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1、玻耳茲曼,第三篇,麥克斯韋,熱學,熱力學系統(tǒng)(大量微觀粒子組成的系統(tǒng)),一.研究對象,二.研究方法,1.氣動理論,如:擲硬幣,牛頓力學,統(tǒng)計方法,2.熱力學,能量守恒,實驗途徑,,,熱運動:大量微觀粒子永不停息、無規(guī)則、無定向的運動.,2.熱運動的特征:,分子線度小(直徑約),分子數(shù)多(1mol氣體含分子),分子運動快(平均速率幾百米每秒),分子運動完全無序(碰撞頻繁,幾十億次/秒),1.熱運動的圖象:,分子的永恒運動和頻繁碰撞.,,*熱運動及其特征,,一、微觀量：描述個別分子運動規(guī)律的物理量。如：每個分子都有的質(zhì)量、運動速度、能量。,二、宏觀量：表示大量分子集體效應的物理量。如：氣體的溫度、
2、壓強。,如狀態(tài)參量：,V(m3),P(Pa),T(K)宏觀可測。,6-1平衡態(tài)理想氣體狀態(tài)方程,第六章氣體動理論基礎,三、平衡態(tài)：,氣體與外界沒有能量和物質(zhì)的交換，系統(tǒng)的宏觀性質(zhì)（P、V、T）變化很小或不變化的狀態(tài)。（平衡態(tài)是熱動平衡）,準靜態(tài)過程：,氣體從一個平衡狀態(tài)經(jīng)過無數(shù)個無限接近平衡狀態(tài)的中間狀態(tài)，過渡到另一個平衡態(tài)。,平衡態(tài)與平衡過程的描述：常用PV圖。,平衡態(tài)：點。如、。,平衡過程：任意曲線。,四、理想氣體狀態(tài)方程：,R=8.31J/molK普適氣體常數(shù),五、物質(zhì)的微觀模型統(tǒng)計規(guī)律性,2、分子力:,1、分子的數(shù)密度和線度：,3、分子熱運動的基本特征及統(tǒng)計規(guī)律：,基本特征：不停地作雜
3、亂無規(guī)則的運動。,統(tǒng)計規(guī)律:大量偶然的、無序的的分子運動中,包含著規(guī)律性。,大量分子集體行為有章可循。,個別分子雜亂無章。,典型數(shù)據(jù)：平均速率500m/s；分子連續(xù)兩次碰撞的平均路程10-7m；平均時間間隔10-10s。,氣動理論=牛頓力學+統(tǒng)計方法,如:,口袋中摸球:10個球(三藍七紅),,擲硬幣:,頭像面出現(xiàn)的幾率:,4、統(tǒng)計規(guī)律的特點:,統(tǒng)計規(guī)律,摸出紅球的幾率:,藍球的幾率:,整體規(guī)律(從量變到質(zhì)變);,對大量偶然事件才有意義;,伴隨著漲落*.,例:,擲骰子：出現(xiàn)4，概率1/6，每擲600次，,實際:,統(tǒng)計平均出現(xiàn)4的次數(shù),6-2理想氣體壓強公式,一、氣體分子熱運動的特征,大距離、短程
4、力，無規(guī)則熱運動永不停息。,二、理想氣體的分子模型：,質(zhì)點、完全彈性碰撞、分子間作用力不計。,三、統(tǒng)計假設,平衡態(tài)下：,1、分子數(shù)密度相等。,2、分子沿任一方向的運動，機會均等。,補充:,1、沖量定理：,2、周期函數(shù)的平均值：,四、理想氣體壓強公式的推導,,前提：在邊長l1、l2、l3的長方體容器中有N個同類分子作無規(guī)則熱運動，質(zhì)量均為m，各向機會均等。,氣體對容器壁的壓強是大量分子對容器壁碰撞的平均效果。,一個分子對A1面的平均作用力：,N個分子對A1面的總的平均作用力：,氣體分子對A1面的壓強：,或,其中,為分子的平均平動動能。,,說明：,1、A1面的壓強公式可推廣到任一面上。,2、空間任
5、一點處都有相同的壓強。,3、分子間的碰撞不影響結果。,4、,5、分子熱運動平均動能：平均平動動能、平均轉(zhuǎn)動動能、平均振動動能。后兩種動能對壓強無貢獻。,6-3溫度公式,一、氣體分子平均平動動能與溫度的關系,對一定體積V，若氣體質(zhì)量為M，則：,,其中n為分子數(shù)密度，k為玻爾茲曼常數(shù)。,(N為分子總數(shù)),對照,有,,說明：,1、溫度是分子平均平動動能的量度。,2、分子熱運動永不停息，絕對零度不可達。,3、溫度是氣體處于熱（動）平衡的物理量。,4、溫度是統(tǒng)計量。,5、溫度與氣體整體運動（有規(guī)則運動）無關。,,二、氣體分子的方均根速率,說明：,是大量分子統(tǒng)計平均值，某一分子的v是不斷變化的，方向也雜亂
6、無章的。,例1：一瓶氮氣和一瓶氦氣密度相同，分子平均平動動能相同，且處于平衡態(tài)，則,例2：在密閉的容器中，若理想氣體溫度提高為原來的2倍，則,,,6-4能量按自由度均分原理、內(nèi)能,一、自由度,確定運動物體在空間位置所需的獨立坐標數(shù)目。,質(zhì)點：任意運動時，需三個獨立坐標x、y、z。,剛體：任意運動時，可分解為質(zhì)心的平動及繞通過質(zhì)心的軸的轉(zhuǎn)動。,剛性雙原子:i=5,剛性多原子:i=6,單原子:i=3,二、能量按自由度均分原理,分子的平均平動動能：,平衡態(tài)下,一個平方項的平均值,,一個平動自由度,在平衡態(tài)下，分子每一個自由度都分配有kT/2的熱運動的平均動能。,說明,(2)能量均分定理是分子無規(guī)則熱
7、運動動能的統(tǒng)計規(guī)律。,平均平動動能,平均轉(zhuǎn)動動能,如某種分子有t個平動自由度,r個轉(zhuǎn)動自由度,,則分子具有:,為什么?,分子不斷碰撞以達平衡,如果分子有i個自由度，分子的平均動能：,三、理想氣體內(nèi)能：,理想氣體的內(nèi)能=所有分子的熱運動動能之總和。,1mol理想氣體的內(nèi)能：,對于質(zhì)量為M的理想氣體：,單原子：,雙原子：,多原子：,,總結幾個容易混淆的慨念：,1.分子的平均平動動能：,3.理想氣體內(nèi)能：,4.單位體積內(nèi)氣體分子的平動動能：,5.單位體積內(nèi)氣體分子的動能：,2.分子的平均動能：,例1.氫氣和氧氣的溫度相同,問,1）,?,?,2）,不一定!,例2：如果氫氣、氦氣的溫度相同，摩爾數(shù)相同，
8、那么著兩種氣體的,例3：H2的溫度為00C，試求：,解:依能量守恒,氮氣宏觀運動的機械能轉(zhuǎn)化為其內(nèi)能:,或,,6-5麥克斯韋分子速率分布定律,一、伽爾頓板演示：,一個小球落在哪里有偶然性；少量小球的分布每次都可能不同；大量小球的分布卻是穩(wěn)定的。,統(tǒng)計規(guī)律：對大量偶然事件整體起作用的穩(wěn)定的規(guī)律。,【演示】伽爾頓板,N:分子總數(shù)。,N:vv+v區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)。,N/N:vv+v區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比。,二、氣體分子速率的實驗測定：,,三、麥克斯韋分子速率分布定律,速率分布函數(shù)：,為歸一化條件。,f(v)的物理意義：,在v附近，單位速率區(qū)間的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比。,,速率在內(nèi)分子數(shù)：,
9、速率位于區(qū)間的分子數(shù)：,速率位于區(qū)間的分子數(shù)占總數(shù)的百分比：,,,用總分子數(shù)N，氣體分子速率v和速率分布函數(shù)f(v)表示速率大于v0的分子數(shù)：,思考,某一分子在速率v附近的單位速率區(qū)間內(nèi)出現(xiàn)的概率。,某一分子出現(xiàn)在v1v2區(qū)間內(nèi)的概率：,某一分子出現(xiàn)在vv+dv區(qū)間內(nèi)的概率：,f(v)又稱概率密度：,多次觀察某一個分子的速率，發(fā)現(xiàn)其速率大于v0的幾率:,思考：,1860年，Maxwell從理論上得出：,在平衡態(tài)下，一定量氣體不受外力時：,麥克斯韋速率分布律,1、最概然速率Vp：,令,得,四、三種速率：,與f(v)極大值對應的速率。,,關于麥克斯韋速率分布中最概然速率的概念，下面哪種表述正確？（
10、A）是氣體分子中大部分分子所具有的速率.（B）是速率最大的速度值.（C）是麥克斯韋速率分布函數(shù)的最大值.（D）速率大小與最概然速率相近的氣體分子的比例最大.,2、平均速率,3、方均根速率,,三種速率的比較,例1：求分布在v1v2速率區(qū)間的分子平均速率。,解：,例2：速率大于v0的那些分子的平均速率。,解：,對v1v2內(nèi)分子求平均：,對所有分子求平均：,設g(v)是與速率有關的熱力學量，可從速率分布函數(shù)求出g(v)的平均值：,推廣：,1、溫度與分子速率：,五、麥克斯韋速率分布曲線的性質(zhì),2、質(zhì)量與分子速率：,例1：如圖：兩條曲線是氫和氧在同一溫度下分子速率分布曲線，判定哪一條是氧分子的速率分布曲
11、線？,例2：在200C時，He原子和N2分子的方均根速率分別為1.35km/s和0.417km/s。,（1）,（2）,1已知分子數(shù)，分子質(zhì)量，分布函數(shù).求（1）速率在間的分子數(shù)；（2）速率在間所有分子動能之和.,解,2如圖示兩條曲線分別表示氫氣和氧氣在同一溫度下的麥克斯韋速率分布曲線，從圖上數(shù)據(jù)求出兩氣體最概然速率.,解,END,例5有N個粒子，其速率分布函數(shù)為:,（1）作速率分布曲線。（2）由N和v0求常量C。（3）求粒子的平均速率。（4）求粒子的方均根速率。,解：,圓筒B不轉(zhuǎn)，分子束的分子都射在P處。,圓筒B轉(zhuǎn)動，分子束的速率不同的分子將射在不同位置:,六、測定分子速率分布的實驗裝置（北郵
12、）：,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,金屬蒸氣,顯示屏,狹縫,,,六、測定氣體分子速率分布的實驗（馬）,6-6玻爾茲曼能量分布律,平衡態(tài)下，理想氣體的麥克斯韋速率分布律:,在vv+dv,其指數(shù)僅包含分子運動動能,相應于分子不受外力場的影響,玻爾茲曼能量分布律,麥：,海平面處（ep=0），單位體積中，分子速率在vv+dv的分子數(shù)：,玻：,在vv+dvxx+dx、yy+dy、zz+dz,dxdydz,,令：,重力場中粒子按高度的分布,重力場中的等溫氣壓公式,每升高10米，大氣壓強降低133Pa。近似符合實際，可粗略估計高度變化。,,高度計原理,6-7分子碰撞和平均
13、自由程,一、碰撞：,1、氣體運動軌跡為一折線：,如：N2分子在270C時的平均速率為476m.s-1.,矛盾,氣體分子熱運動平均速率高，但氣體擴散過程進行得相當慢。,分子平均碰撞次數(shù)：單位時間內(nèi)一個分子和其它分子碰撞的平均次數(shù).,分子平均自由程：每兩次連續(xù)碰撞之間，一個分子自由運動的平均路程.,兩個問題：,2、碰撞截面：s=pd2,d為分子的有效直徑。,,二、平均碰撞頻率,一秒內(nèi)一個分子與其他分子碰撞的平均次數(shù)。,平均碰撞頻率的計算,設想：跟蹤分子A，看其在一段時間t內(nèi)與多少分子相碰。假設：其他分子靜止不動。,在t內(nèi)，A分子與其他分子碰撞的次數(shù)：,考慮到其他分子也在作熱運動，,三、平均自由程,
14、氣體分子在連續(xù)兩次碰撞之間的各段距離的平均值。,,在標準狀態(tài)下，多數(shù)氣體平均自由程10-8m，只有氫氣約為10-7m。,每秒鐘一個分子竟發(fā)生幾十億次碰撞！,例：一定量的理想氣體，若V不變，T,則,例：一定量的理想氣體，若T不變，P,則,解：,平均碰撞頻率與原來相同。,平均自由程增為的兩倍。,思考題：一定量理想氣體先經(jīng)等容過程，使其溫度升高為原來的四倍，再經(jīng)等溫過程，使體積膨脹為原來的兩倍。根據(jù)和，則平均碰撞頻率增為原來的兩倍；再根據(jù)則平均自由程增為原來的四倍。以上結論是否正確，如有錯誤請改正。,小球在x附近，單位寬度區(qū)間出現(xiàn)的概率,概率密度,,例：伽爾頓板實驗,槽:1,2,3,...,粒子數(shù):N1,N2,N3...,粒子出現(xiàn)在第i槽內(nèi)的概率為：,該槽內(nèi)小球數(shù),小球總數(shù),粒子總數(shù):,x：槽寬,,對1mol理想氣體物態(tài)方程的修正：,（1）體積修正,設V為容器體積，b為1mol分子所占體積。,或,（2）壓強修正,*真實氣體的范德瓦耳斯方程,,,,,,,考慮分子間存在引力，氣體分子施與器壁的壓強應減少一個量值，稱為內(nèi)壓強（pi）。,a為比例系數(shù),,范德瓦耳斯方程：,
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