2011-2012年高考數(shù)學(xué) 真題分類匯編 第一章解三角形（含解析）新人教版必修5

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1、解三角形 1.（2012年高考上海）在中,若,則的形狀是（　?。? A．銳角三角形. B．直角三角形. C．鈍角三角形. D．不能確定. [解析] 由條件結(jié)合正弦定理,得,再由余弦定理,得, 所以C是鈍角,選C. 2.（2012年高考陜西）在中,角所對邊長分別為,若,則的最小值為 （　?。? A． B． C． D． 解析:由余弦定理得,當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”,選C. 3.（2012年高考重慶）設(shè)的內(nèi)角的對邊分別為, 且則______ 【答案】 【解析】由,由正弦定理得,由余弦定理 【考點(diǎn)定位】利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出的值是本題的突破點(diǎn),然后利用正弦定理建立已

2、知和未知之間的關(guān)系,同時要求學(xué)生牢記特殊角的三角函數(shù)值. 4.（2012年高考湖北）設(shè)△的內(nèi)角,,所對的邊分別為,,. 若,則角_________. 考點(diǎn)分析:考察余弦定理的運(yùn)用. 解析:由 根據(jù)余弦定理可得 5.（2012年高考福建）已知得三邊長成公比為的等比數(shù)列,則其最大角的余弦值為_________. 【答案】 【解析】設(shè)最小邊為,則其他兩邊分別為,由余弦定理得,最大角的余弦值為 【考點(diǎn)定位】此題主要考查三角形中的三角函數(shù),等比數(shù)列的概念、余弦定理,考查分析推理能力、運(yùn)算求解能力. 6..（2011年上海）在相距2千米的．兩點(diǎn)處測量目標(biāo)，若，則．兩

3、點(diǎn)之間的距離是 千米。 【答案】 7.（2012·安徽高考卷·T15·5分）設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對邊的長分別為a，b，c，則下列命題正確的是_____________（寫出所有正確命題的編號）. ①若，則； ②若，則； ③若，則； ④若，則； ⑤若，則. 【答案】①②③ 【解析】對于①，由得，則，因?yàn)?，所以，故①正確；對于②，由得，即 ，則，因?yàn)?，所以，故②正確；對于對于③，可變?yōu)?，可得，所以，所以，故，③正確；對于④，可變?yōu)?，可得，所以，因?yàn)椋?，④錯誤；對于⑤，可變?yōu)椋?，所以，所以，所以，故⑤錯誤.答案為①②③ 答案為①②③

4、. 【高考規(guī)律】此題為數(shù)學(xué)中的多項(xiàng)選擇問題，安徽高考在大綱版的考試中多是考查立體幾何知識，但這一輪新課標(biāo)的四年高考中，任何兩年考查的知識點(diǎn)都不一樣，是很多老師和學(xué)生始料不及的，但只要對概率的概念和公式理解準(zhǔn)確，本題求解也并非不可能. 8.（2012·浙江高考卷·T18·14分）在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知cosA＝，sinB＝cosC． (Ⅰ)求tanC的值； (Ⅱ)若a＝，求ABC的面積． 【解析】(Ⅰ)∵cosA＝＞0，∴sinA＝， 又cosC＝sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋sinCcosA ＝cosC＋sinC． 整理得：tan

5、C＝． (Ⅱ)由圖輔助三角形知：sinC＝． 又由正弦定理知：， 故． (1) 對角A運(yùn)用余弦定理：cosA＝． (2) 解(1) (2)得： ， b＝(舍去)． ∴ABC的面積為：S＝． 【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) ． 【點(diǎn)評】本題主要考察三角函數(shù)求值，解三角形，是常見的三角函數(shù)問題，掌握基本方法為主. 9.（2012·新課標(biāo)卷·T17·12分） 已知a、b、c分別為△ABC三個內(nèi)角A，B，C的對邊. (1) 求A； (2) 若a=2,△ABC的面積為，求b,c. 【命題立意】：本題主要考查了解三角形的相關(guān)知識，先利用正弦定理把條件做到邊角的統(tǒng)一，得到A、

6、C的關(guān)系，求解角A，然后利用三角形的面積公式求解三角形的面積. 【點(diǎn)評】：本題主要考查了通過將三角形中邊角的轉(zhuǎn)換，結(jié)合了三角形的內(nèi)角和定理的知識，以及正弦定理與余弦定理，求解三角形中的問題，試題整體上比較穩(wěn)定，思路比較容易. 10.（2011年江蘇）在△ABC中，角A、B、C所對應(yīng)的邊為 （1）若 求A的值； （2）若，求的值. 本題主要考查三角函數(shù)的基本關(guān)系式、兩角和的正弦公式、解三角形，考查運(yùn)算求解能力。 解：（1）由題設(shè)知 ， （2）由 故△ABC是直角三角形，且. 11.（2011年安徽） 在數(shù)1和100之間插入個實(shí)數(shù)，使得這個數(shù)構(gòu)成遞增的等比數(shù)列，將這個

7、數(shù)的乘積記作，再令. （Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （Ⅱ）設(shè)求數(shù)列的前項(xiàng)和. 本題考查等比和等差數(shù)列，指數(shù)和對數(shù)的運(yùn)算，兩角差的正切公式等基本知識，考查靈活運(yùn)用知識解決問題的能力，綜合運(yùn)算能力和創(chuàng)新思維能力. 解：（I）設(shè)構(gòu)成等比數(shù)列，其中則 ① ② ①×②并利用 （II）由題意和（I）中計(jì)算結(jié)果，知 另一方面，利用 得 所以 12．（2011年福建）已知等比數(shù)列{an}的公比q=3，前3項(xiàng)和S3=。 （I）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； （II）若函數(shù)在處取得最大值，且最大值為a3，求函數(shù)f（x）的解析式。 本小題主要考查等比

8、數(shù)列、三角函數(shù)等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想， 解：（I）由 解得 所以 （II）由（I）可知 因?yàn)楹瘮?shù)的最大值為3，所以A=3。 因?yàn)楫?dāng)時取得最大值， 所以 又 所以函數(shù)的解析式為 13.（2011年湖北） 設(shè)的內(nèi)角A、B、C、所對的邊分別為a、b、c，已知 （Ⅰ）求的周長 （Ⅱ）求的值 本小題主要考查三角函數(shù)的基本公式和解斜三角形的基礎(chǔ)知識，同時考查基本運(yùn)算能力。 解：（Ⅰ） 的周長為 （Ⅱ） ，故A為銳角， 14.（2011年湖南）在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c，且滿足

9、csinA=acosC． （Ⅰ）求角C的大??； （Ⅱ）求sinA-cos（B+）的最大值，并求取得最大值時角A、B的大小。 解析：（I）由正弦定理得 因?yàn)樗? （II）由（I）知于是 取最大值2． 綜上所述，的最大值為2，此時 15.（2011年全國大綱） △ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c．己知A—C=90°，a+c=b，求 C． 解：由及正弦定理可得 又由于故 因?yàn)椋? 所以 16.（2011年山東）在ABC中，內(nèi)角A

10、，B，C的對邊分別為a，b，c． 已知． （I）求的值； （II）若cosB=，b=2，的面積S。 解： （I）由正弦定理，設(shè) 則 所以 即， 化簡可得 又， 所以 因此 （II）由得 由余弦定理 解得a=1。 因此c=2 又因?yàn)? 所以 因此 17.（2011年陜西） 敘述并證明余弦定理。 解： 余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與他們夾角的余弦之積的兩倍?；颍涸贏BC中，a,b,c為A,B,C的對邊，有 證法一 如圖 即 同理可證

11、 證法二 已知ABC中A,B,C所對邊分別為a,b,c,以A為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系，則, 同理可證 18.（2011年浙江）在中，角所對的邊分別為a,b,c． 已知且． （Ⅰ）當(dāng)時，求的值； （Ⅱ）若角為銳角，求p的取值范圍； 本題主要考查三角變換、正弦定理、余弦定理等基礎(chǔ)知識，同時考查運(yùn)算求解能力。滿分14分。 （I）解：由題設(shè)并利用正弦定理，得 解得 （II）解：由余弦定理， 因?yàn)椋? 由題設(shè)知 19.（2012年高考大綱）(注意:在試卷上作答無效) 的內(nèi)角、、的對邊分別為、、,已知,求. 【命題

12、意圖】本試題主要考查了解三角形的運(yùn)用,給出兩個公式,一個是邊的關(guān)系,一個角的關(guān)系,而求解的為角,因此要找到角的關(guān)系式為好. 【解析】由, 由正弦定理及可得 所以 故由與可得 而為三角形的內(nèi)角且,故,所以,故. 【點(diǎn)評】該試題從整體來看保持了往年的解題風(fēng)格,依然是通過邊角的轉(zhuǎn)換,結(jié)合了三角形的內(nèi)角和定理的知識,以及正弦定理和余弦定理,求解三角形中的角的問題.試題整體上比較穩(wěn)定,思路也比較容易想,先將三角函數(shù)關(guān)系式化簡后,得到角關(guān)系,然后結(jié)合,得到兩角的二元一次方程組,自然很容易得到角的值. 20.（2012年高考（江西理））在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為

13、a,b,c.已知,. (1)求證: (2)若,求△ABC的面積. 【解析】 解:(1)證明:由 及正弦定理得: , 即 整理得:,所以,又 所以 (2) 由(1)及可得,又 所以, 所以 三角形ABC的面積 【點(diǎn)評】本題考查解三角形,三角形的面積,三角恒等變換、三角和差公式以及正弦定理的應(yīng)用.高考中,三角解答題一般有兩種題型:一、解三角形:主要是運(yùn)用正余弦定理來求解邊長,角度,周長,面積等;二、三角函數(shù)的圖像與性質(zhì):主要是運(yùn)用和角公式,倍角公式,輔助角公式進(jìn)行三角恒等變換,求解三角函數(shù)的最小正周期,單調(diào)區(qū)間,最值(值域)等.來年需要注意第二種題型的考查. 21.（2012年高考江蘇）在中,已知. (1)求證:; (2)若求A的值. 解:(1)∵,∴, 即. 由正弦定理,得,∴. 又∵,∴.∴即. (2)∵ ,∴.∴. ∴,即.∴. 由 (1) ,得,解得. ∵,∴.∴. 【考點(diǎn)】平面微量的數(shù)量積,三角函數(shù)的基本關(guān)系式,兩角和的正切公式,解三角形. 【解析】(1)先將表示成數(shù)量積,再根據(jù)正弦定理和同角三角函數(shù)關(guān)系式證明. (2)由可求,由三角形三角關(guān)系,得到,從而根據(jù)兩角和的正切公式和(1)的結(jié)論即可求得A的值.