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1、1,第七章 序貫設計,2,7.1 優(yōu)選法,模型 這里 f 未知， 每個因素試驗范圍 ai,bi,優(yōu)選法 (黃金分割法, 0.618 法) 是一種尋找極值點的方法,3,單因素優(yōu)選法,優(yōu)選法可處理的函數(shù),4,黃金分割法的作法,第一個試驗點x1 設在范圍 a, b 的0.618 位置上，第二個試驗點 x2 取成 x1 的對稱點，即： x1 = a + 0.618(b a), x2 = a + b x1 = a + 0.382(b a),,5,黃金分割法的作法,用 f(x1) 和 f(x2) 分別表示 x1 和 x2 處的響應值。此時分為以下兩種情形： 情形1: 若 f(x1) 比 f(x
2、2) 好，即 x1 是好點，于是把試驗范圍 a, x2) 劃去，剩下x2, b； 情形2：若 f(x1) 比 f(x2) 差，即 x2 是好點，于是把試驗范圍 (x1, b 劃去，剩下 a, x1；,6,優(yōu)選法的優(yōu)缺點,優(yōu)點 當模型不存在隨機誤差，且是單調、間斷單調或單峰時，優(yōu)選法能找到最優(yōu)解，且速度最快 缺點 對模型的要求苛刻,7,7.2 響應曲面法,響應曲面： E(y) = = f(x1, , xs),模型 這里 f 未知， 均值為 0，方差 2 .,8,例7.1,兩因素的化工試驗：反應時間 (x12,12)、溫度 ( x2120,160) 其響應曲面,9,擬合模型,一階模型（一
3、階模型設計） y = 0 + 1x1 + + sxs + , 二階模型（二階模型設計）,二階模型設計也是一階模型設計,10,響應曲面法的示意圖,11,A. 最陡上升法,最陡上升法是一種使響應 y 往最陡上升的方向序貫移動的方法： 當前試驗點 x 可能遠離最優(yōu)試驗點 x，則希望快速地從當前試驗點過渡到最優(yōu)試驗點的小鄰域內。 方向向量： 其中 為一階模型中參數(shù) 的最小二乘估計值。 若使響應最小化，用其相反方向代替,12,例7.2. (例7.1 續(xù)),設當前試驗點位于xc = (x1, x2) = (3, 170)，在其小鄰域 2.5, 3.5 165, 175 內用 L4(22) 正交
4、設計加上xc 處重復nc = 5 次構成一次試驗設計。 在中心點重復試驗的原因：,獲得隨機誤差方差的估計； 使試驗中的兩因素有三個水平，從而可檢驗因素的交互項和二次項是否顯著。,13,試驗結果,擬合模型 = 33.1231 + 5.1055x1 4.4008x2,14,序貫步驟,當前最陡上升方向正比于(5.1055,4.4008)，或等價的(1,0.8620)。 沿著最陡上升方向，反應時間每增加一個單位(0.5分鐘) 做一次試驗，即 (3 + 0.5 k, 170 5 0.8620 k), k = 1, 2, , 當k = 10，即試驗點 取為 x = (8, 126.9) 時 響
5、應值最大 把x 作為當前試驗點xc,15,B. 二階響應曲面,擬合模型 用矩陣的形式表達為,(7.8),16,平衡點,由擬合模型 可求得 平衡點：,17,典型分析法,把擬合模型 (7.8) 變換到以平衡點為原點，并適當旋轉坐標軸 模型(7.8) 通過簡單的矩陣運算可得典范型： 式中i 的正負號決定了平衡點的性質 當i (i = 1, , s) 都同號，xs 為極值點 當i (i = 1, , s) 異號，xs 為鞍點,18,C. 中心復合設計,當s 4，取s-維立方體的所有頂點(1, ,1)；當s 5，取s-維立方體的部分頂點； s-維坐標軸上兩兩對稱的 2s 個點：(, 0, , 0
6、)，(0,, , 0)， ，(0, 0, ,)； 其中 = 2(sk)/4. 中心點 (0, 0, , 0) 的 n0 次試驗。,19,低維情形,20,7.3 均勻序貫試驗,思想： 在響應曲面法的每一步試驗中，考慮用均勻設計以代替中心復合設計 優(yōu)點： 保證了每一個因素有3 個以上的水平 每一步試驗數(shù)目也不太多,常規(guī)做法：在試驗域中均勻的布很多點，把最靠近 最優(yōu)解的點作為近似解，但其收斂速度 慢。故需考慮序貫法,21,A. SNTO,設 P0 = yk, k = 1, , n 為 Cs = 0, 1s 上的設計，并設 xki = ai + (bi ai)yki, i
7、 = 1, , s, xk = (xk1, , xks), k = 1, , n, 則 P = xk, k = 1, , n 為試驗區(qū)域 =a, bRs 中的設計。 在試驗中，不同的區(qū)域選擇同樣的設計 P0,22,SNTO,初始化。設t = 0,(0) = , a(0) = a, b(0) = b； 產生均勻設計。在試驗區(qū)域(t) = a(t) , b(t) 上尋找一個試驗次數(shù)為nt 的均勻設計P(t)； 計算新的近似值。選取 x(t) P (t)x(t1) 和M(t) 使得 M(t) = f(x(t)) f(y), y P (t)x(t1) 式中 x (1) 表示空集，x (
8、t) 和 M (t) 分別為 x 和 M 的最佳逼近；,設模型的全局最優(yōu)值和全局最優(yōu)解分別為 x 和 M,23,SNTO,中止準則。設c (t) = (b(t) a(t) )/2，若 max c (t) < ，其中 為事先設置的很小的數(shù)，則X (t) 足夠小，且x(t) 和M(t) 是可以接受的，此時中止算法，否則轉步驟5； 更新試驗域。新的試驗域(t+1) = a(t+1), b (t+1)，其中 式中 稱為壓縮比。記 t = t + 1，轉步驟2。,24,SNTO 示意圖,25,例7.4. 考慮函數(shù),式中 (x, y)R2，求其全局最優(yōu)值和全局最優(yōu)點。,等高線圖：,26,例7.4 (續(xù))
9、,f(x, y) 有三個極值點，其位置分別為(0, 5), (3, 0) 和(3,0)，且(0,5) 為其全局最優(yōu)點，即x = (0, 5)且M = f(x) = f(0, 5) 2.00000125，而兩個局部最優(yōu)點為f(3, 0) 1.00125347，f(3, 0) 1.01236245 常見的優(yōu)化算法，例如 Newton-Guass 法，最陡下降法，易收斂到局部最優(yōu)點 分別用均勻設計和序貫均勻設計法求解,27,均勻設計求全局最優(yōu),28,序貫均勻設計求解,,29,比較,用均勻設計求最優(yōu)問題 不易陷入局部最優(yōu)解 其收斂速度較慢 試驗次數(shù)多 序貫均勻設計 不易陷入局部最優(yōu)解 其收斂速度較快
10、試驗次數(shù)少,30,壓縮比的影響,31,B. 另一序貫方法,設第一步設計 P1 的試驗區(qū)域1 = ，其試驗次數(shù)為 n1。不妨設在n1 個試驗點中，x = x1 的響應值 f(x) 達到最大。 對于任意的 k 1，第 k 步設計 Pk 有nk 個設計點，其中在 xk 的響應值取值最大。第 k + 1 步的設計點數(shù)nk+1 分為兩部分: (1 k+1)nk+1 個試驗點的均勻設計Pk+1 在超立方體 k+1 上布點，其中0 < k+1 < 1；其余的k+1nk+1 個試驗點的均勻設計Pk+1,c 在試驗區(qū)域 上布點。設k+1的第 j 個邊長為k+1,j (j = 1, , s)，則要求當 k 時，k+1,j 0。,32,,假設在 k + 1 步試驗后響應值滿足以下任一條件，則中止試驗： (i) |f(xk+1) f(x)| < ； (ii) |xk+1 x| < , 其中 為預先給定的正數(shù)。,目的：增大找到全局最優(yōu)解的概率,
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