【步步高】屆高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 幾何概型學(xué)案 理 新人教A版

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1、 學(xué)案62　幾何概型 導(dǎo)學(xué)目標(biāo)： 1.了解隨機數(shù)的意義，能運用模擬方法估計概率.2.了解幾何概型的意義． 自主梳理 1．幾何概型 如果每個事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度(面積或體積)成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡稱為幾何概型． 2．在幾何概型中，事件A的概率計算公式 P(A)＝____________________________________________________________________. 求試驗中幾何概型的概率，關(guān)鍵是求得事件所占區(qū)域和整個區(qū)域Ω的幾何度量，然后代入公式即可求解． 3．要切實理解并掌握幾何概型試驗的兩個基

2、本特點： (1)無限性：在一次試驗中，可能出現(xiàn)的結(jié)果有無限多個； (2)等可能性：每個結(jié)果的發(fā)生具有等可能性． 4．古典概型與幾何概型的區(qū)別 (1)相同點：基本事件發(fā)生的可能性都是________； (2)不同點：古典概型的基本事件是有限個，是可數(shù)的；幾何概型的基本事件是________，是不可數(shù)的． 自我檢測 1．(2011·南陽調(diào)研)在長為12 cm的線段AB上任取一點M，并且以線段AM為邊作正方形，則這個正方形的面積介于36 cm2與81 cm2之間的概率為(　　) A. B. C. D. 2．(2011·福建)如圖，矩形ABCD中，點E為邊C

3、D的中點，若在矩形ABCD內(nèi)部隨機取一個點Q，則點Q取自△ABE內(nèi)部的概率等于(　　) A. B. C. D. 3. 如圖所示，A是圓上一定點，在圓上其他位置任取一點A′，連接AA′，得到一條弦，則此弦的長度小于或等于半徑長度的概率為(　　) A. B. C. D. 4．(2010·湖南)在區(qū)間[－1,2]上隨機取一個數(shù)x，則|x|≤1的概率為________． 5．(2011·江西)小波通過做游戲的方式來確定周末活動，他隨機地往單位圓內(nèi)投擲一點，若此點到圓心的距離大于，則周末去看電影；若此點到圓心的距離小于，則去打籃球；否則，在家看書．

4、則小波周末不在家看書的概率為________． 探究點一　與長度有關(guān)的幾何概型 例1　國家安全機關(guān)監(jiān)聽錄音機記錄了兩個間諜的談話，發(fā)現(xiàn)30 min長的磁帶上，從開始30 s處起，有10 s長的一段內(nèi)容包含兩間諜犯罪的信息．后來發(fā)現(xiàn)，這段談話的一部分被某工作人員擦掉了，該工作人員聲稱他完全是無意中按錯了鍵，使從此處起往后的所有內(nèi)容都被擦掉了．那么由于按錯了鍵使含有犯罪的內(nèi)容的談話被部分或全部擦掉的概率有多大？ 變式遷移1　在半徑為1的圓的一條直徑上任取一點，過這個點作垂直于直徑的弦，則弦長超過圓內(nèi)接等邊三角形邊長的概率是________． 探究點二　與角度有關(guān)

5、的幾何概型 例2　(2011·承德模擬)如圖所示，在等腰Rt△ABC中，過直角頂點C在∠ACB內(nèi)部作一條射線CM，與線段AB交于點M，求AM

6、 變式遷移3　甲、乙兩艘輪船駛向一個不能同時停泊兩艘輪船的碼頭，它們在一晝夜內(nèi)任何時刻到達是等可能的．如果甲船和乙船的停泊時間都是4小時，求它們中的任何一條船不需要等待碼頭空出的概率． 分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用 例　(12分)已知函數(shù)f(x)＝x2－2ax＋b2，a，b∈R. (1)若a從集合{0,1,2,3}中任取一個元素，b從集合{0,1,2}中任取一個元素，求方程f(x)＝0有兩個不相等實根的概率； (2)若a從區(qū)間[0,2]中任取一個數(shù)，b從區(qū)間[0,3]中任取一個數(shù)，求方程f(x)＝0沒有實根的概率．

7、 多角度審題　本題第(1)問是古典概型問題，第(2)問是幾何概型問題，解決此問題的關(guān)鍵是將已知的兩個條件轉(zhuǎn)化為線性約束條件，從而轉(zhuǎn)化成平面區(qū)域中的面積型幾何概型問題． 【答題模板】 解　(1)∵a取集合{0,1,2,3}中任一個元素，b取集合{0,1,2}中任一個元素， ∴a，b的取值的情況有(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，其中第一個數(shù)表示a的取值，第二個數(shù)表示b的取值，即基本事件總數(shù)為12.[3分] 設(shè)“方程f(x)＝0有兩個不相等的實根”為事件A， 當(dāng)a≥0，b≥0時

8、，方程f(x)＝0有兩個不相等實根的充要條件為a>b. 當(dāng)a>b時，a，b取值的情況有(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，即A包含的基本事件數(shù)為6，∴方程f(x)＝0有兩個不相等實根的概率為P(A)＝＝.[6分] (2)∵a從區(qū)間[0,2]中任取一個數(shù)，b從區(qū)間[0,3]中任取一個數(shù)，則試驗的全部結(jié)果構(gòu)成區(qū)域Ω＝{(a，b)|0≤a≤2,0≤b≤3}，這是一個 矩形區(qū)域， 其面積SΩ＝2×3＝6.[8分] 設(shè)“方程f(x)＝0沒有實根”為事件B，則事件B所構(gòu)成的區(qū)域為M＝{(a，b)|0≤a≤2,0≤b≤3，a

9、其面積SM＝6－×2×2＝4.[10分] 由幾何概型的概率計算公式可得方程f(x)＝0沒有實根的概率為P(B)＝＝＝.[12分] 【突破思維障礙】 1．古典概型和幾何概型的區(qū)別在于試驗的全部結(jié)果是否有限，因此到底選用哪一種模型，關(guān)鍵是對試驗的確認和分析． 2．用幾何概型求解的概率問題和古典概型的思路是相同的，同屬于“比例解法”． 【易錯點剖析】 1．計算古典概型的概率時，列舉基本事件應(yīng)不重不漏． 2．計算幾何概型的概率時，區(qū)域的幾何度量要準(zhǔn)確無誤． 1．幾何概型：若一個試驗具有兩個特征：①每次試驗的結(jié)果是無限多個，且全體結(jié)果可用一個有度量的幾何區(qū)域來表示；②每次試驗的各種結(jié)

10、果是等可能的．那么這樣的試驗稱為幾何概型． 2．由概率的幾何定義可知，在幾何概型中，“等可能”一詞應(yīng)理解為對應(yīng)于每個試驗結(jié)果的點落入某區(qū)域內(nèi)的可能性大小僅與該區(qū)域的幾何度量成正比，而與該區(qū)域的位置與形狀無關(guān)． 3．幾何概型的概率公式：設(shè)幾何概型的基本事件空間可表示成可度量的區(qū)域Ω，事件A所對應(yīng)的區(qū)域用A表示(A?Ω)，則P(A)＝. (滿分：75分) 一、選擇題(每小題5分，共25分) 1．(2009·遼寧)ABCD為長方形，AB＝2，BC＝1，O為AB的中點，在長方形ABCD內(nèi)隨機取一點，取到的點到O的距離大于1的概率為(　　) A. B．1－ C. D

11、．1－ 2．(2011·天津和平區(qū)模擬)在面積為S的△ABC的邊AB上任取一點P，則△PBC的面積大于的概率是(　　) A. B. C. D. 3．(2010·青島模擬) 如右圖，在一個長為π，寬為2的矩形OABC內(nèi)，曲線y＝sin x(0≤x≤π)與x軸圍成如圖所示的陰影部分，向矩形OABC內(nèi)隨機投一點(該點落在矩形OABC內(nèi)任何一點是等可能的)，則所投的點落在陰影部分的概率是(　　) A. B. C. D. 4．已知函數(shù)f(x)＝x2＋bx＋c，其中0≤b≤4,0≤c≤4.記函數(shù)f(x)滿足的事件為A，則事件A的概率為(　　) A.

12、 B. C. D. 5．(2011·濱州模擬)在區(qū)域內(nèi)任取一點P，則點P落在單位圓x2＋y2＝1內(nèi)的概率為(　　) A. B. C. D. 二、填空題(每小題4分，共12分) 6．(2010·陜西) 從如圖所示的長方形區(qū)域內(nèi)任取一個點M(x，y)，則點M落在陰影部分的概率為________． 7．如圖所示，半徑為10 cm的圓形紙板內(nèi)有一個相同圓心的半徑為1 cm的小圓．現(xiàn)將半徑為1 cm的一枚硬幣拋到此紙板上，使硬幣整體隨機落在紙板內(nèi)，則硬幣落下后與小圓無公共點的概率為________． 8．(2011·濟南模擬)在可行域內(nèi)任取一點，規(guī)則

13、如程序框圖所示，則能輸出數(shù)對(x，y)的概率是________． 三、解答題(共38分) 9．(12分) 已知等腰Rt△ABC中，∠C＝90°. (1)在線段BC上任取一點M，求使∠CAM<30°的概率； (2)在∠CAB內(nèi)任作射線AM，求使∠CAM<30°的概率． 10．(12分)甲、乙兩艘輪船都要停靠在同一個泊位，它們可能在一晝夜的任意時刻到達．設(shè)甲乙兩艘輪船?？坎次坏臅r間分別是4小時和6小時，求有一艘輪船?？坎次粫r必須等待一段時間的概率． 11．(14分)已知函數(shù)f(x)

14、＝－x2＋ax－b. (1)若a，b都是從0,1,2,3,4五個數(shù)中任取的一個數(shù)，求上述函數(shù)有零點的概率； (2)若a，b都是從區(qū)間[0,4]任取的一個數(shù)，求f(1)>0成立時的概率． 學(xué)案62　幾何概型 自主梳理 2. 4．(1)相等的　(2)無限個 自我檢測 1．A　[∵AM 2∈[36,81]，∴AM∈[6,9]， ∴P＝＝＝.] 2．C　[這是一道幾何概型的概率問題，點Q取自△ABE內(nèi)部的概率為＝＝. 故選C.] 3．C　[當(dāng)∠A′OA＝時，AA′＝OA，∴P＝＝.] 4. 解析　由|x|≤1，得－1≤

15、x≤1.由幾何概型的概率求法知，所求的概率P＝＝. 5. 解析　∵去看電影的概率P1＝＝， 去打籃球的概率P2＝＝， ∴不在家看書的概率為P＝＋＝. 課堂活動區(qū) 例1　解題導(dǎo)引　解決概率問題先判斷概型，本題屬于幾何概型，滿足兩個條件：基本事件的無限性和每個基本事件發(fā)生的等可能性，需要抓住它的本質(zhì)特征，即與長度有關(guān)． 解　包含兩個間諜談話錄音的部分在30 s和40 s之間，當(dāng)按錯鍵的時刻在這段時間之內(nèi)時，部分被擦掉，當(dāng)按錯鍵的時刻在0到30 s之間時全部被擦掉，即在0到40 s之間，即0到 min之間的時間段內(nèi)按錯鍵時含有犯罪內(nèi)容的談話被部分或全部擦掉，而0到30 min之間的時間

16、段內(nèi)任一時刻按錯鍵的可能性是相等的，所以按錯鍵使含有犯罪內(nèi)容的談話被部分或全部擦掉的概率只與從開始到談話內(nèi)容結(jié)束的時間段長度有關(guān)，符合幾何概型的條件． 記A＝{按錯鍵使含有犯罪內(nèi)容的談話被部分或全部擦掉}，A的發(fā)生就是在0到 min時間段內(nèi)按錯鍵． P(A)＝＝. 變式遷移1　 解析　 記“弦長超過圓內(nèi)接等邊三角形的邊長”為事件A，如圖所示，不妨在過等邊三角形BCD的頂點B的直徑BE上任取一點F作垂直于直徑的弦，當(dāng)弦為CD時，就是等邊三角形的邊長，弦長大于CD的充要條件是圓心O到弦的距離小于OF，由幾何概型的概率公式得 P(A)＝＝. 例2　解題導(dǎo)引　如果試驗的結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)

17、域的幾何度量可用角度來表示，則其概率公式為 P(A)＝. 解　在AB上取AC′＝AC，連接CC′，則 ∠ACC′＝＝67.5°. 設(shè)A＝{在∠ACB內(nèi)部作出一條射線CM，與線段AB交于點M，AM

18、題的具體情況，合理設(shè)置參數(shù)，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，在此基礎(chǔ)上將試驗的每一個結(jié)果一一對應(yīng)于該坐標(biāo)系的一點，便可構(gòu)造出度量區(qū)域． 解　設(shè)兩人分別于x時和y時到達約見地點，要使兩人能在約定的時間范圍內(nèi)相見．當(dāng)且僅當(dāng)|x－y|≤. 兩人在約定時間內(nèi)到達約見地點的所有可能結(jié)果可用圖中的單位正方形內(nèi)(包括邊界)的點來表示，兩人在約定時間內(nèi)相見的所有可能結(jié)果可用圖中的陰影部分(包括邊界)的點來表示．因此陰影部分與單位正方形的面積比就反映了兩人在約定時間范圍內(nèi)相遇的可能性的大小，也就是所求的概率， 即P＝＝＝. 變式遷移3　解　設(shè)甲、乙兩船到達時間分別為x、y， 則0≤x≤24,0≤y≤24且y－x

19、≥4或y－x≤－4. 作出區(qū)域 設(shè)“兩船無需等待碼頭空出”為事件A， 則P(A)＝ ＝＝. 課后練習(xí)區(qū) 1．B　[當(dāng)以O(shè)為圓心，1為半徑作圓，則圓與長方形的公共區(qū)域內(nèi)的點滿足到點O的距離小于或等于1，故所求事件的概率為P(A)＝＝＝1－.] 2．C　[由于△ABC、△PBC有公共底邊BC，所以只需P位于線段BA靠近B的四分之一分點E與A之間，即構(gòu)成一個幾何概型， ∴所求的概率為＝.] 3．A　[S矩形OABC＝2π，S陰影＝sin xdx＝2， 由幾何概型概率公式得P＝＝.] 4．A　[ 滿足0≤b≤4,0≤c≤4的區(qū)域的面積為4×4＝16， 由， 得，其表

20、示的區(qū)域如圖中陰影部分所示，其面積為×(2＋4)×2＋×2×4＝10，故事件A的概率為＝.] 5．D　[ 區(qū)域為△ABC內(nèi)部(含邊界)，則概率為 P＝＝＝.] 6. 解析　陰影部分的面積為S＝?3x2dx＝x3|＝1，所以點M落在陰影區(qū)域的概率為. 7. 解析　由題意知，硬幣的中心應(yīng)落在距圓心2～9 cm的圓環(huán)上， 圓環(huán)的面積為π×92－π×22＝77π， 故所求概率為＝. 8. 解析　根據(jù)題意易知輸出數(shù)對(x，y)的概率即為滿足x2＋y2≤的平面區(qū)域與不等式組所表示的平面區(qū)域面積的比，即P(A)＝＝. 9．解　(1)設(shè)CM＝x， 則0

21、 若∠CAM<30°，則0

22、＝214，(10分) ∴P(A)＝＝＝. 所以，甲、乙兩船有一艘?？坎次粫r必須等待一段時間的概率為.(12分) 11．解　(1)a，b都是從0,1,2,3,4五個數(shù)中任取的一個數(shù)的基本事件總數(shù)為N＝5×5＝25(個)．(2分) 函數(shù)有零點的條件為Δ＝a2－4b≥0，即a2≥4b. 因為事件“a2≥4b”包含(0,0)，(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，(4,0)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共12個．所以事件“a2≥4b”的概率為P＝.(7分) (2)∵a，b都是從區(qū)間[0,4]任取的一個數(shù)，f(1)＝－1＋a－b>0，∴a－b>1，此為幾何概型，所以事件“f(1)>0”的概率為P＝＝.(14分) 11