安徽省宿州市教研室2021屆高三數(shù)學(xué)二輪、三輪總復(fù)習(xí) 特色專(zhuān)題 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)

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1、 函數(shù)與導(dǎo)數(shù) 第一單元：考點(diǎn)梳理、熱點(diǎn)探究： 一、考點(diǎn)梳理： 1. 函數(shù)及其表示： （1）函數(shù)的三要素：定義域、值域、對(duì)應(yīng)關(guān)系。兩個(gè)函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)它們的三要素完全相同時(shí)才表示同一個(gè)函數(shù)，定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系相同的兩個(gè)函數(shù)是同一個(gè)函數(shù). （2）函數(shù)的表示：列表法、圖像法、解析式法. 2. 函數(shù)的性質(zhì)： （1）單調(diào)性是函數(shù)的一個(gè)局部性質(zhì)，一個(gè)函數(shù)在不同的區(qū)間上可以有不同的單調(diào)性. 判定函數(shù)的單調(diào)性常用定義法、圖像法及導(dǎo)數(shù)法. （2）函數(shù)的奇偶性反映了函數(shù)圖像的對(duì)稱(chēng)性，是函數(shù)的整體特性.利用函數(shù)的奇偶性可以把研究整個(gè)函數(shù)具有的性質(zhì)問(wèn)題轉(zhuǎn)化到只研究部分（一半）區(qū)間上，是簡(jiǎn)化問(wèn)題的一種途徑

2、. （3）函數(shù)的周期性反映了函數(shù)圖像的重復(fù)性，在周期性與奇偶性相結(jié)合的綜合問(wèn)題中，周期性起到轉(zhuǎn)換自變量的作用，奇偶性起到調(diào)節(jié)符號(hào)作用. 3. 基本初等函數(shù)： （1）冪函數(shù)的圖像與性質(zhì)由于的值不同而比較復(fù)雜，一般從兩個(gè)方面考查： ①的正負(fù)：時(shí)，圖像過(guò)原點(diǎn)和（1,1），在第一象限的圖像上升；時(shí)，圖像不過(guò)原點(diǎn)，在第一象限的圖像下降. ② 曲線(xiàn)在第一象限的凹凸性：時(shí)，曲線(xiàn)下凸；時(shí)，曲線(xiàn)上凸；時(shí)，曲線(xiàn)下凸. （2）指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)，分兩種情況，當(dāng)時(shí)，兩函數(shù)在定義域內(nèi)都為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，兩函數(shù)在定義域內(nèi)都為減函數(shù). 4. 函數(shù)的零點(diǎn)： 確定函數(shù)零點(diǎn)的常用方法： （1）解方程判

3、定法，方程易解時(shí)用此法； （2）利用零點(diǎn)存在的判定定理； （3）利用數(shù)形結(jié)合，尤其是那些方程兩端對(duì)應(yīng)的函數(shù)類(lèi)型不同時(shí)多以數(shù)形結(jié)合法求解. 5. 導(dǎo)數(shù)的概念及其應(yīng)用： （1）導(dǎo)數(shù)的幾何意義： ① 函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)就是曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)的斜率，即. ② 曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為. （2）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性：在區(qū)間內(nèi)，如果，那么函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；如果，那么函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減. （3）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值（最值）問(wèn)題 ① 若在附近左側(cè)，右側(cè)，則為函數(shù)的極大值；若在附近左側(cè)，右側(cè)，則為函數(shù)的極小值. ② 設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，則在上必有最大值和最小值且在極值點(diǎn)或端點(diǎn)處取得

4、. 二、考點(diǎn)、熱點(diǎn)探究 1. 考情報(bào)告： 題 型 2011年 2012年 2013年 小 題 理 科： 第3題：函數(shù)的奇偶性與求值. 第10題：函數(shù)的圖像. 文科： 第4題：函數(shù)的解析式. 第10題：函數(shù)的圖像. 理科： 第2題：函數(shù)解析式. 文科： 第3題：對(duì)數(shù)計(jì)算. 第13題：函數(shù)的單調(diào)性 理科： 第4題：函數(shù)單調(diào)性. 第8題：函數(shù)的圖像. 第10題：函數(shù)方程的實(shí)根個(gè)數(shù). 文科： 第8題：函數(shù)圖像. 第10題：函數(shù)方程的實(shí)根個(gè)數(shù). 大 題 理科： 第16題：導(dǎo)數(shù)（指數(shù)、分式函數(shù)型，求極值點(diǎn)，參

5、數(shù)的取值范圍） 文科： 第17題：導(dǎo)數(shù)（指數(shù)、分式函數(shù)型，求極值點(diǎn)，參數(shù)的取值范圍） 理科： 第19題：導(dǎo)數(shù)（指數(shù)、分式函數(shù)型，求最值和參數(shù)） 文科： 第17題：導(dǎo)數(shù)（分式函數(shù)型，求最值，根據(jù)切線(xiàn)方程求參數(shù)） 理科第17題，文科第20題 含參變量的二次函數(shù)，解不等式求解集區(qū)間長(zhǎng)度，利用導(dǎo)數(shù)求最值. 2. 考向預(yù)測(cè)： 縱觀近三年高考安徽卷，函數(shù)與導(dǎo)數(shù)知識(shí)的考查主要是函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性和周期性；函數(shù)圖像的應(yīng)用；結(jié)合導(dǎo)數(shù)和不等式知識(shí)求切線(xiàn)方程、求函數(shù)解析式、確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間、求參數(shù)范圍、求函數(shù)的極值和最值。其題型既有選擇題、填空題，也有解答題。預(yù)測(cè)2014年關(guān)于函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的

6、命題趨勢(shì)，仍然是難易結(jié)合，有2~4個(gè)小題，1個(gè)大題，小題以概念、圖像性質(zhì)及運(yùn)算為主，重點(diǎn)考查函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性；函數(shù)圖象的應(yīng)用；導(dǎo)數(shù)的幾何意義等知識(shí)。大題的函數(shù)背景是以為底的對(duì)數(shù)函數(shù)或指數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)或二次函數(shù)代數(shù)運(yùn)算的形式的綜合題型，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)零點(diǎn)，逆求參數(shù)取值范圍或證明不等式。涉及的主要思想方法是函數(shù)方程思想，數(shù)形結(jié)合思想和分類(lèi)討論思想。 第二單元：沙場(chǎng)點(diǎn)兵、實(shí)戰(zhàn)演練 1. 已知函數(shù)， 其中為常數(shù)． （1）當(dāng)函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線(xiàn)的斜率為1時(shí)，求函數(shù)在上的最小值； （2）若函數(shù)在區(qū)間上既有極大值又有極小值，求的取值范圍． 2. 定義

7、在上的函數(shù)同時(shí)滿(mǎn)足以下條件： ①在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)；②是偶函數(shù)；③在處的切線(xiàn)與直線(xiàn)垂直. （1）求函數(shù)的解析式； （2）設(shè)，若存在，使，求實(shí)數(shù)的取值范圍. 3. 已知函數(shù)為常數(shù),)是上的奇函數(shù). （1）求的值; （2）討論關(guān)于的方程的根的個(gè)數(shù). 4. 設(shè)函數(shù)，其中. （1）當(dāng)時(shí)，求的極值點(diǎn)； （2）證明在上為單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍. 5. 某企業(yè)為打入國(guó)際市場(chǎng)，決定從A，B兩種產(chǎn)品中只選擇一種進(jìn)行投資生產(chǎn)．已知投資生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的有關(guān)數(shù)據(jù)如表：(單位：萬(wàn)美元) 項(xiàng)目類(lèi)別 年固定成本 每件產(chǎn)品成本 每件產(chǎn)品

8、銷(xiāo)售價(jià) 每年最多可生產(chǎn)的件數(shù) A產(chǎn)品 20 10 200 B產(chǎn)品 40 8 18 120 其中年固定成本與年生產(chǎn)的件數(shù)無(wú)關(guān)，為待定常數(shù)，其值由生產(chǎn)A產(chǎn)品的原材料價(jià)格決定，預(yù)計(jì)．另外，年銷(xiāo)售件B產(chǎn)品時(shí)需上交萬(wàn)美元的特別關(guān)稅．假設(shè)生產(chǎn)出來(lái)的產(chǎn)品都能在當(dāng)年銷(xiāo)售出去． (1)寫(xiě)出該廠分別投資生產(chǎn)A，B兩種產(chǎn)品的年利潤(rùn)與生產(chǎn)相應(yīng)產(chǎn)品的件數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系并指明其定義域； (2)如何投資最合理(可獲得最大年利潤(rùn))？請(qǐng)你做出規(guī)劃． 6. 設(shè)函數(shù) （1）設(shè)為偶數(shù)，， ，求的最大值和最小值； （2）設(shè)， ，證明：在區(qū)間內(nèi)存在唯一的零點(diǎn). 7（201

9、2年北京高考）已知函數(shù)，. (1) 若曲線(xiàn)與曲線(xiàn)在它們的交點(diǎn)處具有公共切線(xiàn)，求的值； （2） 當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并求其在區(qū)間上的最大值． 8 （2013年安徽高考）設(shè)函數(shù)，其中，區(qū)間． （1）求I的長(zhǎng)度(注：區(qū)間的長(zhǎng)度定義為)； （2）給定常數(shù)，當(dāng)時(shí)，求I長(zhǎng)度的最小值． 9. 已知函數(shù)在處取得極值． （1）求函數(shù)的解析式； （2）若過(guò)點(diǎn)可作曲線(xiàn)的三條切線(xiàn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍． 10. 已知函數(shù)和．其中且． （1）若函數(shù)與的圖像的一個(gè)公共點(diǎn)恰好在軸上，求的值； （2）若和是方程的兩根，且滿(mǎn)足，證明：當(dāng)時(shí)，． 11. 設(shè)函數(shù)

10、，. （1）求證：函數(shù)在上單調(diào)遞增； （2）設(shè)，，若直線(xiàn)軸，求 兩點(diǎn)間的最短距離. 12. 已知函數(shù)． （1） 當(dāng)時(shí)，求證：； （2） 在區(qū)間上恒成立，求實(shí)數(shù)的范圍 13. 已知，. （1）求函數(shù)的最小值； （2）對(duì)一切，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍； （3）證明：對(duì)一切，都有成立. 14（2013年福建高考）已知函數(shù)（，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）． （1）若曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)平行于軸，求的值； （2）求函數(shù)的極值； （3）當(dāng)時(shí)，若直線(xiàn)：與曲線(xiàn)沒(méi)有公共點(diǎn)，求的最大值． 參 考 答 案 1. 解：(1)， 由題意可知，解得. 故，

11、 ∴， 由 ，得. 于是可得下表： 2 3 － 0 ＋ 遞減 遞增 ∴. (2) （）， 由題意可得方程有兩個(gè)不等的正實(shí)根，不妨設(shè)這兩個(gè)根為，并令， 則， 解得. 故的取值范圍為. 2. 解：（1）， ∵ 在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)， ∴， () 由是偶函數(shù)得：， 又在處的切線(xiàn)與直線(xiàn)垂直，， 代入()得：，即. （2）由已知得：若存在，使， 即存在，使. 設(shè)，， 則，

12、 令， ∵， ∴， 當(dāng)時(shí)，，∴在上為減函數(shù)， 當(dāng)時(shí)，，∴在上為增函數(shù)， ∴在上有最大值. 又，， ∴最小值為. 于是有為所求. 3. 解:(1)由是的奇函數(shù),則， 從而可求得. (2) 由, 令,則, 當(dāng)時(shí), 在上為增函數(shù); 當(dāng)時(shí), 在上為減函數(shù); 當(dāng)時(shí), 而,結(jié)合函數(shù)圖象可知: 當(dāng),即時(shí),方程無(wú)解; 當(dāng),即時(shí),方程有一個(gè)根; 當(dāng),即時(shí),方程有兩個(gè)根. 4. 解：對(duì)求導(dǎo)得 ① （1）若，由 綜合①,可知

13、 + 0 － 0 + ↗ 極大值 ↘ 極小值 ↗ 所以,是極大值點(diǎn),是極小值點(diǎn). （2）若為上的單調(diào)函數(shù)，又，所以當(dāng)時(shí)，即在上恒成立。 （1）當(dāng)時(shí)，在上恒成立； （2）當(dāng)時(shí)，拋物線(xiàn)開(kāi)口向上，則在上為單調(diào)函數(shù)的充要條件是，即，所以。 綜合（1）（2）知的取值范圍是。 5. 解：(1) 由年銷(xiāo)售量為件，按利潤(rùn)的計(jì)算公式， 有生產(chǎn)A，B兩產(chǎn)品的年利潤(rùn)分別為 （）， （）． (2) 因?yàn)椋裕? 函數(shù)在上是增函數(shù)

14、， 所以當(dāng)時(shí)，生產(chǎn)A產(chǎn)品有最大利潤(rùn)， 且 (萬(wàn)美元)． 又（）， 所以當(dāng)時(shí)，生產(chǎn)B產(chǎn)品有最大利潤(rùn)，且 (萬(wàn)美元)． 因?yàn)? 所以當(dāng)時(shí)，可投資生產(chǎn)A產(chǎn)品200件； 當(dāng)時(shí)，生產(chǎn)A產(chǎn)品或生產(chǎn)B產(chǎn)品均可(投資生產(chǎn)A產(chǎn)品200件或生產(chǎn)B產(chǎn)品100件)； 當(dāng)時(shí)，可投資生產(chǎn)B產(chǎn)品100件． 6.解：(1)由題意知 ，即，① ，即，② ①×2＋②得 ， 當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，， 所以的最小值為－6，最大值為0. (2) ，時(shí)，. ∵ ， ∴ 在內(nèi)存在零點(diǎn)． 又當(dāng)時(shí)，， ∴在上是單調(diào)遞增的， ∴在內(nèi)存在唯一零點(diǎn)． 7. 解：(1)，. 因?yàn)榍€(xiàn)與曲線(xiàn)在它們的交

15、點(diǎn)處具有公共切線(xiàn)， 所以，且． 即，且， 解得. (2) 記．當(dāng)時(shí)， ， . 令，得，. 當(dāng)時(shí)，與的情況如下： ＋ 0 － 0 ＋ 遞增 極大值 遞減 極小值 遞增 所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和；單調(diào)遞減區(qū)間為. 當(dāng)，即時(shí)， 函數(shù)在區(qū)間 上單調(diào)遞增， 在區(qū)間上的最大值為2. 當(dāng)，且，即時(shí)， 函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減， 在區(qū)間上的最大值為. 當(dāng)，即時(shí)， 函數(shù)在區(qū)間和上單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減， 又因， 所以在區(qū)間上的最大值為. 8. 解：(1)因?yàn)榉匠逃袃蓚€(gè)實(shí)根， 故的解集為． 因

16、此區(qū)間，故的長(zhǎng)度為. (2)設(shè)，則． 令，得.由于，故 當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增； 當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減． 所以當(dāng)時(shí)，的最小值必定在或處取得． 而， 故． 因此當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上取得最小值. 9. 解：(1)，依題意，， 即，解得. ∴ . (2) 由(1)知， ∵ 曲線(xiàn)方程為， ∴ 點(diǎn)不在曲線(xiàn)上． 設(shè)切點(diǎn)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)滿(mǎn)足. ∵， ∴切線(xiàn)的斜率為， 整理得. ∵ 過(guò)點(diǎn)可作曲線(xiàn)的三條切線(xiàn)， ∴ 關(guān)于的方程有三個(gè)實(shí)根． 設(shè)，則， 由，得. ∴在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減． ∴ 函數(shù)的極值點(diǎn)為. ∴關(guān)于的方程有三個(gè)實(shí)根的充要條件是， 解得. 故所求實(shí)數(shù)的取值范

17、圍是(－3，－2)． 10. 解：（1）設(shè)函數(shù)圖像與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為， 又∵點(diǎn)也在函數(shù)的圖像上，∴ . 而，∴ . （2）由題意知， ∵ ， ∴ ∴時(shí)，，即. 又， ，且， ∴ ∴， 綜合可知，. 11. 解：（1）時(shí)，， 所以函數(shù)在上單調(diào)遞增； （2）因?yàn)椋? 所以?xún)牲c(diǎn)間的距離等于， 設(shè)，則， 記，則， 所以， 所以在上單調(diào)遞增，所以 所以，即兩點(diǎn)間的最短距離等于3. 12. 解：(1)證明：設(shè)， 則.令，則，易知在處取到最小值， 故，即. (2) 由得，即. 令（），則. 令（）

18、， 則， 故在上單調(diào)遞增，所以. 因?yàn)?，所以，即在上單調(diào)遞增， 則，即，所以的取值范圍為． 13. 解：(1)， 當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減； 當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增． 所以的最小值為. (2) ，則. 設(shè)，則， ① 當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減； ② 當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增， 所以.因?yàn)閷?duì)一切，恒成立， 所以，即a的取值范圍為. (3) 證明：?jiǎn)栴}等價(jià)于證明（）. 由(1)可知（）的最小值是，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到． 設(shè)（），則，易知， 從而對(duì)一切，都有成立． 14. 解：（1） ， ∵ 曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)平行于軸， ∴ ∴ . （2） ① 當(dāng)時(shí)，，為上的增函數(shù)，所以函數(shù)無(wú)極值

19、． ② 當(dāng)時(shí)，令，得. 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，， 所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增， 故在處取得極小值， 且極小值為，無(wú)極大值． 綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)無(wú)極值； 當(dāng)時(shí)，函數(shù)在處取得極小值，無(wú)極大值． （3）當(dāng)時(shí)，. 直線(xiàn)：與曲線(xiàn)沒(méi)有公共點(diǎn)， 等價(jià)于關(guān)于的方程在上沒(méi)有實(shí)數(shù)解， 即關(guān)于的方程： (*)在上沒(méi)有實(shí)數(shù)解． ① 當(dāng)時(shí)，方程(*)可化為，在上沒(méi)有實(shí)數(shù)解． ② 當(dāng)時(shí)，方程(*)化為. 令，則有. 令，得， 極值表如下 －1 － 0 ＋ 遞減 遞增 當(dāng)時(shí)，， 從而的取值范圍為. 所以當(dāng)時(shí)，方程(*)無(wú)實(shí)數(shù)解， 解得的取值范圍是． 綜合①②，得的最大值為1. 16