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1、,二 次 函 數,復習與小結,,一、二次函數的概念及其關系式 1.二次函數的概念：形如__________(a，b，c是常數，a0) 的函數. 2.二次函數的關系式： (1)一般式：________________. (2)頂點式：y=a(x-h)2+k(a0)，其頂點坐標是_______.,y=ax2+bx+c,y=ax2+bx+c(a0),(h，k),二、二次函數y=ax2+bx+c(a0)的圖象與性質 1.當a0時 (1)開口方向：向上.(2)頂點坐標：(_____ ).(3)對稱軸：直線_________. (4)增減性：當x 時，y隨x的增大而_____. (5)最值：當x= 時
2、，y最小值=__________.,減小,增大,2.當a 時，y隨x的增大而_____. (5)最值：當x= 時，y最大值=_________.,增大,減小,【思維診斷】(打“”或“”) 1.y=ax2+2x+3是二次函數.( ) 2.二次函數y=3(x+3)2-2的頂點坐標是(3，-2).( ) 3.二次函數y=x2-2的對稱軸是y軸，有最小值-2.( ) 4.二次函數y=x2先向右平移2個單位，再向下平移3個單位，得 到的函數表達式是y=(x+2)2-3.( ),,,,,熱點考向一 二次函數的圖象和性質 【例1】已知二次函數y=ax2+bx+c(a0) 的圖象如圖所示，則下列說法：c=0
3、； 該拋物線的對稱軸是直線x=-1； 當x=1時，y=2a；am2+bm+a0(m-1). 其中正確的個數是() A.1B.2C.3D.4,【思路點撥】二次函數y=a(x-h)2+k(a0)根據a確定開口方向，頂點坐標為(h，k)，對稱軸為直線x=h，增減性結合開口方向，分對稱軸左右兩部分來考慮.,【自主解答】選C.二次函數y=ax2+bx+c的圖象經過原點， c=0，故正確；二次函數與x軸的交點坐標是(-2，0)和 (0，0)，對稱軸是直線x=-1，故正確； ， b=2a，當x=1時，y=a+b+c=a+2a+c=3a，故不正確； b=2a，am2+bm+a=am2+2am+a=a(m+
4、1)2，又m-1，a0， a(m+1)20，故正確.,【規(guī)律方法】二次函數y=a(x-h)2+k(a0)的性質 1.a0時，開口向上，a0時，當xh時，y隨x的增大而增大，當xh時，y隨x的增大而減小，當x
5、)用含有字母的代數式表示各函數值，然后進行比較. (2)在相應的范圍內取未知字母的特殊值，采用特殊值法求解. (3)根據二次函數的性質，結合函數圖象比較.,熱點考向二 二次函數表達式的確定 【例2】在平面直角坐標系xOy中， 拋物線y=mx2-2mx-2(m0)與y軸 交于點A，其對稱軸與x軸交于點B.,(1)求點A，B的坐標. (2)設直線l與直線AB關于該拋物線的對稱軸對稱，求直線 l的表達式. (3)若該拋物線在-2
6、稱軸方程，即可得到點B的坐標. (2)求出點A關于對稱軸的對稱點(2，-2)，然后設直線l的表達式為y=kx+b(k0)，利用待定系數法求一次函數表達式即可. (3)根據二次函數的對稱性判斷在2
7、為y=-2x+2.,(3)拋物線對稱軸為x=1，拋物線在2
8、(x-x1)(x-x2)(a0)，其中(x1，0)，(x2，0)為拋物線與x軸的交點. 一般已知三點坐標用一般式；已知頂點及另一個點坐標用頂點式；已知拋物線與x軸的兩個交點坐標及另一個點的坐標用交點式.,【真題專練】 1.(2013牡丹江中考)如圖，拋物線y=x2+bx+c過點A(-4， -3)，與y軸交于點B，對稱軸是x=-3，請回答下列問題： (1)求拋物線的表達式. (2)若和x軸平行的直線與拋物線交于 C，D兩點，點C在對稱軸左側，且CD=8， 求BCD的面積.注：拋物線y=ax2+bx+c (a0)的對稱軸是 .,【解析】(1)對稱軸是 ，b=6. 又拋物線y=x2+bx+c過
9、點A(-4，-3)， (-4)2+6(-4)+c=-3，解得c=5. 拋物線的表達式為y=x2+6x+5.,(2)和x軸平行的直線與拋物線交于C，D兩點，點C在對稱軸左側，且CD=8，點C的橫坐標為-7，點C的縱坐標為y=(-7)2+6(-7)+5=12. 又拋物線與y軸交于點B(0，5)， CD邊上的高為12-5=7， SBCD= 87=28.,【知識拓展】二次函數的圖象是拋物線，是軸對稱圖形， 圖象上縱坐標相等的兩個點關于對稱軸對稱.,【例3】(2013牡丹江中考)拋物線 y=ax2+bx+c(a0的解 集是() A.x-3 C.-31,熱點考向四 二次函數與方程或不等式,【解析】選C.觀
10、察圖象，可知當-30，即ax2+bx+c0， 關于x的不等式ax2+bx+c0的解集是-3
11、 bc0 2a-3c0 ax2+bx+c=0有兩個解x1，x2，x10，x20 當x1時，y隨x增大而減小 A.2B.3C.4D.5,【解析】選B.開口向上得a0，對稱軸在y軸右側得b<0，圖象交y軸負半軸得c<0，可知正確，錯誤；由對稱軸x= <1可知正確；函數圖象與x軸有兩個交點可知正確；由圖象可知錯誤.,命題新視角 二次函數圖象的平移 【例】如圖，拋物線y=x2+bx+ 與y軸相交 于點A，與過點A平行于x軸的直線相交于 點B(點B在第一象限).拋物線的頂點C在 直線OB上，對稱軸與x軸相交于點D.平移 拋物線，使其經過點A，D，則平移后的 拋物線的表達式為.,【審題視點】,【自主解答】
12、C在對稱軸上，A，B關于對稱軸對稱，C是OB 的中點，C點坐標為 ，把C點坐標代入y=x2+bx+ ， 得 ，解得b=3(舍去)或b=-3，所以D點坐 標為 . 設平移后的拋物線的表達式為y=x2+kx+ ，將D點坐標代入 y=x2+kx+ ，解得k= ，故平移后的拋物線的表達式為 y=x2- x+ . 答案：y=x2- x+,【規(guī)律方法】解決拋物線平移的兩種方法 1.代數法：拋物線的平移遵循“左加右減，上加下減”的原則，據此，可以直接由表達式中常數的加或減求出變化后的表達式. 2.幾何法：通過畫圖的方法，根據圖中頂點坐標的變化，寫出變化后的表達式的頂點式.,【真題專練】 1.在同
13、一平面直角坐標系內，將函數y=2x2+4x-3的圖象向右平移2個單位，再向下平移1個單位得到圖象的頂點坐標是() A.(-3，-6)B.(1，-4) C.(1，-6)D.(-3，-4),【解析】選C.y=2x2+4x-3=2(x+1)2-5，把y=2(x+1)2-5的圖象向右平移2個單位，再向下平移1個單位， y=2(x+1-2)2-5-1=2(x-1)2-6， 平移后的圖象的頂點坐標是(1，-6).,2.把拋物線y=-2x2先向右平移1個單位長度，再向上平移2個單位長度后，所得函數的關系式為() A.y=-2(x+1)2+2B.y=-2(x+1)2-2 C.y=-2(x-1)2+2D.y=-
14、2(x-1)2-2,【解析】選C.把拋物線y=-2x2向右平移1個單位長度，得到拋物線的函數關系式為y=-2(x-1)2，再向上平移2個單位長度，得到拋物線的函數關系式為y=-2(x-1)2+2.,3.下列二次函數的圖象，不能通過函數y=3x2的圖象平移得到的是() A.y=3x2+2B.y=3(x-1)2 C.y=3(x-1)2+2D.y=2x2,【解析】選D.函數y=3x2的圖象平移后，二次項系數仍然是3，不可能變?yōu)?，故選D.,【方法技巧】求一般式的拋物線平移后的表達式的方法 應先將拋物線用配方法化為頂點式，再按拋物線的平移規(guī)律：左右平移在括號里對橫坐標x進行加減運算(左加右減)；上下平移對常數進行加減運算(上加下減).,【典例】(2013黃石中考)若關于x的函數y=kx2+2x-1與x軸僅有一個公共點，則實數k的值為.,【誤區(qū)警示】,【規(guī)避策略】 根據函數圖象與x軸的交點個數求函數表達式中參數的值，當題目中沒有明確說明是二次函數時注意分類討論.因為一次函數與x軸也有交點.,
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