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1、第2章 誤差理論與測(cè)量數(shù)據(jù)處理,2.1 測(cè)量誤差的基本概念 2.2 獨(dú)立等精度測(cè)量隨機(jī)誤差的估計(jì)和數(shù)據(jù)處理 2.3 系統(tǒng)誤差的估計(jì)和數(shù)據(jù)處理 2.4 粗大誤差的估計(jì)和數(shù)據(jù)處理 2.5 誤差的合成 2.6 測(cè)量數(shù)據(jù)的處理,2.1 測(cè)量誤差的基本概念 誤差公理：誤差存在于一切加工和測(cè)量中。 在高精度要求的情況下，不能直接使用測(cè)量數(shù)據(jù)。 測(cè)量數(shù)據(jù)處理的注意事項(xiàng)： 利用被測(cè)物理量的特性，建立被測(cè)物理量真值的數(shù)學(xué)模型； 利用測(cè)量設(shè)備的特性，建立測(cè)量誤差的數(shù)學(xué)模型； 以數(shù)學(xué)理論為基礎(chǔ)； 充分利用計(jì)算機(jī)的精度、速度和存儲(chǔ)量。,誤差理論研究和數(shù)據(jù)處理的目的： 分析誤差的原因和性質(zhì)，合理計(jì)算結(jié)果
2、，通過估計(jì)和修正減小誤差，以便在一定條件下得到更接近于真值的數(shù)據(jù)； 正確組織實(shí)驗(yàn)，合理設(shè)計(jì)儀器，合理選用儀器和測(cè)量方法。,一、誤差的有關(guān)術(shù)語 1 真值A(chǔ)0 一個(gè)物理量在一定條件下所呈現(xiàn)的客觀大小或真實(shí)數(shù)值（不可測(cè)）。 2 指定值A(chǔ)S 亦稱約定值，一般用來代替真值。 3 實(shí)際值A(chǔ) 由于無法直接和國家標(biāo)準(zhǔn)比對(duì)，在量值傳遞中，高一級(jí)標(biāo)準(zhǔn)所體現(xiàn)的值當(dāng)作準(zhǔn)確無誤的值，即實(shí)際值，亦稱相對(duì)真值。在實(shí)際測(cè)量中代替真值。,,4 標(biāo)稱值 測(cè)量器具上標(biāo)定的數(shù)值。 5 示值 測(cè)量器具指示的被測(cè)量的量值。 6 測(cè)量誤差 測(cè)得值與被測(cè)量真值之間的差值。 7 單次測(cè)量與多次測(cè)量 精度要求高時(shí)進(jìn)
3、行多次測(cè)量。 8 等精度測(cè)量和非等精度測(cè)量 取決于在對(duì)被測(cè)量進(jìn)行多次測(cè)量的過程，包括主、客觀因素在內(nèi)的測(cè)量條件是否變化。,二、誤差的表示方法 1、 絕對(duì)誤差x x = x -A0， 或x = x -A 式中： x絕對(duì)誤差； x被測(cè)量的給出值； A0被測(cè)量的真值， A實(shí)際值。,2、 相對(duì)誤差和實(shí)際相對(duì)誤差A(yù),3、 示值相對(duì)誤差x,其中： xm為量程滿度值。 5 分貝誤差dB 用對(duì)數(shù)形式表示的一種誤差，單位為分貝（dB）。 設(shè)A為實(shí)際相對(duì)電壓增益誤差（電壓增益誤差/實(shí)際電壓增益），x為實(shí)測(cè)相對(duì)電壓增益誤差（電壓增益誤差/實(shí)測(cè)電壓增益）則 dB=Gx-G
4、=20lg（1+ A ） （dB） 式中，Gx為電壓增益測(cè)得值的分貝值（ Gx=20lg（Ax ）(dB)，A=uox/uix ）； G為電壓增益實(shí)際值的分貝值(G=20lg（A ） (dB) ，A=uo/ui )。,4 滿度相對(duì)誤差（引用誤差）m：,三、容許誤差 容許誤差指測(cè)量儀器在規(guī)定使用條件下可能產(chǎn)生的最大誤差范圍。 工作誤差：額定工作條件（各種外部影響量和內(nèi)部影響特性為任意組合）下儀器誤差的極限值。 固有誤差：各種影響量和影響特性處于基準(zhǔn)條件時(shí)儀 器所具有的誤差。 影響誤差：一個(gè)影響量在其額定使用范圍內(nèi)（或 一個(gè)影響特性在其有效范圍內(nèi)），
5、而其他 影響量和影響特性處于基準(zhǔn)條件時(shí)儀器所 具有的誤差。 穩(wěn)定誤差：儀器標(biāo)稱值在其他影響量和影響特性保持000000000000恒定情況下，在規(guī)定時(shí)間內(nèi)產(chǎn)生的誤差極 限。,四、測(cè)量誤差的來源 儀器誤差 使用誤差 人身誤差 影響誤差 方法誤差 五、誤差的分類 系統(tǒng)誤差：多次測(cè)量中，誤差的絕對(duì)值和符號(hào)不變 0000000000000或按某種規(guī)律變化的誤差。 隨機(jī)誤差：任何測(cè)量過程中都存在隨機(jī)誤差。 粗大誤差：在一定測(cè)量條件下，測(cè)得值明顯偏離實(shí)0000000000000際值。,2.2 獨(dú)立等精度測(cè)量隨機(jī)誤差的估計(jì)和數(shù)據(jù)處理 一、隨機(jī)誤差的數(shù)
6、字特征 數(shù)學(xué)期望：,平均誤差：,標(biāo)準(zhǔn)差：,殘差（剩余誤差）：,算術(shù)平均值：,均方根偏差：,,算術(shù)平均值的均方根偏差：,Bessel公式（ n-1為自由度 ）：,正態(tài)分布Peters公式：含粗大誤差時(shí)穩(wěn)健性(Robust)較好,二、隨機(jī)誤差的正態(tài)分布（高斯分布） 絕大多數(shù)情況下，隨機(jī)誤差服從正態(tài)分布。 在正態(tài)分布誤差影響下的測(cè)量數(shù)據(jù)的分布也是正態(tài)分布。 誤差的概率密度函數(shù)為：,有界性 對(duì)稱性 可抵償性,,,(),,,,,三、測(cè)量結(jié)果的置信度與置信區(qū)間 置信度（置信概率）：描述誤差處于某一范圍內(nèi)的可靠程度的量。 置信區(qū)間：對(duì)應(yīng)置信度的極限誤差范圍，用標(biāo)準(zhǔn)差的倍數(shù)K表示（K為
7、正系數(shù)，稱為置信系數(shù)）。,,在置信區(qū)間M(x)- , M(x)+內(nèi)置信度P|i|=0.6826,在置信區(qū)間M(x)-2 , M(x)+2內(nèi)置信度P|i|2=0.954,在置信區(qū)間M(x)-3 , M(x)+3內(nèi)置信度P|i|3=0.997,3 稱為極限誤差或最大誤差,當(dāng)測(cè)量次數(shù)較多時(shí)，用 和 代替M(x)和,,,M(x)-3,M(x)+3,,M(x)-2,M(x)+2,,M(x)-,M(x)+,設(shè)隨機(jī)變量t：,樣本的算術(shù)平均值（獨(dú)立等精度測(cè)量）是總體期望（ A0 ）的最佳估計(jì)，符合無偏性、有效性、一致性和充分性的標(biāo)準(zhǔn)，在正態(tài)分布情況下滿足最大似然原理。,算術(shù)平均值仍是一個(gè)隨機(jī)量，以均方根偏
8、差作為的估計(jì)。,給定,等價(jià)地,t分布的置信系數(shù)t根據(jù)測(cè)量次數(shù)n和可由“t分布在對(duì)稱區(qū)間的積分表”中查得。,當(dāng)n大于20 以后，t的分布類似于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，當(dāng)n時(shí)，即為正態(tài)分布，n越小，類似程度越差。,為算術(shù)平均值 的精度指標(biāo)。,即，對(duì)于有限次測(cè)量（t分布），在區(qū)間 內(nèi)的置信概率Pa ，也就是隨機(jī)變量t在區(qū)間-t
9、此式中包含測(cè)量結(jié)果和精度指標(biāo)（誤差限）。,測(cè)量次數(shù)多時(shí)（如20次或以上），按正態(tài)分布,測(cè)量次數(shù)少時(shí)，按t分布,給出最終結(jié)果：,例題：用電壓表對(duì)某一電壓測(cè)10 次，試求出最終測(cè)量結(jié)果(假設(shè)系統(tǒng)誤差和粗大誤差已消除)。,測(cè)量結(jié)果按正態(tài)分布:,自由度為9的t分布置信度0.95時(shí)，t=2.262，,2.3 系統(tǒng)誤差的估計(jì)和數(shù)據(jù)處理 一、系統(tǒng)誤差的基本特性 系統(tǒng)誤差不易發(fā)現(xiàn)，也不具有抵償性，因而分析、估計(jì)和修正系統(tǒng)誤差很重要。 儀器的設(shè)計(jì)、結(jié)構(gòu)、原理、安裝； 測(cè)量時(shí)環(huán)境條件與儀器正常工作的要求不一致； 測(cè)量原理與計(jì)算方法； 測(cè)量人員等因素導(dǎo)致系統(tǒng)誤差。,測(cè)量誤差等于隨機(jī)誤差i和系統(tǒng)誤差的代數(shù)和（排除粗差
10、）：,當(dāng)n足夠大時(shí)，由于隨機(jī)誤差的抵償性，系統(tǒng)誤差：,此為恒值系統(tǒng)誤差情況。注意測(cè)量次數(shù)多時(shí)，引起誤差的因素是否會(huì)變化。,二、系統(tǒng)誤差的判斷 1、理論分析法 2、校準(zhǔn)和比對(duì)法 精度高一級(jí)的儀器的校準(zhǔn)； 同等精度儀器的比對(duì)； 在不同測(cè)量條件下比較各組測(cè)量數(shù)據(jù)。 3、回歸模型殘差檢驗(yàn)法 利用殘差構(gòu)造各種統(tǒng)計(jì)量來分析。,4、殘差觀察法 無系統(tǒng)誤差時(shí)，數(shù)據(jù)處理后的殘差應(yīng)該是零均值的。,5、公式判斷法 馬林科夫判據(jù)，阿卑赫梅特判據(jù) 馬林科夫判據(jù)：線性系統(tǒng)誤差,對(duì)測(cè)量數(shù)據(jù)排序（按測(cè)量條件變化順序，如時(shí)間），分別求出殘差，計(jì)算,若|||imax|通?？烧J(rèn)為存在線性系統(tǒng)誤差（可能有例外）。,阿卑赫梅
11、特判據(jù)：周期性系統(tǒng)誤差,對(duì)測(cè)量數(shù)據(jù)排序，分別求出殘差，若,可認(rèn)為存在周期性系統(tǒng)誤差。,三、減小和消除系統(tǒng)誤差 1. 消除產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的根源； 2. 在測(cè)量過程中采取措施，避免把系統(tǒng)誤差引入測(cè)量結(jié)果； 如零示法、替代法（置換法）、補(bǔ)償法（部分替代法）、對(duì)照法、微差法和交叉讀數(shù)法等 3. 設(shè)法掌握系統(tǒng)誤差的變化規(guī)律，建立數(shù)學(xué)模型，采用統(tǒng)計(jì)方法進(jìn)行估計(jì)和修正。,2.4 粗大誤差的估計(jì)和數(shù)據(jù)處理 粗大誤差的數(shù)值一般比系統(tǒng)誤差及隨機(jī)誤差都大，嚴(yán)重歪曲測(cè)量結(jié)果。要設(shè)法識(shí)別和剔除含過失誤差的測(cè)量數(shù)據(jù)。 一、粗大誤差的產(chǎn)生原因 1.主觀原因 責(zé)任心不強(qiáng)；過于疲勞；缺乏經(jīng)驗(yàn)；操作不當(dāng)。 2.客觀原因 被測(cè)
12、對(duì)象急劇變化；環(huán)境條件急劇變化；儀器突發(fā)故障、振動(dòng)；沖擊等。,二、避免過失誤差 可由多個(gè)測(cè)量者和多種設(shè)備對(duì)同一被測(cè)量得多個(gè)測(cè)得值；從設(shè)備特點(diǎn)、環(huán)境條件、測(cè)量人員等多種方面綜合考慮。,三、含過失誤差的靜態(tài)目標(biāo)測(cè)量數(shù)據(jù)識(shí)別 服從正態(tài)分布的測(cè)量數(shù)據(jù)的判斷方法 1.萊特準(zhǔn)則（3準(zhǔn)則） 在已消除系統(tǒng)誤差的條件下，正態(tài)分布隨機(jī)誤差超過3（極限誤差）的可能性極小(置信度為0.27%),因此，在測(cè)量次數(shù)足夠多時(shí)（n20）,若某個(gè)測(cè)量值xi的殘差i滿足:,則認(rèn)為xi具有粗大誤差，應(yīng)剔除。,2格拉布斯準(zhǔn)則 在測(cè)量次數(shù)較?。╪<20）時(shí)，用3準(zhǔn)則判別粗大誤差不太可靠，應(yīng)采用格拉布斯準(zhǔn)則。 在一系列等
13、精度測(cè)量數(shù)據(jù)中，若有殘差i滿足,則認(rèn)為該i 相對(duì)應(yīng)的測(cè)量數(shù)據(jù)xi是壞值，應(yīng)剔除。式中G稱為格拉布斯系數(shù)，可根據(jù)置信度和測(cè)量次數(shù)查表得到。,四、注意事項(xiàng) 1. 判斷粗大誤差的步驟，首先應(yīng)包含所有的n個(gè)測(cè)量值在內(nèi)求出均值和均方根偏差，然后判別粗大誤差。若剔除最大的一個(gè)，仍將剩余的n-1個(gè)數(shù)據(jù)按此計(jì)算和判別，直至無壞值為止。 2. 正常情況下，一列測(cè)量數(shù)據(jù)中粗大誤差數(shù)量很少，一旦發(fā)現(xiàn)數(shù)量太大，說明測(cè)量系統(tǒng)或方法可能反常。 3. 剔除可疑數(shù)據(jù)應(yīng)慎重，有時(shí)某些異常數(shù)據(jù)可能包含了一種尚未發(fā)現(xiàn)的物理現(xiàn)象。, 2.5 誤差的合成 測(cè)量誤差：是測(cè)量各環(huán)節(jié)一系列誤差的總和。 誤差合成：根據(jù)各分項(xiàng)誤差來確定總誤
14、差的過程。 誤差的分配：當(dāng)某量的總誤差限定在一定的范圍以后，確定各分項(xiàng)可容許的誤差數(shù)值的過程。,一、誤差的合成(綜合) 1、函數(shù)誤差 高精度的測(cè)量常用間接測(cè)量和組合測(cè)量方式。 間接測(cè)量按照已知的直接測(cè)量與被測(cè)量的函數(shù)關(guān)系計(jì)算出被測(cè)的物理量，因而間接測(cè)量的誤差也是各直接測(cè)量誤差的函數(shù)。 函數(shù)誤差可分為函數(shù)系統(tǒng)誤差與函數(shù)隨機(jī)誤差。 組合測(cè)量的誤差傳遞關(guān)系比較復(fù)雜，要用到近代線性和非線性回歸分析方法。,2. 系統(tǒng)函數(shù)誤差 假定函數(shù)是連續(xù)可微的多元函數(shù) y=f（x1，x2，，xn） 式中x1，x2，，xn 為各直接測(cè)量值，y為間接測(cè)量值。 假定各直接測(cè)量值的系統(tǒng)誤差為x1，x2，，xn
15、很小，那么由全微分公式可算得函數(shù)系統(tǒng)誤差公式： 若xi間相互獨(dú)立，絕對(duì)誤差為： xi，y的絕對(duì)誤差為y，則有： y+ y =f(x1+ x1 ，x2 + x2 ，, xn + xn ),用臺(tái)勒級(jí)數(shù)近似表示為,為各直接測(cè)量值的誤差傳遞函數(shù)。,則y的絕對(duì)誤差y可表示為：,當(dāng)上式各分項(xiàng)符號(hào)不能確定時(shí)，采用下面的保守算法計(jì)算：,以上兩式為誤差合成公式。,相對(duì)合成誤差 y：,該式為相對(duì)誤差傳遞公式。,3. 隨機(jī)函數(shù)誤差 函數(shù)隨機(jī)誤差用標(biāo)準(zhǔn)差來刻畫。,假設(shè)：,若隨機(jī)誤差很小，則,于是,若,則,二、常用函數(shù)的系統(tǒng)誤差合成 1、和差函數(shù)的合成誤差 設(shè) y=x1x2 y+ y =(x1+ x1
16、 ) (x2 + x2 ) 絕對(duì)誤差： y = x1 x2 當(dāng) x1 和 x2的符號(hào)不能確定時(shí)，有： y = ( | x1| | x2 |),相對(duì)誤差：,例題：R1=1k， R2=2k， 相對(duì)誤差均為5%，求串聯(lián)后的總相對(duì)誤差。,2、積函數(shù)的合成誤差,設(shè)y=x1x2 ，絕對(duì)誤差：,相對(duì)誤差：,若 x1、 x2都有正負(fù)號(hào)：,三、系統(tǒng)的不確定度ym 系統(tǒng)誤差可能變化的最大幅度。 測(cè)量儀器的基本誤差和工作誤差都屬于儀器的系統(tǒng)不確定度。 1、系統(tǒng)不確定度的絕對(duì)值合成法,式中， im為第i個(gè)測(cè)量值的不確定度。,例題：用R1=10010%和R2= 4005%的兩個(gè)電阻串聯(lián)，求總電阻的誤差范圍
17、（系統(tǒng)不確定度）。 1m = 10010%= 10，2m = 4005%= 20 由 得 ym = 30,2、系統(tǒng)不確定度的均方根合成法,上例中，用均方根合成法求得的兩電阻串聯(lián)后的總誤差為：,說明：在一般工程測(cè)量中，系統(tǒng)誤差起主要作用，一般可按說明書中所提供的指標(biāo)，用系統(tǒng)的不確定度分析儀器的測(cè)量誤差。, 2.6 測(cè)量數(shù)據(jù)的處理 測(cè)量數(shù)據(jù)處理就是：從測(cè)量所得到的原始數(shù)據(jù)中求出被測(cè)量的最佳估值，并計(jì)算其精度。 一、有效字的處理* 1、有效字長 從數(shù)字左邊第一個(gè)不為零的數(shù)字起，到右邊最后一個(gè)數(shù)字（包括零）止，都叫有效數(shù)字。其絕對(duì)誤差不大于末尾數(shù)字的一半。 3.1416 五位
18、有效數(shù)字，極限（絕對(duì)）誤差0.00005 3.1500 五位有效數(shù)字，極限（絕對(duì)）誤差0.00005 0.087 兩位有效數(shù)字，極限（絕對(duì)）誤差0.0005 0.807 三位有效數(shù)字，極限（絕對(duì)）誤差0.0005,2、多余數(shù)字的舍入規(guī)則 大于0.5單位，末位進(jìn)1；小于0.5單位，末位不變；恰為0.5單位，則使末位為偶。 3、有效數(shù)字的運(yùn)算規(guī)則 數(shù)字運(yùn)算時(shí)，保留位數(shù)取決于各數(shù)中精度最差的數(shù)。 二、數(shù)據(jù)處理步驟 1、識(shí)別和剔除過失誤差； 2、求平均值、殘差和均方根誤差； 3、檢查并剔除或修正系統(tǒng)誤差； 4、計(jì)算算術(shù)平均值的極限誤差和置信度誤差合成。,第二章
19、思考題 2.1什么是真值、實(shí)際值和指定值？ 2.2在什么情況下可以進(jìn)行多次測(cè)量？測(cè)量次數(shù)受到什么限制？ 2.3等精度和非等精度測(cè)量的意義和數(shù)據(jù)處理方法有何不同？ 2.4靜態(tài)測(cè)量和動(dòng)態(tài)測(cè)量的特點(diǎn)是什么？ 2.5什么是滿度相對(duì)誤差？意義是什么？ 2.6哪些指標(biāo)可以用來描述電子測(cè)量儀器的容許誤差？ 2.7產(chǎn)生誤差的主要因素是什么？ 2.8方法誤差的含義是什么？ 2.9什么是系統(tǒng)誤差、隨機(jī)誤差和粗大誤差？各有什么特性？測(cè)量數(shù)據(jù)處理方法各有什么不同 2.10隨機(jī)誤差的統(tǒng)計(jì)分布函數(shù)在處理測(cè)量數(shù)據(jù)時(shí)具有什么意義？ 2.11為什么說算術(shù)平均值仍是隨機(jī)量？其標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值具有什么意義？如何計(jì)算？ 2.12什么是置信度和置信區(qū)間？ 2.13如何完整地給出測(cè)量結(jié)果？在不同的置信度下給出的測(cè)量結(jié)果是一樣的嗎？,2.14如何判斷和處理系統(tǒng)誤差？ 2.15為什么說系統(tǒng)誤差的估計(jì)和動(dòng)態(tài)系統(tǒng)誤差的處理方法有某些共同之處？ 2.16如何處理粗大誤差？ 2.17誤差合成和分解的意義是什么？ 2.18如何處理有效數(shù)字？ 2.19測(cè)量數(shù)據(jù)處理的基本步驟是什么？ 2.20測(cè)量數(shù)據(jù)處理的必要性和可能性是什么？ 2.22誤差處理的理論基礎(chǔ)有哪些？,
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