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1、第二章 誤差理論與數(shù)據(jù)處理,一、測量誤差的基本理論,1、測量誤差的定義：,測量誤差 = 測得值 - 真值,客觀真實值（未知）,1m = 1650763.73 ,實驗結(jié)果 --- 實驗數(shù)據(jù) --- 與其理論期望值不完全相同, 約定真值：世界各國公認(rèn)的幾何量和物理量的最高基準(zhǔn)的量值, 相對真值：標(biāo)準(zhǔn)儀器的測得值或用來作為測量標(biāo)準(zhǔn)用的標(biāo)準(zhǔn)器的值,如：米 --- 公制長度基準(zhǔn), --- 氪-86的2p10-5d5能級間躍遷在真空中的輻射波長,測量所得數(shù)據(jù)與其相應(yīng)的真值之差,1）絕對誤差：,,,x = x x0, 理論真值：設(shè)計時給定或用數(shù)學(xué)、物理公式計算出的給定值,,光在真空中1s時間內(nèi)傳播距離
2、的1/299792485,2）相對誤差,測量的絕對誤差與被測量的真值之比,絕對誤差很小,定義：,表示：百分?jǐn)?shù)（%）--- 分子分母量綱相同,,例：質(zhì)量G1=50g，誤差1=2g；質(zhì)量G2=2kg，誤差2=50g,--- G2的測量效果較好,,確切反映測量效果：被測量的大小不同 --- 允許的測量誤差不同,被測量的量值小 --- 允許的測量絕對誤差也越小,2、誤差的特點,普遍性,--- 所有的測量數(shù)據(jù)都存在誤差 --- 不可避免的,最高基準(zhǔn)的測量傳遞手段（測量儀器/測量方法）--- 不絕對準(zhǔn)確, “米制”建議（18世紀(jì)末法國科學(xué)院） --- “米” 定義 （1791年法國國會） --- 通過巴黎
3、的地球子午線長度的四千分之一 --- 鉑桿“檔案尺” （1799年）--- 兩端之間的距離--- 第一個實物基準(zhǔn),長度：,“檔案尺”變形 --- 較大誤差 --- 廢棄（1872年米制國際會議）, 鉑銥合金的X形尺 --- 米原器（1889年第一次國際計量大會） --- 中性面上兩端的二條刻線在0C時的長度 --- （12）10-7（復(fù)現(xiàn)精度）, 自然基準(zhǔn)（1960年第十一次國際計量大會）--- 廢棄米原器 ---Kr-86的2p10-5d5能級間躍遷在真空中的輻射波長的1650763.73倍。--- （0.51）10-8（復(fù)現(xiàn)精度）, “米”新定義（1983年第十七屆國際計量大會）--- 光
4、在真空中1s時間內(nèi)傳播距離的1/299792485 --- 1.310-10 （復(fù)現(xiàn)精度）, 減小誤差的影響，提高測量精度,測量精度 --- 測量技術(shù)水平的主要標(biāo)志之一,精度提高受到限制 --- 測量誤差的影響作出評定, 對測量結(jié)果的可靠性給出評定（精確度的估計）,與檢測系統(tǒng)的組成和各組成環(huán)節(jié)有關(guān),3、誤差原因,性質(zhì)、狀態(tài)、條件以及被測量的種類、狀態(tài), 檢測系統(tǒng)各環(huán)節(jié)所使用的材料性能和制造技術(shù)引起的誤差, 檢測系統(tǒng)各環(huán)節(jié)動力源的變化引起的誤差, 檢測系統(tǒng)器件特性變化引起的誤差 --- 偏離設(shè)定值, 檢測環(huán)境引起的誤差, 檢測方法誤差, 檢測人員造成的誤差, 由被測對象本身引起的誤差, 因檢測理
5、論的假定產(chǎn)生的誤差,實際情況與假定情況不符, 組成檢測系統(tǒng)各環(huán)節(jié)的傳遞特性方面產(chǎn)生的誤差,人員視覺、讀數(shù)誤差、經(jīng)驗、熟練程度、精神方面原因（疲勞）,電流、電壓、氣壓、液壓等,4 、誤差分類,按誤差來源：裝置誤差、環(huán)境誤差、方法誤差、人員誤差, 系統(tǒng)誤差（System error）,由特定原因引起、具有一定因果關(guān)系并按確定規(guī)律產(chǎn)生,按掌握程度：已知誤差、未知誤差,按特性規(guī)律：系統(tǒng)誤差、隨機誤差、粗大誤差,--- 有規(guī)律可循,,再現(xiàn)性 --- 偏差（Deviation）,理論分析/實驗驗證 --- 原因和規(guī)律 --- 減少/消除, 隨機誤差（Random error）,因許多不確定性因素而隨機發(fā)生
6、,偶然性（不明確、無規(guī)律）,概率和統(tǒng)計性處理（無法消除/修正）, 粗大誤差（Abnormal error）,檢測系統(tǒng)各組成環(huán)節(jié)發(fā)生異常和故障等引起,異常誤差 --- 混為系統(tǒng)誤差和偶然誤差 --- 測量結(jié)果失去意義,分離 --- 防止,按變化速度：靜態(tài)誤差、動態(tài)誤差,5、檢測精度,--- 檢測系統(tǒng)的基本內(nèi)容,不同場合 --- 檢測精度要求不同,例：服裝裁剪（身長/胸圍）--- 半厘米；發(fā)動機活塞直徑 --- 微米級,精度高 --- 系統(tǒng)復(fù)雜 --- 造價高,--- 系統(tǒng)誤差大小的反映,坐標(biāo)原點 --- 真值點的位置,按誤差原因：,點 --- 多次測量結(jié)果, 正確度：表征測量結(jié)果接近真值的程度,
7、 精密度：反映測量結(jié)果的分散程度（針對重復(fù)測量而言）,--- 表示隨機誤差的大小, 準(zhǔn)確度：表征測量結(jié)果與真值之間的一致程度,--- 系統(tǒng)誤差和隨機誤差的綜合反映,例：,6、確定測量誤差的方法,1）逐項分析法,與被測對象有關(guān)的專業(yè)知識 --- 物理過程、數(shù)學(xué)手段,對測量中可能產(chǎn)生的誤差進(jìn)行分析、逐項計算出其值，并對其中主要項目按照誤差性質(zhì)的不同，用不同的方法綜合成總的測量誤差極限,最嚴(yán)重情況 --- 結(jié)果和實際差別 --- 誤差極限偏大,2）實驗統(tǒng)計法,綜合使用，互相補充、相互驗證,利用實際測量數(shù)據(jù)估算 --- 反映各種因素的實際綜合作用,反映出各種誤差成分在總誤差中所占的比重,--- 產(chǎn)生誤
8、差的主要原因 --- 減小誤差應(yīng)主要采取的措施,應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計的方法對在實際條件下所獲得的測量數(shù)據(jù)進(jìn)行分析處理，確定其最可靠的測量結(jié)果和估算其測量誤差的極限,適用： 一般測量,適用： 擬定測量方案, 研究新的測量方法、設(shè)計新的測量裝置和系統(tǒng), 對測量方法和測量儀器的實際精度進(jìn)行估算和校驗,1、系統(tǒng)誤差的消除, 測量方法 --- 避免出現(xiàn)系統(tǒng)誤差,--- 防止系統(tǒng)誤差出現(xiàn)的最基本辦法,數(shù)據(jù)處理 --- 被測量的估計值 --- 可信程度（評定）, 找出規(guī)律 --- 修正值,2）引入修正值進(jìn)行校正,3）檢測方法上消除或減小,--- 現(xiàn)有儀器設(shè)備取得更好的效果（提高測量準(zhǔn)確度）,1）分析系統(tǒng)誤差產(chǎn)生的原
9、因,二、數(shù)據(jù)處理的一般方法,--- 已出現(xiàn)的系統(tǒng)誤差,理論分析/專門的實驗研究 --- 系統(tǒng)誤差的具體數(shù)值和變化規(guī)律,--- 確定修正值（溫度、濕度、頻率修正等）,測量前 --- 對可能產(chǎn)生的誤差因素進(jìn)行分析，采取相應(yīng)措施,--- 修正表格、修正曲線、修正公式 --- 按規(guī)律校正,--- 實際測量中，采取有效的測量方法, 抵消法,例：等臂天平稱重 --- 左右兩臂長的微小差別 --- 恒值系統(tǒng)誤差,引起系統(tǒng)誤差的條件（如被測量的位置）相互交換 --- 其他條件不變, 換位法/替代法,--- 產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的因素對測量結(jié)果起相反的作用 --- 抵消,a）X與P左右交換 --- 兩次測量的平均值 -
10、-- 消除系統(tǒng)誤差,被測物 ---X；平衡物 --- T；砝碼 --- P,改變測量條件（如方向）--- 兩次測量結(jié)果的誤差符號相反 --- 平均值消除帶有間隙特性的定值系統(tǒng)誤差,例：千分尺 --- 空行程（刻度變化，量桿不動）--- 系統(tǒng)誤差,--- 異號相消法,b）T與X 平衡,測量結(jié)果,P與T平衡,已知量替換被測量,,,正反兩個方向?qū)?zhǔn)標(biāo)志線,,順時針 ---,逆時針 ---,正確值 ---,換位/替代法,不含系統(tǒng)誤差a，空程引起誤差, 差動法,被測量對傳感器起差動作用 干擾因素起相同作用,--- 被測量的作用相加 --- 干擾的作用相減,抑制干擾 提高靈敏度和線性度,作用：
11、, 比值補償法,利用比值補償原理 --- 影響因素在輸出計算式的分子、分母上同時出現(xiàn) --- 約消,例：比色高溫計 --- 消除輻射率變化的影響, 半周期偶數(shù)觀測法,--- 系統(tǒng)誤差隨某因素成周期性變化,綜合：,兩次測量所得的周期系統(tǒng)誤差 --- 數(shù)值相等、正負(fù)相反 --- 取平均值,自動檢測 --- 檢測的時間間隔為周期（克服隨時間周期變化因素的影響）,有影響的因素 --- 定值/較窄范圍 --- 系差穩(wěn)定 --- 修正值,測量 --- 變化周期,傳感器信號轉(zhuǎn)換 --- 選頻放大器、濾波器、濾色片 --- 截斷/刪除無用頻帶（只讓有用信號頻帶通過） --- 減輕校正、補償難度,措施 ---
12、恒溫、穩(wěn)壓或穩(wěn)頻,1）判別方法, 物理判別法,--- 人為因素（讀錯、記錄錯、操作錯）, 統(tǒng)計判別法,--- 整個測量完畢之后,2、粗大誤差的減少辦法和剔除準(zhǔn)則,2）剔除準(zhǔn)則, 拉依達(dá)準(zhǔn)則（3 準(zhǔn)則）, 肖維勒準(zhǔn)則, 格拉布斯準(zhǔn)則,顯然與事實不符 --- 歪曲測量結(jié)果 --- 主觀避免 --- 剔除（發(fā)現(xiàn)）,--- 測量過程中,--- 不符合實驗條件/環(huán)境突變（突然振動、電磁干擾等）,統(tǒng)計方法處理數(shù)據(jù) --- 超過誤差限 --- 判為壞值 --- 剔除,隨機誤差在一定的置信概率下的確定置信限,,,測量值 Xd 的剩余誤差的絕對值 | Pd| 3 --- 壞值 --- 剔除,測量值 Xd 的剩余
13、誤差的絕對值 | Pd| n --- 壞值 --- 剔除,n --- 肖維勒系數(shù)（查表確定）,測量值 Xd 的剩余誤差的絕對值| Pd| (,n) --- 壞值 --- 剔除,(,n) --- 查表確定,,,,,,--- 隨時發(fā)現(xiàn)，隨時剔除 --- 重新測量,3、隨機誤差的分析處理,--- 統(tǒng)計方法,正態(tài)分布（高斯分布） --- 大多數(shù)；,其它 --- 正弦分布、二次分布、卡方分布、指數(shù)分布、 分布、 分布等,1）分布：,均勻分布 --- 量化誤差、舍入誤差；,N次測量結(jié)果 --- xi ( i =1, 2, , N ),概率密度函數(shù),概率分布函數(shù),,,,,誤差 = x - x0,,,,均方根
14、誤差/標(biāo)準(zhǔn)誤差, 對稱性,2）特點:, 有界性, 抵償性, 單峰性,--- 可正可負(fù) --- 絕對值相等的正負(fù)誤差出現(xiàn)的機會相等,P() - 曲線對稱于縱軸,--- 絕對值不會超過一定的范圍（一定的測量條件下）,絕對值很大的誤差幾乎不出現(xiàn),全體隨機函數(shù)的代數(shù)和,--- 絕對值小的誤差出現(xiàn)的機會多（概率密度大）, =0 處隨機誤差概率密度有最大值,數(shù)學(xué)期望（Expectation ） --- 真值x0,標(biāo)準(zhǔn)偏差（Standard deviation） --- 測量精密度的標(biāo)志,3）特征量：,h --- 精密度指數(shù),數(shù)學(xué)期望 --- ,標(biāo)準(zhǔn)偏差,樣本平均 --- 隨機變量 --- 數(shù)學(xué)期望、標(biāo)準(zhǔn)偏
15、差,, --- 估計值 s,真值x0,,樣本中各測量數(shù)據(jù)相對樣本平均的分散程度 --- 樣本標(biāo)準(zhǔn)偏差s,--- 總體標(biāo)準(zhǔn)偏差 的無偏估計,算術(shù)平均（Mean value）,,樣本平均,--- 的無偏估計,總體期望：無限次測量（不可能實現(xiàn)） --- 有限次測量代替,估計（Estimation ) --- 有限次樣本推測總體參數(shù) --- 估計值（）,4、誤差綜合,1）系統(tǒng)誤差的合成, 已定系統(tǒng)誤差 --- 大小和正負(fù)已知,2）隨機誤差的合成, 間接測量隨機誤差的合成, 未定系統(tǒng)誤差 --- 難以知道或不能確切掌握大小和正負(fù)--- 極限范圍 e,--- 代數(shù)和 --- 校正消除,--- 不確定度代數(shù)
16、相加法、方和根法、廣義方和根法, 間接測量平均值的計算,xi（i =1,2,,m）--- 直接測量量,y --- 間接測量量,y = f（x1，x2，，xm）--- xi 的單值函數(shù),,--- 各直接測量量互不相關(guān), 不等精密度測量,“權(quán)”--- 比重的大小（信賴度高 --- 比重大）,加權(quán)算術(shù)平均值,加權(quán)算術(shù)平均值的均方根誤差,,,均方根誤差,剩余誤差,5、測量結(jié)果的表示方法, 多次測量結(jié)果的表示,測量結(jié)果 = 樣本平均值 不確定度, 單次測量結(jié)果的表示,-- 消除系統(tǒng)誤差、剔除粗大誤差,隨機誤差數(shù)據(jù)處理 --- 被測量真值的取值范圍（概率）,,不確定度（Uncertainty）,測量可以置
17、信的限度 --- K,K ---置信系數(shù)（K=1, 2, 3等）,直接測量,概率 --- 置信概率,正態(tài)分布,,68.27%,,95.45%,,99.73%,事前誤差分析、以往的同等條件、詳盡條件下多次測量的統(tǒng)計結(jié)果、檢測器具說明書中給出的誤差限 --- 標(biāo)準(zhǔn)偏差的估計值,6、數(shù)據(jù)的有效數(shù)字及舍入規(guī)則,1）數(shù)據(jù)有效數(shù)字 --- 位數(shù)：,不確定度 --- 一位到二位,2）數(shù)字的舍入規(guī)則,如：測量結(jié)果 l =4.2958mm，極限誤差lim=0.015mm,一般數(shù)據(jù) --- 按有效數(shù)字取舍數(shù)據(jù)的位數(shù),l =4.296mm,,--- “四舍六入五湊雙”,加減運算 --- 小數(shù)點后位數(shù)最少的數(shù)據(jù),一般
18、數(shù)據(jù),,精度數(shù)據(jù)（標(biāo)準(zhǔn)差、極限誤差）,數(shù)據(jù)：最末一位取與不確定度末位同一量級,按書寫數(shù)字 --- 數(shù)據(jù)誤差（半個單位以內(nèi)）,如：2.38（0.005），0.082（ 0.0005 ）,--- “只入不舍”,如：極限誤差0.22,0.3（一位有效數(shù)字）,3）數(shù)字運算規(guī)則,乘除運算 --- 有效數(shù)字位數(shù)最少的數(shù)據(jù),4.286 + 1.32 - 0.4563 = 5.1497,,5.15,462.80.64 1.22 = 242.78033,,2.4102,7、最小二乘原理及其應(yīng)用,1）最小二乘法原理,2）回歸分析,--- 數(shù)理統(tǒng)計方法 --- 目標(biāo)變量與自變量 --- 函數(shù)關(guān)系,相關(guān)關(guān)系 ---
19、不能由自變量的數(shù)值精確的求得目標(biāo)變量,n 次重復(fù)測量（ x1, x2, , xn ）,最佳估計,殘差 平方和最小,,--- 殘差平方和最小,,應(yīng)用：實驗數(shù)據(jù)的處理、經(jīng)驗公式的求得、因素分析、產(chǎn)品質(zhì)量控制、系統(tǒng)模型建立,(x1,y1), (x2,y2),,(xn ,yn),*,*,*,*,*,*,,數(shù)學(xué)模型：直線、拋物線、雙曲線、冪函數(shù),實驗數(shù)據(jù)：,y = f (x),*,,,,,,,擬和曲線,殘差,殘差平方和,殘差平方和最小,或,3）回歸方程的方差分析與顯著性檢驗,y =f (x) 一次函數(shù) --- 線性關(guān)系,,顯著性檢驗 --- 自變量和因變量之間的關(guān)系與實際是否相符,方差分析
20、--- 求解/預(yù)報因變量的值的精度如何,總的離差平方和, 方差分析,n 個測量值（ y1, y2, , yn ）之間的差異 --- 變差,,,,,,,,第i個測量值,測量值的平均值,回歸直線精度 --- 剩余方差,,,, 自變量 x 取值不同造成因變量 y 的變化, 實驗誤差等因素的影響,,,,,,,,估計值,U 回歸平方和,Q 剩余平方和,,,剩余平方和Q的自由度,（的自由度）--- n-1,U（U的自由度）--- 1,Q（Q的自由度）--- n-2,測量點數(shù)--- n：, 顯著性檢驗,表示：U和Q的相對大小,U大Q小（比值大） --- y 與x 的線性關(guān)系密切,顯著性 --- F（統(tǒng)計量）,,F分布,偶然誤差的分布形式,,--- Fa ( v1, v2 ),v1 --- 分母自由度,v2 --- 分子自由度,F大于Fa ( v1, v2 )的概率為a,F分布表,顯著水平：a 0.01、 a 0.05、 a 0.1,F F0.01 ( v1, v2 ),高度顯著,,F0.05 ( v1, v2 ) <=F <=F0.01 ( v1, v2 ),顯著（0.05水平上）,,F <=F0.1 ( v1, v2 ),不顯著,今日作業(yè),無,
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