2020年中考數學基礎題型提分講練專題22以特殊的平行四邊形為背景的證明與計算含解析

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1、專題22 以特殊的平行四邊形為背景的證明與計算 考點分析 【例1】（2020·安徽初三）（已知：如圖所示的一張矩形紙片ABCD（AD>AB），將紙片折疊一次，使點A與點C重合，再展開，折痕EF交AD邊于點E，交BC邊于點F，分別連結AF和CE． （1）求證：四邊形AFCE是菱形； （2）若AE=10cm，△ABF的面積為24cm2，求△ABF的周長； （3）在線段AC上是否存在一點P，使得2AE2=AC·AP？若存在，請說明點P的位置，并予以證明；若不存在，請說明理由． 【答案】(1)證明見解析；（2）24cm；（3）存在，過E作EP⊥AD交AC于P，則P就是所求的點，證明見

2、解析. 【解析】 解：（1）∵四邊形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，∴∠EAO=∠FCO， 由折疊的性質可得：OA=OC，AC⊥EF， 在△AOE和△COF中， ∵， ∴△AOE≌△COF（ASA）， ∴AE=CF， ∴四邊形AFCE是平行四邊形， ∵AC⊥EF， ∴四邊形AFCE是菱形； （2）∵四邊形AFCE是菱形， ∴AF=AE=10cm， ∵四邊形ABCD是矩形， ∴∠B=90°， ∴S△ABF=AB?BF=24cm2， ∴AB?BF=48（cm2）， ∴AB2+BF2=（AB+BF）2-2AB?BF=（AB+BF）2-2×48=AF2=100（cm

3、2）， ∴AB+BF=14（cm） ∴△ABF的周長為：AB+BF+AF=14+10=24（cm）． （3）證明：過E作EP⊥AD交AC于P，則P就是所求的點． 當頂點A與C重合時，折痕EF垂直平分AC， ∴OA=OC，∠AOE=∠COF=90°， ∵在平行四邊形ABCD中，AD∥BC， ∴∠EAO=∠FCO， ∴△AOE≌△COF， ∴OE=OF ∴四邊形AFCE是菱形． ∴∠AOE=90°，又∠EAO=∠EAP， 由作法得∠AEP=90°， ∴△AOE∽△AEP， ∴，則AE2=AO?AP， ∵四邊形AFCE是菱形， ∴AO＝AC， ∴AE2=AC?AP，

4、 ∴2AE2=AC?AP． 【點睛】 本題考查翻折變換（折疊問題）；菱形的判定；矩形的性質，相似三角形的判定和性質，綜合性較強，掌握相關性質定理，正確推理論證是解題關鍵． 【例2】（2019·江蘇泰州中學附屬初中初三月考）如圖，正方形ABCD的邊長為6，把一個含30°的直角三角形BEF放在正方形上，其中∠FBE＝30°，∠BEF＝90°，BE＝BC，繞B點轉動△FBE，在旋轉過程中， （1）如圖1，當F點落在邊AD上時，求∠EDC的度數； （2）如圖2，設EF與邊AD交于點M，FE的延長線交DC于G，當AM＝2時，求EG的長； （3）如圖3，設EF與邊AD交于點N，當tan∠

5、ECD＝時，求△NED的面積． 【答案】（1）15°；（2）3；（3） 【解析】 解：（1）如圖1中，作EH⊥BC于H，EM⊥CD于M．則四邊形EMCH是矩形． ∵四邊形ABCD是正方形， ∴BA＝BC＝CD，∠ABC＝∠BCD＝90°， ∵BC＝BE， ∴AB＝BE＝CD， 在Rt△BFA和Rt△BFE中，， ∴Rt△BFA≌△Rt△BFE（HL）， ∴∠ABF＝∠EBF＝30°， ∵∠ABC＝90°， ∴∠EBC＝30°， ∴EH＝MC＝BE＝CD， ∴DM＝CM， ∵EM⊥CD， ∴ED＝EC， ∵∠BCE＝（180°﹣30°）＝75°， ∴∠

6、EDC＝∠ECD＝15°． （2）如圖2中，連接BM、BG． ∵AM＝2， ∴DM＝AD﹣AM＝4， 由（1）可知△BMA≌△BME，△BGE≌△BGC， ∴AM＝EM＝2，EG＝CG， 設EG＝CG＝x，則DG＝6﹣x． 在Rt△DMG中，MG2＝DG2+DM2， ∴（2+x）2＝（6﹣x）2+42， ∴x＝3， ∴EG＝3． （3）如圖3中，連接BN，延長FE交CD于G，連接BG． AN＝NE，EG＝CG， ∵BE＝BC， ∴BG垂直平分CE， ∴∠ECG+∠BCG＝90°，∵∠GBC+∠ECB＝90°， ∴∠ECD＝∠GCB， ∴tan∠GBC＝

7、tan∠ECD＝， ∴＝， ∴CG＝BC＝2， ∵CD＝6， ∴DG＝CD﹣CG＝4，設AN＝EN＝y(tǒng)，則DN＝6﹣y， 在Rt△DNG中，（6﹣y）2+42＝（2+y）2， 解得：y＝3， ∴AN＝NE＝3，DN＝3，NG＝5， ∴S△NED＝?S△DNG＝××3×4＝． 【點睛】 本題是四邊形綜合題，考查了正方形的性質、全等三角形的判定和性質、勾股定理、銳角三角函數等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，學會利用參數構建方程解決問題，屬于中考壓軸題． 考點集訓 1．（2020·陜西初三期中）問題：如圖①，在等邊三角形ABC內有一點P，

8、且PA＝2，PB=，PC＝1，求∠BPC的度數和等邊三角形ABC的邊長． 李明同學的思路是：將△BPC繞點B逆時針旋轉60°，畫出旋轉后的圖形(如圖②)，連接PP′，可得△P′PB是等邊三角形，而△PP′A又是直角三角形(由勾股定理的逆定理可證)，可得∠AP′B＝ °，所以∠BPC＝∠AP′B＝ °，還可證得△ABP是直角三角形，進而求出等邊三角形ABC的邊長為 ，問題得到解決． （1）根據李明同學的思路填空：∠AP′B＝ °，∠BPC＝∠AP′B＝ °，等邊三角形ABC的邊長為 ． （2）探

9、究并解決下列問題：如圖③，在正方形ABCD內有一點P，且PA＝，PB＝，PC＝1.求∠BPC的度數和正方形ABCD的邊長． 【答案】（1）∠AP′B＝150°，∠BPC＝∠AP′B＝150°，等邊三角形ABC的邊長為；（2）∠BPC＝135°，正方形ABCD的邊長為. 【解析】 （1）∵等邊△ABC， ∴∠ABC=60°， 將△BPC繞點B逆時針旋轉60°得出△ABP′， ∴AP′=CP=1，BP′=BP=，∠PBC=∠P′BA，∠AP′B=∠BPC， ∵∠PBC+∠ABP=∠ABC=60°， ∴∠ABP′+∠ABP=∠ABC=60°， ∴△BPP′是等邊三角形， ∴P

10、P′=，∠BP′P=60°， ∵AP′=1，AP=2， ∴AP′2+PP′2=AP2， ∴∠AP′P=90°， ∴∠BPC=∠AP′B=90°+60°=150°， 過點B作BM⊥AP′，交AP′的延長線于點M， ∴∠MP′B=30°，BM=， 由勾股定理得：P′M=， ∴AM=1+=， 由勾股定理得：AB=， 故答案為：150°，． （2）將△BPC繞點B逆時針旋轉90°得到△AEB， 與（1）類似：可得：AE=PC=1，BE=BP=，∠BPC=∠AEB，∠ABE=∠PBC， ∴∠EBP=∠EBA+∠ABP=∠ABC=90°， ∴∠BEP=（180°-90°）=

11、45°， 由勾股定理得：EP=2， ∵AE=1，AP=，EP=2， ∴AE2+PE2=AP2， ∴∠AEP=90°， ∴∠BPC=∠AEB=90°+45°=135°， 過點B作BF⊥AE，交AE的延長線于點F； ∴∠FEB=45°， ∴FE=BF=1， ∴AF=2； ∴在Rt△ABF中，由勾股定理，得AB=； ∴∠BPC=135°，正方形邊長為． 答：∠BPC的度數是135°，正方形ABCD的邊長是． 【點睛】 本題主要考查對勾股定理及逆定理，等邊三角形的性質和判定，等腰三角形的性質，含30度角的 直角三角形的性質，正方形的性質，旋轉的性質等知識點的理解和掌握，正確

12、作輔助線并能根據性質進行證明是解此題的關鍵． 2．（2019·云南初三月考）如圖，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，E是邊AB上一點，將△CBE沿直線CE對折，得到△CFE，連接DF． （1）當D、E、F三點共線時，證明：DE＝CD； （2）當BE＝1時，求△CDF的面積； （3）若射線DF交線段AB于點P，求BP的最大值． 【答案】（1）見解析；（2）；（3）4﹣ 【解析】 證明：（1）∵四邊形ABCD是矩形 ∴AB＝CD＝4，AD＝BC＝3，AB∥CD， ∴∠DCE＝∠CEB ∵△CBE翻折得到△CFE ∴∠FEC＝∠CEB ∴∠DCE＝∠FEC ∴DE＝C

13、D （2）如圖1，延長EF交CD的延長線于點G， ∵四邊形ABCD是矩形 ∴AB＝CD＝4，AD＝BC＝3，AB∥CD， ∴∠DCE＝∠CEB ∵△CBE翻折得到△CFE ∴∠FEC＝CEB，CF＝BC＝3，EF＝BE＝1，∠CFE＝90° ∴∠DCE＝∠FEC，∠CFG＝90° ∴CG＝EG， ∴GF＝GE﹣EF＝CG﹣1 ∵在Rt△CGF中，CG2＝CF2+GF2， ∴CG2＝9+（CG﹣1）2， 解得：CG＝5 ∵△CDF與△CGF分別以CD、CG為底時，高相等 ∴ ∴S△CDF＝S△CGF＝＝ （3）如圖2，過點C作CH⊥DP于點H，連接CP， ∵

14、CD∥AB ∴∠CDP＝∠APD，且∠A＝∠CHD＝90° ∴△ADP∽△HCD ∴＝， ∵CH≤CF，CF＝BC＝AD＝3 ∴CH≤3 ∴當點H與點F重合時， CH最大，DH最小，AP最小，BP最大， 此時，在△ADP與△HCD ∴△ADP≌△HCD（AAS） ∴CD＝DP＝4，AP＝DF ∵AP＝＝ ∴BP的最大值為4﹣． 【點睛】 此題主要考查相似三角形的判定與性質，解題的關鍵是熟知矩形的性質、勾股定理及相似三角形的判定與性質． 3．（2019·江蘇初二期末）如圖1，正方形ABCD的邊長為4，對角線AC、BD交于點M． （1）直接寫出AM=　　

15、　?。? （2）P是射線AM上的一點，Q是AP的中點，設PQ=x． ①AP=　　　　 ，AQ=　　　　 ； ②以PQ為對角線作正方形，設所作正方形與△ABD公共部分的面積為S，用含x的代數式表示S，并寫出相應的x的取值范圍．(直接寫出，不需要寫過程) 【答案】（1）；（2）①2x，x；②S(0＜x≤)． 【解析】 解：（1）∵正方形ABCD的邊長為4， ∴對角線AC4， 又∴AM2． 故答案為：2． （2）①Q是AP的中點，設PQ=x， ∴AP=2PQ=2x，AQ=x． 故答案為：2x；x． ②如圖： ∵以PQ為對角線作正方形， ∴∠GQM=∠FQM=45°

16、 ∵正方形ABCD對角線AC、BD交于點M， ∴∠FMQ=∠GMQ=90°， ∴△FMQ和△GMQ均為等腰直角三角形， ∴FM=QM=MG． ∵QM=AM﹣AQ=2x， ∴SFG?QM， ∴S， ∵依題意得：， ∴0＜x≤2， 綜上所述：S(0＜x≤2)， 【點睛】 本題考查了正方形的性質：正方形的四條邊都相等，四個角都是直角；正方形的兩條對角線相等，互相垂直平分，并且每條對角線平分一組對角．解答本題要充分利用等腰直角三角形性質解答． 4．（2019·江蘇初二期末）（1）如圖1，已知正方形ABCD，點M和N分別是邊BC，CD上的點，且BM=CN，連接AM和BN，交于點

17、P．猜想AM與BN的位置關系，并證明你的結論； （2）如圖2，將圖（1）中的△APB繞著點B逆時針旋轉90o，得到△A′P′B，延長A′P′交AP于點E，試判斷四邊形BPEP′的形狀，并說明理由． 【答案】（1）AM⊥BN，證明見解析；（2）四邊形BPEP′是正方形，理由見解析. 【解析】 （1）AM⊥BN 證明：∵四邊形ABCD是正方形， ∴AB=BC，∠ABM=∠BCN=90° ∵BM=CN， ∴△ABM≌△BCN ∴∠BAM=∠CBN ∵∠CBN+∠ABN=90°， ∴∠ABN+∠BAM=90°， ∴∠APB=90° ∴AM⊥BN．

18、（2）四邊形BPEP′是正方形. △A′P′B是△APB繞著點B逆時針旋轉90o所得， ∴BP= BP′,∠P′BP=90o. 又由（1）結論可知∠APB=∠A′P′B=90°， ∴∠BP′E=90°. 所以四邊形BPEP′是矩形. 又因為BP= BP′,所以四邊形BPEP′是正方形. 【點睛】 此題主要考查特殊平行四邊形的性質與判定，解題的關鍵是熟知正方形的性質與判定. 5．（2020·山東初三期末）如圖，正方形ABCD的邊CD在正方形ECGF的邊CE上，連接DG，過點A作AH∥DG，交BG于點H．連接HF，AF，其中AF交EC于點M． （1）

19、求證：△AHF為等腰直角三角形． （2）若AB＝3，EC＝5，求EM的長． 【答案】（1）見解析；（2）EM＝ 【解析】 證明：（1）∵四邊形ABCD，四邊形ECGF都是正方形 ∴DA∥BC，AD＝CD，FG＝CG，∠B＝∠CGF＝90° ∵AD∥BC，AH∥DG， ∴四邊形AHGD是平行四邊形 ∴AH＝DG，AD＝HG＝CD， ∵CD＝HG，∠ECG＝∠CGF＝90°，FG＝CG， ∴△DCG≌△HGF（SAS）， ∴DG＝HF，∠HFG＝∠HGD ∴AH＝HF， ∵∠HGD+∠DGF＝90°， ∴∠HFG+∠DGF＝90° ∴DG⊥HF，且AH∥DG， ∴A

20、H⊥HF，且AH＝HF ∴△AHF為等腰直角三角形． （2）∵AB＝3，EC＝5， ∴AD＝CD＝3，DE＝2，EF＝5． ∵AD∥EF， ∴，且DE＝2． ∴EM＝． 【點睛】 本題考查了正方形的性質，平行四邊形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，平行線分線段成比例等知識點，綜合性較強難度大靈活運用這些知識進行推理是本題的關鍵． 6．（2020·深圳市龍崗區(qū)石芽嶺學校初三月考）如圖，將一張矩形紙片ABCD沿直線MN折疊，使點C落在點A處，點D落在點E處，直線MN交BC于點M，交AD于點N． （1）求證：CM=CN； （2）若△CMN的面積與△CDN的面積比為3：1

21、，求的值． 【答案】(1)證明見解析;(2) 【解析】 解：（1）證明：由折疊的性質可得：∠ANM=∠CNM， ∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC．∴∠ANM=∠CMN． ∴∠CMN=∠CNM．∴CM=CN． （2）過點N作NH⊥BC于點H，則四邊形NHCD是矩形． ∴HC=DN，NH=DC． ∵△CMN的面積與△CDN的面積比為3：1， ∴． ∴MC=3ND=3HC．∴MH=2HC． 設DN=x，則HC=x，MH=2x，∴CM=3x=CN． 在Rt△CDN中，， ∴HN=． 在Rt△MNH中，， ∴． 7．（2020·河南初三）如下圖1，將三角板放在正方

22、形上，使三角板的直角頂點與正方形的頂點重合，三角板的一邊交于點．另一邊交的延長線于點． （1）觀察猜想：線段與線段的數量關系是 ； （2）探究證明：如圖2，移動三角板，使頂點始終在正方形的對角線上，其他條件不變，（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請給予證明：若不成立．請說明理由： （3）拓展延伸：如圖3，將（2）中的“正方形”改為“矩形”，且使三角板的一邊經過點，其他條件不變，若、，求的值． 【答案】（1）；（2）成立，證明過程見解析；（3）. 【解析】 （1），理由如下： 由直角三角板和正方形的性質得 在和中， ； （2）成立，證明如下

23、： 如圖，過點分別作，垂足分別為，則四邊形是矩形 由正方形對角線的性質得，為的角平分線 則 在和中， ； （3）如圖，過點分別作，垂足分別為 同（2）可知， 由長方形性質得： ，即 在和中， . 【點睛】 本題考查了正方形的性質、矩形的性質、三角形全等的判定定理與性質、相似三角形的判定定理與性質，較難的是題（3），通過作輔助線，構造兩個相似三角形是解題關鍵. 8．（2020·江蘇初二期中）如圖，長方形紙片ABCD中，AB＝8，將紙片折疊，使頂點B落在邊AD上的E點處，折痕的一端G點在邊BC上． （1）如圖1，當折痕的另一端F

24、在AB邊上且AE＝4時，求AF的長； （2）如圖2，當折痕的另一端F在AD邊上且BG＝10時， ①求證：△EFG是等腰三角形；②求AF的長； （3）如圖3，當折痕的另一端F在AD邊上，B點的對應點E到AD的距離是4，且BG＝5時，求AF的長． 【答案】（1）AF＝3；（2）①見解析；②AF＝6；（3）AF＝1 【解析】 （1）解：∵紙片折疊后頂點B落在邊AD上的E點處， ∴BF＝EF， ∵AB＝8， ∴EF＝8﹣AF， 在Rt△AEF中，AE2+AF2＝EF2， 即42+AF2＝（8﹣AF）2， 解得AF＝3； （2）①證明：∵紙片折疊后頂點B落在邊AD上的E點處

25、， ∴∠BGF＝∠EGF， ∵長方形紙片ABCD的邊AD∥BC， ∴∠BGF＝∠EFG， ∴∠EGF＝∠EFG， ∴EF＝EG， ∴△EFG是等腰三角形； ②解：∵紙片折疊后頂點B落在邊AD上的E點處， ∴EG＝BG＝10，HE＝AB＝8，FH＝AF， ∴EF＝EG＝10， 在Rt△EFH中，FH＝＝6， ∴AF＝FH＝6； （3）解：如圖3，設EH與AD相交于點K，過點E作MN∥CD分別交AD、BC于M、N， ∵E到AD的距離為4， ∴EM＝4，EN＝8﹣4＝4， 在Rt△ENG中，EG=BG=5， ∴GN＝＝3， ∵∠GEN+∠KEM＝180°﹣∠

26、GEH＝180°﹣90°＝90°， ∠GEN+∠NGE＝180°﹣90°＝90°， ∴∠KEM＝∠NGE， 又∵∠ENG＝∠KME＝90°， ∴△GEN∽△EKM， ∴， 即， 解得EK＝，KM＝， ∴KH＝EH﹣EK＝8﹣＝， ∵∠FKH＝∠EKM，∠H＝∠EMK＝90°， ∴△FKH∽△EKM， ∴， 即， 解得FH＝1， ∴AF＝FH＝1． 【點睛】 此題考查折疊的性質，勾股定理，相似三角形的判定及性質定理，每個小問的問題都是求AF的長度，故解題中注意思路和方法的總結，（3）中的解題思路與（2）相類似，求出FH問題得解，故將問題轉化是解題的一種特別

27、重要的思路. 9．（2019·河南初三期中）正方形ABCD與正方形DEFG按如圖1放置，點A，D，G在同一條直線上，點E在CD邊上，AD＝3，DE＝，連接AE，CG． （1）線段AE與CC的關系為______； （2）將正方形DEFG繞點D順時針旋轉一個銳角后，如圖2，請問（1）中的結論是否仍然成立？請說明理由 （3）在正方形DEFG繞點D順時針旋轉一周的過程中，當∠AEC＝90°時，請直接寫出AE的長． 【答案】（1）AE＝CG，AE⊥CG；（2）仍然成立；理由見解析；（3）AE的長為2+1或2﹣1． 【解析】 （1）線段AE與CG的關系為：AE＝CG，AE⊥CG， 理由

28、如下： 如圖1，延長AE交CG于點H， ∵四邊形ABCD和四邊形DGFE是正方形， ∴AD＝CD，ED＝GD，∠ADE＝∠CDG＝90°， ∴△ADE≌△CDG（SAS）， ∴AE＝CG，∠EAD＝∠GCD， ∵∠EAD+∠AED＝90°，∠AED＝∠CEH， ∴∠GCD+∠CEH＝90°， ∴∠CHE＝90°，即AE⊥CG， 故答案為：AE＝CG，AE⊥CG； （2）結論仍然成立，理由如下： 如圖2，設AE與CG交于點H， ∵四邊形ABCD和四邊形DGFE是正方形， ∴AD＝CD，ED＝GD，∠ADC＝∠EDG＝90°， ∴∠ADC+∠CDE＝∠EDG+∠CDE，

29、 即∠ADE＝∠CDG， ∴△ADE≌△CDG（SAS）， ∴AE＝CG，∠EAD＝∠GCD， ∵∠EAD+∠APD＝90°，∠APD＝∠CPH， ∴∠GCD+∠CPH＝90°， ∴∠CHP＝90°，即AE⊥CG， ∴AE＝CG，AE⊥CG， ∴①中的結論仍然成立； （3）如圖3﹣1，當點E旋轉到線段CG上時，過點D作DM⊥AE于點M， ∵∠AEC＝90°，∠DEG＝45°， ∴∠AED＝45°， ∴Rt△DME是等腰直角三角形， ∴ME＝MD＝DE＝1， 在Rt?△AMD中，ME＝1，AD＝3， ∴AM＝＝＝2， ∴AE＝AM+ME＝2+1； 如圖3﹣2，當

30、點E旋轉到線段CG的延長線上時，過點D作DN⊥CE于點N， 則∠END＝90°， ∵∠DEN＝45°， ∴∠EDN＝45°， ∴Rt△DNE是等腰直角三角形， ∴NE＝ND＝DE＝1， 在Rt△CND中，ND＝1，CD＝3， ∴CN＝＝＝2， ∴CE＝NE+CN＝2+1， ∵AC＝AD＝3， ∴在Rt△AEC中， AE＝＝＝2﹣1， 綜上所述，AE的長為2+1或2﹣1． 【點睛】 本題考查全等三角形的判定（SAS）與性質，正方形的性質，旋轉的性質以及勾股定理，解題關鍵是在第（3）問中能夠根據題意分情況討論并畫出圖形，才能保證解答的

31、完整性． 10．（2019·云南初三）如圖，在矩形ABCD中，E是AB邊的中點，沿EC對折矩形ABCD，使B點落在點P處，折痕為EC，連結AP并延長AP交CD于F點， （1）求證：△CBE≌△CPE； （2）求證：四邊形AECF為平行四邊形； （3）若矩形ABCD的邊AB＝6，BC＝4，求△CPF的面積． 【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3） 【解析】 （1）解：由折疊可知，EP＝EB，CP＝CB， ∵EC＝EC， ∴△ECP≌△ECB（SSS）． （2）證明：由折疊得到BE＝PE，EC⊥PB， ∵E為AB的中點， ∴AE＝EB＝PE， ∴AP⊥BP， ∴

32、AF∥EC， ∵AE∥FC， ∴四邊形AECF為平行四邊形； （3）過P作PM⊥DC，交DC于點M， 在Rt△EBC中，EB＝3，BC＝4， 根據勾股定理得： ， ， 由折疊得：BP＝2BQ＝， 在Rt△ABP中，AB＝6，BP＝， 根據勾股定理得： , ∵四邊形AECF為平行四邊形， ∴AF＝EC＝5，FC＝AE＝3， ∴PF＝5﹣＝， ∵PM∥AD， ∴△FPM∽△FAD ，即 解得：PM＝， 則S△PFC＝FC?PM＝×3×＝． 【點睛】 本題考查的是利用折疊性質來證明三角形全等和平行四邊形四邊形，還考查了利用勾股定理、面積公式來求三角形的邊

33、長，利用相似三角形的性質對應邊成比例來求出三角形的高，進而求出三角形的面積．本題第（3）中求也可利用△APB∽△EBC，對應邊成比例,求AP，這樣比較簡便． 11．（2019·江西初三期中）在正方形ABCD中，點P是CD上一動點，連結PA，分別過點B、D作BE⊥PA、DF⊥PA，垂足為E、F，如圖①． （1）請?zhí)剿鰾E、DF、EF這三條線段長度具有怎樣的數量關系，若點P在DC的延長線上（如圖②），那么這三條線段的長度之間又有怎樣的數量關系？若點P在CD的延長線上呢（如圖③）？請分別直接寫出結論． （2）請在（1）中的三個結論中選擇一個加以證明． 【答案】（1）圖①中，BE=DF

34、+EF；圖②中，BE=DF-EF；圖③中，BE=EF-DF；（2）見解析 【解析】 解：（1）在正方形ABCD中,AB=AD,∠BAD=90°， ∴∠BAE+∠DAF=90°， ∵BE⊥PA，DF⊥PA， ∴∠AEB=∠DFA=90°， ∠ABE+∠BAE=90°， ∴∠ABE=∠DAF， 在△ABE和△DAF中， ∴△ABE≌△DAF(AAS)， ∴AE=DF，AF=BE， 如圖①，∵AF=AE+EF， ∴BE=DF+EF， 如圖②，∵AE=AF+EF， ∴BE = DF -EF， 如圖③，∵EF=AE+AF， ∴BE = EF -DF （2）證明：如圖

35、題①， ∵ABCD是正方形， ∴AB=AD， ∵BE⊥PA，DF⊥PA， ∴∠AEB=∠AFD=90°，∠ABE+∠BAE=90°． ∵∠DAF+∠BAE=90°， ∴∠ABE=∠DAF， ∴Rt△ABE≌Rt△DAF， ∴BE=AF，AE=DF， 而AF=AE+EF， ∴BE=DF+EF； 【點睛】 本題主要考查了正方形的性質，全等三角形的判定與性質，掌握正方形的性質，全等三角形的判定與性質是解題的關鍵． 12．（2020·河北初三期末）如圖，在正方形中，點是邊上的一點（不與、重合），點在的延長線上，且滿足，連接、，與邊交于點． （1）求證：； （2）如果，

36、求證：． 【答案】（1）見解析；（2）見解析 【解析】 解：證明（1）∵四邊形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠CAD＝∠ACB＝45°，∠BAD＝∠CDA＝∠B＝90°， ∴∠BAM＋∠MAD＝90°，∠ADN＝90° ∵∠MAN＝90°， ∴∠MAD＋∠DAN＝90°， ∴∠BAM＝∠DAN， 且AD＝AB，∠ABC＝∠ADN＝90° ∴△ABM≌△ADN（ASA） ∴AM＝AN， （2）∵AM＝AN，∠MAN＝90°， ∴∠MNA＝45°， ∵∠CAD＝2∠NAD＝45°， ∴∠NAD＝22.5° ∴∠CAM＝∠MAN﹣∠CAD﹣∠NAD＝22.5° ∴∠CAM＝∠NAD，∠ACB＝∠MNA＝45°， ∴△AMC∽△AEN ∴＝，且AN＝AM， ∴AN2＝AE?AC 【點睛】 本題主要考查正方形的性質，全等三角形和相似三角形的判定及性質，掌握正方形的性質，全等三角形和相似三角形的判定及性質是解題的關鍵．