4.3 分部積分法

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1、第4章 不定積分 4.3 分部積分法 習(xí)題解 1．求下列不定積分： ⑴； 【解】被積函數(shù)為兩不同類型函數(shù)的乘積，可以考慮套用分部積分公式， 應(yīng)將乘積中的作為先積分部份，得 ---- ---- ---- ⑵； 【解】被積函數(shù)已經(jīng)具有的結(jié)構(gòu)，可以考慮直接套用分部積分公式，得 ---- ---- 整理 ---- ⑶； 【解】被積函數(shù)為兩不同類型函數(shù)的乘積，可以考慮套用分部積分公式， 乘積中有不可獨(dú)立積分的，則應(yīng)將另一部

2、份作為先積分部份，得 ---- ---- ---- 整理 ---- 化假分式為多項(xiàng)式+真分式 ⑷； 【解】被積函數(shù)為兩不同類型函數(shù)的乘積，可以考慮套用分部積分公式， 應(yīng)將乘積中的作為先積分部份，得 ---- ---- ---- ⑸； 【解】被積函數(shù)為兩不同類型函數(shù)的乘積，可以考慮套用分部積分公式， 【解法一】將乘積中的作為先積分部份，得 ----

3、 ---- ---- ---- ---- ---- 即有 移項(xiàng)、整理得 整理得積分結(jié)果 【解法二】將乘積中的作為先積分部份，得 ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- 整理 即有 將右邊的積分項(xiàng)移到左邊，整理得 最后得積分結(jié)果 ⑹； 【解】被積函數(shù)為兩不同類型函數(shù)的乘

4、積，可以考慮套用分部積分公式， 乘積中有不可獨(dú)立積分的，則應(yīng)將另一部份作為先積分部份，得 ---- ---- ---- ---- 化假分式為多項(xiàng)式+真分式 ---- 分別積分 ---- ---- ---- 整理 ⑺； 【解】被積函數(shù)為兩不同類型函數(shù)的乘積，可以考慮套用分部積分公式， 將乘積中的作為先積分部份，得 ---- ---- ---- ---- 整理 ⑻； 【解】積分式已經(jīng)具有

5、的形式，可以直接套用分部積分公式，得 ---- ---- ---- 整理 ---- ⑼； 【解】被積函數(shù)為兩不同類型函數(shù)的乘積，可以考慮套用分部積分公式， 【解法一】將乘積中的作為先積分部份，得 ---- ---- 仍為兩不同類型函數(shù)的乘積-- ---- ---- ---- 分別積分 ---- ---- ---- 整理 【本題解答案與課本后答案可以互化： 】

6、 【解法二】為利于積分的進(jìn)行，先將乘積中的化簡為，并將其作為先積分部份，得 ---- ---- ---- ---- 整理 ---- ---- ⑽； 【解】被積函數(shù)為兩不同類型函數(shù)的乘積，可以考慮套用分部積分公式， 為便于積分，先將乘積中的化為易于積分的，得 ---- ---- 整理 ---- 分別積分 ---- ---- ----

7、 ---- ---- ⑾； 【解】被積函數(shù)為兩不同類型函數(shù)的乘積，可以考慮套用分部積分公式， 乘積中有不可獨(dú)立積分的，則應(yīng)將另一部份作為先積分部份，得 ---- ---- ---- ---- 整理，并再次應(yīng)用上面的方法 ---- ---- ---- ---- 整理，并再次應(yīng)用上面的方法 ---- ---- ---- ---- ----

8、整理 ⑿； 【解】積分式已經(jīng)具有的形式，可以直接套用分部積分公式，得 ---- ---- ---- 整理 ---- ---- ---- ---- 整理 ⒀； 【解】被積函數(shù)為兩不同類型函數(shù)的乘積，可以考慮套用分部積分公式， 將乘積中的作為先積分部份，得 ---- ---- ---- 整理 ---- ----

9、 ---- 整理 ---- ---- 整理 ⒁； 【解】被積函數(shù)中含根式，且根指數(shù)與根號(hào)內(nèi)多項(xiàng)式的次數(shù)不等，可應(yīng)用第二換元積分法中的直接變換法，去掉根號(hào)后，再用分部積分法求解。 令，則， ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ----

10、 ---- 整理 ---- ⒂； 【解】被積函數(shù)為兩不同類型函數(shù)的乘積，可以考慮套用分部積分公式， 將乘積中的作為先積分部份，得 ---- ---- ---- ---- 整理 ---- ---- ---- ---- 整理 ⒃； 【解】積分式已經(jīng)具有的形式，可以直接套用分部積分公式，得 ---- ----

11、 ---- 化假分式為多項(xiàng)式+真分式 ⒄； 【解】被積函數(shù)為兩不同類型函數(shù)的乘積，可以考慮套用分部積分公式， 【解法一】將乘積中的作為先積分部份，得 ---- ---- ---- ---- 整理 ---- -- --- ---- 整理 即有 將右邊的積分項(xiàng)移到左邊，整理得 最后得積分結(jié)果 【解法二】將乘積中的作為先積分部份，得 ---- ---- ---- ----

12、 整理 ---- -- ---- ---- 整理 即有 將右邊的積分項(xiàng)移到左邊，整理得 最后得積分結(jié)果 ⒅； 【解】積分式已經(jīng)具有的形式，可以直接套用分部積分公式，得 ---- ---- ---- 整理 ---- --- ---- 整理 即有 將右邊的積分項(xiàng)移到左邊，整理得 最后得積分結(jié)果 ⒆； 【解】積分式已經(jīng)具有的形式，可以直接套用分部積分公式，得

13、 ---- ---- ---- ---- ⒇。 【解】被積函數(shù)為兩不同類型函數(shù)的乘積，可以考慮套用分部積分公式， 為便于積分，先將乘積中的化為易于積分的，得 ---- ---- 分別積分 其中， ---- ---- ---- ---- ---- ---- 有 移項(xiàng)，整理得 于是，原積分為 12