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1、
專項(xiàng)突破練?7 二次函數(shù)壓軸題
1.(2018?四川達(dá)州)“綠水青山就是金山銀山”的理念已融入人們的日常生活中,因此,越來越多的
人喜歡騎自行車出行.某自行車店在銷售某型號(hào)自行車時(shí),以高出進(jìn)價(jià)的?50%標(biāo)價(jià).已知按標(biāo)價(jià)的九
折銷售該型號(hào)自行車?8?輛與將標(biāo)價(jià)直降?100?元銷售?7?輛獲利相同.
(1)求該型號(hào)自行車的進(jìn)價(jià)和標(biāo)價(jià)分別是多少元?
(2)若該型號(hào)自行車的進(jìn)價(jià)不變,按(1)中的標(biāo)價(jià)出售,該店平均每月可售出?51?輛;若每輛自行車每
降價(jià)?20?元,每月可多售出?3?輛,求該型號(hào)自行車降價(jià)多少元時(shí),每月獲利最大?最大利潤(rùn)是多少?
2、
解(1)設(shè)進(jìn)價(jià)為?x?元,則標(biāo)價(jià)是?1.5x?元,由題意得
1.5x×0.9×8-8x=(1.5x-100)×7-7x,
解得?x=1?000,1.5×1?000=1?500(元),
答:進(jìn)價(jià)為?1?000?元,標(biāo)價(jià)為?1?500?元;
(2)設(shè)該型號(hào)自行車降價(jià)?a?元,利潤(rùn)為?w?元,由題意得?w= (1?500-1?000-a),
=- (a-80)2+26?460,
∵- <0,∴當(dāng)?a=80?時(shí),w?最大=26?460,
答:該型號(hào)自行車降價(jià)?80?元出售每月獲利最大,最大利潤(rùn)是
3、?26?460?元.
2.(2018?福建)如圖,在足夠大的空地上有一段長(zhǎng)為?a?米的舊墻?MN,某人利用舊墻和木欄圍成一個(gè)矩
形菜園?ABCD,其中?AD≤MN,已知矩形菜園的一邊靠墻,另三邊一共用了?100?米木欄.
(1)若?a=20,所圍成的矩形菜園的面積為?450?平方米,求所利用舊墻?AD?的長(zhǎng);
(2)求矩形菜園?ABCD?面積的最大值.
解(1)設(shè)?AB=x?m,則?BC=(100-2x)m,
根據(jù)題意得?x(100-2x)=450,解得?x1=5,x2=45,
當(dāng)?x=5?時(shí),100-2x=90>20,
4、不合題意舍去;
當(dāng)?x=45?時(shí),100-2x=10,答:AD?的長(zhǎng)為?10?m.
(2)設(shè)?AD=x?m,
∴S= x(100-x)=- (x-50)2+1?250,
1
當(dāng)?a≥50?時(shí),則?x=50?時(shí),S?的最大值為?1?250;
當(dāng)?0
5、
3.(2018?甘肅定西)如圖,已知二次函數(shù)?y=ax2+2x+c?的圖象經(jīng)過點(diǎn)?C(0,3),與?x?軸分別交于點(diǎn)?A,點(diǎn)
B(3,0).點(diǎn)?P?是直線?BC?上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn).
(1)求二次函數(shù)?y=ax2+2x+c?的表達(dá)式;
(2)連接?PO,PC并把 POC?沿?y?軸翻折,得到四邊形?POP'C.若四邊形?POP'C?為菱形,請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)?P
的坐標(biāo);
(3)當(dāng)點(diǎn)?P?運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí),四邊形?ACPB?的面積最大?求出此時(shí)?P?點(diǎn)的坐標(biāo)和四邊形?ACPB?的最大
面積
6、.
解(1)將點(diǎn)?B?和點(diǎn)?C?的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式,得
解得
二次函數(shù)的解析是為?y=-x2+2x+3.
(2)若四邊形?POP'C?為菱形,則點(diǎn)?P?在線段?CO?的垂直平分線上,
圖?1
如圖?1,連接?PP',則?PE⊥CO,垂足為?E,
∵C(0,3),
∴E ,
2
∴點(diǎn)?P?的縱坐標(biāo) ,當(dāng)?y= 時(shí),
即-x2+2x+3=
7、,
解得?x1= ,x2= (不合題意,舍),∴點(diǎn)?P?的坐標(biāo)為 .
圖?2
(3)如圖?2,
P?在拋物線上,設(shè)?P(m,-m2+2m+3),
設(shè)直線?BC?的解析式為?y=kx+b,
將點(diǎn)?B?和點(diǎn)?C?的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式,得 解得
2
直線?BC?的解析為?y=-x+3,過點(diǎn)?P?作?x?軸的垂線,交?BC?于點(diǎn)?Q,交?x?軸于點(diǎn)?F,
設(shè)點(diǎn)?Q?的坐標(biāo)為(m,-m+3),
PQ=-m?+2m+3-(-m+3)=-m2+3m.
8、當(dāng)?y=0?時(shí),-x2+2x+3=0,
解得?x1=-1,x2=3,OA=1,AB=3-(-1)=4,
S?四邊形?ABPC?ABC?PCQ?PBQ
= AB·OC+ PQ?·OF+ PQ·FB
= ×4×3+ (-m2+3m)×3
=- ,
3
當(dāng)?m= 時(shí),四邊形?ABPC?的面積最大.
當(dāng)?m= 時(shí),-m2+2m+3=
,即?P?點(diǎn)的坐標(biāo)為????????.
當(dāng)點(diǎn)?P?
9、的坐標(biāo)為 時(shí),四邊形?ACPB?的最大面積值為 .
4.(2018?湖南懷化)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線?y=ax2+2x+c?與?x?軸交于?A(-1,0),B(3,0)兩點(diǎn),
與?y?軸交于點(diǎn)?C,點(diǎn)?D?是該拋物線的頂點(diǎn).
(1)求拋物線的解析式和直線?AC?的解析式;
(2)請(qǐng)?jiān)?y?軸上找一點(diǎn)?M使 BDM?的周長(zhǎng)最小,求出點(diǎn)?M?的坐標(biāo);
(3)試探究:在拋物線上是否存在點(diǎn)?P,使以點(diǎn)?A,P,C?為頂點(diǎn),AC?為直角邊的三角形是直角三角形?若
存在,請(qǐng)求出符合條件的點(diǎn)?P?的坐標(biāo)
10、;若不存在,請(qǐng)說明理由.
解(1)設(shè)拋物線解析式為?y=a(x+1)(x-3),
即?y=ax2-2ax-3a,
∴-2a=2,解得?a=-1,
∴拋物線解析式為?y=-x2+2x+3;
當(dāng)?x=0?時(shí),y=-x2+2x+3=3,則?C(0,3),
設(shè)直線?AC?的解析式為?y=px+q,
把?A(-1,0),C(0,3)代入得
解得??????????∴直線?AC?的解析式為?y=3x+3.
(2)∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,
∴頂點(diǎn)?D?的坐標(biāo)為(1,4),
作?B?點(diǎn)關(guān)于?y?軸的
11、對(duì)稱點(diǎn)?B',連接?DB'交?y?軸于?M,如圖?1,則?B'(-3,0),
∵M(jìn)B=MB',
,
∴MB+MD=MB'+MD=DB'此時(shí)?MB+MD?的值最小,而?BD?的值不變,
此時(shí) BDM?的周長(zhǎng)最小,
易得直線?DB'的解析式為?y=x+3,
當(dāng)?x=0?時(shí),y=x+3=?3,
4
∴點(diǎn)?M?的坐標(biāo)為(0,3).
(3)存在.
過點(diǎn)?C?作?AC?的垂線交拋物線于另一點(diǎn)?P,如圖?2,
∵直線?AC?的解析式為?y=3x+3,
∴直線?PC?的解析式可設(shè)為?y=- x+
12、b,
把?C(0,3)代入得?b=3,
∴直線?PC?的解析式為?y=- x+3,
解方程組 解得 則此時(shí)?P?點(diǎn)坐標(biāo)為
;
過點(diǎn)?A?作?AC?的垂線交拋物線于另一點(diǎn)?P,直線?PC?的解析式可設(shè)為?y=- x+b,
把?A(-1,0)代入得 +b=0,解得?b=- ,
∴直線?PC?的解析式為?y=- x- ,
解方程組 解得 則此時(shí)?P?點(diǎn)坐標(biāo)為
,
綜上所述,符
13、合條件的點(diǎn)?P?的坐標(biāo)為 .
5
5.(2018?上海)在平面直角坐標(biāo)系?xOy?中(如圖).已知拋物線?y=-?x2+bx+c?經(jīng)過點(diǎn)?A(-1,0)和點(diǎn)
B ,頂點(diǎn)為?C,點(diǎn)?D?在其對(duì)稱軸上且位于點(diǎn)?C?下方,將線段?DC?繞點(diǎn)?D?按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)?90°,點(diǎn)
C?落在拋物線上的點(diǎn)?P?處.
(1)求這條拋物線的表達(dá)式;
(2)求線段?CD?的長(zhǎng);
(3)將拋物線
14、平移,使其頂點(diǎn)?C?移到原點(diǎn)?O?的位置,這時(shí)點(diǎn)?P?落在點(diǎn)?E?的位置,如果點(diǎn)?M?在?y?軸上,且
以?O,D,?E,M?為頂點(diǎn)的四邊形面積為?8,求點(diǎn)?M?的坐標(biāo).
解(1)把?A(-1,0)和點(diǎn)?B 代入?y=-?x2+bx+c?得
解得
∴拋物線解析式為?y=- x2+2x+ .
(2)∵y=- (x-2)2+
,
∴C ,拋物線的對(duì)稱軸為直線?x=2,
如圖,設(shè)?CD=t,
15、
則?D ,
6
∵線段?DC?繞點(diǎn)?D?按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)?90°,點(diǎn)?C?落在拋物線上的點(diǎn)?P?處,
∴∠PDC=90°,DP=DC=t,
∴P ,
把?P
代入?y=-????x2+2x+????得-????(2+t)2+2(2+t)+
-t,
整理得?t2-2t=0,解得?t1=0(舍去),t2=2,
∴線段?CD?的長(zhǎng)為?2.
(3)P?點(diǎn)坐標(biāo)為 ,D?點(diǎn)坐標(biāo)為 ,
∵拋物線平移,使其頂點(diǎn)?C 移到原點(diǎn)?O?的位
16、置,∴拋物線向左平移?2?個(gè)單位,向下平移
個(gè)單位,
而?P?點(diǎn) 向左平移?2?個(gè)單位,向下平移 個(gè)單位得到點(diǎn)?E,
∴E?點(diǎn)坐標(biāo)為(2,-2),設(shè)?M(0,m),
當(dāng)?m>0?時(shí), ·2=8,
解得?m= ,此時(shí)?M?點(diǎn)坐標(biāo)為 ;
當(dāng)?m<0?時(shí), ·2=8,解得?m=- ,此時(shí)?M?點(diǎn)坐標(biāo)為 ;
綜上所述,M?點(diǎn)的坐標(biāo)為 .
7
17、
6.(2018?廣西南寧)如圖,拋物線?y=ax2-5ax+c?與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)?A,C,E?三點(diǎn),其中?A(-
3,0),C(0,4),點(diǎn)?B?在?x?軸上,AC=BC,過點(diǎn)?B?作?BD⊥x?軸交拋物線于點(diǎn)?D,點(diǎn)?M,N?分別是線段?CO,BC?上
的動(dòng)點(diǎn),且?CM=BN,連接?MN,AM,AN.
(1)求拋物線的解析式及點(diǎn)?D?的?坐標(biāo);
(2)當(dāng)△CMN?是直角三角形時(shí),求點(diǎn)?M?的坐標(biāo);
(3)試求出?AM+AN?的最小值.
解(1)把?A(-3,0),C(0,4)代入?y=ax2-5ax+c?得 解得
18、
∴拋物線解析式為?y=- x2+ x+4;
∵AC=BC,CO⊥AB,
∴OB=OA=3,∴B(3,0),
∵BD⊥x?軸交拋物線于點(diǎn)?D,
∴D?點(diǎn)的橫坐標(biāo)為?3,
當(dāng)?x=3?時(shí),y=- ×9+ ×3+4=5,
∴D?點(diǎn)坐標(biāo)為(3,5).
(2)在? OBC?中,BC= =5,
設(shè)?M(0,m),則?BN=4-m,CN=5-(4-m)=m+1,∵∠MCN=∠OCB,
∴當(dāng) 時(shí) CMN∽△COB,則∠CMN=∠COB=90°,即 ,解得?m=
19、
,此
時(shí)?M?點(diǎn)坐標(biāo)為 ;
當(dāng) 時(shí) CMN∽△CBO,
8
則∠CNM=∠COB=90°,即 ,解得?m= ,此時(shí)?M?點(diǎn)坐標(biāo)為 ;
綜上所述,M?點(diǎn)的坐標(biāo)為 .
(3)連接?DN,AD,如圖,
∵AC=BC,CO⊥AB,
∴OC?平分∠ACB,
∴∠ACO=∠BCO,
∵BD∥OC,∴∠BCO=∠DBC,
∵DB=BC=AC=5,CM=BN,
,
?ACM≌△DBN,∴A?M=DN,
∴AM+AN=DN+AN
而?DN+AN≥AD(當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)?A,N,D?共線時(shí)取等號(hào)),
∴DN+AN?的最小值= ,
∴AM+AN?的最小值為 .
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2019年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 專項(xiàng)突破練7 二次函數(shù)壓軸題練習(xí)
