04-第四節(jié)萬有引力與天體運(yùn)動(dòng)

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1、4.4 萬有引力與天體運(yùn)動(dòng) 一、考點(diǎn)聚焦 12．萬有引力定律 Ⅱ 21．萬有引力定律的應(yīng)用．人造地球衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)（限于圓軌道） Ⅱ 22．宇宙速度 Ⅰ 二、知識(shí)掃描 1．萬有引力定律： （1）內(nèi)容：自然界中任何兩個(gè)物體都是相互吸引的，引力的大小跟這兩個(gè)物體的質(zhì)量的乘積成正比，跟它們的距離的平方成反比． （2）表達(dá)式： r為兩質(zhì)點(diǎn)或球心間的距離；G為萬有引力恒量（1798年由英國物理學(xué)家卡文迪許利用扭秤裝置測出） （3）適用條件：適用于兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)或均勻球體 2．萬有引力定律的應(yīng)用 （1）行星表面物體的重力：重力近似等于萬有引力 （2）重力加速度： 表面重力

2、加速度： 軌道上的重力加速度： 3．天體的運(yùn)動(dòng) （1）運(yùn)動(dòng)模型：天體運(yùn)動(dòng)可看成是勻速圓周運(yùn)動(dòng)——其引力全部提供向心力 （2）人造地球衛(wèi)星： ①由可得： r越大，v越小． ②由可得： r越大，ω越?。? ③由可得： r越大，T越大． ④由可得： r越大，a向越小． 4．宇宙速度 （1）第一宇宙速度：v=7.9km/s 可理解成：是發(fā)射衛(wèi)星進(jìn)入最低軌道所必須具有的最小速度．是衛(wèi)星進(jìn)入軌道正常運(yùn)轉(zhuǎn)的最大環(huán)繞速度，即所有衛(wèi)星的環(huán)繞速度均小于7.9km/s． （2）第二宇宙速度：v=11.2km/s （3）第三宇宙速度：v=16.7km/s 三、好題精析 例1．從地

3、球上發(fā)射的兩顆人造地球衛(wèi)星A和B，繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑之比為RA∶RB=4∶1，求它們的線速度大小之比． 下面是某同學(xué)的一種解法，請(qǐng)判斷其解法是否正確．若是正確的，請(qǐng)你作出評(píng)價(jià)；若是錯(cuò)誤的，請(qǐng)分析其出錯(cuò)的原因并給出正確的解答． 解：衛(wèi)星繞地球作勻速圓周運(yùn)動(dòng)所需的向心力F向=mg=m 設(shè)A，B兩顆衛(wèi)星的質(zhì)量分別為mA、mB，則 mAg=mA ⑴ mBg=mB ⑵ 由⑴、⑵得= ∴ [解析]這種解法不對(duì)． 錯(cuò)在沒有考慮重力加速度與高度有關(guān)．根據(jù)萬有引力定律知道： mAgA=G (1) mBgB=G ⑵ 由(1)/⑵得，

4、 ∴ gA=gB 可見，該同學(xué)把A、B兩衛(wèi)星的重力加速度gA，gB當(dāng)作相同的g來處理是不對(duì)的． 正確解答：衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，萬有引力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律有 G=mA ⑶ G=mB ⑷ 由⑶/⑷，得 = ∴ [點(diǎn)評(píng)]物體的重力和地球?qū)υ撐矬w的萬有引力可認(rèn)為相等，由此可計(jì)算出重力加速度的值，由結(jié)果可知，隨著物體位置的提高，重力加速度隨之減小，物體置于高度不同的位置，它的重力要發(fā)生變化． 例2．在天體運(yùn)動(dòng)中，將兩顆彼此距離較近的恒星稱為雙星．它們圍繞兩球連線上的某一點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)．由于兩星間的引力而使它們在運(yùn)動(dòng)中距離保持不變．已知兩星質(zhì)量分

5、別為M1和M2，相距L，求它們的角速度． M1 M2 O 圖4-4-1 解：如圖4-4-1所示，設(shè)M1的軌道半徑為r1，M2的軌道半徑為r2， 由于兩星繞O點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的角速度相同，都設(shè)為， 根據(jù)牛頓第二定律有： 而 以上三式聯(lián)立解得： 點(diǎn)評(píng)：雙星之間的萬有引力是一對(duì)相互作用力，分別提供各自做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，所以它們能在引力作用下不相互靠近而保持距離不變，且角速度相同；這類雙星模型在列方程時(shí)要注意：用萬有引力定律時(shí)兩顆星之間的距離與向心加速度中星球作勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑不等． 例3．某星球自轉(zhuǎn)的周期為T，在它的兩極處用彈簧秤稱得某物重為

6、W，在赤道上稱得該物重為W′，求該星球的平均密度r． [解析]在星球的兩極物體受星球的引力與彈簧的彈力作用，因該處的物體無圓運(yùn)動(dòng)，處于靜止?fàn)顟B(tài)，有 ① 又，代入?式后整理得 ② 在星球赤道處，物體受星球的引力與彈簧的彈力作用，物體隨星球自轉(zhuǎn)做圓運(yùn)動(dòng)，所以 ③ 整理后得： [點(diǎn)評(píng)]題目中彈簧秤稱得物重W與W￠，實(shí)質(zhì)上是彈簧秤的讀數(shù)，即彈簧的彈力，它不一定等于萬有引力，另外還要判斷出物體在兩極和赤道處的意義，才能想到用牛頓第二定律列方程，因此做題時(shí)正確地閱讀題目弄清它的物理含義對(duì)解題十分重要．

7、 例4．如圖4-4-2所示為宇宙中有一個(gè)恒星系的示意圖，A為該星系的一顆行星，它繞中央恒星O運(yùn)行軌道近似為圓，天文學(xué)家觀測得到A行星運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為R0，周期為T0． （1）中央恒星O的質(zhì)量是多大？ 圖4-4-2 A O （2）長期觀測發(fā)現(xiàn)，A行星實(shí)際運(yùn)動(dòng)的軌道與圓軌道總存在一些偏離，且周期性地每隔t0時(shí)間發(fā)生一次最大的偏離，天文學(xué)家認(rèn)為形成這種現(xiàn)象的原因可能是A行星外側(cè)還存在著一顆未知的行星B（假設(shè)其運(yùn)行軌道與A在同一平面內(nèi)，且與A的繞行方向相同），它對(duì)A行星的萬有引力引起A軌道的偏離．根據(jù)上述現(xiàn)象及假設(shè)，你能對(duì)未知行星B的運(yùn)動(dòng)得到哪些定量的預(yù)測． [解析]（1）設(shè)中央恒星質(zhì)量為

8、M，A行星質(zhì)量為m，則有 ① 解得： ② 圖4-4-3 A O （2）如圖4-4-3所示，由題意可知：A、B相距最近時(shí)，B對(duì)A的影響最大，且每隔t0時(shí)間相距最近．設(shè)B行星周期為TB，則有： ③ 解得： ④ 該B行星的質(zhì)量為m′，運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為RB，則有 ⑤ 由①、④、⑤可得： ⑥ [點(diǎn)評(píng)]本題的難點(diǎn)是運(yùn)動(dòng)模型的建立，A、B相距最近時(shí)，B對(duì)A的影響最大是一個(gè)重要的隱含條件，在時(shí)間t0內(nèi)A、B運(yùn)動(dòng)的物理量間的關(guān)系是列方程的一個(gè)重要依據(jù)，做這種題型時(shí)要注意認(rèn)真讀題，

9、挖掘出這些條件．本題中根據(jù)周期可求出角速度；根據(jù)B行星運(yùn)動(dòng)的半徑可求出B行星的線速度和向心加速度． 例5．某網(wǎng)站報(bào)道：最近南亞某國發(fā)射了一顆人造環(huán)月衛(wèi)星，衛(wèi)星的質(zhì)量為1000kg，環(huán)繞周期為1h…… 　　一位同學(xué)對(duì)新聞的真實(shí)性感到懷疑，他認(rèn)為，一是該國的航天技術(shù)與先進(jìn)國家相比還有差距，近期不可能發(fā)射出環(huán)月衛(wèi)星；再是該網(wǎng)站公布的數(shù)據(jù)似乎也有問題，他準(zhǔn)備用所學(xué)知識(shí)對(duì)該數(shù)據(jù)進(jìn)行驗(yàn)證． 　　他記不清引力恒量的數(shù)值且手邊沒有可查找的資料，但他記得月球半徑約為地球半徑的，地球半徑為6400km，月球表面重力加速度約為地球表面的，地球表面的重力加速度可取，他由上述這些數(shù)據(jù)經(jīng)過推導(dǎo)分析，進(jìn)一步認(rèn)定該

10、新聞不真實(shí)． 請(qǐng)你也根據(jù)上述數(shù)據(jù)，運(yùn)用物理學(xué)的知識(shí)，寫出推導(dǎo)判斷過程． [解析]設(shè)月球的質(zhì)量為M，半徑為r0，衛(wèi)星的質(zhì)量為m，環(huán)繞周期為T，半徑為r，有 =m2r　　　得　T=2π （1） 　　在月球表面，有G=m′g月　　得GM=g月r 　　代入（1）式，得T=2π?。?） 　　由（2）可知，衛(wèi)星軌道半徑r越小，周期T則越短，取r=r0，周期有最小值Tmin 　　 Tmin=2π　　（3） 　　據(jù)題意，r地=4r0，g地=6g月　　代入（3）式，得 　　Tmin=2π=2π　 ∴Tmin=2π=2×3.14×S=6000s=1.7h 由于環(huán)月衛(wèi)

11、星的周期至少要1.7h，遠(yuǎn)大于新聞中環(huán)月衛(wèi)星周期1h，所以新聞報(bào)道中數(shù)據(jù)有誤． [點(diǎn)評(píng)]本題牽涉到兩顆星球的兩顆衛(wèi)星，由題意，應(yīng)根據(jù)人造環(huán)月衛(wèi)星的周期判斷新聞是否真實(shí)．由于它們的運(yùn)動(dòng)模型相同，因而只要研究其中的一個(gè)列方程求出通式，再用比值法就很容易地求出人造環(huán)月衛(wèi)星的周期的特點(diǎn)，為判斷提供證據(jù)． 四、變式遷移 1．人造地球衛(wèi)星的軌道可以是這樣的（ ） A．與地球表面上某一緯度線（非赤道）是共面同心圓 B．與地球表面上某一經(jīng)度線所決定的圓是共面同心圓 C．與地球表面上的赤道線是共面同心圓，且衛(wèi)星相對(duì)地球表面是靜止的 D．與地球表面上的赤道線是共面同心圓，但衛(wèi)星相對(duì)地球表面

12、是運(yùn)動(dòng)的 m R M 圖4-4-4 2．如圖4-4-4所示，離質(zhì)量為M、半徑為R、密度均勻的球體表面R遠(yuǎn)處有一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)，此時(shí)M對(duì)m的萬有引力大小為F1，當(dāng)從M中挖去一半徑為r=R/2的球體時(shí)，剩下部分對(duì)m的萬有引力為F2，求F1與F2的比值．設(shè)想把物體放到地球的中心，則此物體此時(shí)與地球間的萬有引力是多少？ 五、能力突破 1．卡文迪許巧妙地利用扭秤裝置，第一次在實(shí)驗(yàn)室里測出了萬有引力恒量的數(shù)值，在他的實(shí)驗(yàn)裝置中，下列哪些措施是為了測量極小的引力而采取的？（ ） A．將測量力變?yōu)闇y量力矩 B．使固定小球的質(zhì)量盡可能大些 C．用鏡尺法顯示扭秤的偏

13、轉(zhuǎn)情況 D．把實(shí)驗(yàn)裝置放在恒溫箱內(nèi) 2．下列說法中正確的是（ ） A．因F=mω2r，所以人造地球衛(wèi)星軌道半徑增大到2倍時(shí)，向心力將增大到2倍 B．因F=mv2/r，所以人造地球衛(wèi)星軌道半徑增大到2倍時(shí)，向心力將減小到原來的1/2 C．因F=GMm/r2，所以人造地球衛(wèi)星軌道半徑增大到2倍時(shí)，向心力減小為原來的1/4 D．僅知道衛(wèi)星軌道半徑變化，無法確定向心力的變化 3．在研究宇宙發(fā)展演變的理論中，有一種學(xué)說叫做“宇宙膨脹說”，這種學(xué)說認(rèn)為萬有引力常量G在緩慢減?。鶕?jù)這一理論，在很久很久以前，太陽系中地球的公轉(zhuǎn)情況與現(xiàn)在相比（ ） A．公轉(zhuǎn)半徑R較大

14、B．公轉(zhuǎn)周期T較小 C．公轉(zhuǎn)速率v較大 D．公轉(zhuǎn)角速度ω較小 4．已知第一宇宙速度為7.90千米/秒，如果一顆人造衛(wèi)星距地面的高度為3倍的地球半徑，它的環(huán)繞速度是（ ） A．7.90km/s B．3.95 km/s C．1.98km/s D．由于衛(wèi)星質(zhì)量不知，所以不能確定 5．如果有一星球的密度跟地球的密度相同，又已知它表面的重力加速度是地球表面重力加速度的2倍，則該星球質(zhì)量與地球質(zhì)量之比是（ ） A． B．2 C．8 D． 6．利用下列哪組數(shù)據(jù)，可以計(jì)算出地球質(zhì)量（ ） A

15、．已知地球半徑和地面重力加速度 B．已知衛(wèi)星繞地球作勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑和周期 C．已知月球繞地球作勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期和月球質(zhì)量 D．已知同步衛(wèi)星離地面高度和地球自轉(zhuǎn)周期 7．地球的公轉(zhuǎn)周期和公轉(zhuǎn)軌道半徑分別為T和R；月球的公轉(zhuǎn)周期和公轉(zhuǎn)軌道半徑分別為t和r，則太陽質(zhì)量與地球質(zhì)量之比為（ ） A． B． C． D． 8．地球半徑R=6400km，地面上的重力加速度g=9.8m/s2，地核的體積約為整個(gè)地球體積的16%，地核的質(zhì)量約為地球質(zhì)量的34%．試估算地核的平均密度．(結(jié)果取兩位有效數(shù)字)． 9．兩顆衛(wèi)星在同一軌道平

16、面繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．地球半徑為R，a衛(wèi)星離地面的高度等于R，b衛(wèi)星離地面高度為3R．則 （1）a、b兩衛(wèi)星周期之比為Ta∶Tb是多少？ （2）若某時(shí)刻兩衛(wèi)星正好同時(shí)通過地面同一點(diǎn)的正上方，則a至少經(jīng)過多少個(gè)周期兩衛(wèi)星相距最遠(yuǎn)？ 10．2003年10月15日，我國成功發(fā)射了“神舟”五號(hào)載人宇宙飛船．火箭全長58．3m，起飛質(zhì)量為479.8t，剛起飛時(shí)，火箭豎直升空，航天員楊利偉有較強(qiáng)的超重感，儀器顯示他對(duì)座艙的最大壓力達(dá)到他體重的5倍．飛船進(jìn)入軌道后，21h內(nèi)環(huán)繞地球飛行了14圈，將飛船運(yùn)行的軌道簡化為圓形．求 ⑴點(diǎn)火發(fā)射時(shí)，火箭的最大推力．（g取10m/s2） ⑵飛船運(yùn)行軌道與同步衛(wèi)星的軌道半徑之比． 7