人教版八下數(shù)學(xué) 期中復(fù)習(xí)專題集訓(xùn) 專題集訓(xùn)一 利用勾股定理解決問題（含答案）

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1、 人教版八下數(shù)學(xué) 期中復(fù)習(xí)專題集訓(xùn) 專題集訓(xùn)一 利用勾股定理解決問題 1. 以下是甲、乙兩人證明 15+8≠15+8 的過程： 甲：因為 15>9=3，8>4=2， 所以 15+8>3+2=5 且 15+8=23<25=5， 所以 15+8>5>15+8， 故 15+8≠15+8； 乙：作一個直角三角形，兩股長分別為 15，8， 利用勾股定理 152+82=15+8， 得斜邊長為 15+8， 因為 15+8，15，8 為此三角形的三邊長， 所以 15+8>15+8， 故 15+8≠15+8； 判斷兩人的證法可得 ?? A．兩人都正確 B．兩人都錯誤 C．

2、甲正確，乙錯誤 D．甲錯誤，乙正確 2. 如圖，四邊形 ABCD 為矩形，過點 D 作對角線 BD 的垂線，交 BC 的延長線于點 E，取 BE 的中點 F，連接 DF，DF=4．設(shè) AB=x，AD=y，則 x2+y-42 的值為 ?? A． 4 B． 42 C． 16 D． 162 3. 如圖，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，AD=CD=7，若點 P 到 AC 的距離為 5，則點 P 在四邊形 ABCD 四條邊上的個數(shù)為 ?? A． 0 B． 2 C． 3 D． 4 4. △ABC 中，AB=AC=5，BC=8，點 P 是 BC

3、邊上的動點，過點 P 作 PD⊥AB 于點 D，PE⊥AC 于點 E，則 PD+PE 的長是 ?? A． 4.8 B． 4.8 或 3.8 C． 3.8 D． 5 5. 如圖，射線 MN⊥AB，AM=1?cm，MB=4?cm．點 C 從 M 出發(fā)以 2?cm/s 的速度沿射線 MN 運動，設(shè)點 C 的運動時間為 ts． （1）當(dāng) △ABC 為等腰三角形時，t 的值為 ； （2）當(dāng) △ABC 為直角三角形時，t 的值為 ； （3）當(dāng) t 滿足條件： 時，△ABC 為鈍角三角形；當(dāng) 時，△ABC 為銳角三角形． 6. 在探究矩形的性質(zhì)

4、時，小明得到了一個有趣的結(jié)論：矩形兩條對角線的平方和等于四條邊的平方和．如圖 1，在矩形 ABCD 中，由勾股定理，得 AC2=AB2+BC2，BD2=AB2+AD2，又 CD=AB，AD=BC，所以 AC2+BD2=AB2+BC2+CD2+AD2=2AB2+BC2． 小亮對菱形進行了探究，也得到了同樣的結(jié)論，于是小亮猜想：任意平行四邊形的兩條對角線的平方和等于四條邊的平方和．請你解決下列問題： (1) 如圖 2，已知：四邊形 ABCD 是菱形，求證：AC2+BD2=2AB2+BC2； (2) 你認(rèn)為小亮的猜想是否成立，如果成立，請利用圖 3 給出證明；如果不成立，請舉反例說

5、明； (3) 如圖 4，在 △ABC 中，BC，AC，AB 的長分別為 a，b，c，AD 是 BC 邊上的中線．試求 AD 的長．（結(jié)果用 a，b，c 表示） 答案 1. 【答案】A 2. 【答案】C 3. 【答案】A 4. 【答案】A 5. 【答案】 32 或 6 ； 1 ； 01 6. 【答案】 (1) ①設(shè) AC 與 BD 相交于點 O， ∵ 四邊形 ABCD 是菱形， ∴AC⊥BD，AC=2OA，BD=2OB， 在 Rt△AOB 中，由勾股定理，得 OA2+OB2=AB2， ∴AC2+BD2

6、=4OA2+4OB2=4OA2+OB2=4AB2， 又 ∵AB=BC， ∴AC2+BD2=2AB2+AB2=2AB2+BC2． (2) 小亮的猜想成立． 如圖 3，作 AE⊥BC 于點 E，DF⊥BC 交 BC 的延長線于點 F， 則 ∠AEB=∠DFC=90°， ∵ 四邊形 ABCD 是平行四邊形， ∴AB=DC，AB∥CD， ∴∠ABE=∠DCF， ∴△ABE≌△DCF， ∴AE=DF，BE=CF， 在 Rt△ACE 和 Rt△BDF 中，由勾股定理，得 AC2=AE2+EC2=AE2+BC-BE2，BD2=DF2+BF2=DF2+BC+CF2=AE2+BC+BE2， ∴AC2+BD2=2AE2+2BC2+2BE2=2AE2+BE2+2BC2， 又 AE2+BE2=AB2， 故 AC2+BD2=2AB2+BC2． (3) 如圖 4，延長 AD 到 E，使 DE=AD，連接 BE，CE， 則 AE=2AD， ∵BD=CD， ∴ 四邊形 ABEC 是平行四邊形， 由（2）的結(jié)論，得 AE2+BC2=2AB2+AC2， 即 2AD2+a2=2b2+c2， 解得 AD2=142b2+2c2-a2， 故 AD=122b2+2c2-a2．