2014屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) （教材回扣 考點分類 課堂內(nèi)外 限時訓(xùn)練）專講專練 2.4　函數(shù)的奇偶性與周期性

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1、 2014屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專講專練（教材回扣+考點分類+課堂內(nèi)外+限時訓(xùn)練）：2.4　函數(shù)的奇偶性與周期性 一、選擇題 1．函數(shù)f(x)＝是(　　) A．奇函數(shù)　　　　　　　　 B．偶函數(shù) C．既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) D．非奇非偶函數(shù) 解析：由得－1＜x＜1，且x≠0. ∴函數(shù)f(x)的定義域為(－1,0)∪(0,1)． ∵f(x)＝＝， ∴f(－x)＝＝－f(x)． ∴f(x)是奇函數(shù)． 答案：A 2．(2012·福建)設(shè)函數(shù)D(x)＝則下列結(jié)論錯誤的是(　　) A．D(x)的值域為{0,1} B．D(x)是偶函數(shù) C．D(x)不是周期函數(shù) D．D(

2、x)不是單調(diào)函數(shù) 解析：顯然A，D是對的．若x是無理數(shù)，所以－x也是無理數(shù)；若x是有理數(shù)，則－x也是有理數(shù)，則D(－x)＝D(x)，所以D(x)是偶函數(shù)，B對．對于任意有理數(shù)T，f(x＋T)＝f(x)(若x是無理數(shù)，則x＋T也是無理數(shù)；若x是有理數(shù)，則x＋T也是有理數(shù))，故C不對． 答案：C 3．(2012·山東)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x＋6)＝f(x)．當(dāng)－3≤x＜－1時，f(x)＝－(x＋2)2，當(dāng)－1≤x＜3時，f(x)＝x.則f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 012)＝(　　) A．335 B．338 C．1 678 D．2 012 解析：由f(x

3、＋6)＝f(x)可知函數(shù)是周期為6的周期函數(shù)，又因為當(dāng)－3≤x＜－1時，f(x)＝－(x＋2)2，當(dāng)－1≤x＜3時，f(x)＝x可知，f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝f(－3)＝－(－3＋2)2＝－1，f(4)＝f(－2)＝－(－2＋2)2＝0，f(5)＝f(－1)＝－1，f(6)＝f(0)＝0，故而f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＝1，故而f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 012)＝335×1＋f(1)＋f(2)＝338. 答案：B 4．已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x－4)＝－f(x)，且在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù)，則(　　) A．f(

4、－25)＜f(11)＜f(80) B．f(80)＜f(11)＜f(－25) C．f(11)＜f(80)＜f(－25) D．f(－25)＜f(80)＜f(11) 解析：由函數(shù)f(x)是奇函數(shù)且f(x)在[0,2]上是增函數(shù)可以推知，f(x)在[－2,2]上遞增，又f(x－4)＝－f(x)?f(x－8)＝－f(x－4)＝f(x)，故函數(shù)f(x)以8為周期，f(－25)＝f(－1)，f(11)＝f(3)＝－f(3－4)＝f(1)，f(80)＝f(0)，故f(－25)＜f(80)＜f(11)．故選D. 答案：D 5．(2013·太原五中月考)若函數(shù)f(x)、g(x)分別是R上的奇函數(shù)、偶函

5、數(shù)，且滿足f(x)－g(x)＝ex，則有(　　) A．f(2)＜f(3)＜g(0) B．g(0)＜f(3)＜f(2) C．f(2)＜g(0)＜f(3) D．g(0)＜f(2)＜f(3) 解析：由題意，得 解得故g(0)＝－1，f(x)為R上的增函數(shù)，0＜f(2)＜f(3)，故g(0)＜f(2)＜f(3). 答案：D 6．(2013·曲阜師大附中質(zhì)檢)若偶函數(shù)y＝f(x)對任意實數(shù)x都有f(x＋1)＝－f(x)，且在[0,1]上單調(diào)遞減，則(　　) A．f＜f＜f B．f＜f＜f C．f＜f＜f D．f＜f＜f 解析：由f(x＋1)＝－f(x)，知f(x)是周期函

6、數(shù)，且最小正周期為2. 故f＝f＝f＝f， f＝f＝f， f＝f＝f＝f. 又因為＞＞，所以f＜f＜f. 答案：B 二、填空題 7．(2012·上海)已知y＝f(x)＋x2是奇函數(shù)，且f(1)＝1，若g(x)＝f(x)＋2，則g(－1)＝__________. 解析：令h(x)＝f(x)＋x2，∴h(1)＝f(1)＋1＝2. h(－1)＝f(－1)＋1＝－2，∴f(－1)＝－3， ∴g(－1)＝f(－1)＋2＝－1. 答案：－1 8．(2013·銀川質(zhì)檢)已知f(x)是定義在(－3,3)上的奇函數(shù)，當(dāng)0＜x＜3時，f(x)的圖像如圖所示，那么不等式xf(x)＜0的解集為

7、__________． 解析：當(dāng)0＜x＜3時，由圖像知，滿足xf(x)＜0的解為： 0＜x＜1，由奇函數(shù)的對稱性可求. 答案：(－1,0)∪(0,1) 9．(2012·江蘇)設(shè)f(x)是定義在R上且周期為2的函數(shù)，在區(qū)間[－1,1]上，f(x)＝，其中a，b∈R，若f＝f，則a＋3b的值為______________． 解析：由題意得，f()＝f()＝f(－)， 所以＝－a＋1，∴a＋b＝－1.① 又f(－1)＝f(1)，∴b＝－2a.② 解①②得a＝2，b＝－4，∴a＋3b＝－10. 答案：－10 三、解答題 10．(2013·曲阜師大附中質(zhì)檢)定義域為[－1,1

8、]的奇函數(shù)f(x)滿足f(x)＝f(x－2)，且當(dāng)x∈(0,1)時，f(x)＝2x＋. (1)求f(x)在[－1,1]上的解析式； (2)求函數(shù)f(x)的值域． 解析：(1)當(dāng)x＝0時，f(0)＝－f(0)，故f(0)＝0. 當(dāng)x∈(－1,0)時，－x∈(0,1)， f(x)＝－f(－x)＝－(－2x＋)＝2x－. 若x＝－1時，f(－1)＝－f(1)． 又f(1)＝f(1－2)＝f(－1)，故f(1)＝－f(1)，得f(1)＝0，從而f(－1)＝－f(1)＝0. 綜上，f(x)＝ (2)∵x∈(0,1)時，f(x)＝2x＋， ∴f′(x)＝2＋＞0，故f(x)在(0,1)

9、上單調(diào)遞增． ∴f(x)∈(0,3)． ∵f(x)是定義域為[－1,1]上的奇函數(shù)， ∴當(dāng)x∈[－1,1]時，f(x)∈(－3,3)． ∴f(x)的值域為(－3,3)． 11．(2013·舟山調(diào)研)已知函數(shù)f(x)＝x2＋(x≠0，常數(shù)a∈R)． (1)討論函數(shù)f(x)的奇偶性，并說明理由； (2)若函數(shù)f(x)在x∈[2，＋∞)上為增函數(shù)，求a的取值范圍． 解析：(1)當(dāng)a＝0時，f(x)＝x2，對任意的x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(－x)＝(－x)2＝x2＝f(x)， ∴f(x)為偶函數(shù)． 當(dāng)a≠0時，f(x)＝x2＋(a≠0，x≠0)， 取x＝±1，得f(－1

10、)＋f(1)＝2≠0， f(－1)－f(1)＝－2a≠0， ∴f(－1)≠－f(1)，f(－1)≠f(1)． ∴函數(shù)f(x)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)． (2)方法一：要使函數(shù)f(x)在x∈[2，＋∞)上為增函數(shù)， 等價于f′(x)≥0在x∈[2，＋∞)上恒成立， 即f′(x)＝2x－≥0在x∈[2，＋∞)上恒成立． 故a≤2x3在x∈[2，＋∞)上恒成立． ∴a≤(2x3)min＝16. ∴a的取值范圍是(－∞，16]． 方法二：設(shè)2≤x1＜x2，則 f(x1)－f(x2)＝x＋－x－ ＝[x1x2(x1＋x2)－a]． 要使函數(shù)f(x)在x∈[2，＋∞)上為增函數(shù)

11、，必須f(x1)－f(x2)＜0恒成立． ∵x1－x2＜0，x1x2＞0，即a＜x1x2(x1＋x2)恒成立， 又∵x1＋x2＞4，x1x2＞4， ∴x1x2(x1＋x2)＞16. ∴a的取值范圍是(－∞，16]． 12．(2013·沈陽質(zhì)檢)設(shè)f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函數(shù)，f(x＋2)＝－f(x)，當(dāng)0≤x≤1時，f(x)＝x. (1)求f(π)的值； (2)當(dāng)－4≤x≤4時，求f(x)的圖像與x軸所圍成圖形的面積； (3)寫出(－∞，＋∞)內(nèi)函數(shù)f(x)的單調(diào)增(或減)區(qū)間． 解析：(1)由f(x＋2)＝－f(x)得，f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2

12、)＝f(x)， 所以f(x)是以4為周期的周期函數(shù)． ∴f(π)＝f(－1×4＋π)＝f(π－4) ＝－f(4－π) ＝－(4－π) ＝π－4. (2)由f(x)是奇函數(shù)與f(x＋2)＝－f(x)，得： f[(x－1)＋2]＝－f(x－1)＝f[－(x－1)]， 即f(1＋x)＝f(1－x)． 故知函數(shù)y＝f(x)的圖像關(guān)于直線x＝1對稱． 又0≤x≤1時，f(x)＝x，且f(x)的圖像關(guān)于原點成中心對稱，則f(x)的圖像如圖所示． 當(dāng)－4≤x≤4時，f(x)的圖像與x軸圍成的圖形面積為S，則S＝4S△OAB＝4×＝4. (3)函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[4k－1,4k＋1](k∈Z)，單調(diào)遞減區(qū)間為[4k＋1,4k＋3](k∈Z)． 6