01第一節(jié) 線段的比

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1、第一節(jié) 線段的比 第四章 相似圖形 ●課時安排 14課時 第一課時 ●課 題 §4.1.1 線段的比（一） ●教學(xué)目標(biāo) （一）教學(xué)知識點 1.知道線段比的概念. 2.會計算兩條線段的比. （二）能力訓(xùn)練要求 會求兩條線段的比. （三）情感與價值觀要求 通過有關(guān)比例尺的計算，讓學(xué)生懂得數(shù)學(xué)在現(xiàn)實生活中的作用，從而增強學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心. ●教學(xué)重點 會求兩條線段的比. ●教學(xué)難點 會求兩條線段的比，注意線段長度的單位要統(tǒng)一. ●教學(xué)方法 自主探索法 ●教具準(zhǔn)備 投影片一張：例題（記作§4.1.1 A） ●教學(xué)過程 Ⅰ.創(chuàng)設(shè)問題情境，引入新課

2、 ［師］同學(xué)們，大家見到過形狀相同的圖形嗎？請舉出例子來說明. ［生］課本P38中兩張圖片； 同一底片洗印出來的大小不同的照片； 兩個大小不同的正方形，等等. ［師］對，大家舉出的這些例子都是形狀相同、大小不同的圖形，即為相似圖形.本章我們就要研究相似圖形以及與之有關(guān)的問題.從兩個大小不同的正方形來看，它們之所以大小不同，是因為它們的邊長的長度不同，因此相似圖形與對應(yīng)線段的長度有關(guān)，所以我們首先從線段的比開始學(xué)習(xí). Ⅱ.新課講解 1.兩條線段的比的概念 ［師］大家先回憶什么叫兩個數(shù)的比？怎樣度量線段的長度？怎樣比較兩線段的大小？ ［生］兩個數(shù)相除又叫兩個數(shù)的比，如a÷b記作；度

3、量線段時要選用同一個長度單位，比較線段的大小就是比較兩條線段長度的大小. ［師］由比較線段的大小就是比較兩條線段長度的大小，大家能猜想線段的比嗎？ ［生］兩條線段的比就是兩條線段長度的比. ［師］對.比如：線段a的長度為3厘米，線段b的長度為6米，所以兩線段a,b的比為3∶6=1∶2,對嗎？ ［生］對. ［師］大家同意他的觀點嗎？ ［生］不同意，因為a、b的長度單位不一致，所以不對. ［師］那么，應(yīng)怎樣定義兩條線段的比，以及求比時應(yīng)注意什么問題呢？ ［生］如果選用同一個長度單位量得兩條線段AB、CD的長度分別是m、n，那么就說這兩條線段的比（ratio）AB∶CD=m∶n，或?qū)?/p>

4、成=，其中，線段AB、CD分別叫做這兩個線段比的前項和后項. 如果把表示成比值k，則=k或AB=k·CD. 注意：在量線段時要選用同一個長度單位. 2.做一做 量出數(shù)學(xué)書的長和寬（精確到0.1 cm）,并求出長和寬的比. ［生］長為21.1 cm,寬為14.8 cm,長和寬的比為21.1∶14.8=211∶148 ［師］如把單位改成mm和m,比值還相同嗎？ ［生］改為mm作單位，則長為211 mm，寬為148 mm，比值為211∶148 改用m作單位，則長為0.211 m，寬為0.148 m,長與寬的比為0.211∶0.148=211∶148 ［師］從剛才的單位變換到計算比值

5、，大家能得到什么嗎？ ［生］只要是選用同一單位測量線段，不管采用什么單位，它們的比值不變. 3.求兩條線段的比時要注意的問題 ［師］大家能說出幾點？試一試. ［生］（1）兩條線段的長度必須用同一長度單位表示，如果單位長度不同，應(yīng)先化成同一單位，再求它們的比； （2）兩條線段的比，沒有長度單位，它與所采用的長度單位無關(guān)； （3）兩條線段的長度都是正數(shù)，所以兩條線段的比值總是正數(shù). 4.例題 投影片（§4.1.1 A） 在某市城區(qū)地圖（比例尺1∶9000）上，新安大街的圖上長度與光華大街的圖上長度分別是16 cm、10 cm. （1）新安大街與光華大街的實際長度各是多少米？

6、（2）新安大街與光華大街的圖上長度之比是多少？它們的實際長度之比呢？ 解：（1）根據(jù)題意，得 因此，新安大街的實際長度是 16×9000=144000（cm）, 144000 cm=1440 m; 光華大街的實際長度是 10×9000=90000（cm） 90000 cm=900 m. （2）新安大街與光華大街的圖上長度之比是16∶10=8∶5 新安大街的實際長度與光華大街的實 際長度之比是144000∶90000=8∶5 由例2的結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)： Ⅲ.隨堂練習(xí) 1.在比例尺為1∶8000的某學(xué)校地圖上，矩形運動場的圖上尺寸是1 cm×2 cm，矩形運動

7、場的實際尺寸是多少？ 解：根據(jù)題意，得 矩形運動場的圖上長度∶矩形運動場的實際長度=1∶8000 因此，矩形運動場的長是 2×8000=16000（cm）=160（m） 矩形運動場的寬是 1×8000=8000（cm）=80（m） 所以，矩形運動場的實際尺寸是長為160 m,寬為80 m. Ⅳ.課時小節(jié) 1.相似圖形→兩條線段的比. 2.兩條線段的比 定義：兩條線段的長度之比 表示法：線段a、b的長度分別為m、n,則a∶b=m∶n. 求法：先用同一長度單位量出線段的長度，再求出它們的比. 注意點：（1）兩線段的比值總是正數(shù). （2）討論線段的比時，不指明長度單位.

8、 （3）對兩條線段的長度一定要用同一長度單位表示. 比例尺：圖上長度與實際長度的比. Ⅴ.課后作業(yè) 習(xí)題4.1 1.解：一條線段的長度是另一條線段長度的5倍，這兩條線段的比是5∶1. 2.解：早上8點 旗桿的高與其影長的比為30∶40=3∶4 中午12點 旗桿的高與其影長的比為30∶10=3∶1 3.解：等腰直角三角形ABC與等腰三角形DEF 腰的比為10∶12=5∶6 底邊的比為 10∶8=5∶4 Ⅵ.活動與探究 為了參加北京市申辦2008年奧運會的活動，如果有兩邊長分別為1，a（其中a＞1）的一塊矩形綢布，要將它剪裁出三面矩形彩旗（面料沒有剩余），使每條彩旗的

9、長和寬之比與原綢布的長和寬之比相同，畫出兩種不同裁剪方法的示意圖，并寫出相應(yīng)的a的值. 解：方案（1）： ∵長和寬之比與原綢布的長和寬之比相同，（*） ∴ 解得：a= 圖4－1 方案（2）： 由（*）得 ∴x=,a= 方案（3）： 由（*）得 ∴y= 且 ∴z= 由=a 得a= 圖4－2 方案（4）： 由（*）得 ∴b= n=1－ m=a2－1 ∵m+n=1 ∴1－+a2－1=1 ∴a=（負(fù)值舍去） ●板書設(shè)計 §4.1.1 線段的比 一、1.兩條線段的比的概念 2.做一做 3.求兩條線段的比時要注意的

10、問題 4.例題（有關(guān)比例尺問題） 二、隨堂練習(xí) 三、課時小結(jié) 四、課后作業(yè) 第二課時 ●課 題 §4.1.2 線段的比（二） ●教學(xué)目標(biāo) （一）教學(xué)知識點 1.知道比例線段的概念. 2.熟記比例的基本性質(zhì)，并能進行證明和運用. （二）能力訓(xùn)練要求 1.通過變化的魚來推導(dǎo)成比例線段，發(fā)展學(xué)生的邏輯推理能力. 2.通過例題的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的靈活運用能力. （三）情感與價值觀要求 認(rèn)識變化的魚，建立初步的空間觀念，發(fā)展形象思維；并通過有趣的圖形，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣. ●教學(xué)重點 成比例線段的定義. 比例的基本性質(zhì)及運用. ●教學(xué)難點 比例的基本性

11、質(zhì)及運用. ●教學(xué)方法 自學(xué)法 ●教具準(zhǔn)備 投影片兩張： 第一張（記作§4.1.2 A） 第二張（記作§4.1.2 B） ●教學(xué)過程 Ⅰ.創(chuàng)設(shè)問題情境，引入新課 ［師］小學(xué)里已學(xué)過了比例的有關(guān)知識，那么，什么是比例？怎樣表示比例？說出比例中各部分的名稱，比例的基本性質(zhì)是什么？ ［生］表示兩個比相等的式子叫比例.如果a與b的比值和c與d的比值相等，那么或a∶b=c∶d,這時組成比例的四個數(shù)a,b,c,d叫做比例的項，兩端的兩項叫做外項，中間的兩項叫做內(nèi)項.即a、d為外項，c、b為內(nèi)項. 比例的基本性質(zhì)為：在比例中，兩個外項的積等于兩個內(nèi)項的積.用式子表示就是：如果（b,d都

12、不為0），那么ad=bc. ［師］上節(jié)課學(xué)習(xí)了兩條線段的比，本節(jié)課就來研究比例線段. Ⅱ.新課講解 1.成比例線段的定義 投影片（§4.1.2 A） 你還記得八年級上冊中“變化的魚”嗎？如果將點的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都乘以（或除以）同一個非零數(shù)，那么用線段連接這些點所圍成的圖形的邊長如何變化？ 下圖（1）中的魚是將坐標(biāo)為（0，0），（5，4），（3，0），（5，1），（5，－1），（3，0），（4，－2），（0，0）的點O，A，B，C，D，B，E，O用線段依次連接而成的；（2）中的魚是將（1）中魚上每個點的橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)都乘以2得到的. 圖4－4 （1）線段CD與HL，OA與OF

13、，BE與GM的長度分別是多少？ （2）線段CD與HL的比，OA與OF的比，BE與GM的比分別是多少？它們相等嗎？ （3）在圖（2）中，你還能找到比相等的其他線段嗎？ ［生］（1）CD=2，HL=4， OA=, OF= BE=, GM= （2）, . 所以，. （3）其他比相等的線段還有 . ［師］由上面的計算結(jié)果，對照比例的概念，請說出怎樣的四條線段叫做成比例線段？ ［生］四條線段a,b,c,d中，如果a與b的比等于c與d的比，即,那么這四條線段a,b,c,d叫做成比例線段，簡稱比例線段（proportional segments）. 2.比例的基本性質(zhì) 兩條線

14、段的比實際上就是兩個數(shù)的比.如果a,b,c,d四個數(shù)滿足,那么ad=bc嗎？反過來，如果ad=bc,那么嗎？與同伴交流. ［生］若,則有ad=bc. 因為根據(jù)等式的基本性質(zhì)，兩邊同時乘以bd,得ad=bc,同理可知 若ad=bc（a,b,c,d都不等于0），那么. 3.線段的比和比例線段的區(qū)別和聯(lián)系 ［師］線段的比是指兩條線段之間的比的關(guān)系，比例線段是指四條線段間的關(guān)系. 若兩條線段的比等于另兩條線段的比，則這四條線段叫做成比例線段. 線段的比有順序性，四條線段成比例也有順序性.如是線段a、b、c、d成比例，而不是線段a、c、b、d成比例. 4.例題 圖4－5 （1）如

15、圖，已知=3,求和; （2）如果=k（k為常數(shù)），那么成立嗎？為什么？ 解：（1）由=3,得 a=3b,c=3d. 因此，=4 =4 （2）成立. 因為有=k,得 a=bk,c=dk. 所以=k+1, =k+1. 因此：. 5.想一想 （1）如果,那么成立嗎？為什么？ （2）如果,那么成立嗎？為什么？ （3）如果,那么成立嗎？為什么. （4）如果=…=（b+d+…+n≠0）,那么成立嗎？為什么. 解：（1）如果,那么. ∵ ∴－1 ∴. （2）如果,那么 設(shè)=k ∴a=bk,c=dk,e=fk ∴ （3）如果,那么 ∵ ∴+1 ∴ 由（

16、1）得 ∴. （4）如果=…=（b+d+…+n≠0） 那么 設(shè)=…==k ∴a=bk,c=dk,…,m=nk ∴. Ⅲ.課堂練習(xí) 投影片（§4.1.2 B） 1.已知=3,求和, =成立嗎？ 2.已知==2,求（b+d+f≠0） 解：1.由=3,得 a=3b,c=3d. 所以==2, =2 因此. 2.由==2,得 a=2b,c=2d,e=2f 所以=2.? Ⅳ.課時小結(jié) 1.熟記成比例線段的定義. 2.掌握比例的基本性質(zhì)，并能靈活運用. Ⅴ.課后作業(yè) 習(xí)題4.2 1.解：因為a、b、c、d是成比例線段， 所以有 即 = 解得：d=4 所

17、以線段d的長為4 cm 2.解：因為=2 所以a=2b 因此=3 3.解：因為BC=BD= CD=2 GH=GL= HL=4 所以△BCD的周長為BC+BD+CD=2+2 △GHL的周長為GH+GL+HL=2（2+2） 因此△BCD的周長與△GHL的周長比為1∶2. Ⅵ.活動與探究 1.已知：==2（b+d+f≠0） 求：（1）;（2）; （3）;（4）. 解：∵==2 ∴a=2b,c=2d,e=2f ∴（1）=2 （2）=2 （3）=2 （4）==2 2.已知a∶b∶c=4∶3∶2,且a+3b－3c=14. （1）求a,b,c （2）求4a－3b

18、+c的值. 解：（1）設(shè)a=4k,b=3k,c=2k ∵a+3b－3c=14 ∴4k+9k－6k=14 ∴7k=14 ∴k=2 ∴a=8,b=6,c=4 （2）4a－3b+c=32－18+4=18 ●板書設(shè)計 §4.1.2 線段的比 一、1.成比例線段的定義 2.比例的基本性質(zhì) 3.線段的比和比例線段的區(qū)別和聯(lián)系 4.例題 5.想一想 二、課堂練習(xí) 三、課時小結(jié) 1.熟記成比例線段的定義. 2.掌握比例的基本性質(zhì)，并能靈活運用. 四、課后作業(yè) 數(shù)學(xué)思想方法 2000年江蘇省中學(xué)生英語能力競賽初三年級初賽試卷中有這樣一道習(xí)題： “—How c

19、an we move just one mach to make a square?” —________. 圖4－3 A.Move A B.Move B C.Move C D.Move D 一個英語老師引用這個習(xí)題作為訓(xùn)練題讓學(xué)生去做時，學(xué)生沒找到正確答案，連老師也不知咋辦，甚至懷疑是否翻譯不對或命題有誤. 把這道題翻譯成漢語的意思是： “如圖，怎樣移動一根火柴而得到一個正方形？”“________.” A.移動A B.移動B C.移動C D.移動D 英語老師只得拿著題去找數(shù)學(xué)老師幫忙，數(shù)學(xué)老師看題后，同樣把這道題拿到課堂上讓學(xué)生做，這次倒

20、有不少學(xué)生找到了問題的正確答案. 造成這樣完全不同的結(jié)果，經(jīng)老師分析，其原因是： 1.同樣一道題，出現(xiàn)在英語課堂上時，學(xué)生更注意的是其語言的表述或句子的結(jié)構(gòu)，淡化了“如何移動”的要求，當(dāng)問題找不到答案時，便懷疑是對問題的語言理解有誤，而在數(shù)學(xué)課堂上出現(xiàn)時，學(xué)生便更注意對“方法和圖形”的認(rèn)識和理解上，也就是說用數(shù)字的思維去尋找問題的結(jié)果，這樣就可把問題解決了. 2.用數(shù)學(xué)思維解題時，當(dāng)問題不能直接找到答案時，學(xué)生應(yīng)知道怎樣對待問題進行正確分析，認(rèn)真觀察圖形，變換思路尋找答案. 我們再看上面這道題的答案. 對“移動”意思的理解常被認(rèn)為是：“從一個地方換到另一個地方”，學(xué)生在幾次嘗試后容易

21、知道，把其中一根火柴從一處拿到另一處再拼成正方形是不可能的，按數(shù)學(xué)的求異思維，學(xué)生便會回頭重新審視圖形，用非常規(guī)思維去探尋答案.事實上，本題的突破口就在讀圖和打破傳統(tǒng)思維定勢上，只要把A火柴輕輕上移一些，中間便出現(xiàn)了一個正方形. 從上面的分析可以看出，用數(shù)學(xué)的意識去解題十分重要，也就是說，學(xué)好數(shù)學(xué)必須掌握解數(shù)學(xué)題的常見思想和常見方法. 所謂數(shù)學(xué)思想、方法是人們對數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)認(rèn)識，是對數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)問題的進一步抽象和概括，屬于對數(shù)學(xué)規(guī)律性的認(rèn)識范疇.數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的靈魂，數(shù)學(xué)思想指導(dǎo)著數(shù)學(xué)問題的解決，并具體地體現(xiàn)在解決問題的不同方法中. 第四章 相似圖形 §4.1 線段

22、的比 班級：_______ 姓名：_______ 一、請你填一填 （1）如果,那么=________. （2）若a=,b=3,c=3,則a、b、c的第四比例項d為________. （3）若,則=________. （4）在一張地圖上，甲、乙兩地的圖上距離是3 cm,而兩地的實際距離為1500 m，那么這張地圖的比例尺為________. 二、認(rèn)真選一選 （1）已知,則下列式子中正確的是（ ） A.a∶b=c2∶d2 B.a∶d=c∶b C.a∶b=（a+c）∶（b+d）

23、D.a∶b=（a－d）∶（b－d） （2）如圖4—1—1，已知直角三角形的兩條直角邊長的比為a∶b=1∶2,其斜邊長為 4 cm，那么這個三角形的面積是（ ）cm2.（ ） 圖4—1—1 A.32 B.16 C.8 D.4 （3）若,且3a－2b+c=3,則2a+4b－3c的值是（ ） A.14 B.42 C.7 D. （4）如圖4—1—2，等腰梯形ABCD

24、的周長是104 cm，AD∥BC，且AD∶AB∶BC=2∶3∶5，則這個梯形的中位線的長是（ ）cm.（ ） 圖4—1—2 A.72.8 B.51 C.36.4 D.28 三、已知四條線段a、b、c、d的長度，試判斷它們是否成比例？ （1）a=16 cm b=8 cm c=5 cm d=10 cm （2）a=8 cm b=5 cm c=6 cm d=10 cm 四、畫一畫，算一算 （1）若點P在線段AB上，點Q在線段AB的延長線上，AB=10，，求線段PQ的長. （2）若,且2a－b+3c=21.

25、 試求a∶b∶c. 參考答案 §4.1 線段的比 一、（1） （2） （3）5 （4）1∶50000 二、（1）C （2）B （3）D （4）D 三、（1）=2 =2則 所以a、b、d、c成比例 （2）由已知得：ab≠cd,ac≠bd,ad≠bc 所以a、b、c、d四條線段不成比例 四、（1）設(shè)AP=3x,BP=2x ∵AB=10 ∴AB=AP+BP=3x+2x=5x,即5x=10, ∴x=2 ∴AP=6,BP=4 ∵,∴可設(shè)BQ=y,則AQ=AB+BQ=10+y ∴,解得：y=20, ∴PQ=PB+BQ=4+20=24 （2）令=m,則a+2=3m,b=4m,c+5=6m ∴a=3m－2,b=4m,c=6m－5 ∵2a－b+3c=21 ∴2（3m－2）－4m+3（6m－5）=21,即20m=40 解得m=2 ∴a=3m－2=4,b=4m=8,c=6m－5=7 ∴a∶b∶c=4∶8∶7