教學(xué)資料 (2)

高中數(shù)學(xué)專題訓(xùn)練（教師版）導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用一、選擇題1(2011·山東聊城)函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，下列數(shù)值排序正確的是()A0<f(2)<f(3)<f(3)f(2)B0<f(3)<f(3)f(2)<f(2)C0<f(3)<f(2)<f(3)<f(2)D0<f(3)f(2)<f(2)<f(3)答案B解析f(2)、f(3)是x分別為2、3時對應(yīng)圖象上點的切線斜率，f(3)f(2)，f(3)f(2)是圖象上x為2和3對應(yīng)兩點連線的斜率，故選B.2已知函數(shù)f(x)x42x33m，xR，若f(x)90恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是()AmBm>Cm Dm<答案A解析因為函數(shù)f(x)x42x33m，所以f(x)2x36x2，令f(x)0，得x0或x3，經(jīng)檢驗知x3是函數(shù)的一個最小值點，所以函數(shù)的最小值為f(3)3m，不等式f(x)90恒成立，即f(x)9恒成立，所以3m9，解得m.3(2011·江蘇無錫)若a>2，則方程x3ax210在(0,2)上恰好有()A0個根 B1個根C2個根 D3個根答案B解析設(shè)f(x)x3ax21，則f(x)x22axx(x2a)，當(dāng)x(0,2)時，f(x)<0，f(x)在(0,2)上為減函數(shù)，又f(0)f(2)14a<0，f(x)0在(0,2)上恰好有1個根4(2010·山東卷，文)已知某生產(chǎn)廠家的年利潤y(單位：萬元)與年產(chǎn)量x(單位：萬件)的函數(shù)關(guān)系式為yx381x234，則使該生產(chǎn)廠家獲取最大年利潤的年產(chǎn)量為()A13萬件 B11萬件C9萬件 D7萬件答案C解析因為yx281，所以當(dāng)x>9時，y<0；當(dāng)x(0,9)時，y>0，所以函數(shù)yx381x234在(9，)上單調(diào)遞減，在(0,9)上單調(diào)遞增，所以x9是函數(shù)的極大值點，又因為函數(shù)在(0，)上只有一個極大值點，所以函數(shù)在x9處取得最大值二、填空題5設(shè)f(x)x3ax25x6在區(qū)間1,3上為單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍為_答案解析f(x)x22ax5，當(dāng)f(x)在1,3上單調(diào)減時，由得a3；當(dāng)f(x)在1,3上單調(diào)增時，f(x)0中，4a24×50，或得a，(，)綜上：a的取值范圍為(，3，)三、解答題6已知定義在正實數(shù)集上的函數(shù)f(x)x22ax，g(x)3a2lnxb，其中a>0，設(shè)兩曲線yf(x)，yg(x)有公共點，且在該點處的切線相同(1)用a表示b，并求b的最大值；(2)求證：f(x)g(x)(x>0)解(1)設(shè)yf(x)與yg(x)(x>0)在公共點(x0，y0)處的切線相同，f(x)x2a，g(x)，依題意得，即由x02a，得x0a或x03a(舍去)即有ba22a23a2lnaa23a2lna.令h(t)t23t2lnt(t>0)，則h(t)2t(13lnt)，由h(t)0得te或t0(舍去)列表如下：t(0，e)e(e)h(t)0h(t)極大值于是函數(shù)h(t)在(0，)上的最大值為h(e)e，即b的最大值為e.(2)設(shè)F(x)f(x)g(x)x22ax3a2lnxb(x>0)，則F(x)x2a(x>0)，由F(x)0得xa或x3a(舍去)列表如下：x(0，a)a(a，)F(x)0F(x)極小值于是函數(shù)F(x)在(0，)上的最小值是F(a)F(x0)f(x0)g(x0)0.故當(dāng)x>0時，有f(x)g(x)0，即當(dāng)x>0時，f(x)g(x)7將一張2×6米的硬鋼板按圖紙的要求進(jìn)行操作：沿線裁去陰影部分，把剩余部分按要求焊接成一個有蓋的長方體水箱(為底，為側(cè)面，為水箱蓋其中與、與分別是全等的矩形，且)，設(shè)水箱的高為x米，容積為y立方米(1)寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；(2)如何設(shè)計x的大小，使水箱的容積最大？解析(1)依據(jù)意水箱底的寬為(22x)米，長為(3x)米，則水箱的容積y(22x)(3x)·x(0<x<1)即為y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式(2)y(22x)(3x)·x2x38x26x(0<x<1)，y6x216x6.令y6x216x60得x，當(dāng)0<x<時，y>0，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)<x<1時，y<0，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)x時函數(shù)y(22x)(3x)·x(0<x<1)取得最大值8已知函數(shù)f(x)x28lnx，g(x)x214x.(1)求函數(shù)f(x)在點(1，f(1)處的切線方程；(2)若函數(shù)f(x)與g(x)在區(qū)間(a，a1)上均為增函數(shù)，求a的取值范圍；(3)若方程f(x)g(x)m有唯一解，試求實數(shù)m的值解(1)因為f(x)2x，所以切線的斜率kf(1)6.又f(1)1，故所求的切線方程為y16(x1)即y6x7.(2)因為f(x)，又x>0，所以當(dāng)x>2時，f(x)>0；當(dāng)0<x<2時，f(x)<0.即f(x)在(2，)上單調(diào)遞增，在(0,2)上單調(diào)遞減又g(x)(x7)249，所以g(x)在(，7)上單調(diào)遞增，在(7，)上單調(diào)遞減，欲使函數(shù)f(x)與g(x)在區(qū)間(a，a1)上均為增函數(shù)，則，解得2a6.(3)原方程等價于2x28lnx14xm，令h(x)2x28lnx14x，則原方程即為h(x)m.因為當(dāng)x>0時原方程有唯一解，所以函數(shù)yh(x)與ym的圖象在y軸右側(cè)有唯一的交點又h(x)4x14，且x>0，所以當(dāng)x>4時，h(x)>0；當(dāng)0<x<4時，h(x)<0.即h(x)在(4，)上單調(diào)遞增，在(0,4)上單調(diào)遞減，故h(x)在x4處取得最小值，從而當(dāng)x>0時原方程有唯一解的充要條件是mh(4)16ln224.9(2010·天津卷，文)已知函數(shù)f(x)ax3x21(xR)，其中a>0.(1)若a1，求曲線yf(x)在點(2，f(2)處的切線方程；(2)若在區(qū)間，上，f(x)>0恒成立，求a的取值范圍解析(1)當(dāng)a1時，f(x)x3x21，f(2)3；f(x)3x23x，f(2)6.所以曲線yf(x)在點(2，f(2)處的切線方程為y36(x2)，即y6x9.(2)f(x)3ax23x3x(ax1)令f(x)0，解得x0或x.以下分兩種情況討論：若0<a2，則.當(dāng)x變化時，f(x)、f(x)的變化情況如下表：x(，0)0(0，)f(x)01f(x)極大值當(dāng)x，時，f(x)>0等價于即解不等式組得5<a<5，因此0<a2.若a>2，則0<<.當(dāng)x變化時，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x(，0)0(0，)(，)f(x)00f(x)極大值極小值當(dāng)x，時，f(x)>0等價于即.解不等式組得<a<5或a<.因此2<a<5.綜合和，可知a的取值范圍為0<a<5.10(2011·衡水調(diào)研)設(shè)函數(shù)f(x)x22x2ln(1x)(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)x1，e1時，是否存在整數(shù)m，使不等式m<f(x)m22me2恒成立？若存在，求整數(shù)m的值；若不存在，則說明理由解(1)由1x>0得函數(shù)f(x)的定義域為(1，)f(x)2x2.由f(x)>0，得x>0；由f(x)<0，得1<x<0.函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0，)，單調(diào)減區(qū)間是(1,0)(2)由(1)知，f(x)在1,0上單調(diào)遞減，在0，e1上單調(diào)遞增f(x)minf(0)0.又f(1)1，f(e1)e2e，且e23>1，x1，e1時，f(x)maxe2e.不等式m<f(x)m22me2恒成立，即1m<0.m是整數(shù)，m1.存在整數(shù)m1，使不等式m<f(x)m22me2恒成立