2023屆大一輪復習 第49講 直線與圓的位置關系（含解析）

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1、2023屆大一輪復習 第49講 直線與圓的位置關系 一、選擇題（共11小題） 1. 直線 3x?y+m=0 與圓 x2+y2?2x?2=0 相切，則實數 m 等于 ?? A. 3 或 ?3 B. ?3 或 33 C. ?33 或 3 D. ?33 或 33 2. 已知圓的方程為 x2+y2?2x+6y+8=0，那么下列直線中經過圓心的直線方程為 ?? A. 2x?y+1=0 B. 2x+y+1=0 C. 2x?y?1=0 D. 2x+y?1=0 3. 已知直線 l 過點 ?2,0，當直線 l 與圓 x2+y2=2x 有兩個交點時，其斜率 k 的取值范圍是

2、 ?? A. ?22,22 B. ?2,2 C. ?24,24 D. ?18,18 4. 若直線 1+ax+y+1=0 與圓 x2+y2?2x=0 相切，則 a 的值為 ?? A. 1,?1 B. 2,?2 C. 1 D. ?1 5. 已知圓 C 的半徑為 2，圓心在 x 軸的正半軸上，直線 3x+4y+4=0 與圓 C 相切，則圓 C 的方程為 ?? A. x2+y2?2x?3=0 B. x2+y2+4x=0 C. x2+y2+2x?3=0 D. x2+y2?4x=0 6. 已知圓 x?22+y+12=16 的一條直徑通過直線 x?2y+3=

3、0 被圓所截弦的中點，則該直徑所在的直線方程為 ?? A. 3x+y?5=0 B. x?2y=0 C. x?2y+4=0 D. 2x+y?3=0 7. 設實數 x，y 滿足 x+22+y2=3，那么 yx 的取值范圍是 ?? A. ?33,33 B. ?∞,?33∪33,+∞ C. ?3,3 D. ?∞,?3∪3,+∞ 8. 過點 P1,1 的直線，將圓形區(qū)域 x,yx2+y2≤4 分為兩部分，使得這兩部分的面積之差最大，則該直線的方程為 ?? A. x+y?2=0 B. y?1=0 C. x?y=0 D. x+3y?4=0 9. 正弦曲線 y=s

4、inx 上切線的斜率等于 12 的點為 ?? A. π3,32 B. ?π3,?32 或 π3,32 C. 2kπ+π3,32k∈Z D. 2kπ+π3,32 或 2kπ?π3,?32k∈Z 10. 圓 x2+y2+2x+4y?3=0 上到直線 x+y+1=0 的距離為 2 的點共有 ?? A. 1 個 B. 2 個 C. 3 個 D. 4 個 11. 直線 x?2y?3=0 與圓 C:x?22+y+32=9 交于 E，F 兩點，則 △ECF 的面積為 ?? A. 32 B. 25 C. 355 D. 34 二、多選題（共2小題） 1

5、2. 已知圓 C:x?32+y?32=72，若直線 x+y?m=0 垂直于圓 C 的一條直徑，且經過這條直徑的一個三等分點，則 m= ?? A. 2 B. 4 C. 6 D. 10 13. 已知直線 x?2y+a=0 與圓 O：x2+y2=2 相交于 A，B 兩點（O 為坐標原點），且 △AOB 為等腰直角三角形，則實數 a 的值為 ?? A. 6 B. 5 C. ?6 D. ?5 三、填空題（共11小題） 14. 直線 x+3y+1=0 被圓 C:x2+y2?2x?3=0 截得的弦長為 ?． 15. 若直線 3x+4y

6、=b 與圓 x2+y2?2x?2y+1=0 相切，則實數 b= ?． 16. 直線 l 與圓 x2+y2+2x?4y+1=0 相交于兩點 A,B ，弦 AB 的中點為 (0,1) ，則直線 l 的方程為 ?． 17. 在直角坐標系 xOy 中，以 O 為圓心的圓被直線 x?3y=4 截得的弦長為 43 ，則圓 O 的方程為 ?． 18. 已知圓 C:x?12+y?32=9 的圓心 C 在直線 l 上，且 l 與直線 x+y?2=0 平行，則 l 的方程是

7、 ?． 19. 已知圓 C:x2+y2+2x+ay?3=0 （ a 為實數）上任意一點關于直線 l:x?y+2=0 的對稱點都在圓 C 上，則 a= ?． 20. 已知圓 C 的圓心在 x 軸的正半軸上，點 M0,5 在圓 C 上，且圓心到直線 2x?y=0 的距離為 455，則圓 C 的方程為 ?． 21. 過點 P?1,4 作圓 x2+y2?4x?6y+12=0 的切線，則切線長為 ? 22. 在平面直角坐標系 xOy 中，圓 C 的方程為 x2+y2?8x+15

8、=0，若直線 y=kx?2 上至少存在一點，使得以該點為圓心，1 為半徑的圓與圓 C 有公共點，則 k 的最大值為 ?． 23. 若圓 O:x2+y2=16，點 P 在直線 x=8 上，過 P 點引圓 O 的兩條切線 PA，PB，切點為 A，B，則 △OAB 面積 S 的取值范圍是 ?． 24. 圓 x2+y2?4x=0 在點 P1,3 處的切線方程為 ?． 四、解答題（共6小題） 25. 求圓心為 C2,?1，且截直線 y=x?1 所得弦的弦長為 22 的圓的方程．

9、 26. 已知圓 O:x2+y2=r2（O 為原點）與 x 軸不重合的動直線 l 過定點 Dm,0m>r>0．且與圓 O 交于 P，Q 兩點（允許 P，Q 重合），點 S 為點 P 關于 x 軸的對稱點． （1）若 m=2，r=1，P，Q 重合，求直線 SQ 與 x 軸的交點坐標； （2）求 △OSQ 面積的最大值． 27. 回答問題： （1）若圓 C 的方程是 x2+y2=r2，求證：過圓 C 上一點 Mx0,y0 的切線方程為 x0x+y0y=r2． （2）若圓 C 的方程是 x?a2+y?b2=r2，則過圓 C 上一點 Mx0,y0 的切線方程為

10、 ?，并證明你的結論． 28. （1）點 Pa,b 在圓 C：x2+y2=r2r>0 上，求過點 P 的圓的切線方程； （2）若點 Pa,b 在圓 C：x2+y2=r2r>0 內，判斷直線 ax+by=r2 與圓 C 的位置關系． 29. 已知圓 C:x?12+y+22=10，求滿足下列條件的圓的切線方程． （1）與直線 l1:x+y?4=0 平行； （2）與直線 l2:x?2y+4=0 垂直； （3）過切點 A4,?1． 30. 已知圓 C：x2+y2=r2r>0，若直線 l1：x?y+2=0 與圓 C 相交于 A，B 兩點，且 AB=22． （

11、1）求圓 C 的方程． （2）請從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為點 P 的坐標，求過點 P 與圓 C 相切的直線 l2 的方程． ① 2,?3； ② 1,3． 答案 1. C 【解析】圓的標準方程為 x?12+y2=3，圓心 1,0 到直線的距離 d=3+m3+1=3 時，直線與圓相切，解得 m=3 或 ?33． 2. B 3. C 【解析】設 l 的直線方程為 y=kx+2，將直線方程與圓方程聯立 y=kx+2,x2+y2=2x. 消 y 得 k2+1x2+4k2?2x+4k2=0，直線與圓有兩個交點，即 Δ>0，所以 k 的取值范圍為 ?24,2

12、4． 4. D 5. D 【解析】設圓 C 的圓心坐標為 a,0，則 d=∣3a+4×0+4∣32+42=2，a=2 或 a=?143（舍），于是圓心為 2,0，所以圓的方程為 x?22+y2=22． 6. D 【解析】直徑所在直線與 x?2y+3=0 垂直且過圓心，方程為 y??1=?2x?2． 7. C 【解析】如圖所示， 方程 x+22+y2=3 表示： 以 ?2,0 為圓心，3 為半徑的圓， 代數式 yx=y?0x?0 的幾何意義是： 圓上的點與 0,0 連線的斜率， 由圖象可得，當直線 y=kx 與圓相切時，yx 分別取到最大值和最小值， 由 3

13、=?2kk2+1 得，k=±3， 所以 yx 的取值范圍是 ?3,3． 8. A 【解析】要使直線將圓形區(qū)域分成兩部分的面積之差最大，通過觀察圖形，顯然只需該直線與直線 OP 垂直即可． 9. D 【解析】設斜率等于 12 的切線與曲線的切點為 Px0,y0． 因為 y?x=x0=cosx0=12， 所以 x0=2kπ+π3 或 x0=2kπ?π3k∈Z， 所以 y0=32 或 y0=?32． 10. C 11. B 12. A， D 【解析】圓 C:x?32+y?32=72 的圓心 C 的坐標為 3,3，半徑 r=62，因為直線 x+y?m=0

14、垂直于圓 C 的一條直徑，且經過這條直徑的一個三等分點， 所以圓心到直線的距離為 22， 則有 d=∣6?m∣1+1=22，解得 m=2或10，故選A、D． 13. B， D 【解析】因為直線 x?2y+a=0 與圓 O：x2+y2=2 相交于 A，B 兩點（O 為坐標原點），且 △AOB 為等腰直角三角形，所以 O 到直線 AB 的距離為 1，由點到直線的距離公式可得 ∣a∣12+?22=1，所以 a=±5． 14. 23 【解析】圓 C 的標準方程為 x?12+y2=4，則圓心 1,0 到直線 x+3y+1=0 的距離 d=1，則直線 x+3y+1=0 被圓 C 截

15、得的弦長為 24?1=23． 15. 2 或 12 【解析】因為直線 3x+4y=b 與圓心 1,1，半徑為 1 的圓相切，所以 ∣3+4?b∣32+42=1?b=2或12． 16. x?y+1=0 17. x2+y2=16 18. x+y?4=0 【解析】設直線為 x+y+m=0，代入點 1,3 得 m=?4． 19. ?2 【解析】由題意知圓心 ?1,?a2 在直線 l 上，即 ?1+a2+2=0 ，解得 a=?2 ． 20. x?22+y2=9 【解析】設 Ca,0，a>0，則 ∣2a∣5=455， 解得 a=2， 所以 r=22+5=3， 故圓 C

16、 的方程為 x?22+y2=9． 21. 3 22. 43 【解析】圓 C 的方程可化為 x?42+y2=1， 所以圓心為 4,0，半徑為 1． 由題意知直線 y=kx?2 上至少存在一點 Ax0,kx0?2，使得以該點為圓心，1 為半徑的圓與圓 C 有交點， 所以存在 x0∈R，使得 ACmin≤1+1=2． 又 ACmin 為點 C 到直線 y=kx?2 的距離， 則 ∣4k?2∣1+k2≤2，解得 0≤k≤43， 所以 k 的最大值為 43． 23. S△OAB∈0,43 24. x?3y+2=0 【解析】先由半徑與切線的垂直關系求得切線斜率為 33，則過

17、 1,3 切線方程為 x?3y+2=0． 25. 設圓的方程為 x?22+y+12=r2r>0． 由題設知，圓心到直線 y=x?1 的距離為 d=2??1?112+12=2． 又直線 y=x?1 被圓截得的弦長為 22， 所以 22=2?r2?d2，即 22=2?r2?2．解得 r=2． 所以所求圓的方程為 x?22+y+12=4． 26. （1） 設直線 l:y=kx?2，則 d=1=∣2k∣1+k2，k=±33，直線 l:y=±33x?2， 聯立 x2+y2=1,y=±33x?2 解得：x=12， 即直線 SQ 與 x 軸的交點坐標是 12,0． ??????（

18、2） 設直線 l:x=ty+m， 聯立 x=ty+m,x2+y2=r2 得 1+t2y2+2tmy+m2?r2=0， 設 Px1,y1，Qx2,y2，Sx1,?y1， 則 y1+y2=?2tm1+t2，y1y2=m2?r21+t2， 直線 lSQ:y+y1=y2+y1x2?x1x?x1， 令 y=0 得 x=y1x2+y2x1y1+y2=2ty1y2+my1+y2y1+y2=r2m， 即直線 SQ 過定點 r2m,0， 所以 S△OSQ=12?r2m?y1+y2=r2∣t∣+1∣t∣， 由 Δ≥0，∣t∣≥m2?r2r． （1）m2?r2r>1，即 m>2r 時，當 ∣t∣=

19、m2?r2r 時，Smax=r3m2?r2m2， （2）0

20、r2，故所求的切線方程為 ax+by=r2． ??????（2） 由已知，得 a2+b2r2r2=r． 所以此直線與圓 C 相離． 29. （1） 設切線方程為 x+y+b=0，則 1?2+b2=10， 所以 b=1±25， 所以切線方程為 x+y+1±25=0． ??????（2） 設切線方程為 2x+y+m=0，則 2?2+m5=10， 所以 m=±52， 所以切線方程為 2x+y±52=0． ??????（3） 因為 kAC=?2+11?4=13， 所以過切點 A4,?1 的切線斜

21、率為 ?3， 所以過切點 A4,?1 的切線方程為 y+1=?3x?4，即 3x+y?11=0． 30. （1） 設圓心 C0,0 到直線 l1 的距離為 d， 則 r2?d2=AB22，即 d2=r2?2， 因為 d=21+1=2，所以 r2=4， 所以圓 C 的方程為 x2+y2=4． ??????（2） ①當直線 l2 斜率不存在時，l2 方程為 x=2，恰好與圓 C 相切， 當直線 l2 斜率存在時， 設 l2 方程為 y+3=kx?2，即 kx?y?2k?3=0， 則圓心 C 到 l2 的距離為 r=?2k?3k2+1=2， 即 2k+32=4k2+4，即 12k+9=4，所以 k=?512， 所以直線 l2 的方程為 512x+y+136=0， 綜上所述，直線 l2 的方程為 5x+12y+26=0 或 x=2． ②因為 1+3=4， 所以點 D1,3 在圓 C 上，即點 D 為切點，則 kCD=31=3， 因為 CD⊥l2，所以 kl2=?33， 所以直線 l2 的方程為 y?3=?33x?1，即 x+3y?4=0． 第8頁（共8 頁）