11、表明：在考慮行車安全的情況下，某路段車流量F（單位時間內(nèi)經(jīng)過測量點的車輛數(shù)，單位：輛/時）與車流速度v（假設(shè)車輛以相同速度v行駛，單位：米/秒）、平均車長l（單位：米）的值有關(guān)，其公式為F＝．
①如果不限定車型，l＝6．05，則最大車流量為________輛/時；
②如果限定車型，l＝5，則最大車流量比①中的最大車流量增加________輛/時．
（2）（2013·山東）設(shè)正實數(shù)x，y，z滿足x2－3xy＋4y2－z＝0，則當(dāng)取得最大值時，＋－的最大值為（ ）
A．0 B．1 C． D．3
思維啟迪?。?）把所給l值代入，分子分母同
12、除以v，構(gòu)造基本不等式的形式求最值；（2）關(guān)鍵是尋找取得最大值時的條件．
答案?。?）①1 900 ②100?。?）B
解析 （1）①當(dāng)l＝6．05時，F(xiàn)＝
＝≤＝＝1 900．
當(dāng)且僅當(dāng)v＝11 米/秒時等號成立，此時車流量最大為1 900輛/時．
②當(dāng)l＝5時，F(xiàn)＝＝≤＝＝2 000．
當(dāng)且僅當(dāng)v＝10 米/秒時等號成立，此時車流量最大為2 000 輛/時．比①中的最大車流量增加100 輛/時．
（2）由已知得z＝x2－3xy＋4y2，（*）
則＝＝≤1，當(dāng)且僅當(dāng)x＝2y時取等號，把x＝2y代入（*）式，得z＝2y2，
所以＋－＝＋－＝－2＋1≤1，
所以當(dāng)y＝1時，＋
13、－的最大值為1．
思維升華 在利用基本不等式求最值時，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”（即條件要求中字母為正數(shù)）、“定”（不等式的另一邊必須為定值）、“等”（等號取得的條件）的條件才能應(yīng)用，否則會出現(xiàn)錯誤．
?。?）若點A（m，n）在第一象限，且在直線＋＝1上，則mn的最大值為________．
（2）已知關(guān)于x的不等式2x＋≥7在x∈（a，＋∞）上恒成立，則實數(shù)a的最小值為（ ?。?
A．1 B． C．2 D．
答案?。?）3 （2）B
解析?。?）因為點A（m，n）在第一象限，且在直線＋＝1上，所以m，n>0，且＋＝1．
14、所以·≤（）2（當(dāng)且僅當(dāng)＝＝，即m＝，n＝2時，取等號）．所以·≤，即mn≤3，
所以mn的最大值為3．
（2）2x＋＝2（x－a）＋＋2a
≥2·＋2a＝4＋2a，
由題意可知4＋2a≥7，得a≥，
即實數(shù)a的最小值為，故選B．
熱點三 簡單的線性規(guī)劃問題
例3?。?013·湖北）某旅行社租用A、B兩種型號的客車安排900名客人旅行，A、B兩種車輛的載客量分別為36人和60人，租金分別為1 600元/輛和2 400元/輛，旅行社要求租車總數(shù)不超過21輛，且B型車不多于A型車7輛．則租金最少為（ ?。?
A．31 200元 B．36 000元 C．36
15、 800元 D．38 400元
思維啟迪 通過設(shè)變量將實際問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題．
答案 C
解析 設(shè)租A型車x輛，B型車y輛時租金為z元，
則z＝1 600x＋2 400y, x、y滿足
畫出可行域如圖
直線y＝－x＋過點A（5,12）時縱截距最小，
所以zmin＝5×1 600＋2 400×12＝36 800，
故租金最少為36 800元．
思維升華?。?）線性規(guī)劃問題一般有三種題型：一是求最值；二是求區(qū)域面積；三是確定目標(biāo)函數(shù)中的字母系數(shù)的取值范圍．（2）解決線性規(guī)劃問題首先要找到可行域，再注意目標(biāo)函數(shù)所表示的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合找到目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解．（3
16、）對于應(yīng)用問題，要準(zhǔn)確地設(shè)出變量，確定可行域和目標(biāo)函數(shù)．
?。?）已知實數(shù)x，y滿足約束條件，則w＝的最小值是（ ?。?
A．－2 B．2 C．－1 D．1
（2）（2013·北京）設(shè)關(guān)于x、y的不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)存在點P（x0，y0），滿足x0－2y0＝2，求得m的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
答案?。?）D?。?）C
解析?。?）畫出可行域，如圖所示．
w＝表示可行域內(nèi)的點（x，y）與定點P（0，－1）連線的斜率，觀察圖形可知PA的斜率最小為＝1，故選D．
（2）當(dāng)m≥0時，若平面區(qū)域存
17、在，則平面區(qū)域內(nèi)的點在第二象限，平面區(qū)域內(nèi)不可能存在點P（x0，y0）滿足x0－2y0＝2，因此m<0．
如圖所示的陰影部分為不等式組表示的平面區(qū)域．
要使可行域內(nèi)包含y＝x－1上的點，只需可行域邊界點
（－m，m）在直線y＝x－1的下方即可，即m<－m－1，解得m<－．
1．幾類不等式的解法
一元二次不等式解集的端點值是相應(yīng)一元二次方程的根，也是相應(yīng)的二次函數(shù)圖象與x軸交點的橫坐標(biāo)，即二次函數(shù)的零點；分式不等式可轉(zhuǎn)化為整式不等式（組）來解；以函數(shù)為背景的不等式可利用函數(shù)的單調(diào)性進行轉(zhuǎn)化．
2．基本不等式的作用
二元基本不等式具
18、有將“積式”轉(zhuǎn)化為“和式”或?qū)ⅰ昂褪健鞭D(zhuǎn)化為“積式”的放縮功能，常常用于比較數(shù)（式）的大小或證明不等式或求函數(shù)的最值或解決不等式恒成立問題．解決問題的關(guān)鍵是弄清分式代數(shù)式、函數(shù)解析式、不等式的結(jié)構(gòu)特點，選擇好利用基本不等式的切入點，并創(chuàng)造基本不等式的應(yīng)用背景，如通過“代換”、“拆項”、“湊項”等技巧，改變原式的結(jié)構(gòu)使其具備基本不等式的應(yīng)用條件．利用基本不等式求最值時要注意“一正、二定、三相等”的條件，三個條件缺一不可．
3．線性規(guī)劃問題的基本步驟
（1）定域——畫出不等式（組）所表示的平面區(qū)域，注意平面區(qū)域的邊界與不等式中的不等號的對應(yīng)；
（2）平移——畫出目標(biāo)函數(shù)等于0時所表示的直線l
19、，平行移動直線，讓其與平面區(qū)域有公共點，根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義確定最優(yōu)解，注意要熟練把握最常見的幾類目標(biāo)函數(shù)的幾何意義；
（3）求值——利用直線方程構(gòu)成的方程組求解最優(yōu)解的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)，求出最值．
真題感悟
1．（2014·山東）已知實數(shù)x，y滿足ax B．ln（x2＋1）>ln（y2＋1）
C．sin x>sin y D．x3>y3
答案 D
解析 因為0y．采用賦值法判斷，A中，當(dāng)x＝1，y＝0時，<1，A不成
20、立．B中，當(dāng)x＝0，y＝－1時，ln 10，數(shù)形結(jié)合知，滿足即可，解得1≤a≤．所以a的取值范圍是1≤a≤．
押題精練
1．為了迎接2014年3月8日的到來，某商場舉行了促銷活動，經(jīng)測算某產(chǎn)品的銷售量P萬件（生產(chǎn)量
21、與銷售量相等）與促銷費用x萬元滿足P＝3－，已知生產(chǎn)該產(chǎn)品還需投入成本（10＋2P）萬元（不含促銷費用），產(chǎn)品的銷售價格定為（4＋）萬元/萬件．則促銷費用投入
萬元時，廠家的利潤最大？（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．3
答案 A
解析 設(shè)該產(chǎn)品的利潤為y萬元，由題意知，該產(chǎn)品售價為2×（）萬元，所以y＝2×（）×P－10－2P－x＝16－－x（x>0），所以y＝17－（＋x＋1）≤17－2＝13（當(dāng)且僅當(dāng)＝x＋1，即x＝1時取等號），所以促銷費用投入1萬元時，廠家的利潤最大，故選A．
2．若點P（x，y）
22、滿足線性約束條件點A（3，），O為坐標(biāo)原點，則·的最大值為________．
答案 6
解析 由題意，知＝（3，），設(shè)＝（x，y），則·＝3x＋y．
令z＝3x＋y，
如圖畫出不等式組所表示的可行域，
可知當(dāng)直線y＝－x＋z經(jīng)過點B時，z取得最大值．
由解得即B（1，），故z的最大值為3×1＋×＝6．
即·的最大值為6．
一、選擇題
1．（2014·四川）若a>b>0，c B．< C．> D．<
答案 D
解析 令a＝3，b＝2，c＝－3，d＝－2，
則＝－1，＝－1，
所以A，
23、B錯誤；
＝－，＝－，
所以<，
所以C錯誤．故選D．
2．下列不等式一定成立的是（ ?。?
A．lg>lg x（x>0） B．sin x＋≥2（x≠kπ，k∈Z）
C．x2＋1≥2|x|（x∈R） D．>1（x∈R）
答案 C
解析 應(yīng)用基本不等式：x，y>0，≥（當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時取等號）逐個分析，注意基本不等式的應(yīng)用條件及取等號的條件．
當(dāng)x>0時，x2＋≥2·x·＝x，
所以lg≥lg x（x>0），故選項A不正確；
運用基本不等式時需保證一正二定三相等，
而當(dāng)x≠kπ，k∈Z時，sin x的正負(fù)不定，故選項B不正確；
由基本不等式
24、可知，選項C正確；
當(dāng)x＝0時，有＝1，故選項D不正確．
3．（2013·重慶）關(guān)于x的不等式x2－2ax－8a2<0（a>0）的解集為（x1，x2），且x2－x1＝15，則a等于（ ）
A． B． C． D．
答案 A
解析 由x2－2ax－8a2<0，得（x＋2a）（x－4a）<0，因a>0，所以不等式的解集為（－2a,4a），即x2＝4a，x1＝－2a，由x2－x1＝15，得4a－（－2a）＝15，解得a＝．
4．（2014·重慶）若log4（3a＋4b）＝log2，則a＋b的最小值是（ ）
A．6＋2
25、 B．7＋2 C．6＋4 D．7＋4
答案 D
解析 由題意得所以
又log4（3a＋4b）＝log2，
所以log4（3a＋4b）＝log4ab，
所以3a＋4b＝ab，故＋＝1．
所以a＋b＝（a＋b）（＋）＝7＋＋
≥7＋2＝7＋4，
當(dāng)且僅當(dāng)＝時取等號．故選D．
5．已知變量x，y滿足約束條件，則z＝x＋2y－1的最大值為（ ?。?
A．9 B．8 C．7 D．6
答案 B
解析 約束條件所表示的區(qū)域如圖，
由圖可知，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過A（1,4）時取得最大值，故z＝x
26、＋2y－1的最大值為1＋2×4－1＝8．
二、填空題
6．已知f（x）是R上的減函數(shù)，A（3，－1），B（0,1）是其圖象上兩點，則不等式|f（1＋ln x）|<1的解集是________．
答案 （，e2）
解析 ∵|f（1＋ln x）|<1，
∴－1
27、3y過點A（a，a）時，z＝2x＋3y取得最大值5，所以5＝2a＋3a，解得a＝1．
8．若點A（1,1）在直線2mx＋ny－2＝0上，其中mn>0，則＋的最小值為________．
答案?。?
解析 ∵點A（1,1）在直線2mx＋ny－2＝0上，
∴2m＋n＝2，
∵＋＝（＋）＝（2＋＋＋1）
≥（3＋2）＝＋，
當(dāng)且僅當(dāng)＝，即n＝m時取等號，
∴＋的最小值為＋．
三、解答題
9．設(shè)集合A為函數(shù)y＝ln（－x2－2x＋8）的定義域，集合B為函數(shù)y＝x＋的值域，集合C為不等式（ax－）（x＋4）≤0的解集．
（1）求A∩B；
（2）若C??RA，求a的取值范圍．
解
28、?。?）由－x2－2x＋8>0得－40，即x>－1時y≥2－1＝1，
此時x＝0，符合要求；
當(dāng)x＋1<0，即x<－1時，y≤－2－1＝－3，
此時x＝－2，符合要求．
所以B＝（－∞，－3]∪[1，＋∞），
所以A∩B＝（－4，－3]∪[1,2）．
（2）（ax－）（x＋4）＝0有兩根x＝－4或x＝．
當(dāng)a>0時，C＝{x|－4≤x≤}，不可能C??RA；
當(dāng)a<0時，C＝{x|x≤－4或x≥}，
若C??RA，則≥2，∴a2≤，
∴－≤a<0．故a的取值范圍為[－，0）．
10．已知函數(shù)f
29、（x）＝ax3－bx2＋（2－b）x＋1在x＝x1處取得極大值，在x＝x2處取得極小值，且00；
（2）若z＝a＋2b，求z的取值范圍．
（1）證明 求函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)
f′（x）＝ax2－2bx＋2－b．
由函數(shù)f（x）在x＝x1處取得極大值，
在x＝x2處取得極小值，
知x1、x2是f′（x）＝0的兩個根，
所以f′（x）＝a（x－x1）（x－x2）．
當(dāng)x0，
由x－x1<0，x－x2<0得a>0．
（2）解 在題設(shè)下，0
30、域為平面aOb上的三條直線：
2－b＝0，a－3b＋2＝0,4a－5b＋2＝0所圍成的△ABC的內(nèi)部，其三個頂點分別為
A，B（2,2），C（4,2）．
z在這三點的值依次為，6,8．
所以z的取值范圍為（，8）．
11．某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每日的成本C（單位：萬元）與日產(chǎn)量x（單位：噸）滿足函數(shù)關(guān)系式C＝3＋x，每日的銷售額S（單位：萬元）與日產(chǎn)量x的函數(shù)關(guān)系式S＝已知每日的利潤L＝S－C，且當(dāng)x＝2時，L＝3．
（1）求k的值；
（2）當(dāng)日產(chǎn)量為多少噸時，每日的利潤可以達到最大，并求出最大值．
解 （1）由題意可得L＝
因為當(dāng)x＝2時，L＝3，所以3＝2×2＋＋2，
解
31、得k＝18．
（2）當(dāng)0b>0，c B．< C．> D．
32、<
2．下列不等式一定成立的是 （ ?。?
A．lg>lg x（x>0） B．sin x＋≥2（x≠kπ，k∈Z）
C．x2＋1≥2|x|（x∈R） D．>1（x∈R）
3．關(guān)于x的不等式x2－2ax－8a2<0（a>0）的解集為（x1，x2），且x2－x1＝15，則a等于（ ）
A． B． C． D．
4．若log4（3a＋4b）＝log2，則a＋b的最小值是 （ ?。?
A．6＋2 B．7＋2 C．6＋4
33、 D．7＋4
5．已知變量x，y滿足約束條件，則z＝x＋2y－1的最大值為 （ ?。?
A．9 B．8 C．7 D．6
6．已知f（x）是R上的減函數(shù)，A（3，－1），B（0,1）是其圖象上兩點，則不等式|f（1＋ln x）|<1的解集是________．
7．若x，y滿足條件且z＝2x＋3y的最大值是5，則實數(shù)a的值為________．
8．若點A（1,1）在直線2mx＋ny－2＝0上，其中mn>0，則＋的最小值為________．
解答題
9．設(shè)集合A為函數(shù)y＝ln（－x2－2x＋8）的定義域，集合B為函數(shù)y＝x＋的
34、值域，集合C為不等式（ax－）（x＋4）≤0的解集．
（1）求A∩B；
（2）若C??RA，求a的取值范圍．
10．已知函數(shù)f（x）＝ax3－bx2＋（2－b）x＋1在x＝x1處取得極大值，在x＝x2處取得極小值，且00；
（2）若z＝a＋2b，求z的取值范圍．
11．某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每日的成本C（單位：萬元）與日產(chǎn)量x（單位：噸）滿足函數(shù)關(guān)系式C＝3＋x，每日的銷售額S（單位：萬元）與日產(chǎn)量x的函數(shù)關(guān)系式S＝已知每日的利潤L＝S－C，且當(dāng)x＝2時，L＝3．
（1）求k的值；
（2）當(dāng)日產(chǎn)量為多少噸時，每日的利潤可以達到最大，并求出最大值．
專題一 第2講不等式與線性規(guī)劃
