【步步高】屆高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 空間的垂直關(guān)系學(xué)案 理 新人教A版

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1、 學(xué)案44　空間的垂直關(guān)系 導(dǎo)學(xué)目標(biāo)： 1.以立體幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點(diǎn)，認(rèn)識和理解空間中線面垂直的有關(guān)性質(zhì)與判定定理.2.能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間圖形的垂直關(guān)系的簡單命題． 自主梳理 1．直線與平面垂直 (1)判定直線和平面垂直的方法 ①定義法． ②利用判定定理：一條直線和一個平面內(nèi)的兩條______直線都垂直，則該直線與此平面垂直． ③推論：如果在兩條平行直線中，有一條垂直于一個平面，那么另一條直線也______這個平面． (2)直線和平面垂直的性質(zhì) ①直線垂直于平面，則垂直于平面內(nèi)______直線． ②垂直于同一個平面的兩條直線__

2、____． ③垂直于同一直線的兩個平面________． 2．直線與平面所成的角 平面的一條斜線和它在平面內(nèi)的________所成的銳角，叫做這條直線和這個平面所成的角． 一直線垂直于平面，說它們所成角為________；直線l∥α或l?α，則它們成________角． 3．平面與平面垂直 (1)平面與平面垂直的判定方法 ①定義法． ②利用判定定理：一個平面過另一個平面的__________，則這兩個平面垂直． (2)平面與平面垂直的性質(zhì) 兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于________的直線與另一個平面垂直． 4．二面角的平面角 以二面角棱上的任一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個半平

3、面內(nèi)分別作與棱________的射線，則兩射線所成的角叫做二面角的平面角． 自我檢測 1．平面α⊥平面β的一個充分條件是(　　) A．存在一條直線l，l⊥α，l⊥β B．存在一個平面γ，γ∥α，γ∥β C．存在一個平面γ，γ⊥α，γ⊥β D．存在一條直線l，l⊥α，l∥β 2．(2010·浙江)設(shè)l，m是兩條不同的直線，α是一個平面，則下列命題正確的是(　　) A．若l⊥m，m?α，則l⊥α B．若l⊥α，l∥m，則m⊥α C．若l∥α，m?α，則l∥m D．若l∥α，m∥α，則l∥m 3．(2011·長沙模擬)對于不重合的兩個平面α與β，給定下列條件： ①存在平面γ

4、，使得α，β都垂直于γ； ②存在平面γ，使得α，β都平行于γ； ③存在直線l?α，直線m?β，使得l∥m； ④存在異面直線l、m，使得l∥α，l∥β，m∥α，m∥β. 其中，可以判定α與β平行的條件有(　　) A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 4．(2011·十堰月考)已知m，n是兩條不同直線，α，β，γ是三個不同平面，下列命題中正確的是(　　) A．若m∥α，n∥α，則m∥n B．若α⊥γ，β⊥γ，則α∥β C．若m∥α，m∥β，則α∥β D．若m⊥α，n⊥α，則m∥n 5．(2011·大綱全國)已知點(diǎn)E、F分別在正方體ABCD－A1B1C1

5、D1的棱BB1、CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，則面AEF與面ABC所成的二面角的正切值為________． 探究點(diǎn)一　線面垂直的判定與性質(zhì) 例1　Rt△ABC所在平面外一點(diǎn)S，且SA＝SB＝SC，D為斜邊AC的中點(diǎn)． (1)求證：SD⊥平面ABC； (2)若AB＝BC.求證：BD⊥平面SAC. 變式遷移1　 在四棱錐V—ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD.證明：AB⊥VD. 探究點(diǎn)二　面面垂直的判定與性質(zhì) 例2　(2011·邯鄲月考)如

6、圖所示，已知四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面為正方形，O1、O分別為上、下底面的中心，且A1在底面ABCD內(nèi)的射影是O.求證：平面O1DC⊥平面ABCD. 變式遷移2　(2011·江蘇)如圖，在四棱錐P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E，F(xiàn)分別是AP，AD的中點(diǎn)． 求證：(1)直線EF∥平面PCD； (2)平面BEF⊥平面PAD. 探究點(diǎn)三　直線與平面，平面與平面所成的角 例3　(2009·湖北)如圖，四棱錐S—ABCD的底面是正方形，SD⊥

7、平面ABCD，SD＝2a，AD＝a，點(diǎn)E是SD上的點(diǎn)，且DE＝λa(0<λ≤2)． (1)求證：對任意的λ∈(0,2]，都有AC⊥BE； (2)設(shè)二面角C—AE—D的大小為θ，直線BE與平面ABCD所成的角為φ，若tan θtan φ＝1，求λ的值． 變式遷移3　(2009·北京)如圖，在三棱錐P—ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝AB，∠ABC＝60°，∠BCA＝90°，點(diǎn)D、E分別在棱PB、PC上，且DE∥BC. (1)求證：BC⊥ 平面PAC. (2)當(dāng)D為PB的中點(diǎn)時，求AD與平面PAC所成角的正弦值．

8、 (3)是否存在點(diǎn)E使得二面角A—DE—P為直二面角？并說明理由． 轉(zhuǎn)化與化歸思想綜合應(yīng)用 例　(12分)已知四棱錐P—ABCD，底面ABCD是∠A＝60°的 菱形，又PD⊥底面ABCD，點(diǎn)M、N分別是棱AD、PC的中點(diǎn). (1)證明：DN∥平面PMB； (2)證明：平面PMB⊥平面PAD. 多角度審題　(1)在平面PMB內(nèi)找到(或構(gòu)造)一條直線與DN平行即可；(2)要證面PMB⊥面PAD，只需證明MB⊥面PAD即可． 【答題模板】 證明　(1) 取PB中點(diǎn)Q，連接MQ、NQ，因為M、N分別是棱AD、PC的中點(diǎn)，所

9、以QN∥BC∥MD，且QN＝MD，故四邊形QNDM是平行四邊形， 于是DN∥MQ. 又∵M(jìn)Q?平面PMB，DN?平面PMB ∴DN∥平面PMB.[6分] (2)∵PD⊥平面ABCD，MB?平面ABCD，∴PD⊥MB. 又因為底面ABCD是∠A＝60°的菱形，且M為AD中點(diǎn)， 所以MB⊥AD.又AD∩PD＝D，所以MB⊥平面PAD. 又∵M(jìn)B?平面PMB，∴平面PMB⊥平面PAD.[12分] 【突破思維障礙】 立體幾何的證明問題充分體現(xiàn)線面關(guān)系的轉(zhuǎn)化思想，其思路為： 1．證明線面垂直的方法：(1)線面垂直的定義：a與α內(nèi)任何直線都垂直?a⊥α；(2)判定定理1：?

10、l⊥α；(3)判定定理2：a∥b，a⊥α?b⊥α；(4)面面平行的性質(zhì)：α∥β，a⊥α?a⊥β；(5)面面垂直的性質(zhì)：α⊥β，α∩β＝l，a?α，a⊥l?a⊥β. 2．證明線線垂直的方法：(1)定義：兩條直線的夾角為90°；(2)平面幾何中證明線線垂直的方法；(3)線面垂直的性質(zhì)：a⊥α，b?α?a⊥b；(4)線面垂直的性質(zhì)：a⊥α，b∥α?a⊥b. 3．證明面面垂直的方法：(1)利用定義：兩個平面相交，所成的二面角是直二面角；(2)判定定理：a?α，a⊥β?α⊥β. (滿分：75分) 一、選擇題(每小題5分，共25分) 1．(2011·濱州月考)已知直線a，b和平面α，β，

11、且a⊥α，b⊥β，那么α⊥β是a⊥b的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 2．已知兩個不同的平面α、β和兩條不重合的直線m、n，有下列四個命題： ①若m∥n，m⊥α，則n⊥α；②若m⊥α，m⊥β，則α∥β；③若m⊥α，m∥n，n?β，則α⊥β；④若m∥α，α∩β＝n，則m∥n. 其中正確命題的個數(shù)是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 3．設(shè)α，β，γ是三個不重合的平面，l是直線，給出下列四個命題： ①若α⊥β，l⊥β，則l∥α；②若l⊥α，l∥β，則α⊥β； ③若l上有兩點(diǎn)到

12、α的距離相等，則l∥α；④若α⊥β，α∥γ，則γ⊥β. 其中正確命題的序號是(　　) A．①② B．①④ C．②④ D．③④ 4．(2011·浙江)下列命題中錯誤的是(　　) A．如果平面α⊥平面β，那么平面α內(nèi)一定存在直線平行于平面β B．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α內(nèi)一定不存在直線垂直于平面β C．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ D．如果平面α⊥平面β，那么平面α內(nèi)所有直線都垂直于平面β 5．平面α的斜線AB交α于點(diǎn)B，過定點(diǎn)A的動直線l與AB垂直，且交α于點(diǎn)C，則動點(diǎn)C的軌跡是(　　) A．一條直線 B

13、．一個圓 C．一個橢圓 D．雙曲線的一支 二、填空題(每小題4分，共12分) 6．如圖所示，四棱錐P—ABCD的底面ABCD是邊長為a的正方形，側(cè)棱PA＝a，PB＝PD＝a，則它的5個面中，互相垂直的面有________對． 7．(2011·金華模擬)如圖所示，正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長是1，過A點(diǎn)作平面A1BD的垂線， 垂足為點(diǎn)H，有下列三個命題： ①點(diǎn)H是△A1BD的中心； ②AH垂直于平面CB1D1；③AC1與B1C所成的角是90°.其中正確命題的序號是____________． 8．正四棱錐S－ABCD底面邊長為2，高為2，E是邊BC的中點(diǎn)

14、，動點(diǎn)P在表面上運(yùn)動，并且總保持PE⊥AC，則動點(diǎn)P的軌跡的周長為________． 三、解答題(共38分) 9．(12分)(2010·山東)在如圖所示的 幾何體中，四邊形ABCD是正方形，MA⊥平面ABCD，PD∥MA，E、G、F分別為MB、PB、PC的中點(diǎn)，且AD＝PD＝2MA. (1)求證：平面EFG⊥平面PDC； (2)求三棱錐P－MAB與四棱錐P－ABCD的體積之比． 10．(12分)(2009·天津)如圖， 在四棱錐P—ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，DB平分∠ADC，E為PC的中點(diǎn)，AD＝C

15、D＝1，DB＝2. (1)證明：PA∥平面BDE； (2)證明：AC⊥平面PBD； (3)求直線BC與平面PBD所成的角的正切值． 11．(14分)(2011·杭州調(diào)研)如圖所示，已知正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為AB的中點(diǎn)． (1)求直線B1C與DE所成角的余弦值； (2)求證：平面EB1D⊥平面B1CD； (3)求二面角E－B1C－D的余弦值． 學(xué)案44　空間的垂直關(guān)系 自主梳理 1．(1)②相交　③垂直　(2)①任意?、谄叫小、燮叫? 2．射影　直角　0°　3.(1)②一條垂線　(2)交

16、線　4.垂直 自我檢測 1．D　2.B　3.B　4.D　5. 課堂活動區(qū) 例1　解題導(dǎo)引　線面垂直的判斷方法是：證明直線垂直平面內(nèi)的兩條相交直線．即從“線線垂直”到“線面垂直”． 證明　 (1)取AB中點(diǎn)E，連接SE，DE，在Rt△ABC中，D、E分別為AC、AB的中點(diǎn)， 故DE∥BC，且DE⊥AB， ∵SA＝SB， ∴△SAB為等腰三角形，∴SE⊥AB. ∵SE⊥AB，DE⊥AB，SE∩DE＝E， ∴AB⊥面SDE.而SD?面SDE，∴AB⊥SD. 在△SAC中，SA＝SC，D為AC的中點(diǎn)，∴SD⊥AC. ∵SD⊥AC，SD⊥AB，AC∩AB＝A， ∴SD⊥平

17、面ABC. (2)若AB＝BC，則BD⊥AC， 由(1)可知，SD⊥面ABC，而BD?面ABC， ∴SD⊥BD. ∵SD⊥BD，BD⊥AC，SD∩AC＝D， ∴BD⊥平面SAC. 變式遷移1　證明　∵平面VAD⊥平面ABCD， AB⊥AD，AB?平面ABCD， AD＝平面VAD∩平面ABCD， ∴AB⊥平面VAD. ∵VD?平面VAD，∴AB⊥VD. 例2　解題導(dǎo)引　證明面面垂直，可先證線面垂直，即設(shè)法先找到其中一個平面的一條垂線，再證明這條垂線在另一個平面內(nèi)或與另一個平面內(nèi)的一條直線平行． 證明　如圖所示，連接AC，BD，A1C1，則O為AC，BD的交點(diǎn)，O1為A

18、1C1，B1D1的交點(diǎn)． 由棱柱的性質(zhì)知： A1O1∥OC，且A1O1＝OC， ∴四邊形A1OCO1為平行四邊形， ∴A1O∥O1C， 又A1O⊥平面ABCD，∴O1C⊥平面ABCD， 又O1C?平面O1DC， ∴平面O1DC⊥平面ABCD. 變式遷移2　 證明　(1)如圖，在△PAD中，因為E，F(xiàn)分別為AP，AD的中點(diǎn)，所以EF∥PD.又因為EF?平面PCD，PD?平面PCD， 所以直線EF∥平面PCD. (2)連接BD.因為AB＝AD，∠BAD＝60°，所以△ABD為正三角形． 因為F是AD的中點(diǎn)，所以BF⊥AD. 因為平面PAD⊥平面ABCD，BF?平面AB

19、CD， 平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以BF⊥平面PAD. 又因為BF?平面BEF，所以平面BEF⊥平面PAD. 例3　解題導(dǎo)引　高考中對直線與平面所成的角及二面角的考查是熱點(diǎn)之一．有時在客觀題中考查，更多的是在解答題中考查． 求這兩種空間角的步驟：(幾何法)． 根據(jù)線面角的定義或二面角的平面角的定義，作(找)出該角，再解三角形求出該角，步驟是作(找)→認(rèn)(指)→求． (1)證明　如圖所示，連接BD，由底面ABCD是正方形可得AC⊥BD. ∵SD⊥平面ABCD，∴BD是BE在平面ABCD上的射影，∴AC⊥BE. (2)解　如圖所示，由SD⊥平面ABCD，CD?平面ABC

20、D， ∴SD⊥CD. 又底面ABCD是正方形， ∴CD⊥AD.又SD∩AD＝D， ∴CD⊥平面SAD. 過點(diǎn)D在平面SAD內(nèi)作DF⊥AE于F，連接CF，則CF⊥AE，故∠CFD是二面角C—AE—D的平面角，即∠CFD＝θ. 在Rt△BDE中，∵BD＝2a，DE＝λa， ∴tan φ＝＝. 在Rt△ADE中，∵AD＝a＝CD，DE＝λa， ∴AE＝a， 從而DF＝＝. 在Rt△CDF中，tan θ＝＝， 由tan θ·tan φ＝1，得 ·＝1?＝2?λ2＝2. 由λ∈(0,2]，解得λ＝，即為所求． 變式遷移3　(1)證明　∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC. 又

21、∠BCA＝90°，∴AC⊥BC.又AC∩PA＝A， ∴BC⊥平面PAC. (2)解　∵D為PB的中點(diǎn)，DE∥BC，∴DE＝BC. 又由(1)知，BC⊥平面PAC， ∴DE⊥平面PAC，垂足為點(diǎn)E. ∴∠DAE是AD與平面PAC所成的角． ∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AB. 又PA＝AB，∴△ABP為等腰直角三角形． ∴AD＝AB. 在Rt△ABC中，∠ABC＝60°，∴BC＝AB. ∴在Rt△ADE中，sin∠DAE＝＝＝. ∴AD與平面PAC所成的角的正弦值為. (3)解　∵DE∥BC，又由(1)知，BC⊥平面PAC， ∴DE⊥平面PAC. 又∵AE?平面PAC，

22、PE?平面PAC， ∴DE⊥AE，DE⊥PE. ∴∠AEP為二面角A—DE—P的平面角． ∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC，∴∠PAC＝90°. ∴在棱PC上存在一點(diǎn)E，使得AE⊥PC. 這時，∠AEP＝90°， 故存在點(diǎn)E使得二面角A—DE—P是直二面角． 課后練習(xí)區(qū) 1．C　2.D　3.C 4．D　[兩個平面α，β垂直時，設(shè)交線為l，則在平面α內(nèi)與l平行的直線都平行于平面β，故A正確；如果平面α內(nèi)存在直線垂直于平面β，那么由面面垂直的判定定理知α⊥β，故B正確；兩個平面都與第三個平面垂直時，易證交線與第三個平面垂直，故C正確；兩個平面α，β垂直時，平面α內(nèi)與交線平行的直線

23、與β平行，故D錯誤．] 5．A 6．5 解析　面PAB⊥面PAD， 面PAB⊥面ABCD，面PAB⊥面PBC， 面PAD⊥面ABCD，面PAD⊥面PCD. 7．①②③ 解析　由于ABCD—A1B1C1D1是正方體，所以A—A1BD是一個正三棱錐，因此A點(diǎn)在平面A1BD上的射影H是三角形A1BD的中心，故①正確；又因為平面CB1D1與平面A1BD平行，所以AH⊥平面CB1D1，故②正確；從而可得AC1⊥平面CB1D1，即AC1與B1C垂直，所成的角等于90°. 8.＋ 解析　如圖取CD的中點(diǎn)F，SC的中點(diǎn)G，連接EF，GF，GE. 則AC⊥平面GEF，故動點(diǎn)P的軌跡是△E

24、FG的三邊． 又EF＝DB＝， GE＝GF＝SB＝， ∴EF＋FG＋GE＝＋. 9．(1)證明　因為MA⊥平面ABCD， PD∥MA，所以PD⊥平面ABCD. 又BC?平面ABCD，所以PD⊥BC.(2分) 因為四邊形ABCD為正方形， 所以BC⊥DC. 又PD∩DC＝D，所以BC⊥平面PDC.(4分) 在△PBC中，因為G、F分別為PB、PC的中點(diǎn)， 所以GF∥BC，所以GF⊥平面PDC.又GF?平面EFG， 所以平面EFG⊥平面PDC.(6分) (2)解　因為PD⊥平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，不妨設(shè)MA＝1， 則PD＝AD＝2， 所以VP－ABCD＝

25、S正方形ABCD·PD＝.(8分) 由題意可知，DA⊥平面MAB，且PD∥MA， 所以DA即為點(diǎn)P到平面MAB的距離， 所以VP－MAB＝××1×2×2＝.(10分) 所以VP－MAB∶VP－ABCD＝1∶4.(12分) 10．(1)證明　 設(shè)AC∩BD＝H，連接EH.在△ADC中，因為AD＝CD，且DB平分∠ADC，所以H為AC的中點(diǎn)，又由題設(shè)，知E為PC的中點(diǎn)，故EH∥PA.又EH?平面BDE，且PA?平面BDE， 所以PA∥平面BDE.(4分) (2)證明　因為PD⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，所以PD⊥AC.由(Ⅰ)可得，DB⊥AC.又PD∩DB＝D， 故A

26、C⊥平面PBD.(8分) (3)解　由AC⊥平面PBD可知，BH為BC在平面PBD內(nèi)的射影，所以∠CBH為直線BC與平面PBD所成的角． 由AD⊥CD，AD＝CD＝1，DB＝2，可得DH＝CH＝，BH＝. 在Rt△BHC中，tan∠CBH＝＝. 所以直線BC與平面PBD所成的角的正切值為. (12分) 11．(1)解　連接A1D，則由A1D∥B1C知，B1C與DE所成角即為A1D與DE所成角．(2分) 連接A1E，可設(shè)正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為a， 則A1D＝a， A1E＝DE＝a， ∴cos∠A1DE＝ ＝. ∴直線B1C與DE所成角的余弦值是.(6

27、分) (2)證明　取B1C的中點(diǎn)F，B1D的中點(diǎn)G， 連接BF，EG，GF.∵CD⊥平面BCC1B1， 且BF?平面BCC1B1，∴CD⊥BF. 又∵BF⊥B1C，CD∩B1C＝C， ∴BF⊥平面B1CD.(8分) 又∵GF綊CD，BE綊CD， ∴GF綊BE，∴四邊形BFGE是平行四邊形， ∴BF∥GE，∴GE⊥平面B1CD. ∵GE?平面EB1D， ∴平面EB1D⊥B1CD.(10分) (3)解　連接EF. ∵CD⊥B1C，GF∥CD，∴GF⊥B1C. 又∵GE⊥平面B1CD，∴GE⊥B1C. 又∵GE∩GF＝G，∴B1C⊥平面GEF，∴EF⊥B1C， ∴∠EFG是二面角E－B1C－D的平面角．(12分) 設(shè)正方體的棱長為a，則在△EFG中， GF＝a，EF＝a，GE⊥GF，∴cos∠EFG＝＝， ∴二面角E－B1C－D的余弦值為.(14分) 12