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1、1,第六章 二次型,第四節(jié) 二次型及其矩陣表示 第五節(jié) 標(biāo)準(zhǔn)型 第七節(jié) 正定二次型,,,第八節(jié) 正交替換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形,2,在第五章第四節(jié)的開頭，我們指出，二次曲 面 S 在直角坐標(biāo)系 I中的方程是,為了判斷S是什么樣的曲面，應(yīng)作直角坐標(biāo)變換,,其中 T 是正交矩陣, 使得在新的直角坐標(biāo)系中，左端的二次項(xiàng)部分,,3,,變成,,4,于是可判斷S是什么樣的二次曲面。,式的每一項(xiàng)都是2次，稱它為x,y,z的二,二次型。上述問題表明，需要研究二次型在象,式那樣的變量替換下，變成只含平方項(xiàng),的二次型。本章就來對(duì)一般的二次型研究這樣,其中TTAT是對(duì)角陣，從而式只含平方項(xiàng)，,的問題。,5,第四節(jié) 二次型
2、及其矩陣表示,一. 二次型的概念 二. 二次型的矩陣表示 三.可逆線性替換與二次型 四.矩陣的合同,6,觀察如下多項(xiàng)式：,共同點(diǎn)：多項(xiàng)式中每一項(xiàng)都是二次的。,我們把這樣的多項(xiàng)式稱為二次型。,一二次型的概念,7,n 個(gè)變量x1, x2, , xn 的二次齊次多項(xiàng)式,(其中所有系數(shù)aij 是數(shù)域P 中的數(shù)),,稱為數(shù)域P上的一個(gè)n 元二次型，簡(jiǎn)稱為二次型.,定義：,,8, 若系數(shù)aij 是復(fù)數(shù)，則稱 f (x1, x2, , xn ),為復(fù)二次型., 若系數(shù)aij 是實(shí)數(shù)，則稱 f (x1, x2, , xn ),為實(shí)二次型.,如：,是三元復(fù)二次型,說明:,是二元實(shí)二次型,不是二次型,9,式也可以
3、寫成,令,二.二次型的矩陣形表示,10,稱式為二次型的矩陣形式,則二次型可以寫成：,,也稱為對(duì)稱矩陣A的二次型 . 對(duì)稱矩陣A 的秩,稱為二次型 f (x1, x2, , xn ) 的秩.,關(guān)系，稱A為二次型 f (x1, x2, , xn ) 的矩陣, f,A為對(duì)稱矩陣, 且與二次型 f 有一一對(duì)應(yīng),說明:,注:,二次型的矩陣是唯一的：它的主對(duì)角元是,平方項(xiàng)的系數(shù),,系數(shù)的一半。,11,如,則,12,例1：,寫出二次型,的矩陣.,解：,二次型的矩陣為,13,例2： 設(shè)實(shí)對(duì)稱陣,求A 對(duì)應(yīng)的二次型.,解：因?yàn)锳 是3階方陣，所以二次型有3個(gè)變量，,14,三可逆線性替換與二次型,的線性替換為,,
4、定義: 設(shè),15,則,即, 若C 可逆，則稱線性替換 為可逆線性替換, 若矩陣C 是正交矩陣，則稱為正交線性替,換，簡(jiǎn)稱為正交替換.,(或非退化線性替換) ,簡(jiǎn)稱為可逆替換.,16,設(shè)二次型,為可逆替換，則有, A 是對(duì)稱矩陣，,也是對(duì)稱矩陣.,關(guān) 變,可逆線性替換將二次型變成二次型.,證：,定理:,B是它的矩陣。且,17,例3 設(shè)二次型,及可逆替換,二次型 f 的矩陣為,可逆替換的矩陣為,解：,18,為所求新二次型 .,設(shè),19,四矩陣的合同,設(shè)A , B 是兩個(gè)n 階方陣，如果存在可逆,矩陣C ，使得,則稱 A 與B 是合同的,易知, 若存在可逆替換把二次型XTAX 化成,二次型YTBY,
5、 則A與B合同。,定義：,合同是矩陣間的一種等價(jià)關(guān)系，滿足,說明:,反身性,對(duì)稱性,傳遞性。,20,數(shù)域 P 上n 元二次型能不能經(jīng)過可逆替換,化成只含平方項(xiàng)的二次型？,而二次型只含平方,本問題也就是：數(shù)域 P 上的n階對(duì)稱矩陣能不,項(xiàng)當(dāng)且僅當(dāng)它的矩陣是對(duì)角陣，因此研究的基,能合同于一個(gè)對(duì)角陣？,對(duì)于實(shí)數(shù)域上的n階對(duì)稱陣A,我們已經(jīng)知,道:存在正交矩陣T使得,為對(duì)角陣,,本章研究的基本問題是：,即A合同于對(duì)角陣。,從而對(duì)于實(shí)數(shù)域上的 n 元二,次型,存在正交替換X=TY 把它化成只含平,方項(xiàng)的二次型，即,21,為A的全部特征值。,問題:,對(duì)于任意數(shù)域 P 上二次型及對(duì)稱矩陣 A,是否也有類似的結(jié)論？,即使對(duì)于實(shí)數(shù)域上的二,替換化成只含平方項(xiàng)的二次型？,次型，能不能不作正交替換，而作一般的可逆,
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