8、向以 4?cm/s 的速度向點(diǎn) A 勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn) E 從點(diǎn) A 出發(fā)沿 AB 方向以 2?cm/s 的速度向點(diǎn) B 勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn) D，E 運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是 t?s．過(guò)點(diǎn) D 作 DF⊥BC 于點(diǎn) F，連接 DE，EF．
(1) 求證：AE=DF；
(2) 四邊形 AEFD 能夠成為菱形嗎？如果能，請(qǐng)求出相應(yīng)的 t 值；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由；
(3) 當(dāng) t 為何值時(shí)，△DEF 為直角三角形？請(qǐng)說(shuō)明理由．
15. 如圖，在直角梯形 ABCD 中，AB∥CD，∠BCD=90°，AB=AD=10?cm，BC=8?cm．點(diǎn) P 從
9、點(diǎn) A 出發(fā)，以每秒 3?cm 的速度沿折線 ABC 方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn) Q 從點(diǎn) D 出發(fā)，以每秒 2?cm 的速度沿線段 DC 方向向點(diǎn) C 運(yùn)動(dòng)．已知?jiǎng)狱c(diǎn) P，Q 同時(shí)發(fā)，當(dāng)點(diǎn) Q 運(yùn)動(dòng)到點(diǎn) C 時(shí)，P，Q 運(yùn)動(dòng)停止，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t．
(1) 求 CD 的長(zhǎng)；
(2) 當(dāng)四邊形 PBQD 為平行四邊形時(shí)，求四邊形 PBQD 的周長(zhǎng)；
(3) 在點(diǎn) P 、點(diǎn) Q 的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在某一時(shí)刻，使得 △BPQ 的面積為 15?cm2？若存在，請(qǐng)求出所有滿足條件的 t 的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
16. 下列命題正確的是 ??
A．對(duì)角線相等的四邊形是平行四邊形
10、 B．對(duì)角線相等的四邊形是矩形
C．對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形
D．對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形是正方形
17. 如圖，AC 是平行四邊形 ABCD 的對(duì)角線，當(dāng)它滿足以下：① ∠1=∠2；② ∠2=∠3；③ ∠B=∠3；④ ∠1=∠3 中某一條件時(shí)，平行四邊形 ABCD 是菱形，這個(gè)條件是 ??
A．①或② B．②或③ C．③或④ D．①或④
18. 如圖，在正方形 ABCD 中，E，F(xiàn) 分別為 AD，BC 的中點(diǎn)，P 為對(duì)角線 BD 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列線段的長(zhǎng)等于 AP+EP 最小值的是 ??
A． AB B． DE C． BD D．
11、AF
19. 如圖，平行四邊形 ABCD 的對(duì)角線 AC，BD 相交于點(diǎn) O，則添加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件： ，可使其成為矩形（只填一個(gè)即可）．
20. 如圖，在菱形 ABCD 中，∠BCD=108°，CD 的垂直平分線交對(duì)角線 AC 于點(diǎn) F，E 為垂足，連接 BF，則 ∠ABF 等于 °．
21. 如圖，正方形 ABCD 中，E 是 BC 上的一點(diǎn)，連接 AE，過(guò)點(diǎn) B 作 BH⊥AE，垂足為點(diǎn) H，延長(zhǎng) BH 交 CD 于點(diǎn) F，連接 AF．
(1) 求證：AE=BF；
(2) 若正方形邊長(zhǎng)是 5，BE=2，求 AF 的長(zhǎng)．
22. 如
12、圖，平行四邊形 ABCD 中，過(guò) A 作 AM⊥BC 于 M，交 BD 于 E，過(guò) C 作 CN⊥AD 于 N，交 BD 于 F，連接 AF，CE．
(1) 求證：△ABE≌△CDF；
(2) 當(dāng)平行四邊形 ABCD 滿足什么條件時(shí)，四邊形 AECF 是菱形？請(qǐng)證明你的結(jié)論．
23. 如圖，在矩形 ABCD 中，AB=4?cm，AD=12?cm，P 點(diǎn)在 AD 邊上以每秒 1?cm 的速度從 A 向 D 運(yùn)動(dòng)，點(diǎn) Q 在 BC 邊上，以每秒 4?cm 的速度從 C 點(diǎn)出發(fā)，在 CB 間往返運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，待 P 點(diǎn)到達(dá) D 點(diǎn)為止，求經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間四邊形 ABQP 為矩形？
13、
24. 如圖，在矩形 ABCD 中，DE=1，BE=2，F(xiàn)，G 分別是 BE，BC 的中點(diǎn)，延長(zhǎng) GF，交 AD 于點(diǎn) H．
(1) 求證：點(diǎn) H 是 AD 的中點(diǎn)；
(2) 連接 AF，當(dāng) ∠EBA=70° 時(shí)，求 ∠EFA 的度數(shù)；
(3) 當(dāng) ∠AFE=90° 時(shí)，求邊 AB 的長(zhǎng)．
25. 李老師給愛好學(xué)習(xí)的小兵和小鵬提出這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖①，在 △ABC 中，AB=AC，點(diǎn) P 為邊 BC 上的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) P 作 PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分別為 D，E，過(guò)點(diǎn) C 作 CF⊥AB，垂足為 F．求證：PD+PE=CF．
小兵的證明思路是：如圖②
14、，連接 AP，由 △ABP 與 △ACP 的面積之和等于 △ABC 的面積可以證得 PD+PE=CF．
小鵬的證明思路是：如圖②，過(guò)點(diǎn) P 作 PG⊥CF，垂足為 G，先證 △GPC≌△ECP，可得 PE=CG，而 PD=GF，則 PD+PE=CF．
請(qǐng)運(yùn)用上述中所證明的結(jié)論和證明思路完成下列兩題：
(1) 如圖③，將矩形 ABCD 沿 EF 折疊，使點(diǎn) D 落在點(diǎn) B 上，點(diǎn) C 落在點(diǎn) C? 處，點(diǎn) P 為折痕 EF 上的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) P 作 PG⊥BE，PH⊥BC，垂足分別為 G，H，若 AD=16，CF=6，求 PG+PH 的值；
(2) 如圖④，P 是邊長(zhǎng)為 6
15、 的等邊三角形 ABC 內(nèi)任一點(diǎn)，且 PD⊥AB，PF⊥AC，PE⊥BC，求 PD+PE+PF 的值．
26. 如圖①，平面內(nèi)有一點(diǎn) P 到 △ABC 的三個(gè)頂點(diǎn)的距離分別為 PA，PB，PC，若有 PA2+PB2=PC2，則稱點(diǎn) P 為 △ABC 關(guān)于點(diǎn) C 的勾股點(diǎn)．
(1) 如圖②，在 4×3 的方格紙中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為 1，△ABC 的頂點(diǎn)在格點(diǎn)上，請(qǐng)找出所有的格點(diǎn) P，使點(diǎn) P 為 △ABC 關(guān)于點(diǎn) A 的勾股點(diǎn)；
(2) 如圖③，△ABC 為等腰直角三角形，P 是斜邊 BC 延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接 AP，以 AP 為直角邊作等腰直角三角形 APD（點(diǎn)
16、A，P，D 順時(shí)針排列），∠PAD=90°，連接 DC，DB，求證：點(diǎn) P 為 △BDC 關(guān)于點(diǎn) D 的勾股點(diǎn)；
(3) 如圖④，點(diǎn) E 是矩形 ABCD 外一點(diǎn)，且點(diǎn) C 是 △ABE 關(guān)于點(diǎn) A 的勾股點(diǎn)，若 AD=8，CE=5，AD=DE，求 AE 的長(zhǎng)．
答案
1. 【答案】
(1) 在平行四邊形 ABCD 中，AD∥BC，AD=BC，∠A=∠C，
∴∠ADB=∠CBD，
∵DE 平分 ∠ADB，BF 平分 ∠CBD，
∴∠ADE=∠FBC，
在 △ADE 和 △CBF 中，
∠A=∠C,AD=CB,∠ADE=∠CBF,
∴△ADE≌△CB
17、FASA；
(2) AD=BD 時(shí)，四邊形 DEBF 是矩形．理由如下：
∵△ADE≌△CBF，
∴DE=BF，AE=CF，
又 ∵AB=CD，
∴BE=DF，
∴ 四邊形 DEBF 是平行四邊形，
∵AD=BD，DE 平分 ∠ADB，
∴DE⊥AB，
∴ 平行四邊形 DEBF 是矩形．
2. 【答案】 2.4
3. 【答案】
(1) ∵ 四邊形 ABCD 是平行四邊形，
∴AF∥CD，AB=CD，
∴∠FAD=∠CDG．
∵G 為 AD 的中點(diǎn)，
∴AG=DG．
又 ∵∠AGF=∠DGC，
∴△AGF≌△DGC
18、ASA，
∴AF=CD．
又 ∵AB=CD，
∴AB=AF．
(2) 四邊形 ACDF 為矩形．
證明：
∵∠BCD=120°，
∴∠BAD=120°，
∴∠FAG=60°．
又 ∵AG=AB，AB=AF，
∴AG=AF，
∴△AGF 為等邊三角形，
∴AG=FG．
∵AF∥CD，AF=CD，
∴ 四邊形 ACDF 為平行四邊形，
∴AD=2AG，CF=2FG，
∴AD=CF，
∴ 四邊形 ACDF 為矩形．
4. 【答案】
(1) ∵E 為 AD 的中點(diǎn)，
∴AD=2DE，
∵AD=2BC，
∴DE=BC
19、，
∵AD∥BC，
∴ 四邊形 BCDE 是平行四邊形，
∵∠ABD=90°，E 為 AD 的中點(diǎn)，
∴BE=12AD=DE，
∴ 四邊形 BCDE 為菱形；
(2) AC 與 CD 的數(shù)量關(guān)系是 AC=3CD，位置關(guān)系是 AC⊥CD．
理由：答圖略，連接 CE，
∵AD∥BC，AE=BC，
∴ 四邊形 ABCE 是平行四邊形，
∵AC 平分 ∠BAD，
∴∠BAC=∠DAC=∠BCA，
∴AB=BC，
∴ 四邊形 ABCE 是菱形，
∴AC⊥BE，AB=AE，
∵CD∥BE，BE=AE，
∴AC⊥CD，AB=AE=BE，
即
20、△ABE 是等邊三角形，
∴∠BAD=60°，
∴∠CAD=30°，
∴ 在 Rt△ACD 中，AC=3CD．
5. 【答案】B
6. 【答案】
(1) 因?yàn)樗倪呅?ABCD 是平行四邊形，
所以 ∠B=∠D，
因?yàn)?AE⊥BC，AF⊥DC，
所以 ∠AEC=∠AFD=90°，
又因?yàn)?BE=DF，
所以 △AEB≌△AFDASA，
所以 AB=AD，
所以四邊形 ABCD 為菱形．
(2) 答圖略，連接 BD 交 AC 于點(diǎn) O．
因?yàn)橛桑?）知四邊形 ABCD 是菱形，AC=6，
所以 AC⊥BD，AO=OC=12AC=12×6=3，
21、
因?yàn)?AB=5，AO=3，
所以在 Rt△AOB 中，BO=AB2-AO2=52-32=4，
所以 BD=2BO=8，
所以 S平行四邊形ABCD=12AC?BD=12×6×8=24．
7. 【答案】
(1) ① ∵∠ABC=90°，D 為 AC 的中點(diǎn)，
∴BD=AD=DC，
∴∠CAB=∠DBA，
∵∠GAB=∠CAB，
∴∠GAB=∠DBA，
∴AG∥BD；
② ∵AG∥BD，BD=FG，
∴ 四邊形 BGFD 是平行四邊形．
∵CE⊥BD，
∴CE⊥AG，
又 ∵BD 為 AC 的中線，
∴BD=DF=12AC，
∴ 四邊
22、形 BDFG 是菱形．
(2) 設(shè) GF=x，則 AF=15-x，AC=2x，
∵ 在 Rt△ACF 中，∠CFA=90°，
∴AF2+CF2=AC2，即 15-x2+372=2x2，解得 x=6，
∴ 菱形 BGFD 的邊長(zhǎng)為 6．
8. 【答案】
(1) ∵AD=CD，點(diǎn) E 是邊 AC 的中點(diǎn)，
∴DE⊥AC，即得 DE 是線段 AC 的垂直平分線，
∴AF=CF，
∴∠FAC=∠ACB ,
在 Rt△ABC 中，由 ∠BAC=90°，得 ∠B+∠ACB=90°，∠FAC+∠BAF=90°，
∴∠B=∠BAF，
∴AF=BF．
(2)
23、 ∵AG∥CF，
∴∠AGE=∠CFE，
又 ∵ 點(diǎn) E 是邊 AC 的中點(diǎn)，
∴AE=CE，
在 △AEG 和 △CEF 中，
∠AGE=∠CFE,∠AEG=∠CEF,AE=CE,
∴△AEG≌△CEFAAS，
∴AG=CF，
又 ∵AG∥CF，
∴ 四邊形 AFCG 是平行四邊形，
∵AF=CF，
∴ 四邊形 AFCG 是荾形，
在 Rt△ABC 中，由 AF=CF，AF=BF，得 BF=CF，即得點(diǎn) F 是邊 BC 的中點(diǎn)，
又 ∵AB=AC，
∴AF⊥BC，即得 ∠AFC=90°，
∴ 四邊形 AFCG 是正方形．
9.
24、【答案】C
【解析】A．對(duì)角線互相垂直且相等的平行四邊形是正方形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B．對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C．對(duì)角線相等的四邊形不一定是矩形，例如：等腰梯形的對(duì)角線相等，故本選項(xiàng)正確；
D．對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．
10. 【答案】
(1) ∵ 四邊形 ANMB 和 ACDE 是正方形，
∴AN=AB，AC=AE，∠NAB=∠CAE=90°，
∵∠NAC=∠NAB+∠BAC，∠BAE=∠BAC+∠CAE，
∴∠NAC=∠BAE，
在 △ANC 和 △ABE 中，
AN=AB,∠NAC=∠BAE,AC
25、=AE.
∴△ANC≌△ABESAS，
∴∠ANC=∠ABE．
(2) ∵ 四邊形 NABM 是正方形，
∴∠NAB=90°，
∴∠ANC+∠AON=90°，
∵∠BOP=∠AON，∠ANC=∠ABE，
∴∠ABP+∠BOP=90°，
∴∠BPC=180°-∠ABP-∠BOP=90°，
∵Q 為 BC 的中點(diǎn)，BC=6，
∴PQ=12BC=3．
11. 【答案】
(1) ① ∵ 正方形 ABCD 關(guān)于 BD 對(duì)稱，
∴△ABE≌△CBE，
∴∠BAE=∠BCE，
又 ∵∠ABC=∠AEF=90°，
∴∠BAE=∠EFC，
26、 ∴∠BCE=∠EFC，
∴CE=EF．
②過(guò)點(diǎn) E 作 MN⊥BC，垂直為 N，交 AD 于 M，
∵CE=EF，N 是 CF 的中點(diǎn)，
∵BC=2BF，
∴CNBC=14，
又 ∵ 四邊形 CDMN 是矩形，△DME 為等腰直角三角形，
∴CN=DM=ME，
∴ED=2DM=2CN=24a．
(2) 如圖所示：過(guò)點(diǎn) E 作 MN⊥BC，垂直為 N，交 AD 于 M，
∵ 正方形 ABCD 關(guān)于 BD 對(duì)稱，
∴△ABE≌△CBE，
∴∠BAE=∠BCE，
又 ∵∠ABF=∠AEF=90°，
∴∠BAE=∠EFC，
∴∠BCE=∠EFC，
27、
∴CE=EF，
∴FN=CN，
又 ∵BC=2BF，
∴FC=32a，
∴CN=34a，
∴EN=BN=14a，
∴DE=324a．
12. 【答案】
(1) 在平行四邊形 ABCD 中，AB∥CD，AB=CD，
∴∠BAE=∠EFC，
∵E 為 BC 的中點(diǎn)，
∴BE=EC，
在 △ABE 和 △FCE 中，
∠BAE=∠CFE,∠AEB=∠FEC,BE=CE,
∴△ABE≌△FCEAAS．
(2) ∵△ABE≌△FCE，
∴AB=FC，
∵AB∥FC，
∴ 四邊形 ABFC 為平行四邊形，
∵AE=EF=
28、12AF，AE=12BC．
∴BC=AF，
∴ 四邊形 ABFC 是矩形．
(3) 當(dāng) AB=AC 時(shí)，四邊形 ABFC 為正方形．理由如下：
∵AB=AC，四邊形 ABFC 是矩形，
∴ 四邊形 ABFC 為正方形．
13. 【答案】
(1) S1+S2
(2) ① ∵∠ACB=90°，∠DCE=45°,
∴∠ACD+∠BCE=45°，
由旋轉(zhuǎn)可得 ∠ACD=∠BCF，CD=CF，
∴∠BCF+∠BCE=45°，即 ∠ECF=45°=∠ECD，
又 ∵CE=CE，
∴△CDE≌△CFE，
∴ED=EF．
② 5
③矩形 CP
29、OQ 的面積是定值．
由①，②得 AD2+BE2=DE2，即 S△ADQ+S△BEP=S△DEO，
則矩形 CPOQ 的面積與 △ABC 的面積保持相等，
由題可得，△ABC 的面積 =12×622=36，
因此矩形 CPOQ 的面積為 36．
【解析】
(1) 由 △ABC 中，∠ACB=90°，可得 AC2+BC2=AB2，
∴14AC2+14BC2=14AB2，
∵ 等腰直角三角形①，②，③的面積分別為 14AC2，14BC2，14AB2，
∴S1+S2=S3．
(2) ②由勾股定理可得 AB=12，
由旋轉(zhuǎn)可得 AD=BF=4，∠A=∠CBF=45°，∠
30、EBF=45°+45°=90°，
設(shè) DE=EF=x，則 BE=8-x，
∴BE2+BF2=EF2，即 8-x2+42=x2，
解得 x=5，
∴EF=5．
14. 【答案】
(1) ∵ 在 Rt△ABC 中，∠B=90°，AC=60?cm，∠A=60°，
∴∠C=90°-∠A=30°．
∵CD=4t?cm，AE=2t?cm．
又 ∵ 在 Rt△CDF 中，∠C=30°，
∴DF=12CD=2t?cm，
∴DF=AE．
(2) ∵DF∥AB，DF=AE，
∴ 四邊形 AEFD 是平行四邊形．
當(dāng) AD=AE 時(shí)，四邊形 AEFD 是菱形，
31、
即 60-4t=2t，解得 t=10，即當(dāng) t=10 時(shí)，平行四邊形 AEFD 是菱形．
(3) 當(dāng) t=152或12 時(shí)，△DEF 是直角三角形．
理由如下：當(dāng) ∠EDF=90° 時(shí)，DE∥BC．
∴∠ADE=∠C=30°，
∴AD=2AE，
∵CD=4t?cm，
∴DF=AE=2t?cm，
∴AD=2AE=4t?cm，
∴4t+4t=60，
∴t=152 時(shí)，∠EDF=90°；
當(dāng) ∠DEF=90° 時(shí)，DE⊥EF，
∵ 四邊形 AEFD 是平行四邊形，
∴AD∥EF，
∴DE⊥AD，
∴△ADE 是直角三角形，∠ADE=90°，
32、 ∵∠A=60°，
∴∠DEA=30°．
∴AD=12AE，AD=AC-CD=60-4t?cm，AE=2t?cm，
∴60-4t=t，解得 t=12．
綜上所述，當(dāng) t=152或12 時(shí)，△DEF 是直角三角形．
15. 【答案】
(1) 如圖 1，過(guò)點(diǎn) A 作 AM⊥CD 于 M，
∵AM⊥CD，∠BCD=90°，
∴AM∥CB，
∵AB∥CD，
∴ 四邊形 ABCD 是平行四邊形，
∴CM=AB=10?cm，
在 Rt△ADM 中，AD=10?cm，AM=BC=8?cm，
根據(jù)勾股定理得，DM=6?cm，
∴CD=DM+CQ=16?cm
33、．
(2) 當(dāng)四邊形 PBQD 是平行四邊形，
當(dāng)點(diǎn) P 在 AB 上，點(diǎn) Q 在 DC 上，
如圖 3，
由運(yùn)動(dòng)知，BP=10-3t，DQ=2t，
∴10-3t=2t，
∴t=2，
此時(shí)，BP=DQ=4，CQ=12，根據(jù)勾股定理得，BQ=413；
∴ 四邊形 PBQD 的周長(zhǎng)為 2BP+BQ=8+813；
(3) ①當(dāng)點(diǎn) P 在線段 AB 上時(shí)，即：0≤t≤103 時(shí)，
如圖 2，
S△BPQ=12PB?BC=1210-3t×8=15，
∴t=2512；
②當(dāng)點(diǎn) P 在線段 BC 上時(shí)，即：103
34、=16-2t，
∴S△BPQ=12PB?CQ=123t-1016-2t=15，
∴t=5 或 t=193（舍），
即：滿足條件的 t 的值為 2512 秒或 5 秒．
16. 【答案】C
17. 【答案】D
18. 【答案】D
19. 【答案】 AC=BD（答案不唯一）
20. 【答案】 18
21. 【答案】
(1) 因?yàn)樗倪呅?ABCD 是正方形，
所以 AB=BC，∠ABC=∠C=90°，
因?yàn)?BH⊥AE，垂足為點(diǎn) H，
所以 ∠BAE=∠CBF，
在 △ABE 和 △BCF 中，
∠ABC=∠C=90°,AB
35、=BC,∠BAE=∠CBF,
所以 △ABE≌△BCFASA，
所以 AE=BF．
(2) 因?yàn)?△ABE≌△BCF，
所以 CF=BE=2，
因?yàn)檎叫蔚倪呴L(zhǎng)為 5，
所以 AD=CD=5，
所以 DF=CD-CF=5-2=3，
在 Rt△ADF 中，AF=AD2+DF2=52+32=34．
22. 【答案】
(1) ∵ 四邊形 ABCD 為平行四邊形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠ABE=∠CDF，∠BAD=∠BCD，
由已知得 MA⊥AN，NC⊥BC，
∴∠BAM=∠DCN，
在 △ABE 和 △CDF 中，
∠ABE=∠CDF,
36、AB=CD,∠BAE=∠DCF,
∴△ABE≌△CDFASA．
(2) 平行四邊形 ABCD 是菱形時(shí)，四邊形 AECF 是菱形．
證明：
∵△ABE≌△CDF．
∴AE=CF，
∵M(jìn)A⊥AN，NC⊥AN，
∴AM∥CN，
∴ 四邊形 AECF 為平行四邊形，
∵ 平行四邊形 ABCD 是菱形，
∴AC⊥EF，
∴ 四邊形 AECF 為菱形．
23. 【答案】 ∵ 在矩形 ABCD 中，AD=12?cm．
∴AD=BC=12?cm．
當(dāng)四邊形 ABQP 為矩形時(shí)，AP=BQ．
①當(dāng) 0
37、
②當(dāng) 3≤t<6 時(shí)，t=4t-12，解得 t=4；
③當(dāng) 6≤t<9 時(shí)，t=36-4t，解得 t=365；
④當(dāng) 9≤t≤12 時(shí)，t=4t-36，解得 t=12．
綜上所述，當(dāng) t 為 125?s 或 4?s 或 365?s 或 12?s 時(shí)，四邊形 ABQP 為矩形．
24. 【答案】
(1) ∵F，G 分別是 BE，BC 的中點(diǎn)，
∴FG 是 △BCE 的中位線，
∴FG∥CE，
∵BG=GC，
∴AH=HD，
即點(diǎn) H 是 AD 的中點(diǎn)．
(2) 答圖略，連接 DF，
∵ 四邊形 ABCD 為矩形，
∴AB∥CD，
∴∠DEB
38、=180°-∠EBA=110°，
∵DE=FE=1，
∴∠EDF=∠EFD=12×180°-110°=35°，
∵HG∥CD，
∴∠DFH=∠EDF=35°，∠FHA=∠CDA=90°，
∵DH=HA，
∴FD=FA，
∴∠AFH=∠DFH=35°，
∴∠EFA=35°+35°+35°=105°．
(3) 由（2）知 ∠DFE=∠DFH=∠AFH，
∵∠AFE=90°，
∴∠EFH=∠ABF=60°，
∴AB=2BF=2．
25. 【答案】
(1) 答圖略，過(guò)點(diǎn) E 作 EQ⊥BC 于 Q，連接 BP．
∵ 四邊形 ABCD 是矩
39、形，
∴AD∥BC，
∴∠DEF=∠BFE，
由折疊可得，∠DEF=∠BEF，
∴∠BFE=∠BEF，
∴BE=BF，
∵PG⊥BE，PH⊥BC，
∴S△BEF=S△BEP+S△BFP=12BE?PG+12BF?PH=12BFPG+PH，
∵S△BEF=12BF?EQ，
∴PG+PH=EQ，
∵ 四邊形 ABCD 是矩形，
∴AD=BC，∠C=∠ADC=90°．
∵AD=16，CF=6，
∴BF=BC-CF=AD-CF=10．
由折疊易知，△DCF≌△BC?F≌△BAE，
∴C?F=CF=6，
∴C?B=AB=EQ=8，
∴PG+
40、PH=8．
(2) 答圖略，過(guò) A 作 AM⊥BC，連接 PA，PB，PC．
∵ 等邊三角形 ABC 的邊長(zhǎng)為 6，AM⊥BC，
∴M 為 BC 的中點(diǎn)，即 BM=CM=3，
在 Rt△ABM 中，AB=6，BM=3，
根據(jù)勾股定理得 AM=33，
又
∵S△ABC=S△BCP+S△ACP+S△ABP=12PE?BC+12PF?AC+12PD?AB=12ABPE+PF+PD=12BC?AM,
∴PE+PF+PD=AM=33．
26. 【答案】
(1) 答圖略，
∵PA2=12+32=10，PB2=12+22=5，PC2=PB2=5，
∴PA2=P
41、C2+PB2，
∴ 點(diǎn) P 是 △ABC 關(guān)于點(diǎn) A 的勾股點(diǎn)；
答圖略，
∵PA2=32+32=18，PB2=12+42=17，PC2=1，
∴PA2=PC2+PB2．
∴ 點(diǎn) P 是 △ABC 關(guān)于點(diǎn) A 的勾股點(diǎn)．
(2) ∵△ABC 和 △APD 為等腰直角三角形，
∴AB=AC，AD=AP，∠BAC=∠DAP=90°，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAP-∠DAC，即 ∠BAD=∠CAP，
∴△ABD≌△ACPSAS，
∴BD=PC，∠ABD=∠ACP=135°，
∵∠ABC=45°，
∴∠DBP=∠ABD-∠ABC=135°-45°=90
42、°，
∴BD2+PB2=PD2，
∴PC2+PB2=PD2，
∴ 點(diǎn) P 為 △BDC 關(guān)于點(diǎn) D 的勾股點(diǎn)．
(3) ∵ 矩形 ABCD 中，AD=8，
∴AD=BC=8，CD=AB，
∵AD=DE，
∴DE=8，
∵ 點(diǎn) C 是 △ABE 關(guān)于點(diǎn) A 的勾股點(diǎn)，
∴AC2=CB2+CE2，
∵AC2=AB2+BC2，
∴CE=CD=5，
答圖略，過(guò)點(diǎn) E 作 MN⊥AB 于點(diǎn) M，交 DC 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) N，
∴∠AME=∠MND=90°，
∴ 四邊形 AMND 是矩形，
∴MN=AD=8，AM=DN，
設(shè) AM=DN=x，則 CN=DN-CD=x-5，
∵EN2+DN2=DE2，EN2+CN2=CE2，
∴DE2-DN2=CE2-CN2，即 82-x2=52-x-52，解得 x=325，
∴EN=DE2-DN2=82-3252=245，AM=DN=325，
∴ME=MN-EN=8-245=165，
∴AE=AM2+ME2=3252+1652=1655．
人教版八下數(shù)學(xué) 期末高效復(fù)習(xí) 專題4 矩形、菱形與正方形
