【第一方案】高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第七章 不等式、推理與證明第五節(jié) 合情推理與演繹推理練習(xí)

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1、 第五節(jié) 合情推理與演繹推理 一、選擇題(6×5分=30分) 1.下列幾種推理過程是演繹推理的是(  ) A.兩條平行直線與第三條直線相交,內(nèi)錯角相等,如果∠A和∠B是兩條平行直線的內(nèi)錯角,則∠A=∠B B.金導(dǎo)電,銀導(dǎo)電,銅導(dǎo)電,鐵導(dǎo)電,所以一切金屬都導(dǎo)電 C.由圓的性質(zhì)推測球的性質(zhì) D.科學(xué)家利用魚的沉浮原理制造潛艇 解析:兩條平行直線與第三條直線相交,內(nèi)錯角相等,(大前提) ∠A與∠B是兩條平行直線的內(nèi)錯角,(小前提) ∠A=∠B.(結(jié)論) B是歸納推理,C、D是類比推理. 答案:A 2.下面使用類比推理正確的是(  ) A.“若a·3=b·3,則a=b”類推

2、出“若a·0=b·0,則a=b” B.“(a+b)c=ac+bc”類推出“=+” C.“(a+b)c=ac+bc”類推出“=+(c≠0)” D.“(ab)n=anbn”類推出“(a+b)n=an+bn” 解析:由類比推理的特點(diǎn)可知C正確. 答案:C 3.由>,>,>,…若a>b>0且m>0,則與之間大小關(guān)系為(  ) A.相等        B.前者大 C.后者大 D.不確定 解析:觀察題設(shè)規(guī)律,由歸納推理易得>. 答案:B 4.如圖所示,面積為S的平面凸四邊形的第i條邊的邊長記為ai(i=1,2,3,4),此四邊形內(nèi)任一點(diǎn)P到第i條邊的距離為hi(i=1,2,3,4)

3、,若====k,則(ihi)=.類比以上性質(zhì),體積為V的三棱錐的第i個(gè)面的面積記為Si(i=1,2,3,4),此三棱錐內(nèi)任一點(diǎn)Q到第i個(gè)面的距離記為Hi(i=1,2,3,4),若====K,則(iHi)=(  ) A. B. C. D. 解析:平面中的面積與空間中的體積類比,平面二維與空間三維類比. 答案:B 5.(2011·舟山模擬)定義A*B,B*C,C*D,D*A的運(yùn)算分別對應(yīng)圖中的(1)、(2)、(3)、(4),那么圖中(A)、(B)所對應(yīng)的運(yùn)算結(jié)果可能是(  ) A.B*D、A*D B.B*D、A*C C.B*C、A*D D.C*D、A*D 解析:

4、根據(jù)(1)、(2)、(3)、(4)可知A對應(yīng)|; B對應(yīng)□;C對應(yīng)——;D對應(yīng)○. 答案:B 6.(2011·清遠(yuǎn)模擬)設(shè)f(x)=,又記f1(x)=f(x),fk+1(x)=f(fk(x)),k=1,2,…,則f2 009(x)等于(  ) A.- B.x C. D. 解析:計(jì)算f2(x)=f()==-, f3(x)=f(-)==,f4(x)==x, f5(x)=f1(x)=,歸納得f4k+1(x)=,k∈N*, 從而f2 009(x)=. 答案:D 二、填空題(3×5分=15分) 7.(2011·南陽模擬)觀察下列圖形中小正方形的個(gè)數(shù),則第6個(gè)圖中有_____

5、___個(gè)小正方形. 解析:第1~5個(gè)圖形中分別有3,6,10,15,21個(gè)小正方形,它們分別為1+2,1+2+3,1+2+3+4,1+2+3+4+5,1+2+3+4+5+6, 因此an=1+2+3+…+(n+1). 故a6=1+2+3+…+7==28, 即第6個(gè)圖中有28個(gè)小正方形. 答案:28 8.(2011·福州模擬)根據(jù)三角恒等變換,可得如下等式: cosθ=cosθ; cos2θ=2cos2θ-1; cos3θ=4cos3θ-3cosθ; cos4θ=8cos4θ-8cos2θ+1; cos5θ=16cos5θ-20cos3θ+5cosθ. 依此規(guī)律,猜測c

6、os6θ=32cos6θ+mcos4θ+ncos2θ-1,其中m+n=________. 解析:由所給的三角恒等變換等式可知,系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)的和是1,∴32+m+n-1=1,∴m+n=-30. 答案:-30 9.(2010·福建高考)觀察下列等式: ①cos2α=2cos2α-1; ②cos4α=8cos4α-8cos2α+1; ③cos6α=32cos6α-48cos4α+18cos2α-1; ④cos8α=128cos8α-256cos6α+160cos4α-32cos2α+1; ⑤cos10α=mcos10α-1 280cos8α+1 120cos6α+ncos4α+pco

7、s2α-1. 可以推測,m-n+p=________. 解析:各式第一項(xiàng)系數(shù)依次為2,23,25,27,m,依規(guī)律可得m=29=512;各式中cos2α的系數(shù)依次為2×12,-2×22,2×32,-2×42,p,由規(guī)律推出p=2×52=50;由各式系數(shù)和為1可推出n=-400,則m-n+p=962. 答案:962 三、解答題(共37分) 10.(12分)(2011·青島調(diào)研)已知橢圓具有性質(zhì):若M、N是橢圓C上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個(gè)點(diǎn),點(diǎn)P是橢圓上任意一點(diǎn),當(dāng)直線PM、PN的斜率都存在,并記為kPM,kPN時(shí),那么kPM與kPN之積是與點(diǎn)P的位置無關(guān)的定值.試對雙曲線-=1寫出具有類似特

8、性的性質(zhì),并加以證明. 解析:類似的性質(zhì)為:若M、N是雙曲線-=1上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個(gè)點(diǎn),點(diǎn)P是雙曲線上任意一點(diǎn),當(dāng)直線PM、PN的斜率都存在,并記為kPM,kPN時(shí),那么kPM與kPN之積是與點(diǎn)P的位置無關(guān)的定值. 證明如下: 設(shè)點(diǎn)M、P的坐標(biāo)分別為(m,n),(x,y), 則N(-m,-n). 因?yàn)辄c(diǎn)M(m,n)在已知雙曲線上, 所以n2=m2-b2.同理y2=x2-b2. 則kPM·kPN=·= =·=(定值). 11.(12分)先閱讀下列不等式的證法,再解決后面的問題: 已知a1,a2∈R,a1+a2=1,求證a12+a22≥. 證明:構(gòu)造函數(shù)f(x)=(x-a1

9、)2+(x-a2)2, f(x)=2x2-2(a1+a2)x+a12+a22=2x2-2x+a12+a22. 因?yàn)閷σ磺衳∈R,恒有f(x)≥0,所以Δ=4-8(a12+a22)≤0,從而得a12+a22≥. (1)若a1,a2,…,an∈R,a1+a2+…+an=1,請寫出上述問題的推廣式; (2)參與上述證法,對你推廣的問題加以證明. (1)解析:若a1,a2,…,an∈R,a1+a2+…+an=1. 求證:a12+a22+…+an2≥. (2)證明:構(gòu)造函數(shù)f(x)=(x-a1)2+(x-a2)2+…+(x-an)2 =nx2-2(a1+a2+…+an)x+a12+a22

10、+…+an2=nx2-2x+a12+a22+…+an2.因?yàn)閷σ磺衳∈R,都有f(x)≥0,所以Δ=4-4n(a12+a22+…+an2)≤0, 從而證得:a12+a22+…+an2≥. 12.(13分)(2011·廣東六校)某少數(shù)民族的刺繡有著悠久的歷史,如圖(1)、(2)、(3)、(4)為她們刺繡最簡單的四個(gè)圖案,這些圖案都是由小正方形構(gòu)成,小正方形數(shù)越多刺繡越漂亮.現(xiàn)按同樣的規(guī)律刺繡(小正方形的擺放規(guī)律相同),設(shè)第n個(gè)圖形包括f(n)個(gè)小正方形. (1)寫出f(5)的值; (2)利用合情推理的“歸納推理思想”,歸納出f(n+1)與f(n)之間的關(guān)系式,并根據(jù)你得到的關(guān)系式求出

11、f(n)的表達(dá)式; (3)求+++…+的值. 解析:(1)f(5)=41. (2)因?yàn)閒(2)-f(1)=4=4×1, f(3)-f(2)=8=4×2, f(4)-f(3)=12=4×3, f(5)-f(4)=16=4×4, …… 由上式規(guī)律,所以得出f(n+1)-f(n)=4n. 因?yàn)閒(n+1)-f(n)=4n?f(n+1)=f(n)+4n ?f(n)=f(n-1)+4(n-1) =f(n-2)+4(n-1)+4(n-2) =f(n-3)+4(n-1)+4(n-2)+4(n-3) =… =f(1)+4(n-1)+4(n-2)+4(n-3)+…+4 =2n2-2n+1. (3)當(dāng)n≥2時(shí),==(-), ∴+++…+ =1+·(1-+-+-+…+-) =1+(1-)=-. - 6 - 用心 愛心 專心

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