《高數(shù)教學(xué)課件第三節(jié)高階導(dǎo)數(shù)》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高數(shù)教學(xué)課件第三節(jié)高階導(dǎo)數(shù)（26頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、二、高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則二、高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則第三節(jié)一、高階導(dǎo)數(shù)的概念一、高階導(dǎo)數(shù)的概念機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 高階導(dǎo)數(shù) 第二章 一、高階導(dǎo)數(shù)的概念一、高階導(dǎo)數(shù)的概念)(tss 速度即sv加速度,ddtsv tvadd)dd(ddtst即)(sa引例引例：變速直線運(yùn)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 定義定義1 若函數(shù))(xfy 的導(dǎo)數(shù))(xfy可導(dǎo),或,dd22xy即)(yy或)dd(dddd22xyxxy類似地,二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為三階導(dǎo)數(shù),1n階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為 n 階導(dǎo)數(shù),y ,)4(y)(,ny或,dd33xy,dd44xynnxydd,)(xf的二階導(dǎo)數(shù)二階導(dǎo)數(shù),記作y)(
2、xf 的導(dǎo)數(shù)為依次類推,分別記作則稱機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 精確定義精確定義:設(shè)函數(shù) y=f(x)在點(diǎn)x的某個(gè)鄰域內(nèi)可導(dǎo),如果極限xxfxxfx)()(lim0存在,則稱這個(gè)極限值為函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x處的二階導(dǎo)數(shù).機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 設(shè).,e2yxyx 求解解:)e(2xxyxxe)(2xxxye)2(2)e)(2(2xxxxx e)22()e(2xx例例45.xxxe)2(2.)42(e2xxx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 xxe2xx e2xxx)e2(2設(shè).),1ln(2yxy 求解解:)1ln(2xy211x)12(2 xxy2222)1()1(2
3、)1()2(xxxxx222)1(22)1(2xxxx)1(2x例例46.)1()1(2222xx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,122xx設(shè).)(,)(),()()(2afxxaxxf 求連續(xù)且解解:所以因?yàn)?0)(afaxafxfafax)()(lim)()(afaxxaxax)()(lim2例例47.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束)()(limxaxax,0axafxfax)()(limaxxaxxaxax)()()()(2lim2)()()(2limxaxxax.)(2a設(shè),2210nnxaxaxaay求.)(ny解解:1ayxa221nnxan 212ayxa3232)1(n
4、nxann依次類推,nnany!)(233xa例例48.思考思考:設(shè),)(為任意常數(shù)xy?)(nynnxnx)1()2)(1()()(問(wèn)可得機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 1)1(nx,3xaeay 例例49.設(shè)求解解:特別有:解解:!n思考思考:,xaey.)(ny,xaeay,2xaeay xanneay)(xnxee)()(例例50.設(shè),11xy求.)(ny,)1(12xy,)1(123xy,)1(321)1(43xy )(ny1)1(n,11xy)(ny2)1(1xy1)1(!nxn3)1(21xy,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 nx)1(解解:!)1(n規(guī)定 0!=1思考思
5、考:例例51.設(shè),)1(lnxy求.)(ny,11xy,)1(12xy,)1(21)1(32xy )(ny1)1(n,)1(lnxy)(nyxy11 ynxn)1(!)1(2)1(1x,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例52 設(shè),sin xy 求.)(ny解解:xycos)sin(2x)cos(2 xy)sin(22x)2sin(2x)2cos(2 xy)3sin(2x一般地,xxnsin()(sin)(類似可證:xxncos()(cos)()2n)2n機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 注意：例注意：例48、49、50、51、52可以當(dāng)做結(jié)論使用可以當(dāng)做結(jié)論使用.例例53 設(shè)bxeyx
6、asin解解:bxaeyxasin)cossin(xbbxbaexa求為常數(shù),),(ba.)(nybxbexacos)cossin(222222xbbabxbbaabacossinxae)sin(22bxba)arctan(ab22bay)sin(bxaexa222)()(nnbayxaeba22)arctan(ab)2sin(22bxba)sin(nbxexa)cos(bxbexa機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 練習(xí)練習(xí).設(shè),3)(23xxxxf求使)0()(nf存在的最高分析分析:)(xf0 x,43x0 x,23xxxfx02lim)0(300 xxfx04lim)0(3000 x0
7、 x)(xf,122x,62x)0(fxxx206lim0)0(fxxx2012lim0)(xf但是,12)0(f,24)0(f)0(f 不存在._n2又0 x,24x0 x,12x階數(shù)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 二、高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則二、高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則都有 n 階導(dǎo)數(shù),則)()(.1nvu)()(nnvu)()(.2nuC)(nuC(C為常數(shù))()(.3nvuvun)(!2)1(nn!)1()1(kknnn vun)2()()(kknvu)(nvu萊布尼茲萊布尼茲(Leibniz)公式公式)(xuu 及)(xvv 設(shè)函數(shù)vunn)1(推導(dǎo) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 vu 3)
8、(vuvuvu)(vu)(vuvuvuvu 2vu )(vuvu vu 3vu 用數(shù)學(xué)歸納法可證萊布尼茲公式萊布尼茲公式成立.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 xy1211)()1(!)1(2nnnxnyxxxy11123,)1(!1)(nxnynn例例54.,11)(nyxxy求設(shè)xxy13練習(xí)解解:解解:機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 321131xy)()(321131nnxy例例55.)0(,321)(nyxy求設(shè)解解:由例由例50及及n階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，可得階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，可得機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 311)321(!)1(31nnxn)(3211nx.)32(n
9、1)(3!2)1()0(nnnnny于是)1)(2(1xxy)()(1121nnxxy例例56.)0(,231)(2nyxxy求設(shè)解:因?yàn)闄C(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束)(21nx1)2(!)1(nnxn)(11nx)1(1)2(1xx1)1(!)1(nnxn.)1(1)2(1!)1(11nnnxxn故._)0(,3212007)(nyxy則設(shè)函數(shù)年)()()()(321131321131321nnnnxxxy解nnnxn)32()321(!)1(311.3!2)1()32(1!)1(31)0(1)(nnnnnnnny故例57 設(shè),22xexy 求.)20(y解解:設(shè),22xveux則xk
10、keu2)(2,2xv,2 v0)(kv代入萊布尼茲公式,得)20(yxe22022xxe219220 x2!219202xe2202)9520(2xxxe2182)20,2,1(k)20,3(k機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束.,cossin58)(66nyxxy求設(shè)例3232)(cos)(sinxxyxxxx4224coscossinsin222)cos(sinxx x2sin431283)(nyn433ba)(ba)(22babax4cos8385)4cos(2nx 22cos1sin2xx22cossin3解解:機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 0!2)1()1(nynn)(nyn
11、練習(xí)練習(xí) 設(shè),arctan xy 求).0()(ny解解:,112xy即1)1(2yx用萊布尼茲公式求 n 階導(dǎo)數(shù))1(2xx22令,0 x得)0()1()0()1()1(nnynny),2,1(n由,0)0(y得,0)0(y,0)0()4(y,)0()12(my)0()12(2)12(mymm)0(!)2()1(ymm0)0()2(my)1(ny12,!)2()1(2,0)0()(mnmmnymn即),2,1,0(m由,1)0(y得)0(!)2()1()0()12(ymymm機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)(1)逐階求導(dǎo)法(2)利用歸納法(3)間接法 利用已知的高階導(dǎo)數(shù)公
12、式(4)利用萊布尼茲公式高階導(dǎo)數(shù)的求法)(1nxa1)(!)1(nnxan)(1nxa1)(!nxan如,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 1)(!nxfn2.(填空題)(1)設(shè),cos)23()(1622xnxxxf則)2()(nf)(xf16cos)1(2xxn)()(xfn16cos)1(2xxn提示提示:各項(xiàng)均含因子(x 2)nx)2(!n22!n(2)已知)(xf任意階可導(dǎo),且2n時(shí))()(xfn提示提示:,)()(2xfxf則當(dāng))(xf)()(2xfxf3)(!2xf )(xf)()(3!22xfxf4)(!3xf機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 3.試從 yyx1dd導(dǎo)出.)(dd322yyyx 解：解：yxyyxdddddd22 y1xddyxdd2)(yy y13)(yy 同樣可求33ddyx第四節(jié) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 解解:設(shè))(sin2xfxy 求,y 其中 f 二階可導(dǎo).y yxxfxcos)(sin2)(sin2xf備用題備用題x2)(sin xf2x)(sin xf xcos)cos)(sin()(sin2(2xxfxxfx)sin)(sin2xxfxx2)(sin xf xcosxxfx22cos)(sin)(sin)sincos4()(sin22xfxxxxxf)(sincos22xfxx 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束
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