【步步高】屆高三數(shù)學大一輪復習 離散型隨機變量及其分布列學案 理 新人教A版

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1、 學案66　離散型隨機變量及其分布列 導學目標： 1.理解取有限個值的離散型隨機變量及其分布列的概念，了解分布列對于刻畫隨機現(xiàn)象的重要性.2.理解超幾何分布及其導出過程，并能進行簡單的應用． 自主梳理 1．離散型隨機變量的分布列 (1)隨著試驗結(jié)果變化而變化的變量稱為____________；所有取值可以一一列出，這樣的隨機變量叫做________________________． (2)設(shè)離散型隨機變量X可能取的不同值為x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一個值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，則稱表 X x1 x2 … xi …

2、xn P p1 p2 … pi … pn 為離散型隨機變量X的概率分布列，它具有的性質(zhì)： ①pi______0，i＝1,2，…，n； ②pi＝1. 離散型隨機變量在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個范圍內(nèi)各個值的____________． 2．如果隨機變量X的分布列為 X 1 0 P p q 其中0

3、(k＝0,1,2，…，m)，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n、M、N∈N*.隨機變量X的分布列具有以下表格的形式． X 0 1 … m P … 則稱隨機變量X服從超幾何分布． 自我檢測 1．(2011·福州月考)袋中有大小相同的紅球6個、白球5個，從袋中每次任意取出1個球，直到取出的球是白球時為止，所需要的取球次數(shù)為隨機變量ξ，則ξ的可能值為(　　) A．1,2，…，6 B．1,2，…，7 C．1,2，…，11 D．1,2,3，… 2．下列表中能成為隨機變量X的分布列的是(　　) A. X －1 0 1 P

4、0.3 0.4 0.4 B. X 1 2 3 P 0.4 0.7 －0.1 C. X －1 0 1 P 0.3 0.4 0.3 D. X 1 2 3 P 0.3 0.4 0.4 3．已知隨機變量X的分布列為P(X＝i)＝(i＝1,2,3)，則P(X＝2)等于(　　) A. B. C. D. 4．設(shè)某項試驗的成功率是失敗率的2倍，用隨機變量ξ描述1次試驗成功的次數(shù)，則P(ξ＝0)等于(　　) A．0 B. C. D. 5．(2011·蘇州模擬)從裝有3個紅球、2個白球的袋中隨機

5、取出2個球，設(shè)其中有ξ個紅球，則隨機變量ξ的概率分布列為__________________. 探究點一　離散型隨機變量的分布列 例1　一袋中裝有編號為1,2,3,4,5,6的6個大小相同的球，現(xiàn)從中隨機取出3個球，以X表示取出的最大號碼． 求X的分布列． 變式遷移1　將3個小球任意地放入4個大玻璃杯中去，杯子中球的最大數(shù)記為ξ，求ξ的分布列． 探究點二　超幾何分布 例2　(2011·淮南模擬)某校高三年級某班的數(shù)學課外活動小組中有6名男生，4名女生，從中選出4人參加數(shù)學競賽考試，用X表示其中的男生人數(shù)，求X的分布列.

6、 變式遷移2　從4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽．設(shè)隨機變量X表示所選3人中女生的人數(shù)． (1)求X的分布列； (2)求“所選3人中女生人數(shù)X≤1”的概率． 探究點三　離散型隨機變量分布列的應用 例3　袋中裝著標有數(shù)字1,2,3,4,5的小球各2個，從袋中任取3個小球，按3個小球上最大數(shù)字的9倍計分，每個小球被取出的可能性都相等，用X表示取出的3個小球上的最大數(shù)字，求： (1)取出的3個小球上的數(shù)字互不相同的概率； (2)隨機變量X的分布列； (3)計分介于20分到40分之間的概率．

7、 變式遷移3　袋中有4個紅球，3個黑球，從袋中隨機地抽取4個球，設(shè)取到一個紅球得2分，取到一個黑球得1分． (1)求得分X的分布列； (2)求得分大于6的概率． 1．離散型隨機變量的概率分布列是求隨機變量的數(shù)學期望和方差的基礎(chǔ)，而求分布列需要綜合應用排列、組合和概率的相關(guān)知識，是高考考查的重點內(nèi)容之一．復習時應注意：分布列的計算是概率部分計算的延伸，正確計算的基礎(chǔ)是對基本概念的理解，注意明確數(shù)學符號的含義． 2．求解離散型隨機變量的概率分布問題的步驟： (1)明確隨機變量的取值范圍，即找出隨機變量X所

8、有可能取值xi(i＝1,2，…，n)； (2)求出每個隨機變量值的概率P(X＝xi)＝Pi； (3)用數(shù)表表示出分布列． 3．求解離散型隨機變量的概率分布問題時的注意事項： (1)搞清隨機變量的每一個取值所對應的基本隨機事件； (2)計算必須準確無誤； (3)注意運用概率分布的兩條性質(zhì)檢驗所求概率分布是否正確． (滿分：75分) 一、選擇題(每小題5分，共25分) 1．設(shè)X是一個離散型隨機變量，其分布列為 ξ －1 0 1 P 1－2q q2 則q的值為(　　) A．1 B．1± C．1＋ D．1－ 2．(2011·聊城調(diào)

9、研)袋中有大小相同的5只鋼球，分別標有1,2,3,4,5五個號碼，任意抽取2個球，設(shè)2個球號碼之和為X，則X的所有可能取值個數(shù)為(　　) A．25 B．10 C．7 D．6 3．已知隨機變量ξ的分布列為P(ξ＝k)＝，k＝1,2,3,4.則P(2<ξ≤4)等于(　　) A. B. C. D. 4．已知隨機變量ξ的概率分布如下： ξ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 P m 則P(ξ＝10)等于(　　) A. B. C. D. 5．在15個村莊中有7個村莊交通

10、不方便，現(xiàn)從中任意選10個村莊，用X表示這10個村莊中交通不方便的村莊數(shù)，下列概率中等于的是(　　) A．P(X＝2) B．P(X≤2) C．P(X＝4) D．P(X≤4) 二、填空題(每小題4分，共12分) 6．(2011·宜城月考)若某一射手射擊所得環(huán)數(shù)X的分布列如下： X 4 5 6 7 8 9 10 P 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22 則此射手“射擊一次命中環(huán)數(shù)X≥7”的概率是________． 7．某電子管正品率為，次品率為，現(xiàn)對該批電子管有放回地進行測試，設(shè)第ξ次首次測到正品，

11、則P(ξ＝3)＝______. 8. 如圖所示，A、B兩點5條連線并聯(lián)，它們在單位時間內(nèi)能通過的最大信息量依次為2,3,4,3,2.現(xiàn)記從中任取三條線且在單位時間內(nèi)都通過的最大信息總量為ξ，則P(ξ≥8)＝_______. 三、解答題(共38分) 9．(12分)已知隨機變量ξ的分布列為 ξ －2 －1 0 1 2 3 P 分別求出隨機變量η1＝ξ，η2＝ξ2的分布列． 10．(12分)(2011·蕪湖模擬)設(shè)離散型隨機變量ξ的分布列P＝ak，k＝1,2，3,4,5. (1)求常數(shù)a的值

12、； (2)求P； (3)求P. 11．(14分)某批產(chǎn)品成箱包裝，每箱5件，一用戶在購進該批產(chǎn)品前先取出3箱，再從每箱中任意抽取2件產(chǎn)品進行檢驗，設(shè)取出的第一、二、三箱中分別有0件、1件、2件二等品，其余為一等品． (1)用ξ表示抽檢的6件產(chǎn)品中二等品的件數(shù)，求ξ的分布列； (2)若抽檢的6件產(chǎn)品中有2件或2件以上二等品，用戶就拒絕購買這批產(chǎn)品，求這批產(chǎn)品被用戶拒絕購買的概率． 學案66　離散型隨機變量及其分布列 自主梳理 1．(1)隨機變量　離散型隨機變量　(2)①≥　②概率之和 2．兩

13、點分布　3. 自我檢測 1．B　[除了白球外，其他的還有6個球，因此取到白球時取球次數(shù)最少為1次，最多為7次．] 2．C　[A、D的概率之和不等于1，B中P(3)＝－0.1<0，故均不正確，所以選C.] 3．C　[由分布列的性質(zhì)知＋＋＝1， ∴a＝3，∴P(X＝2)＝＝.] 4．C　[∵P(ξ＝0)＋P(ξ＝1) ＝P(ξ＝0)＋2P(ξ＝0)＝3P(ξ＝0)＝1，∴P(ξ＝0)＝.] 5. ξ 0 1 2 P 解析　∵P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝＝， P(ξ＝2)＝＝， ∴ ξ 0 1 2 P 課堂活動區(qū) 例1　解題

14、導引　求離散型隨機變量的分布列步驟是：(1)找出隨機變量X的所有可能取值xi(i＝1,2，…，)；(2)求出取各值xi的概率P(X＝xi)；(3)列表．求出分布列后要注意應用性質(zhì)檢驗所求的結(jié)果是否準確． 解　X的可能取值為3,4,5,6， 從而有：P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝， P(X＝5)＝＝，P(X＝6)＝＝. 故X的分布列為 X 3 4 5 6 P 變式遷移1　解　依題意可知，杯子中球的最大數(shù)ξ的所有可能值為1,2,3，當ξ＝1時，對應于4個杯子中恰有三個杯子各放一球的情形；當ξ＝2時，對應于4個杯子中恰有一個杯子放兩球的情形；當ξ＝3時，對應

15、于4個杯子恰有一個杯子放三個球的情形．從而有P(ξ＝1)＝＝；P(ξ＝2)＝＝；P(ξ＝3)＝＝. ∴ξ的分布列為 ξ 1 2 3 P 例2　解題導引　對于服從某些特殊分布的隨機變量，其分布列可以直接應用公式給出．超幾何分布描述的是不放回抽樣問題，隨機變量為抽到的某類個體的個數(shù)． 解　依題意，隨機變量X服從超幾何分布， 所以P(X＝k)＝(k＝0,1,2,3,4)． ∴P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝， P(X＝4)＝＝， ∴X的分布列為 X 0 1 2 3 4 P 變式遷

16、移2　解　(1)從4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽，所選的3人中女生隨機變量X＝0,1,2，其概率 P(X＝k)＝，k＝0,1,2，故X的分布列為： X 0 1 2 P (2)由(1)可得“所選3人中女生人數(shù)X≤1”的概率為 P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝＋＝. 例3　解題導引　(1)是古典概型；(2)關(guān)鍵是確定X的所有可能取值；(3)計分介于20分到40分之間的概率等于X＝3與X＝4的概率之和． 解　(1)方法一　記“一次取出的3個小球上的數(shù)字互不相同”為事件A，則P(A)＝＝. 方法二　記“一次取出的3個小球上的數(shù)字互不相同”為事件A，

17、記“一次取出的3個小球上有兩個數(shù)字相同”為事件B，則事件A和事件B是對立事件． 因為P(B)＝＝， 所以P(A)＝1－P(B)＝1－＝. (2)隨機變量X的可能取值為2,3,4,5，取相應值的概率分別為P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＋＝， P(X＝4)＝＋＝， P(X＝5)＝＋＝. ∴隨機變量X的分布列為 X 2 3 4 5 P (3)由于按3個小球上最大數(shù)字的9倍計分，所以當計分介于20分～40分時，X的取值為3或4，所以所求概率為 P＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝＋＝. 變式遷移3　解　(1)得分X的所有可能值為5,6,7,8. P(X

18、＝5)＝＝， P(X＝6)＝＝， P(X＝7)＝＝， P(X＝8)＝＝. ∴X的分布列為 X 5 6 7 8 P (2)得分大于6的概率為： P(X＝7)＋P(X＝8)＝＋＝. 課后練習區(qū) 1．D　[由分布列的性質(zhì)，有 　解得q＝1－. 或由1－2q≥0?q≤，可排除A、B、C.] 2．C　[X的可能取值為1＋2＝3,1＋3＝4,1＋4＝5＝2＋3,1＋5＝6＝4＋2,2＋5＝7＝3＋4,3＋5＝8,4＋5＝9.] 3．B　[∵＋＋＋＝1，∴a＝. ∴P(2<ξ≤4)＝P(ξ＝3)＋P(ξ＝4) ＝＋＝＋＝.] 4．C　[P(ξ＝10)

19、＝1－＝.] 5．C　[X服從超幾何分布 P(X＝k)＝，故k＝4.] 6．0.88 解析　環(huán)數(shù)X≥7的概率是： 0．09＋0.28＋0.29＋0.22＝0.88. 7. 解析　P(ξ＝3)＝××＝. 8. 解析　方法一　由已知，ξ的取值為7,8,9,10， ∵P(ξ＝7)＝＝，P(ξ＝8)＝＝， P(ξ＝9)＝＝，P(ξ＝10)＝＝， ∴ξ的概率分布列為 ξ 7 8 9 10 P ∴P(ξ≥8)＝P(ξ＝8)＋P(ξ＝9)＋P(ξ＝10) ＝＋＋＝. 方法二　P(ξ≥8)＝1－P(ξ＝7)＝1－＝. 9．解　由于η1＝ξ對于不同的ξ

20、有不同的取值η1， 所以η1的分布列為 η1 －1 － 0 1 P (6分) η2＝ξ2對于ξ的不同取值－2,2及－1,1，η2分別取相同的值4與1，即η2取4這個值的概率應是ξ?。?與2值的概率與合并的結(jié)果，η2取1這個值的概率為ξ?。?與1的概率與合并的結(jié)果，故η2的分布列為 η2 0 1 4 9 P (12分) 10．解　(1)由離散型隨機變量的性質(zhì)，得 a·1＋a·2＋a·3＋a·4＋a·5＝1，解得a＝. (2)由(1)，得P＝k，k＝1,2,3,4,5. 方法一　P ＝P＋P＋P(ξ＝1) ＝＋＋＝.(7分) 方法二　P＝1－P ＝1－ ＝1－＝.(7分) (3)∵<ξ<，∴ξ＝，，，∴P ＝P＋P＋P ＝＋＋＝.(12分) 11．解　(1)ξ的可能取值為0,1,2,3.(1分) P(ξ＝0)＝·＝＝，(3分) P(ξ＝1)＝·＋·＝，(5分) P(ξ＝2)＝·＋·＝.(7分) P(ξ＝3)＝·＝.(9分) 故ξ的分布列為 ξ 0 1 2 3 P (11分) (2)所求的概率為P＝P(ξ≥2)＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝＋＝.(14分) 11