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1、課時知能訓練
一、選擇題
1.(2011·天津高考)設變量x,y滿足約束條件則目標函數(shù)z=3x-y的最大值為( )
A.-4 B.0 C. D.4
【解析】 表示的平面區(qū)域如圖所示.
z=3x-y在(2,2)取得最大值.
zmax=3×2-2=4.
【答案】 D
圖6-3-1
2.已知動點P(x,y)在正六邊形的陰影部分(含邊界)內運動,如圖6-3-1,正六邊形邊長為2,若使目標函數(shù)z=kx+y(k>0)取得最大值的最優(yōu)解有無窮多個,則k值為( )
A. B.
C. D.4
2、
【解析】 由于k>0,則當直線y=-kx+z和正六邊形不平行于x軸的一邊平行時,目標函數(shù)z=kx+y的最優(yōu)解有無窮多個,
此時-k=tan 120°=-,∴k=.
【答案】 A
3.(2011·湖北高考)直線2x+y-10=0與不等式組表示的平面區(qū)域的公共點有( )
A.0個 B.1個 C.2個 D.無數(shù)個
【解析】 直線2x+y-10=0與不等式組表示的平面區(qū)域的位置關系如圖所示,故直線與此區(qū)域的公共點有1個.
【答案】 B
4.不等式組表示的平面區(qū)域是一個三角形,則a的范圍是( )
A.a(chǎn)<5 B.a(chǎn)≥8
C.5≤a<8 D
3、.a(chǎn)<5或a≥8
【解析】 如圖,的交點為(0,5),的交點為(3,8),
∴5≤a<8.
【答案】 C
5.(2011·安徽高考)設變量x,y滿足則x+2y的最大值和最小值分別為( )
A.1,-1 B.2,-2 C.1,-2 D.2,-1
【解析】 作出可行域(如圖陰影部分所示),設z=x+2y,作l0:x+2y=0.
把l0向左下方平移到點(0,-1)時,z有最小值,zmin=0+2×(-1)=-2.
把l0向右上方平移到點(0,1)時,z有最大值,zmax=0+2×1=2.
【答案】 B
二、填空題
圖6-3-2
6.(2011·陜西高考)如
4、圖6-3-2,點(x,y)在四邊形ABCD內部和邊界上運動,那么2x-y的最小值為________.
【解析】 令b=2x-y,則y=2x-b,如圖所示,
作斜率為2的平行線y=2x-b,
當經(jīng)過點A時,直線在y軸上的截距最大,為-b,此時b=2x-y取得最小值,為b=2×1-1=1.
【答案】 1
7.已知點P(x,y)滿足,定點為A(2,0),則||sin∠AOP(O為坐標原點)的最大值為________.
【解析】 可行域如圖陰影部分所示,A(2,0)在x正半軸上,所以||·sin∠AOP即為P點縱坐標.
當P位于點B時,其縱坐標取得最大值.
【答案】
8.鐵
5、礦石A和B的含鐵率a,冶煉每萬噸鐵礦石的CO2的排放量b及每萬噸鐵礦石的價格c如下表:
a
b(萬噸)
c(百萬元)
A
50%
1
3
B
70%
0.5
6
某冶煉廠至少要生產(chǎn)1.9(萬噸)鐵,若要求CO2的排放量不超過2(萬噸),則購買鐵礦石的最少費用為________(百萬元).
【解析】 設購買鐵礦石A為 x萬噸,購買鐵礦石B為y萬噸,總費用為z百萬元.
根據(jù)題意得
,
整理為
線性目標函數(shù)為z=3x+6y,
畫可行域如圖所示,當x=1,y=2時,z取得最小值,
∴zmin=3×1+6×2=15(百萬元).
【答案】 15
三、解答題
6、
9.當x,y滿足約束條件(k為負常數(shù))時,能使z=x+3y的最大值為12,試求k的值.
【解】 在平面直角坐標系中畫出不等式組所表示的平面區(qū)域(如圖所示)
當直線y=-x+z經(jīng)過區(qū)域中的點A(-,-)時,z取到最大值,等于-.
令-=12,得k=-9.
∴所求實數(shù)k的值為-9.
10.已知x,y滿足條件:M(2,1),P(x,y).求:
(1)的取值范圍;
(2)·的最大值.
【解】
如圖所示,畫出不等式組
,所表示的平面區(qū)域:
其中A(4,1),B(-1,-6),C(-3,2).
(1)可以理解為區(qū)域內的點與點D(-4,-7)連線的斜率.
由圖可知,連
7、線與直線BD重合時,傾斜角最小且為銳角;連線與直線CD重合時,傾斜角最大且為銳角.
kDB=,kCD=9,所以的取值范圍為[,9].
(2)由于·=(2,1)·(x,y)=2x+y,令z=2x+y,則y=-2x+z,z表示直線y=-2x+z在y軸上的截距,
由可行域可知,當直線y=-2x+z經(jīng)過A點時,z取到最大值,這時z的最大值為zmax=2×4+1=9.
11.某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品,計劃每天每種產(chǎn)品的生產(chǎn)量不少于15噸,已知每生產(chǎn)甲產(chǎn)品1噸,需煤9噸,電力4千瓦時,勞力3個;每生產(chǎn)乙產(chǎn)品1噸,需煤4噸,電力5千瓦時,勞力10個;甲產(chǎn)品每噸的利潤為7萬元,乙產(chǎn)品每噸的利潤為12萬元;但每天用煤不超過300噸,電力不超過200千瓦時,勞力只有300個.問每天生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品各多少噸,才能使利潤總額達到最大?
【解】 設每天生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品分別為x噸、y噸,利潤總額為z萬元,
則線性約束條件為
目標函數(shù)為z=7x+12y,
作出可行域如圖,
作出一組平行直線7x+12y=t,當直線經(jīng)過直線4x+5y=200和直線3x+10y=300的交點A(20,24)時,利潤最大.
即生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品分別為20噸、24噸,利潤總額最大,zmax=7×20+12×24=428(萬元).