yùn)動(dòng)，今使容器突然停止，問：（1）氣體的定向運(yùn)動(dòng)機(jī)械能轉(zhuǎn)化什么形式的能量？（2）下

65、面兩種氣體分子速度平方的平均值增加多少？單原子分子；②雙原子分子；（3）如果容器再從靜止加速到原來速度，那么容器內(nèi)理想氣體的溫度是否還會改變?為什么? 答：（1）一般來說，氣體的宏觀運(yùn)動(dòng)不會影響其微觀的內(nèi)動(dòng)能，但是當(dāng)容器忽然停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，大量分子的定向運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能將通過與器壁的以及分子間的碰撞而轉(zhuǎn)換為熱運(yùn)動(dòng)的能量，會使容器內(nèi)氣體的問題有所升高。 （2），所以：，溫度增加多少，其速度平方的平均值也做相應(yīng)的增加。 （3）宏觀量溫度是一個(gè)統(tǒng)計(jì)概念，是大量分子無規(guī)則熱運(yùn)動(dòng)的集體表現(xiàn)，是分子平均平動(dòng)動(dòng)能的量度，分子熱運(yùn)動(dòng)是相對質(zhì)心參照系的，平動(dòng)動(dòng)能是系統(tǒng)的內(nèi)動(dòng)能．溫度與系統(tǒng)的整體運(yùn)動(dòng)無關(guān)．所以當(dāng)容器再

66、從靜止加速到原來速度，那么容器內(nèi)理想氣體的溫度不會改變。 4-5．?dāng)⑹鱿铝惺降奈锢硪饬x： （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）. 答：（1）在平衡態(tài)下，分子熱運(yùn)動(dòng)能量平均地分配在分子每一個(gè)自由度上的能量均為； （2）在平衡態(tài)下，分子平均平動(dòng)動(dòng)能； （3）在平衡態(tài)下，自由度為i的分子平均總能量； （4）1摩爾自由度為i的分子組成的系統(tǒng)內(nèi)能為； （5）由質(zhì)量為M，摩爾質(zhì)量為Mmol，自由度為i的分子組成的系統(tǒng)的內(nèi)能為。 （6）由質(zhì)量為m，摩爾質(zhì)量為M，自由度為i的分子組成的系統(tǒng)的內(nèi)能的變化為。 4-6．氦氣、氧氣分子數(shù)均為，，速率分布曲線如圖，且陰影面積為，求：（1）哪條是氦氣的速率分布曲線？ （2）； （3）的意義？ （4）為多少？對應(yīng)的物理意義是什么？ 答：（1）由可知，對于氧氣和氦氣，即使，氦氣的還是大于氧氣，所以圖形中，大的曲線是氦氣，即B圖是氦氣的； （2）； （3）的意義：在這速率附近、速率區(qū)間dv內(nèi)的氦氣和氧氣的分子數(shù)相同； （4）為在v0右邊的兩曲線的面積差乘以N， 對應(yīng)的物理意義是v0→∞的速率區(qū)間內(nèi)氦氣分子比氧氣分子