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1、第二節(jié) 曲線與方程,1.曲線與方程 如果曲線C上點的坐標(x,y)都是方程f(x,y)=0的解,且以方程 f(x,y)=0的解(x,y)為坐標的點都在曲線C上,那么,方程 f(x,y)=0叫做____________,曲線C叫做___________________.,曲線C的方程,方程f(x,y)=0的曲線,2.求曲線方程的基本步驟,判斷下面結(jié)論是否正確(請在括號中打“”或“”). (1)f(x0,y0)=0是點P(x0,y0)在曲線f(x,y)=0上的充要條件.( ) (2)方程x2+xy=x的曲線是一個點和一條直線.( ) (3)到兩條互相垂直的直線距離相等的點的軌跡方程是x2=y2.(
2、 ) (4)方程 與x=y2表示同一曲線.( ),【解析】(1)正確.由f(x0,y0)=0可知點P(x0,y0)在曲線f(x,y)=0上,又P(x0,y0)在曲線f(x,y)=0上時,有f(x0,y0)=0, f(x0,y0)=0是P(x0,y0)在曲線f(x,y)=0上的充要條件. (2)錯誤.方程變?yōu)閤(x+y-1)=0, x=0或x+y-1=0, 故方程表示直線x=0或直線x+y-1=0.,(3)錯誤.當(dāng)以兩條互相垂直的直線為x軸、y軸時,是x2=y2,否則不正確. (4)錯誤.因為方程 表示的曲線,只是方程x=y2表示曲線的一部分,故其不正確. 答案:(1) (2) (3) (4
3、),考向 1 利用直接法求軌跡方程 【典例1】已知直角坐標平面上的點Q(2,0)和圓C:x2+y2=1,動點M到圓C的切線長與MQ的比等于常數(shù)(0),求動點M的軌跡方程.,【思路點撥】可設(shè)出動點M的坐標,依據(jù)動點M到圓C的切線長與MQ的比等于常數(shù)(0)即可得出方程.,【規(guī)范解答】設(shè)直線MN切圓C于N點,則動點M的集合為: P=M|MN=MQ,因為圓C的半徑CN=1, 所以MN2=MC2-CN2=MC2-1, 設(shè)點M的坐標為M(x,y),則 化簡整理得:(2-1)(x2+y2)-42x+1+42=0(0).,【互動探究】本例中的條件不變,求動點M的軌跡. 【解析】由例題解析可知:曲線的方程為 (
4、2-1)(x2+y2)-42x+1+42=0(0), 因為0,所以當(dāng)=1時,方程化為4x-5=0,它表示一條直線; 當(dāng)1時,方程化為: 它表示圓心為 半徑為 的圓.,【拓展提升】 1.直接法求曲線方程的一般步驟 (1)建立恰當(dāng)?shù)淖鴺讼?,設(shè)動點坐標(x,y). (2)列出幾何等量關(guān)系式. (3)用坐標條件變?yōu)榉匠蘤(x,y)=0. (4)變方程為最簡方程. (5)檢驗,就是要檢驗點軌跡的純粹性與完備性.,2.直接法適合求解的軌跡類型 (1)若待求軌跡上的動點滿足的幾何條件可轉(zhuǎn)化為動點與一些幾何量滿足的等量關(guān)系,而該等量關(guān)系又易于表達成含x,y的等式時,一般用直接法求軌跡方程. (2)題目給出
5、了等量關(guān)系,直接代入即可得方程.,【變式備選】已知點M,N為兩個定點,MN=6,且動點P滿足 求點P的軌跡方程. 【解析】以點M,N所在的直線為x軸,MN的中點O為坐標原點, 建立平面直角坐標系,則M(-3,0),N(3,0),設(shè)P(x,y),則 又因為 所以(-3-x,-y)(3-x,-y)=6, 化簡整理得:x2+y2=15.,考向 2 利用定義法求軌跡方程 【典例2】已知A(- ,0),B是圓F:(x- )2+y2=4(F為圓心)上一動點,線段AB的垂直平分線交BF于P,求動點P的軌跡方程. 【思路點撥】根據(jù)題設(shè)條件,尋找動點P與兩點A,F(xiàn)距離的和滿足的等量關(guān)系PA+PF=2,用定義
6、法求方程.,【規(guī)范解答】如圖,連接PA, 依題意可知PA=PB. PA+PF=PB+PF=BF=21. P點軌跡為以A(- ,0), F( ,0)為焦點,長半軸長為1的橢圓. 其方程可設(shè)為 又c= ,a=1,b2=a2-c2= 故P點的軌跡方程為,【拓展提升】定義法適合所求軌跡的特點及關(guān)鍵 (1)特點:求軌跡方程時,若動點與定點、定線間的等量關(guān)系滿足圓、橢圓、雙曲線、拋物線的定義,則可直接根據(jù)定義先確定軌跡類型,再寫出其方程. (2)關(guān)鍵:理解解析幾何中有關(guān)曲線的定義是解題關(guān)鍵.,【提醒】利用定義法求軌跡方程時,還要看所求軌跡是否是完整的圓、橢圓、雙曲線、拋物線,如果不是完整的曲線,則應(yīng)對其中
7、的變量x或y進行限制.,【變式訓(xùn)練】一動圓與圓x2+y2+6x+5=0外切,同時與圓 x2+y2-6x-91=0內(nèi)切,求動圓圓心M的軌跡方程,并說明它是什么曲線. 【解析】如圖所示,設(shè)動圓圓心M 的坐標為(x,y),半徑為R,設(shè)已知 圓的圓心分別為O1,O2,將圓的方程 分別配方得:(x+3)2+y2=4, (x-3)2+y2=100, 當(dāng)動圓與圓O1相外切時,有O1M=R+2. ,當(dāng)動圓與圓O2相內(nèi)切時,有O2M=10-R. 將兩式相加,得O1M+O2M=12O1O2, 動圓圓心M(x,y)到點O1(-3,0)和O2(3,0)的距離和是常數(shù)12, 所以點M的軌跡是焦點為O1(-3,0
8、),O2(3,0),長軸長等于12的橢圓. 2c=6,2a=12,c=3,a=6,b2=36-9=27, 圓心M的軌跡方程為 軌跡為橢圓.,考向 3 利用相關(guān)點(代入)法、參數(shù)法求軌跡方程 【典例3】設(shè)A是單位圓x2+y2=1上的任意一點,l是過點A與x軸垂直的直線,D是直線l與x軸的交點,點M在直線l上,且滿足DM=mDA(m0,且m1).當(dāng)點A在圓上運動時,記點M的軌跡為曲線C.求曲線C的方程,判斷曲線C為何種圓錐曲線,并求其焦點坐標.,【思路點撥】解答本題的關(guān)鍵是把點M的坐標設(shè)出,利用代入法求軌跡方程.,【規(guī)范解答】設(shè)M(x,y),A(x0,y0),則由DM=mDA(m0,且 m1)
9、,可得x=x0,|y|=m|y0|,所以 因為A點在單位圓上運動,所以 將式代入式即得所求曲線C的方程為 因為m(0,1)(1,+),所以當(dāng)01時,曲線C是焦點在y軸上的橢圓,兩焦點坐標分別為,【拓展提升】 1.相關(guān)點法(代入法)適用的軌跡類型及使用過程 動點所滿足的條件不易得出或轉(zhuǎn)化為等式,但形成軌跡的動點P(x,y)卻隨另一動點Q(x,y)的運動而有規(guī)律地運動,而且動點Q的軌跡方程為給定的或容易求得的,則可先將x,y表示成x,y的式子,再代入Q的軌跡方程,整理化簡即得動點P的軌跡方程. 【提醒】用代入法求軌跡方程是將x,y表示成x,y的式子,同時注意x,y的限制條件.,2.參數(shù)法適用的軌跡
10、類型及使用過程 有時求動點應(yīng)滿足的幾何條件不易得出,也無明顯的相關(guān)點,但卻較易發(fā)現(xiàn)(或經(jīng)分析可發(fā)現(xiàn))這個動點的運動常常受到另一個或兩個變量(斜率、比值、截距或坐標等)的制約,即動點坐標(x,y)中的x,y分別隨另外變量的變化而變化,我們可稱這些變量為參數(shù),建立軌跡的參數(shù)方程,這種方法叫參數(shù)法,如果需要得到軌跡的方程,只要根據(jù)參數(shù)滿足的約束條件消去參數(shù)即可.,【變式訓(xùn)練】已知拋物線y2=4px(p0),O為頂點,A,B為拋物 線上的兩動點,且滿足OAOB,如果OMAB于M點,求點M的軌 跡方程. 【解析】設(shè)M(x,y), 當(dāng)直線AB斜率存在時,設(shè)直線AB方程為y=kx+b, 由OMAB得 由y2
11、=4px及y=kx+b消去y,得 消去x,得ky2-4py+4pb=0.所以,由OAOB,得y1y2=-x1x2, 所以 故y=kx+b=k(x-4p), 把 代入,得x2+y2-4px=0(x0).(*) 當(dāng)直線AB斜率不存在時,M點坐標為(4p,0),適合(*)式. 所以M的軌跡方程為x2+y2-4px=0(x0).,1.已知真命題:若A為O內(nèi)一定點,B為O上一動點,線段AB的垂直平分線交直線OB于點P,則點P的軌跡是以O(shè),A為焦點,OB長為長軸長的橢圓. 類比此命題,寫出另一個真命題:若A為O外一定點,B為O上一動點,線段AB的垂直平分線交直線OB于點P,求點P的軌跡.,【解析】如圖,
12、連接AP, 由于P是線段AB垂直平分線上一點, 故有PA=PB, 因此|PA-PO|=|PB-PO|=OB=R為定值, 其中R為O的半徑.又由于點A在圓外, 故|PA-PO|=OB=R
13、義知M在以O(shè)1,O2為焦點的橢圓上, 且 動圓圓心M的軌跡方程為,(2)由(1)知動圓圓心M的軌跡是橢圓,它的兩個焦點坐標分別 為O1(-2,0)和O2(2,0). 設(shè)P(x,y)是橢圓上的點,由 得 即x2-y2=4(x2), 這是實軸在x軸,頂點是橢圓的兩個焦點的雙曲線(除去兩個頂 點),它與橢圓的交點即為點P.由于雙曲線的兩個頂點在橢圓 內(nèi),根據(jù)橢圓和雙曲線的對稱性可知,它們必有四個交點. 即圓心M的軌跡上存在四個點P,使直線PO1與PO2的斜率滿足,3.(2013南京模擬)設(shè)定點M(-3,4),動點N在圓x2+y2=4上運 動,以O(shè)M,ON為鄰邊作平行四邊形MONP,求點P的軌跡方
14、程. 【解析】設(shè)P(x,y),圓上的動點N(x0,y0),則線段OP的中點坐標為 線段MN的中點坐標為 又因為平行四邊形的對角線互相平分, 所以有 可得 又因為N(x0,y0)在圓上,所以N點坐標應(yīng)滿足圓的方程.即有(x+3)2+(y-4)2=4,但應(yīng)除去兩點,4.(2013淮安模擬)設(shè)F(1,0),點M在x軸上,點P在y軸上,且 (1)當(dāng)點P在y軸上運動時,求點N的軌跡C的方程. (2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),D(x3,y3)是曲線C上的點,且 成等差數(shù)列,當(dāng)AD的垂直平分線與x軸 交于點E(3,0)時,求B點坐標.,【解析】(1)設(shè)N(x,y),則由 得P為M
15、N中點,所以 又 所以y2=4x(x0).,(2)由(1)知F(1,0)為曲線C的焦點,由拋物線定義知,拋物線 上任一點P0(x0,y0)到F的距離等于其到準線的距離,即 所以 根據(jù) 成等差數(shù)列,得x1+x3=2x2, 易知直線AD的斜率存在,所以直線AD的斜率為 所以AD的垂直平分線l的方程為 又AD中點 在垂直平分線上,則 即 x2=1,所以B(1,2).,5.在RtABC中,CAB=90,AB=2,AC= ,一曲線E過C 點,動點P在曲線E上運動,且保持PA+PB的值不變. (1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺讼?,求曲線E的方程. (2)直線l:y=x+t與曲線E交于M,N兩點,
16、求四邊形MANB的面積 的最大值.,【解析】(1)以AB為x軸,以AB中點為原點O建立直角坐標系, PA+PB=CA+CB= 動點P的軌跡為橢圓,且a= ,c=1,從而b=1. 曲線E的方程為,(2)將y=x+t代入 得3x2+4tx+2t2-2=0. 設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2), 由得t2<3, t=0時,,6.(2013徐州模擬)在平面直角坐標 系xOy中,已知點A(-1,1),P是動點, 且三角形POA的三邊所在直線的斜率 滿足kOP+kOA=kPA. (1)求點P的軌跡C的方程. (2)若Q是軌跡C上異于點P的一個點,且 直線 OP與QA交于點M,問:是否存在點P使
17、得PQA和PAM的面積滿 足SPQA =2SPAM?若存在,求出點P的坐標;若不存在,說 明理由.,【解析】(1)設(shè)點P(x,y)為所求軌跡 上的任意一點,則由kOP+kOA=kPA得, 整理得軌跡C的方程 為y=x2(x0且x-1). (2)設(shè) 由 可知直線PQOA,則kPQ=kOA, 故 即x2=-x1-1, 直線OP方程為:y=x1x,,直線QA的斜率為: 直線QA的方程為:y-1=(-x1-2)(x+1), 即y=-(x1+2)x-x1-1, 聯(lián)立,得x=- ,點M的橫坐標為定值- . 由SPQA =2SPAM,得到QA=2AM, 因為PQOA,所以O(shè)P=2OM. 由
18、 得x1=1,P的坐標為(1,1). 存在點P滿足SPQA =2SPAM ,P的坐標為(1,1).,7.已知線段AB的兩個端點A,B分別在x軸、y軸上滑動,AB=3, 點M滿足 (1)求動點M的軌跡E的方程. (2)若曲線E的所有弦都不能被直線l:y=k(x-1)垂直平分,求實 數(shù)k的取值范圍.,【解析】(1)設(shè)M(x,y),A(x0,0),B(0,y0), 則 由 得 解得 代入 化簡得點M的軌跡方程為,(2)由題意知k0, 假設(shè)存在弦CD被直線l垂直平分,設(shè)直線CD的方程為 由 消去y化簡得 (k2+4)x2-8kbx+4k2(b2-1)=0, =(-8kb)2-4(k2
19、+4)4k2(b2-1) =-16k2(k2b2-k2-4)0, k2b2-k2-40,,設(shè)C(x1,y1),D(x2,y2),CD中點P(xp,yp), 則,解得 當(dāng)曲線E的所有弦都不能被直線l:y=k(x-1)垂直平分時,k的 取值范圍是k- 或k .,8.(2013南通模擬)在平面直角坐標系中,已知向量a=(x,y),b=(x,ky-4)(kR),ab,動點M(x,y)的軌跡為T. (1)求軌跡T的方程,并說明該方程表示的曲線的形狀. (2)當(dāng)k=0時,過點F(0,1),作軌跡T的兩條互相垂直的弦AB,CD,設(shè)AB,CD的中點分別為M,N,試判斷直線MN是否過定點?并說明理由.,【解析】
20、(1)ab,ab=(x,y)(x,ky-4)=0, 得x2+ky2-4y=0. 當(dāng)k=0時,方程為x2=4y表示拋物線; 當(dāng)k=1時,方程表示以(0,2)為圓心,2為半徑的圓; 當(dāng)k0且k1時,方程表示橢圓; 當(dāng)k<0時,方程表示焦點在x軸上的雙曲線. (2)當(dāng)k=0時,軌跡T的方程為x2=4y. 設(shè)A(xA,yA),B(xB,yB),M(xM,yM),N(xN,yN). 由題意設(shè)直線AB的方程為y=k1x+1,,聯(lián)立x2=4y有:x2-4k1x-4=0, 點M的坐標為 同理可得:點N的坐標為 直線MN的斜率為 其方程為,整理得 顯然,不論k1為何值,點(0,3)均滿足方程, 直線MN恒過定點(0,3).,