《高數(shù)教學(xué)課件第三節(jié)分部積分法》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高數(shù)教學(xué)課件第三節(jié)分部積分法（32頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、第三節(jié)由導(dǎo)數(shù)公式vuvuuv)(積分得:xvuxvuuvdd分部積分公式分部積分公式xvuuvxvudd或uvvuvudd1)v 容易求得;xvuxvudd)2比容易計算.:)d(的原則或及選取vvu機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 分部積分法 第四四章 例例40 求.dsinxxx解解 設(shè),xu,dsindxxv 則,ddxu,cos xv 原式xxcosxx dcosCxxxsincos思考思考:如何求?dsin2xxx提示提示:令,2xu,dsindxxv 則原式xx cos2xxxdcos2機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例41 求.de2xxx解解 設(shè),2xu,dedxvx則
2、,d2dxxu,exv 原式xx e2xxxde2xx e2)dexx再設(shè)再設(shè),xu,dedxvx則xxxdxxeexxde機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xxe(2.e)22(2Cxxx例例42 求.dln3xxx解解 設(shè),ln xu,dd3xxv 則,d1dxxu,414xv 原式=xx ln414)(lnd414xx機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xx ln414xxd413.161ln4144Cxxx例例43 求.dlnxx解解 設(shè),ln xu,ddxv 則,d1dxxu,xv 原式=xxln)(lndxx機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xxlnxd1.lnCxxx解題技巧
3、解題技巧:的一般方法及選取vu把被積函數(shù)視為兩個函數(shù)之積,按“反對冪指三反對冪指三”的順序,前者為 后者為u.v例例44 求.darcsinxx解解 設(shè),arcsinxu xvdd,則,d11d2xxuxv 原式=xxarcsinxxxd12xxarcsin)1d()1(212221xxxxarcsinCx 21機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 反反:反三角函數(shù)對對:對數(shù)函數(shù)冪冪:冪函數(shù)指指:指數(shù)函數(shù)三三:三角函數(shù)例例45 求.dcossinxxxx解解 原式=xx2cos41xxd2cos41xx2cos41.2sin81Cx機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xxxd2sin21)2(c
4、osd41xx例例46 求.darctan2xxx解解xx arctan313xxxd13123xx arctan313xxxxxd1)(3123xx arctan313.)1ln(616122Cxx機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束)(darctan31darctan32xxxxxxx arctan313xxxxxd131d312例例47 求.dsinexxx解解xxsinexxxdcosexxsine)e(dcosxx故 原式=.)cos(sine21Cxxx機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束)ed(sindsinexxxxxxxsine)cosd(ecosexxxxxxsinexxxxx
5、dsinecose例例48 求.)(d22nnaxxI解解:令,)(122naxu,1 v則,)(2122naxxnuxv nIxaxxnnd)(21222naxx)(22xaxnnd)(2122naxx)(22nIn2122nIan得遞推公式nnnIannaxxanI22221212)(21222)(aaxnaxx)(22機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 說明說明:遞推公式nnaxxI)(d22已知CaxaIarctan11利用遞推公式可求得.nI例如,3I2222)(41axxa2243Ia2222)(41axxa243a22221axxa1221Ia2222)(41axxa22483a
6、xxaCaxaarctan835nnnIannaxxanI22221212)(21機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例49 已知f(x)的一個原函數(shù)為ln2x，求.d)(xxf x解解)(xxfxxfd)()(ln)(2xxf)(lnln2xx.lnln22Cxx機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束)(dd)(xfxxxfx,ln2xxxxxln2.ln2Cx 因為f(x)的一個原函數(shù)為ln2x，所以于是例例50 求.dsinxx解解 令.d2d,2ttxtxxx dsintttd2sin.sin2cos2Cttt機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,tx)cosd(2ttttcos2ttdc
7、os2則于是.sin2cos2Cxxx例例51求不定積分解解.d1xexexx方法1(先分部先分部,再換元再換元)xexexxd1)1(d1xxeexx2)1(dxe12xexxexd12令,1xeu則uuuxd12d2uuud122212xex112u12xexCuu)arctan(44Ceexx1arctan414機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 方法方法2(先換元先換元,再分部再分部)令,1xeu則,)1ln(2ux故xexexxd1uuuuuud12)1ln()1(222uud)1ln(22)1ln(22uuuuud14221)1ln(22uuu4Cu arctan412xexCee
8、xx1arctan414機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1uuuxd12d2說明說明:分部積分題目的類型:1)直接分部化簡積分;2)分部產(chǎn)生循環(huán)式,由此解出積分式;(注意:兩次分部選擇的 u,v 函數(shù)類型不變,解出積分后加 C)3)對含自然數(shù) n 的積分,通過分部積分建立遞 推公式.例4 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 練習(xí)練習(xí)1 求.dcoscosln2xxx解解 令,coslnxu xv2cos1,則,tan xuxvtan原式=xxcoslntan xxdtan2xxcoslntan xxd)1(sec2xxcoslntan Cxx tan機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 練習(xí)練習(xí)2
9、 求.dexx解解 令,tx則,2tx ttxd2d 原式tttde2tte(2.)1(e2Cxx,tu tev)etC機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 令練習(xí)練習(xí)3 求.)0(d22axax解解:令,22axu,1 v則,22axxuxv 22axxxaxxd22222axxxaxaaxd22222)(22axxxaxd2222d2axxa 原式=2221axxCaxxa)(ln2222xaxd22機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 練習(xí)練習(xí)4 證明遞推公式)2(1tandtan21nInxxxInnnn證證xxxInnd)1(sectan22)d(tantan2xxn1tan1nxn2n
10、I2nI注注:0IIn或1I0I,Cx1ICx cosln機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 練習(xí)練習(xí)5 已知)(xf的一個原函數(shù)是,cosxx求.d)(xxfx 解解xxfxd)()(dxfx)(xfxxxfd)(xxxcosCxxcosxsinCxxcos2說明說明:此題若先求出)(xf 再求積分反而復(fù)雜.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xxfxd)(xxxxxxdcos2sin2cos2練習(xí)練習(xí)6 求.d xI23)1(2x解法解法1 先換元后分部令,arctanxt 即,tantx 則teIt3secttdsec2ttetdcostetsinttetdsintetsinttetdc
11、ostetcos故CettIt)cos(sin2121xearctantx121x21xx211xCexarctan機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xeIxdarctan23)1(2xxexIarctan2d11xxexxexarctan2arctan2d111)1(11arctan2xexxICexxIxarctan2121解法解法2 用分部積分法機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xexarctan211xd 23)1(2xxexarctan練習(xí)練習(xí)7 求xxId)ln(sin解解令,lnxt 則texexttdd,tteItdsinttetettdcossinIttet)cos(si
12、nCtteIt)cos(sin21Cxxx)cos(ln)sin(ln21機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié) 分部積分公式xvuvuxvudd1.使用原則:xvuvd易求出,易積分2.使用經(jīng)驗:“反對冪指三反對冪指三”,前 u 后v3.題目類型:分部化簡;循環(huán)解出;遞推公式機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 思考與練習(xí)思考與練習(xí)1.下述運算錯在哪里?應(yīng)如何改正?xxxdsincosxxxxxdsin)sin1(sinsinxxxxdsinsincos12xxxdsincos1,1dsincosdsincosxxxxxx得 0=1答答:不定積分是原函數(shù)族,相減不應(yīng)為 0.求此積
13、分的正確作法是用換元法.xxsinsindCx sinln機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xxfxxxxxfd)(1,sin)(sin)2002(12求設(shè)年,sin2xu 令解,arcsin,sinuxux則有,arcsin)(xxxf分析分析:先求先求f(x)xxxxxxxfxxdarcsin1d)(1)1d(arcsin2xxCxxx2arcsin12于是于是xxxd1arcsin.d)(,)1ln()(ln)2000(2xxfxxxf計算設(shè)年,ln xt 設(shè)解xxxfxxde)e1ln(d)(xxxxe1d)e1ln(e.)e1ln()e1(Cxxxtttttftxxe)e1ln()
14、(,ded,e則)d(e)e1ln(xx.d)(,ln)()2002(32xxf xxxf試求的一個原函數(shù)為已知年xxfxxfxfxxxf xd)()()(dd)(解所以的一個原函數(shù)是因為,)(ln2xfxxxxxfln2)(ln)(2Cxxdxxxxxxdxxfx2lnln2ln2ln2)(于是xxxdeearctan)2001(42年)e(dearctan212xx原式)d(e)e11e1(earctane212xxxxx)e1(eeearctane 21222xxxxxd.)earctaneearctane(212Cxxxxxxxd1ln)1998(52年)1(d)1(lnxx原式解)1(lnd1)1(ln1xxxxxxxxxd11ln2.lnCxx.dsinsinln)1998(62xxx年)(cotdsinlnxx原式解xxxxxxxdsincossincossinlncotxxxxxdsinsin1sinlncot22xxxxd)1sin1(sinlncot2.cotsinlncotCxxxx
高數(shù)教學(xué)課件第三節(jié)分部積分法
