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1、第四章 隨機(jī)信號通過線性系統(tǒng)的分析,主要內(nèi)容： 隨機(jī)信號通過線性系統(tǒng)的分析，是統(tǒng)計(jì)信號處理的基礎(chǔ)。本章介紹了計(jì)算線性系統(tǒng)（連續(xù)系統(tǒng)和離散系統(tǒng)）輸出二階統(tǒng)計(jì)統(tǒng)計(jì)特性的兩種基本方法時域中的卷積法和頻域分析法；討論了線性系統(tǒng)輸出端概率密度的計(jì)算問題；定義了系統(tǒng)的等效噪聲帶寬等概念。,第四章 隨機(jī)信號通過線性系統(tǒng)的分析,重點(diǎn)及其要求： （1）掌握以下五條性質(zhì)： 1.雙側(cè)寬或嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)信號通過線性系統(tǒng)后的輸出仍是寬或嚴(yán)平穩(wěn)的，且輸入與輸出聯(lián)合寬平穩(wěn)；2.雙側(cè)寬遍歷隨機(jī)信號通過線性系統(tǒng)后的輸出仍是寬遍歷的；3.高斯隨機(jī)信號通過線性系統(tǒng)后的輸出仍然是高斯隨機(jī)信號；4.若線性系統(tǒng)的輸入隨機(jī)信號的帶寬遠(yuǎn)大于系統(tǒng)
2、的帶寬，則無論輸入信號具有何種概率密度函數(shù)，系統(tǒng)輸出的概率密度函數(shù)皆近似于高斯分布；5.線性系統(tǒng)輸出的隨機(jī)信號的相關(guān)時間與系統(tǒng)的帶寬成反比。,第四章 隨機(jī)信號通過線性系統(tǒng)的分析,（2）學(xué)會運(yùn)用時域中的卷積法和頻域分析法，計(jì)算平穩(wěn)隨機(jī)信號激勵下系統(tǒng)輸出的二階統(tǒng)計(jì)特性，計(jì)算高斯隨機(jī)信號激勵下系統(tǒng)輸出端的概率密度。 （3）會計(jì)算系統(tǒng)的等效噪聲帶寬。,4.1 線性系統(tǒng)的基本理論,離散和連續(xù)時間系統(tǒng) 雙側(cè)系統(tǒng)和單側(cè)系統(tǒng),（一）時不變線性系統(tǒng),,,,,圖4.1 線性系統(tǒng)示意圖,4.1 線性系統(tǒng)的基本理論,若對于任意常數(shù)a和b、輸入信號x1(t)和x2(t)，有,則稱系統(tǒng)為線性系統(tǒng)。,若輸入信號x(t)時移
3、c段時間，輸出y(t)也只引起一個相同的時移，即,則稱系統(tǒng)為時不變系統(tǒng)。,滿足上兩式的系統(tǒng)稱為線性時不變系統(tǒng)。在無線電設(shè)備中，常遇到的低頻RC放大器、線性濾波器等都屬于這一系統(tǒng)。,4.1 線性系統(tǒng)的基本理論,設(shè)x(t)是連續(xù)時不變線性系統(tǒng)的輸入，則系統(tǒng)輸出由卷積積分得到,（二）連續(xù)時不變線性系統(tǒng),如果x(t)和h(t)絕對可積，即,那么它們的傅立葉變換存在，即,4.1 線性系統(tǒng)的基本理論,設(shè)y(）是輸出y(t)的傅立葉變換，則有,通常上式中以 代替j，可把上式寫成拉氏變換的形式，即,H(s)與h(t)是一對拉氏變換對，即,4.1 線性系統(tǒng)的基本理論,如果系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)滿足,那么該系統(tǒng)稱
4、為因果系統(tǒng)。所以實(shí)際運(yùn)行的物理可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)都是因果的。于是對于物理可實(shí)現(xiàn)的系統(tǒng)來說,物理可實(shí)現(xiàn)的穩(wěn)定系統(tǒng)的傳遞函數(shù)H(s)之所有極點(diǎn)都位于s平面左半面（不包含虛軸）。,4.1 線性系統(tǒng)的基本理論,離散時不變線性系統(tǒng)輸出y(n)與輸入x(n)之間的關(guān)系是,（三）離散時不變線性系統(tǒng),如果x(n)和h(n)絕對可和，即,那么它們的離散傅立葉變換存在(T=1)，即,4.1 線性系統(tǒng)的基本理論,設(shè)y(ej）是輸出y(n)的傅立葉變換，則有,若在上式中令 ，則有,H(z)與h(n)是一對拉氏變換對，即,式中l(wèi)表示包含 所有極點(diǎn)的單位圓。,4.1 線性系統(tǒng)的基本理論,如果系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)滿足,那么該
5、系統(tǒng)稱為因果系統(tǒng)。所以實(shí)際運(yùn)行的物理可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)都是因果的。于是對于物理可實(shí)現(xiàn)的系統(tǒng)來說,物理可實(shí)現(xiàn)的穩(wěn)定系統(tǒng)的的極點(diǎn)都位于z平面的單位圓內(nèi)。 以下分析討論中，均限定系統(tǒng)是單輸入單輸出的、連續(xù)或離散時不變的、線性的和物理可實(shí)現(xiàn)的穩(wěn)定系統(tǒng)。,4.2 隨機(jī)信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析,1.輸出的表達(dá)式 如果現(xiàn)在輸入為對應(yīng)于隨機(jī)信號X(t)某個實(shí)驗(yàn)結(jié)果的一個樣本函數(shù)x(t, )，由于樣本函數(shù)是確定性的時間函數(shù)，則有,（一）時域分析方法,對于不同的，就可在系統(tǒng)輸出端得到一族樣本函數(shù)，這族樣本函數(shù)構(gòu)成一個新的隨機(jī)信號，記為Y(t),此時可將上式寫為,積分在均方意義下存在。,4.2 隨機(jī)信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的
6、分析,2. 輸出的均值 已知輸入隨機(jī)信號的均值，求系統(tǒng)輸出的均值。,3. 系統(tǒng)輸入和輸出之間的互相關(guān)函數(shù) 當(dāng)系統(tǒng)的輸出是輸入隨機(jī)信號作用于系統(tǒng)的結(jié)果時，輸出與輸入將是相關(guān)的，其相關(guān)性由輸入與輸出之間互相關(guān)函數(shù)描述。,4.2 隨機(jī)信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析,同理,4. 系統(tǒng)輸出的自相關(guān)函數(shù) 已知輸入隨機(jī)信號的自相關(guān)函數(shù)，求給定系統(tǒng)輸出端的自相關(guān)函數(shù)。,4.2 隨機(jī)信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析,此外還能給出輸出自相關(guān)函數(shù) 與 及 之間的關(guān)系式，即,4.2 隨機(jī)信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析,5. 系統(tǒng)輸出的高階矩,下面不加證明地給出輸出n階矩的一般表達(dá)式,4.2 隨機(jī)信號通過連續(xù)時間系
7、統(tǒng)的分析,（1）. 雙側(cè)隨機(jī)信號 在這種情況下，系統(tǒng)相應(yīng)在t=0時已處于平穩(wěn)。假設(shè)X(t)具有平穩(wěn)性和遍歷性，則在系統(tǒng)輸出端可得到下列幾條重要結(jié)論。,（二）系統(tǒng)輸出的平穩(wěn)性及其統(tǒng)計(jì)特性計(jì)算,1. 若輸入X(t)是寬平穩(wěn)的，則系統(tǒng)輸出Y(t)也是寬平穩(wěn)的，且輸入與輸出聯(lián)合寬平穩(wěn)。,4.2 隨機(jī)信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析,若用卷積形式表示輸入與輸出的互相關(guān)函數(shù)及輸出的自相關(guān)函數(shù)為,4.2 隨機(jī)信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析,2. 若輸入X(t)是嚴(yán)平穩(wěn)的，則輸出Y(t)也是嚴(yán)平穩(wěn)的。,3. 若輸入X(t)是寬遍歷的，則輸出Y(t)也是寬遍歷性的。,證明：由X(t)的寬遍歷性定義得,同理可證明,4.2
8、隨機(jī)信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析,例4.1 如下圖的低通RC電路，已知輸入X(t)是寬平穩(wěn)的雙側(cè)隨機(jī)信號，自相關(guān)函數(shù)為 的白噪聲，求： （1）輸出的自相關(guān)函數(shù)； （2）輸出的平均功率 ；（3）輸入與輸出的互相關(guān)函數(shù) 。,4.2 隨機(jī)信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析,解： （1）有題意得：,輸出自相關(guān)函數(shù)為,因此對于白噪聲輸入情況，輸出自相關(guān)函數(shù)正比于單位沖擊響應(yīng)函數(shù)的卷積。于是有 當(dāng) 時,4.2 隨機(jī)信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析,由于自相關(guān)函數(shù)的偶對稱性，則當(dāng) 時有,所以自相干函數(shù)為,（2）在上式中，令0，則可得輸出的平均功率為,事實(shí)上電路的半功率帶寬f為,4.2 隨機(jī)信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)
9、的分析,于是輸出功率改寫為,由此可見電路的輸出平均功率隨著電路的帶寬變寬而線性地增大。,（3）,同理,習(xí) 題,4.1 如下圖的低通RC電路，已知輸入X(t)是寬平穩(wěn)的雙側(cè)隨機(jī)信號，自相關(guān)函數(shù)為 ，求： 輸出的自相關(guān)函數(shù)；,4.2 隨機(jī)信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析,（2）. 單側(cè)隨機(jī)信號 在這種情況下，隨機(jī)信號在t=0時刻作用于系統(tǒng)的，如下圖所示。,4.2 隨機(jī)信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析,設(shè)X(t)是寬平穩(wěn)的，則有,4.2 隨機(jī)信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析,例4.2 如下圖的低通RC電路，已知輸入X(t)是寬平穩(wěn)的單側(cè)隨機(jī)信號，自相關(guān)函數(shù)為 的白噪聲，求： （1）輸出的自相關(guān)函數(shù)； （2
10、）輸出的平均功率 ；,4.2 隨機(jī)信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析,解： （1）由題意得：,輸出自相關(guān)函數(shù)為,當(dāng) 時,4.2 隨機(jī)信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析,同理 當(dāng) 時,最后得,平均功率為,顯然是非平穩(wěn)的。,4.2 隨機(jī)信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析,在系統(tǒng)輸入為隨機(jī)信號的情下，由于隨機(jī)信號樣本 函數(shù)的傅立葉變換不存在，因此不能直接利用分析確定信號輸入時的結(jié)果。然而當(dāng)系統(tǒng)的輸入輸出為平穩(wěn)隨機(jī)信號時，輸入和輸出的功率譜是存在的。這樣就可以利用傅立葉變換分析系統(tǒng)輸出的功率譜密度與輸入功率譜密度之間的關(guān)系。 在以后的討論中假定輸入信號是平穩(wěn)雙側(cè)隨機(jī)信號。,（三）頻域分析法,4.2 隨機(jī)信號通過連續(xù)時
11、間系統(tǒng)的分析,（1）系統(tǒng)輸出的均值,（2）系統(tǒng)輸出的功率譜密度,（3）系統(tǒng)輸入和輸出間互譜密度,4.2 隨機(jī)信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析,例4.3 求下圖所示電路中由熱噪聲源 產(chǎn)生的電壓 的功率譜密度 。,4.2 隨機(jī)信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析,解： 電壓V(t)可看作具有輸入 ，而傳遞函數(shù)為,的系統(tǒng)輸出。已知熱噪聲源的功率譜密度為,式中K為玻爾茲曼常數(shù)，T為熱力學(xué)溫度，R為電阻。于是有,4.2 隨機(jī)信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析,（4）系統(tǒng)輸出的平均功率計(jì)算,或前所述,習(xí) 題,4.2 電路如下圖所示。設(shè)平穩(wěn)隨機(jī)過程信號X(t)的自相關(guān)函數(shù) ,試求電路輸出隨機(jī)信號Y(t)的自相關(guān)函數(shù)
12、 。,4.3 隨機(jī)信號通過離散時間系統(tǒng)的分析,1.輸出的表達(dá)式,（一）時域分析方法,2.輸出的均值，自相關(guān)函數(shù)和互相關(guān)函數(shù),4.3 隨機(jī)信號通過離散時間系統(tǒng)的分析,當(dāng)輸入為雙側(cè)平穩(wěn)隨機(jī)信號時，我們有,則輸出的均值，自相關(guān)函數(shù)和互相關(guān)函數(shù)簡化為,習(xí) 題,4.3 設(shè)一個平穩(wěn)離散時間雙側(cè)隨機(jī)信號X(n)的自相關(guān)函數(shù) ，線性系統(tǒng)的單位沖擊響應(yīng)是,式中|r|<1。若X(n)是輸入，Y(n)是輸出，求輸出自相關(guān)函數(shù)。,4.3 隨機(jī)信號通過離散時間系統(tǒng)的分析,（二）頻域分析方法,1.功率譜密度表達(dá)式,式中,4.3 隨機(jī)信號通過離散時間系統(tǒng)的分析,對輸出譜密度兩邊取反z變換，得系統(tǒng)輸出的自相關(guān)函數(shù),
13、式中l(wèi)為z平面上包含 所有極點(diǎn)之單位圓。將 代入，則相關(guān)式子可表示為,輸出的自相關(guān)函數(shù)的另一表達(dá)式為,4.3 隨機(jī)信號通過離散時間系統(tǒng)的分析,例4.4 設(shè)一個平穩(wěn)離散時間雙側(cè)隨機(jī)信號X(n)的自相關(guān)函數(shù) ，線性系統(tǒng)的單位沖擊響應(yīng)是,式中|r|<1。若X(n)是輸入，Y(n)是輸出，求輸出功率譜密度,解：,于是有,由于,則系統(tǒng)輸出功率譜密度為,4.3 隨機(jī)信號通過離散時間系統(tǒng)的分析,2.輸出平均功率計(jì)算,式中l(wèi)代表z平面上的單位圓。,4.4 等效噪聲帶寬、平均功率和信噪比的計(jì)算,一般而言，當(dāng)系統(tǒng)的H()比較復(fù)雜時，計(jì)算 系統(tǒng)輸出特性是不容易的。在實(shí)際中，為了計(jì)算方便，而又不引入太大的誤差
14、，常用一個幅頻特性為矩形的理想系統(tǒng)等效代替實(shí)際系統(tǒng)H()，在等效時要用一個非常重要的概念等效噪聲帶寬。 等效的原則：理想系統(tǒng)與實(shí)際系統(tǒng)在同一白噪聲激勵下，兩個系統(tǒng)的輸出平均功率相等；理想系統(tǒng)的增益等于實(shí)際系統(tǒng)的最大增益。,（一）系統(tǒng)等效噪聲計(jì)算,4.4 等效噪聲帶寬、平均功率和信噪比的計(jì)算,頻域中計(jì)算系統(tǒng)的等效噪聲帶寬的公式為,對于低通濾波器，,對于具有以中心頻率0對稱的頻率響應(yīng)的帶通濾波器帶通濾波器,4.4 等效噪聲帶寬、平均功率和信噪比的計(jì)算,我們可以得到在時域中計(jì)算系統(tǒng)的等效噪聲帶寬的公式為,對于低通濾波器，,對于帶通濾波器帶通濾波器,4.4 等效噪聲帶寬、平均功率和信噪比的計(jì)算,證明：利用Parseval定理來證。該定理的內(nèi)容是：對于可積函數(shù)f(t)，若它的傅立葉變換存在，則有,對于低通濾波器,
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