2018-2019學年高中數(shù)學 第八章 解三角形 8.1 正弦定理（二）課件 湘教版必修4.ppt

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1、第8章——,解三角形,8.1 正弦定理(二),[學習目標] 1.熟記并能應用正弦定理的有關變形公式解決三角形中的問題. 2.能根據(jù)條件，判斷三角形解的個數(shù). 3.能利用正弦定理、三角變換、三角形面積公式解決較為復雜的三角形問題.,,1,預習導學 挑戰(zhàn)自我，點點落實,,2,課堂講義 重點難點，個個擊破,,3,當堂檢測 當堂訓練，體驗成功,,,答案 (2),,a∶b∶c,2R,2Rsin A,2Rsin B,2Rsin C,,,,2.三角變換公式 (1)sin (α＋β)＝ ； (2)sin (α－β)＝ ； (3)sin 2α＝

2、 .,sin αcos β＋cos αsin β,sin αcos β－cos αsin β,2sin αcos α,要點一 利用正弦定理判斷三角形的形狀 例1 在△ABC中，若sin A＝2sin Bcos C，且sin2A＝sin2B＋sin2C，試判斷△ABC的形狀.,∵sin2A＝sin2B＋sin2C，,∴A＝90，∴B＋C＝90. 由sin A＝2sin Bcos C，得sin 90＝2sin Bcos(90－B)，,,∵A＝180－(B＋C)，sin A＝2sin Bcos C， ∴sin(B＋C)＝2sin Bcos C. ∴sin Bcos C－cos Bsin C＝0， 即

3、sin(B－C)＝0.∴B－C＝0，即B＝C. ∴△ABC是等腰直角三角形.,規(guī)律方法 依據(jù)條件中的邊角關系判斷三角形的形狀時，主要有以下兩種途徑： (1)利用正弦定理把已知條件轉化為邊邊關系，通過因式分解、配方等得出邊的相應關系，從而判斷三角形的形狀； (2)利用正弦定理把已知條件轉化為內角的三角函數(shù)間的關系，通過三角函數(shù)恒等變形得出內角的關系，從而判斷出三角形的形狀，此時要注意應用A＋B＋C＝π這個結論.在兩種解法的等式變形中，一般兩邊不要約去公因式，應移項提取公因式，以免漏解.,跟蹤演練1 在△ABC中，已知a2tan B＝b2tan A，試判斷△ABC的形狀.,,,規(guī)律方法 在三角形中

4、解決三角函數(shù)的取值范圍或最值問題的方法： (1)利用正弦定理理清三角形中基本量間的關系或求出某些量. (2)將要求最值或取值范圍的量表示成某一變量的函數(shù)(三角函數(shù))，從而轉化為函數(shù)的值域或最值的問題.,,要點三 正弦定理與三角變換的綜合 例3 已知△ABC的三個內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a＋c＝2b，且2cos 2B－8cos B＋5＝0，求角B的大小并判斷△ABC的形狀. 解 ∵2cos 2B－8cos B＋5＝0， ∴2(2cos2 B－1)－8cos B＋5＝0. ∴4cos2 B－8cos B＋3＝0， 即(2cos B－1)(2cos B－3)＝0.,∴△ABC是等邊三

5、角形.,規(guī)律方法 借助正弦定理可以實現(xiàn)三角形中邊角關系的互化，在轉化為角的關系后，常常利用三角變換公式進行化簡，從而進行三角形形狀的判斷、三角恒等式的證明.,跟蹤演練3 已知方程x2－(bcos A)x＋acos B＝0的兩根之積等于兩根之和，且a、b為△ABC的兩邊，A、B為兩內角，試判斷這個三角形的形狀. 解 設方程的兩根為x1、x2，,∴bcos A＝acos B.,由正弦定理得2Rsin Bcos A＝2Rsin Acos B， ∴sin Acos B－cos Asin B＝0，sin(A－B)＝0. ∵A、B為△ABC的內角， ∴0

6、與角B的大小關系為( ) A.A>B B.Asin B?2Rsin A>2Rsin B(R為△ABC外接圓的半徑)?a>b?A>B.,1,2,3,4,5,A,1,2,3,4,5,,A,1,2,3,4,5,,1,2,3,4,5,∴A＝45.∴C＝75.,答案 C,,1,2,3,4,5,∴tan A＝tan B＝tan C，∴A＝B＝C. 答案 B,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,,1,2,3,4,5,所以本題有兩解，由正弦定理得：,故B＝60或120.,1,2,3,4,5,,課堂小結 1.已知a，b和A，用正弦定理解三角形的各種情況： (1)列表如下：,,2.判斷三角形的形狀，最終目的是判斷三角形是否是特殊三角形，當所給條件含有邊和角時，應利用正弦定理將條件統(tǒng)一為“邊”之間的關系式或“角”之間的關系式.,